异面直线所成角练习

-总1．如图，在正方体1111ABCDA B C D 中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．90 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A 6 B 14 C 15 D 10【答案】B 【解析】试题分析：设向量1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-，112,7AC A D ∴==， 11111114cos ,7AC A D AC A D AC A D⋅<>==。

考点：空间向量的集合运算及数量积运算。

3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） ABC ．510- D． 【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1DC F ∠为异面直线所成角，设边长为2，11C F DC DF ∴===1cos 5DC F ∴∠=考点：异面直线所成角5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A 、910B 、45C 、710D 、35【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB =,在''ABC ∆中''''AC A B BC ===''9cos 10A BC ∴∠=考点：异面直线所成角 6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．︒60 B ．︒90 C ．︒45 D ．︒30 【答案】A 【解析】-总试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，．所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠，由题意可知：2===AF AE EF ，所以 60=∠FEA ．考点：异面直线的位置关系．7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A 1与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A.62-B.62C. 1010- D.1010 【答案】A 【解析】试题分析：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由棱长为1，则111(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2D A M C ,所以111(1,,1),2A MDC (0,1,1),故11cos ,A M DC 101223622，故选A. 考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为A ．23B ．33C ．22D ．21 【答案】D 【解析】试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠即为所成的角。

1B AC 为等边三角形，所以11cos cos602B AC ∠==考点：异面直线所成的角9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP 与BA'所成的角θ 等于∠D'CP ，由图可知，当P 点与A 点重合时，θ＝3π 当P 点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0. 选D考点：空间几何体，异面直线所成角10．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的个数是P-总A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：①∵1BC ∥平面1AD ，∴1BC ∥上任意一点到平面C AD 1的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面C AD 1所成角和直线1AC 与平面C AD 1所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时，AP 的轨迹是平面1PAD ，即二面角C AD P --1的大小不受影响，所以正确．④∵M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，∴M 点的轨迹是一条与直线1DC 平行的直线，而111C D DD =，所以正确,故答案为：C.考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题.11．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）A. 0B. 45C. 60D. 90【答案】D 【解析】试题分析：解：取1AA 的中点E ，连接EN ，BE 交M B 1于点O ，则BC EN //，且BC EN = ∴四边形BCNE 是平行四边形 CN BE //∴BOM ∠ 就是异面直线M B 1与CN 所成的角，而ABE Rt M BB Rt ∆≅∆1M BB ABE 1∠=∠∴，AEB BMB ∠=∠1，090=∠∴BOM ．故选D ．考点：异面直线所成角12．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1=2AA ,则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于【答案】60° 【解析】试题分析：由直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长12AA 得12,BD = 由11ABA B 知1ABD ∠就是异面直线11A B 与1BD 的夹角,且111cos ,2AB ABD BD ∠== 所以1ABD ∠=60°,即异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于-总60°．考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13．如果直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线BC ，BD ，BE 所成的角相同，则直线AB 与CD 所成的角=_________. 【答案】090【解析】试题分析：因为，直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线,,BC BD BE 所成的角相同，所以，直线AB 在平面α内的射影应是,BC BD 夹角的平分线，同时也应是,BD BE 夹角及,BC BE 的平分线，因此，直线AB 在平面α内的射影是点B ，即AB α⊥，而CD α⊂，所以AB CD ⊥，直线AB 与CD 所成的角为090 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB 和11C A 所成角大小为____________. 【答案】6arccos 6【解析】 试题分析：由于ADAB C A AD AA AB DB +=-+=1111,，而=⋅111A C DB ADAB AB AD AB AD AA AB ⋅+=+⋅-+21)(][ABAD AD AA AB AA ⋅-⋅+⋅+11-2AD4=，同理求1122121211212AA AB AD AA AB AD AA AB DB ⋅+++=-+=AD AA AD AB ⋅-⋅-1122=8,1DB =22 ，同理：=11A C 32，设1DB 和11C A 所成角大小为θ，则6632224,cos cos 111111111=⋅=⋅⋅=><=A C DB A C DB A C DB θ，66arccos =θ. 考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角； 15．已知四面体ABCD 中，32DA DB DC ===，且,,DA DB DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是___ _【答案】6 .【解析】试题分析：当BCOA//时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即OAD∠cos；易知：6===BCACAB,32336=⨯=OA,362332cos===∠DAOAOAD. 考点：异面直线所成的角.16．如图所示，1111DCBAABCD-为正方体，给出以下五个结论：①//BD平面11DCB；②1AC⊥平面11DCB；③1AC与底面ABCD2④二面角111CDBC--2；⑤过点1A且与异面直线AD和1CB均成70°角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为________．【答案】①②④【解析】试题分析：如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确．由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确．AC1与底面ABCD所成角的正切值为1222CCAC==，故③不正确．取B1D1的中点M，则∠CMC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=11222CCC M==-总如下图，由于异面直线AD 与CB 1成45°的二面角，过A 1 作MN ∥AD 、PQ ∥CB 1，设MN 与PQ 确定平面α，∠PA 1M=45°，过A 1 在面α上方作射线A 1H，则满足与MN 、PQ 成70°的射线A 1H 有4条：满足∠MA 1H=∠PA 1H=70°的有一条，满足∠PA 1H=∠NA 1H=70°的有一条，满足∠NA 1H=∠QA 1H=70°的有一条，满足QA 1H=∠MA 1H=70°的有一条．故满足与MN 、PQ 成70°的直线有4条，故过点A 1与异面直线AD 与CB 1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．故答案为 ①②④．考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.17．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点。