高中数学人教A版必修5 2.4.2等比数列的性质学案
高中数学 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5
2.4等比数列教学目标 知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用． 教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题．教学过程一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ， )0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ， )0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；二、新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则ab G ab G G b a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab,则G b a G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.解:设m,G,n 为所求的三个数,有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a 则,4,643=∴=a a又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a 则k p n m a a a a =例2. 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +． 解： ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n nn n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？试证明。
人教A版高中数学必修五等比数列学案(1)
课本P51例4证明：设数列 的首项是 ，公比为 ; 的首项为 ，公比为 ，那么数列 的第n项与第n+1项分别为：
它是一个与n无关的常数，所以 是一个以q1q2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{ }与{ }，数列{ }也一定是等比数列吗？
探究：设数列{ }与{ }的公比分别为 ，令 ，则
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=± （a,b同号）
如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则 ，
反之，若G =ab,则 ，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列 G =ab（a·b≠0）
，所以，数列{ }也一定是等，（1） 是否成立？ 成立吗？为什么？
（2） 是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则
在等比数列中，m+n=p+q， 有什么关系呢？
由定义得：
， 则
Ⅲ.课堂练习
课本P52-53的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q，
2、若 是项数相同的等比数列，则 、{ }也是等比数列
教学后记：
课题：2.4等比数列（2）第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)
2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。
ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。
高中数学 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5
2.4等比数列教学目标知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程 一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则abG ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数,有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.4．等比数列的增减性：当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, {an}是———— 当q>1, a1<0,或0<q<1, a1>0时, {an}是————当q=1时, {an}是常数列;当q<0时, {an}是————．三，练习：导与练跟踪训练1-1，2-1四、课堂小结： 1.等比中项的定义； 2.等比数列的性质；3．判断数列是否为等比数列的方法．课后作业：导与练课后作业。
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2.4等比数列教学目标知识与技能目标：等比中项的概念；掌握＂判断数列是否为等比数列＂常用的方法；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、性质及应用．过程与能力目标：明确等比中项的概念；进一步熟练掌握等比数列的通项公式、1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学重点；等比数列的通项公式、性质及应用．教学难点：灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题． 教学过程 一、复习1．等比数列的定义． 2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则ab G ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab,则G ba G =，即a,G,b ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数, 有已知得m+n+ G =14,64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25,又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nnn n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？试证明。
等比数列的性质教案及学案
2.4.2等比数列性质学案一.复习引入：问题：已知等比数列{}n a 中，179a a ⋅=，求26a a ⋅和35a a ⋅值，从中你有何结论？二.新课：等比数列性质探究类比等差数列的定义和性质，猜想等比数列对应的性质，并证明.1.证明性质（1）{}()+⋅=⋅∈比,,,,n n m p q a m n p q a a a a n m p q N 在等数列中:若＋＝＋，则2.证明性质(2){},(,)n m nn ma a q n m N a -+=∈在等比数列中，已知公比为q,则有例：1.在等比数列{}n a 中，已知15a =，910100a a =，求18a2. 在等比数列{}n a 中，352,8a a ==，求7a3. 在等比数列{}n b 中，32b =，求该数列前五项之积4.在等比数列{}n a 中，11,a =，公比1q ≠，若23m a a a =，求m 值.注意点：等比数列角标性质中要求等号两侧项数相同随堂练习： 1.已知等差数列{}n a 满足27124,a a a -+=数列{}n b 是等比数列，且77b a =，求311b b 值2. 已知等比数列{}n a 满足3424a a a =，求15a a3.已知等比数列{}n a 中各项均为正数，且+=564718a a a a ，求+31310log log a a 值4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13795,20a a a a ==，求46a a 值小结：等比数列的角标性质及通项公式的推广通过与等差数列的性质相类比对等比数列性质进行探究课后思考：你能通过类比等差数列其他性质的到别的等比数列的性质吗？试证明.作业：{}==求37114,6,n a a a a 1.等比数列中{}+=+++=等比数列的各项均为正数，且则56473132393102.18,log log log log __________n a a a a a a a a a{}=求162284,n a a a a a a 3.等比数列中{}{}{}求证：4.n n n n a b a b 若数列是项数相同的等比数列，数列也是等比数列。
新人教A版必修5高中数学学案教案： (2.4.2 等比数列的基本性质及其应用)
2.4.2 等比数列的基本性质及其应用从容说课这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教学重点 1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点 渗透重要的数学思想.教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标 一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题. 二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色. 三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程 导入新课师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生 由学习小组汇报探究结果.师 对各组的汇报给予评价.师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8,而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8,所以a 52=a 3·a 7.同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课［合作探究］师 出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师 注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？ 生 用等差数列1，2，3，…师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生 在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？ 生 思考、讨论、交流.师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.［教师精讲］师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++q p s k a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N *)，则a k ·a s =a p ·a t .师 让学生给出上述猜想的证明.证明：设等比数列{a n }公比为q ，则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t,所以有a k ·a s =a p ·a t .师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t .师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形；结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.师 上述性质有着广泛的应用.师 出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18;（2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积.解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187.(3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8.解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2).∴a 8=-1 458.另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列 例 n )32(3⨯ -5×2n -1 1)34(10-⨯-n 是自选1自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？ 生 得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下： 设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1pn -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为(a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1),即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察： 证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1,所以{a n ·b n }是一个等比数列.课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第3题、B 组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1 例2 例3。
高中数学《等比数列的性质》公开课学案
2.4.2等比数列的性质【学习目标】进一步巩固等比数列的概念及通项公式,灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法【复习回顾】1.数列的概念： 。
1.等比数列的定义：数列{n a }为等比数列⇔ 。
2.等比数列的通项公式：① ，② 各字母含义是 。
3. 等差中项：A 是a 与b 的等差中项b A a ,,⇔成等差数列⇔ 。
【新知探究】1．等比中项：如果 ，那么称这个数G 为a 与b 的 . 即G = （ ）证明:如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab ,则G b a G =，即a ,G ,b 成等比数列。
∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）2．等比数列的性质：已知数列{n a }是等比数列:（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？(3)2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？(4)若m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？你又能得到什么结论？特别是m+n=2p 时有何结论?3．判断等比数列的方法①定义法:②中项法: 【典型例题】例1、已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证： 也成等比数列。
例2、已知{}n a {}n b 是项数相同的等比数列,试判定数列{}n n b a 是否是等比数列?其公比是多少?课后探究: 已知{}n a {}n b 是项数相同的等比数列, 数列①⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a ②{}n ca (c 是常数)③⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1④{}kn a ⑤{}na 是否是等比数列呢?它们的公比分别是多少?）且无关的数或式子是与0,(1≠=+q n q a a n n )0(211≠=∙+-nn n n a a a a 3,3,3abc ca bc ab c b a ++++例3: 已知 是等比数列，且 ，求例4: a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列， 成等比数列，求【课堂练习】 1.等比数列中，公比为q ，则下式正确的是（ ） 2.无穷等比数列中，下列各式不一定成立的是（ ） {}n a 252,0645342=++>a a a a a a a n 53a a +22,1,c a 22c a c a ++{}n a 44342414)()()(----====n n n n n n n n q a a D q a a C q a a B q a a A ）（{}n a N*)k n,k,(n a a a a (D)a a a (C)a a a a a a (B)a a a （A）a k n k n 1n 1n 5385439215261∈>====+-+-3.在等比数列 中，已知 ，求4.在等比数列中， ，求该数列前七项之积。
高中数学 必修五 2.4 等比数列教案2 新人教A版必修5
2.4等比数列一、复习1．等比数列的定义．2. 等比数列的通项公式:)0,(111≠⋅=-q a q a a n n ，)0,(≠⋅=-q a q a a m m n m n ，)0,(≠=B A AB a n n3．｛an ｝成等比数列⇔)0,( 1≠∈=++q N n q a a n n4．求下面等比数列的通项公式：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……； 二、新课：思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a, G ，b 成等比数列，那么称这个数G为a 与b 的等比中项. 即G=±ab （a,b 同号） ，则abG ab G G ba G ±=⇒=⇒=2，反之，若G 2=ab,则G ba G =，即a,G,b 成等比数列 ∴a,G,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数. 解:设m,G,n 为所求的三个数,有已知得m+n+ G =14, 64=⋅⋅G n m , ,2mn G =,4643=⇒=∴G G ⎩⎨⎧=⋅=+∴,16,10n m n m ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴.8,2,2,8n m n m 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.解法二:设所求三个数分别为,,,aq a q a则,4,643=∴=a a 又,14=++aq a q a 14444=++∴q q 解得,21,2==q q 或 ∴这三个数为8,4,2或2,4,8.生思考第53页练习第4题，猜测并推广，得 等比数列的性质：若m+n=p+k ，则kp n m a a a a =证明：由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则kp n m a a a a =例2. 已知{na }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．解： ∵{na }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又na >0, ∴3a ＋5a ＝5;3．判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法 例3．已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列.证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q1q2为公比的等比数列.思考；（1）｛an ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？试证明。
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新
第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积． 解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。
高中数学 第二章 2.4等比数列(二)导学案新人教A版必修5(2)
§2.4 等比数列(二)课时目标1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝a 2k .2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.3．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q＝2. 4．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2 答案 A解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2.5．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34 C ．2 D ．343 答案 A解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65 C.23 D.32 答案 D解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________. 答案 4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8.10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x －y －y ＝y ＋－x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数列．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ， c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2) ＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 等于( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符， ∴a ＝－4.14．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4＋4a依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323求⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323时q ＝2∴a n ＝13·2n －123a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329 ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列， ∴a n ＝13·2n －1当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n23a 2＋a 4＋49≠2a 23， ∴不符合题意，∴通项公式a n ＝13·2n －1.1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在a n ，a n ＋1，a n ＋2，使a 2n ＋1≠a n ·a n ＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．。
河北省石家庄市复兴中学人教A版高中数学必修五：2-4-2
2.4.2 等比数列的性质班级姓名小组号【学习目标】1.能根据等比数列的定义推出等比数列的重要性质．2.能运用等比数列的性质解决有关问题．【重点难点】重点：会推导等比数列的性质难点：运用等比数列的性质解决有关问题【学情分析】学生在学了等比数列的相关概念后，对等比数列有了一定的认识，对等比数列的性质也有了一定的理解。
这一节在概念的基础上，加深对等比数列性质的探究。
学生对情境引入有一定的热情，大部分学生有积极的学习态度，有求知探索的欲望。
【导学流程】自主学习内容一、回顾旧知：1．等比数列的概念(1)定义：一个数列从________起，每一项与它的前一项的比等于___________．(2)公比：这个常数叫做等比数列的公比．公比表示为_____．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成_________，那么G叫做a与b的等比中项，其满足的关系式为________．3．等比数列的通项公式首项是a1，公比是q(q≠0)的通项公式为a n＝________ (a1≠0，q≠0)．二、基础知识感知阅读课本48-52页，总结等比数列的性质的相关知识，填写下列内容。
1．(1)等比数列的通项公式：__________________．等比数列的通项推广公式：__________________．(2)已知等比数列{a n}中a3＝6，公比q＝3，则其通项公式为____________．2．(1)既是等差又是等比数列的数列是___________．(2)写出一个既是等差又是等比数列的数列：_____________________________．3．若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，则{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 是___________．三．探究问题:探究一：等比数列性质的应用【例1】已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7探究二：灵活设项求解等比数列问题【例2】有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．探究三：等比数列的综合应用【例3】等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11；②a 3·a 4＝329；③三个数23a 2，a 23，a 4＋49依次成等差数列．试求数列{a n }的通项公式．请及时记录自主学习过程中的疑难：小组讨论问题预设:如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列提问展示问题预设：已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于( )A．5 B．10 C．15 D．20课堂训练问题预设：1.在等比数列{a n}中，a2＝2，a6＝16，则a10＝________．2.若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则 a1a23a5＝________．整理内化：1.课堂小结2.本节课学习内容中的问题和疑难。
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高中数学人教A版必修5第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的性质学案【课前自主学习】预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题。
等比数列的运算性质是什么是什么？【新知梳理•夯实知识基础】等比数列的性质(1)若数列{a n}，{b n}是项数相同的等比数列，则{a n·b n}也是等比数列．特别地，若{a n}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·a n}也是等比数列．(2)在等比数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a m a n＝a p a q.(3)数列{a n}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．(4)在等比数列{a n}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为q k＋1.(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，a m，a n，a p成等比数列．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q>1时，{a n}为递增数列()(3)当q＝1时，{a n}为常数列()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．(2)错误，当q>1，a1>0时，{a n}才为递增数列．(3)正确，当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列D ．以2q 为公比的等比数列 解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }成等比数列． ∴a 4，a 6，a 8成等比数列 ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________.解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：7【学以致用•探究解题方法】 题型一 等比数列的性质[典例] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( )A ．10nB ．n 10C ．100nD ．n 100(2)在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于________． [解析] (1)设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n 2＝(100)n2＝10n .(2)因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213， 又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29. 因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2. 所以a 7＝a 8q ＝256. [答案] (1)A (2)256[解题规律总结][活学活用]1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D 因为数列{a n }为等比数列， 所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以q 3＝－12或q 3＝－2， 故a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－7.2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且4a 2a 8＝a 24，a 2＝1，则a 6＝( ) A.18 B.116 C.132D.164解析：选B 由4a 2a 8＝a 24，得4a 25＝a 24，∴q ＝12，∴a 6＝a 2q 4＝116.题型二 灵活设元求解等比数列问题[典例] (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析] (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎨⎧2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)， 整理得⎩⎨⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6，解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.[答案] 45(2)解：法一：设前三个数为aq ，a ，aq ， 则a q ·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6. 因此前三个数为6q ，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝2 3.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2. [解题规律总结][活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或352B．4或352C．4 D．171 2解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为a2 2.由a，a22，20成等差数列得2×a22＝a＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4. 当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.题型三 等比数列的实际应用问题[典例] 某工厂2016年1月的生产总值为a 万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2016年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %，∴a n ＋1a n＝1＋m %.∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列．∴a n ＝a (1＋m %)n －1. ∴2017年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[解题规律总结]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用]如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：14高中数学人教A 版必修5第二章 数列 2.4等比数列2.4.2等比数列的性质同步检测基础达标题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．242．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56 B.65 C.23D.324．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn ＝( ) A.23 B.32或23 C.32D ．以上都不对5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 0006．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．7．设数列{a n}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.8．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．9．在由实数组成的等比数列{a n}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.10．在正项等比数列{a n}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{a n}的通项公式．能力达标题1．在等比数列{a n}中，T n表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1 D．a5＝12．已知等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．163．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7·b8＝3，则log3b1＋log3b2＋…＋log3b14等于()A．5 B．6C．7 D．84．设各项为正数的等比数列{a n}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．2155．已知{a n}为公比q＞1的等比数列，若a2 015和a2 016是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 017＋a2 018的值是______．6．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则a2－a1b2＝________.7．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，由{a n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，ab n，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{b n}的通项公式．8．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且a n＋1＝2a n＋3a n－1(n≥2，n∈N*)．(1)设b n＝a n＋1＋a n(n∈N*)，求证{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．高中数学人教A版必修5第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的性质同步检测解析基础达标题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24. 2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， 即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56 B.65 C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.4．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn ＝( ) A.23 B.32或23 C.32D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或23，故选B.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎨⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×32＝18. 答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q .解：法一：由条件得⎩⎨⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ② 由②得a 37＝512，即a 7＝8.将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42. 法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27，∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎨⎧ a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64， 即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎨⎧ a 3＝4，a 11＝16或⎩⎨⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8，∴q ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1418＝±142. 10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100， ∴⎩⎨⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎨⎧ a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎨⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎨⎧ a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n .能力达标题1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．在各项均为正数的等比数列{b n }中，若b 7·b 8＝3，则log 3b 1＋log 3b 2＋…＋log 3b 14等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C log 3b 1＋log 3b 2＋…＋log 3b 14＝log 3 (b 1b 2…b 14)＝log 3 (b 7b 8)7＝7log 33＝7.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，∴a 301·q 1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q 29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220.5．已知{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 015和a 2 016是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 017＋a 2 018的值是______．解析：设等比数列的公比为q .因为a 2 015和a 2 016是方程4x 2－8x ＋3＝0的两个根，所以a 2 015＋a 2 016＝2，a 2 015·a 2 016＝34，所以a 2 015(1＋q )＝2 ，①a 2 015·a 2 015q ＝34，②故由①②2得， (1＋q )2q ＝2234＝163.又因为q >1，解得q ＝3，所以a 2 017＋a 2 018＝a 2 015·q 2＋a 2 015·q 3.＝a 2 015(1＋q )·q 2＝2×32＝18.答案：186．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1.答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3， 所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝2a n ＋3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，求证{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由已知得a n ＋1＋a n ＝3(a n ＋a n －1)(n ≥2，n ∈N *)，则b n ＋1＝3b n ， 又b 1＝3，则{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由a n ＋1＋a n ＝3n，得a n ＋13n ＋1＋13·a n 3n ＝13. 设c n ＝a n 3n ，则c n ＋1＋13c n ＝13，可得c n ＋1－14＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫c n －14， 又c 1＝13，故c n －14＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －1， 则a n ＝3n －(－1)n 4.。