广东教育出版社广东省职业技术教研室版《数学》第二章 函数

数学 第二章函数
2.1
函数的概念及性质
水的高度表示体积
V＝15h (圆柱的体积等于底面积乘以高) h的取值范围就是[0，10]
改写y＝15x x∈[0，10]
序 号
1 2 3
名称
常量：变化过程中保持不变的量
x∈[0，10]
y＝15 x
y＝5x
变量：变化过程中改变的量 自变量： 因变量： 对应法则（对应关系） f
a 3 3 0 例如： 3 a a 1 ； a a 1 3 5 2 a a 2 . 又例如： 5 a a
3
3
正分数指数数幂的定义：
a
m n
(n a ) m n a m
(a 0，m，n N ，且n 1) .
负分数指数数幂的定义：
a
m n

1 a
m n
函数的单调性（增减性）
例 1 函数 y f ( x) 的图象如图 2-5，写出函数的 定义域、值域及单调区间.
解：函数的定义域为(-2,10],值域为[-3,4]. 函数的单调递减区间为 [-1,4) . 函数的单调递增区间为(-2,-1)，[4,10].
例4 解决开头提出的实际问题. 解：由图 2-4 知，函数 h(t ) 在区间[12,18]内是
(4) 函数 f ( x) 对称，所以 f ( x)
不关于原点 x 的定义域 0，
x 为非奇非偶函数.
函数的单调性也叫函数的增减性
增函数，x增大，y增大，对应的是增区间； 减函数， x增大，y减小，对应的是减区间。
函数的奇偶性
1.偶函数 f ( x) f ( x) ， 函数图象关于 y 轴对称, 代表函数有 f ( x) x2 2. 奇函数 f ( x) f ( x) ，函数图象关于原点对 称，代表函数有 f ( x) x
2 3
(2) 32 ；
2 3
3

3 5
解：(1) 27 =(3 ) =3
3 5
2 3
2 3 3
=3 =9.
1 1 3 8 2
2
(2)
32 = 2

3 5 5
=2
3 5( ) 5
2
3
例 2 (3) 0.0001 ；
1的前面带几个0是10 的负几次方
3 4
3 4
4 (4) ( ) 25
所以此函数的定义域是{ x x 1 ，x R }. 用区 间表示为( ，1) ( 1，+ ).
4. 例 3 求下列函数的的定义域，并用区间表示. (3) f ( x)
2x 1
(3) 要使 f ( x)
2x 1 有意义，则根号内的式子
1 2 x 1 0 ，即 x . 2
m n mn
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3.(ab) a b (n为正整数）
n n n
积的乘方等于每个因数乘方的积
4.am ÷ an＝am－n(m, n都是正整数，m>n .a≠0) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
我们规定：
a 1 (a 0)
0
a
n
1 n a
(a 0, n N ) .

1
n
am
( a 0，m，n N ，且 n 1 ) .
例 1 计算下列各题 (1) 2 2 ； (2) 2 2 ；
3 2 5 7
解(1)
2 2 = 2
3 2
3 2
2 32.
5
解(2) 2 2 2
5 7
57
2
2
1 1 2 . 4 2
例 1 计算下列各题 （3） 3 3 3 3 6 3 (4) ( 4 ) .
减函数，而 13<17,所以 h(13) h(17) . 答：火箭飞行到第 13 秒时的高度比火箭飞行到 第 17 秒时的高度要高.
根据图 2-4，请你比较下列各对函数值的大小：
h(3) ____h(7) ； h(12) ____h(18) . h(10) ____h(12) ；
函数的奇偶性
1.偶函数 f ( x) f ( x) ， 函数图象关于 y 轴对称, 代表函数有 f ( x) x2 2. 奇函数 f ( x) f ( x) ，函数图象关于原点对 称，代表函数有 f ( x) x
图 2-3
x 2, x 1 4. 例 3 确定函数 f ( x ) x 2 , 1 x 2 的定义域， 4, 2 x4
并求 f (-3)、 f (0)、 f (3)的值. 4 ]. 1) [1， 2] (2， 4] =(- ， 解：函数定义域 D=(- ，
y =2 ×0.2mm 225179981368524.8mm，
50
即
y = （ 225179981368524.8 ÷ 10 ）
6
km=225179981.4km > 149598100km. 答：总厚度比地球到太阳的距离还要远.
形如 y x 的函数，叫做幂函数，其中 x 为自变量， 为常数.
然后，在同一坐标系内再作另一段函数 y x , x 0 的图象，得到图 2-2，这就是函数 y x 的图象.
2. 随堂练习：第1题
例2解决开头提出的实际问题
解：设乘坐 x 站数时票价为这是一个分段函数，描点作图
，函数图象如图2-3所示.
y （元） ，依题意，有
0.5， x 1,2,3; 1 ， x 4,5,6; y 1.5 ， x 7,8,9; , ,16. 2 ， x 10,11
y yx y y = x2
x
自变量x 位于底 数的位 置。
1 2
x
y
y y =x
1
yx
x
x
图 2-14
2．幂函数的性质
形如 y x 的函数，叫做幂函数，其中 x 为自变量， 为常数.
(1) 当 0 时，幂函数的图象均过点（ 0，0） 和点（1，1）. 在 0， 内为增函数.
1)， 这 时 相 应 解 析 式 f ( x) x 2 ， 所 以 因 为 3 ( ，
f (3) (3) 2 1 ；
又 因 为 0 [1,2] ， 这 时 相 应 解 析 式 f ( x) x 2 ， 所 以
f (0) 0 2 0
同理 3 (2， 4]， 这时相应函数解析式 f ( x) 4 ， 所以 f (3) 4 .
1 3 6
解(3) 3 3 3 3 6 3 =
1 2 1 3 1 6 1 1 1 1 2 3 6 6 3 2 1 6 12 6
33 3 3 3
1 3 6
3
3
3 9
2
解(4) ( 4 ) = 4
1 6 3
4 16 .
2
例 2 求值，并用计算器验算(3). (1) 27 ；
2
2. 分段函数
用解析法表示一个函数，有时需要用几个式子 分段表示，这样的函数叫什么函数呢？ 定义 在自变量的不同取值范围内， 用不同 的解析式来表示的函数，叫做分段函数. 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
1. 例 1 画出函数 y x 的图象.
在平面直角坐标系内，先作其中一段函数 y x ， x 0 的图象，如 图 2-1 所示，是一条起点在坐标原点的射线（注意：不是直线）.
随堂练习：2
6．例 4 下列各组函数是否相同？
x2 (1) f ( x )= ，g( x )= x ； x 2 x 解 ： (1) 函 数 f ( x )= 的定义域 x
D 1 ( ， 0) (0 ， + )， 而函数 g( x )= x
的定义域 D 2 ( ， ) . 因为 D 1 D 2 ， 所以它们是两个不同的函数.
例 1 解决开头提出的实际问题. 660 解： y 与 x 的对应关系为 y = . 把 x 1 x 小时 54 分=1.9 小时，代入得 660 y= 347 (km/h) . 1 .9 答：所求高铁列车的平均速度为 347 km/h
例 2 已知 f ( x) x 2 2x 3 ， 求 f (0)，f (a 1) ， f ( x)
3
如果上述条件都不满足，函数为非奇非偶函数.
例 1 判定下列函数的奇偶性.
1 (1) f ( x) x ； (2) f ( x) 2 ； x 5 5 解：因为 f ( x) ( x) x f ( x) ，
5
所以 f ( x) x 5 为奇函数.
1 1 2 f ( x) . (2) 因为 f ( x) 2 x ( x)
2
2
(3) 函数 y x 和 s t 的定义域和对应
2
2
法则都相同，所以它们是相同的函数.
7．随堂练习：3
1. 函数的表示方法
列表法：列出表格来表示两个变量之间的 对应关系 . 如上面的表格表示了公共汽车的 票价与站数之间的对应关系，又如《中学数学 用表》中的平方表、立方根表，等等. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应 关系. 如图 2-1，图 2-2，图 2-3，等等. 解析法：用数学表达式来表示两个变量之 间的对应关系，如 f ( x) 3x x 3 ，等等.
2
解：(1)因为函数的解析式是整式，所以函数 的定义域是 R. 用区间表示为 ( ， ) .
4. 例 3 求下列函数的的定义域，并用区间表示.
3x (2) f ( x ) x 1
3x (2) 要使 f ( x) 有意义，则分母 x 1 0 ， x 1 即 x 1.