人教A版数学必修一教案§322函数模型的应用实例ⅲ
高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例
由题意:v2-v1=1,
2
1
1
− log3 1 = 1.
2
100 2
100
1
log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1.
2
1
1
即 log3
∴
故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所
示,那么图象所对应的函数模型是(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位:
反比例函数模型
f(x) = (k 为常数,k≠0)
一次函数模型
f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=a·bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1)
对数函数模型
f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,
M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有
经验公式:M=
1
3
1
6
,N= . 今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
数学必修一3.2.2函数模型的应用实例课件
1 2 3 425 故 Q＝ t － t＋ . 200 2 2 1 ②Q＝ (t－150) 2＋100， 200
∴当 t＝150 天时，西红柿种植成本最低为 100 元/102kg.
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1．通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学 模型方法，简称数学建模．在函数模型中，二次函数模型占有重要的 地位，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、
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3．2.2 函数模型的应用实例
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目标要求
1.进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问
题的意识． 2．进一步尝试用函数描述实际问题，通过研究函数的性质解 决实际问题． 3．了解数学建模的过程.
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0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
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该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入 A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方 案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月 可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 思路分析：只给数据，没明确函数关系，这样就需要准确地画 出散点图．然后根据图形状态，选择合适的函数模型来解决实际问 题．
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温馨提示：根据题中给出的数据，画出散点图，然后观察散点 图，选择合适的函数模型，并求解析式的问题，这是本节新的解题思 路．请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他的数据点，观察 结果的差异．
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解 决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就
高一数学人教A版必修1课件：3.2.2 函数模型的应用实例
（1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函 数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性 体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型 的解析式.
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2 倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身 高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常 ？
人数/万人 61456 62828 64563 65994 67207
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我 国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用 马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具 体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符；
（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一 年我国的人口达到13亿？
解：由表可得，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。 设销售单价定为x元，日均销售利润为y元，而在此情况下
的日均销售量就为： 480-40(x-6)=720-40x（桶）
由x>5，且720-40x>0，即5<x<18，于是可得： y=(x-5)(720-40x) -200=-40x2+920x-3800，5<x<18
Ø分段函数模型
（3）假设这辆汽车的里程表在汽车 行驶这段路程前的读数为2004km， 试建立汽车行驶这段路程时汽车里 程表读数 s(km)，与时间 t (h)的函数 解析式，并作出相应图象。
Ø构建函数模型
例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本 为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量
画散点图
不
选择函数模型
符
合 实
求函数模型
际
检验
符合实际
用函数模型解释实际问题
人教A版高中数学必修1第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用教案(3)
函数模型及其应用教学目标：（1）根据给出函数模型的图像或数据进行分析，会验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相符。
（2）根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题”的基本方法教学重点：1.实际问题数学化（建模），2.对函数模型进行解答，得出数学问题的解. 教学难点： 实际问题数学化教学过程：一。
先知先觉：1.预习课本P 97例2、P 102例3、P 104例52.三个例题中已知条件有什么异同？分别解决的是什么问题？每个题解决的关键是什么？你有什么疑问？3.练习：P 104练习2. P 106练习1.二．重难点突破：梳理例题2：三个函数哪个比较好排除？用的什么方法？哪个不好排除？用的什么方法比较的？是否符合实际问题检验过程可以省略吗？。
梳理例题3：采用什么样的数学模型？梳理例题5：采用的什么模型？小结：常用的函数模型有哪些？例1：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4t 时每吨1.80元,当用水超过4t 时超过部分每吨3.00元。
某月甲乙两户共交水费y 元，，已知甲乙两户该月用水量分别为5xt,3xt 。
（1）求y 关于x 的函数，（2）若甲乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲乙两户该月的用水量和水费。
小结：例2：某城市现有人口数为100万人，如果年自然增长率为2.1％，回答下列问题：（1） 写出该城市的人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式（2） 计算10年以后该城市的人口总数（精确到0.1万人）（3） 计算大约多少年以后该城市的人口总数将达到120万人（精确到0.1万人） 参考数据()127.12.111000≈+，()196.12.111500≈+，()21.12.111600≈+总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：解决应用题的一般程序步骤：①审题：②建模：③解模：④还原：注：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．练习：1. 一根均匀的轻质弹簧，已知在600 N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100 N的拉力作用下，长度为0.55 m ,在300 N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？三．轻松小测：(一)．P107 A组3、4、6。
人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.2.2函数模型的应用实例》教案(2)
课题：§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ）
教学目标：
知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．
情感、态度、价值观体会数学在实际问题中的应用价值．
教学重点：
重点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．
难点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学生兴趣．
型的广泛应用．
教学过程与操作设计：。
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§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、教学目标：1.知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、学法与教学用具1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2.教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.（二）结合实例，探求新知例1.某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.探索：1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；2）所涉及的变量的关系如何？3）写出本例的解答过程.老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？2）本例涉及到几个函数模型？3）如何理解“更省钱？”；4）写出具体的解答过程.在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。
高中数学3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1
《函数模型的应用实例》一、教课内容分析：本节课选自人民教育第一版社 A 版的一般高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2 函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的要点内容之一，函数模型自己就根源于现实，并用于解决实质问题．本节课的内容是在《几类不一样增添的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容以后，关于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了必定的学习，本节课是对以上两节内容的持续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确立性函数模型的实质问题进行建模和应用．这节课的内容持续经过一些实例来感觉函数模型的成立和应用，逐渐领会实质问题中建立函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包含成立确立性函数模型解决问题及选择或成立拟合函数模型解决问题．例 5 所给的问题的特色是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律成立数学模型，注意变化范围和查验结果的合理性，同时使用这类有规律的简单数据实例供给了建立数学模型的方法．例 6 与例 5 有所差别，表中数据的变化规律特色不是和显然，需要自己依据对数据的理解选择模型，这反应一个较为完好的成立函数模型解决问题的过程，让学生逐渐感觉和明确这一点．整节课要修业生分析数据，比较各个函数模型的好坏，选择靠近实质的函数模型，并应用函数模型解决实质问题．增强读图、读表能力；优化学生思想，提升学生研究和解决问题的能力；增强学生数学应企图识，感觉数学的适用性；锻炼学生的吃苦精神，提升学生的团队合作能力．二、教课目的：知识与技术： 1．会分析所给出数据，画出散点图．2．会利用选择或成立的函数模型．3．会运用函数模型解决实质问题．过程与方法： 1．经过对给出的数据的分析，抽象出相应确实定性函数模型，并考证函数模型的合理性．2．经过采集到的数据作出散点图，并经过察看图像判断问题所合用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出详细的满意的函数分析式，并应用模型解决实质问题．感情、态度和价值观：1．经历成立函数模型解决实质问题的过程，意会数学源自生活，服务生活，领会数学的应用价值．2．培育学生的应企图识、创新意识和研究精神，优化学生的理性思维和求真求实的科学态度．3．提升学生研究学习新知识的兴趣, 培育学生 , 勇于研究的科学态度．三、学生学情分析：1．已掌握了一些基本初等函数的有关知识，有相应的数学基础知识贮备．2．在前面的学习中，初步领会了利用给定函数模型解决实质问题的经历，为本节课累积解决问题的经验．3．学生从文字语言向图像语言和符号语言转变较弱；应企图识和应用能力不强；抽象归纳和局部办理能力单薄．四、教课要点、难点要点：依据采集的数据作出散点图，并经过察看图像选择问题所合用的函数模型，利用演算或计算机数据成立详细的函数分析式．难点：如何合理分析数据选择函数模型和成立详细的函数分析式．五、教课策略分析：鉴于新课程标准倡议以学生为主体进行研究性学习，教师应成为学生学习的指引者、组织者和合作者的教课理念和近来发展区理论，联合本节课的教课目的，采纳以下教课方法：1．问题教课法．在例 1 的教课中，提出如何能更为直观的发现函数模型，指引学生思虑，发现选择函数模型的重要方法，即散点图图像，进而让学生有收获，有成就感．在例 2 的解决过程中，提出一系列的问题串，学会对问题的分析，直抵问题的核心．使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创建”过程，并使学生从中领会学习的兴趣．这样能够充分调换学生学习的主动性、踊跃性，使讲堂氛围更为活跃，同时培育了学生自主学习，着手研究的能力．2．分组议论法．在例 2 的教课中，碰到难以选择模型时，经过小组议论，拓展思想，增强合作，解决问题；在获取函数模型后和讲堂总结中，组织小组议论，互相沟通成就，扩大成就影响力．这样不单能够培育学生对数学知识的研究精神和团队协作精神，更能让学生体验成功的乐趣，培育其学习的主动性．3．多媒体协助教课法：在教课过程中，采纳多媒体教课工具，经过动向演示有益于惹起学生的学习兴趣，激发学生的学习热忱，增大信息的容量，使内容充分、形象、直观，提升教课效率和教课质量。
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案 新人教A版必修1
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1课题：§3.2.2函数模型的应用实例（一）教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。
本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深刻的认识。
这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。
但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的能力较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。
因此在教学中应该给学我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价． 设计意图 教师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题． 二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1） 求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2019km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．012345102030405060708090v（km让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立思考后，讨论，教师可以作以下引导首先引导学生写出速度v关于时间t的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型（分段函数）刻画实际问题．培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数551965630574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？认真阅读题目，教师指出本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型rt e yy）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数y与r．学生独立思考后，教师作以下提问1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？５）如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？学生根据教师引导，完成数学模型的确定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测教师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读能力，分析能力三、探索研究引导学生分析例题，进行总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正．设计意图渗透数学思想方法，培养学生读图、分析已知数据、概括、总结等诸多方面的能力。
高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教学案
§3.2.2 函数模型的应用实例在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：⑴能够根据原始数据、表格，绘出散点图．⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．教科书中已经给出了三个典型的实例，读者可以通过这些例题的学习基本掌握函数模型应用的处理方法.下面再通过一个实例，进一步熟练过程，提高函数模型应用的操作能力.例随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m2，单价是0.3万元／m2的一套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表．表1(住房)上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案．分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况．解：⑴方案一：先购房后买车．为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元．设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）×月数＝1+(0.5-0.15-2l×0.005728)x，即y＝1+0.229712x，（x N）选(轿车的价值15万元)70％比例的汽车贷款，则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为u=15(l-1%)x×30％，即u=4.5×0.99x（x∈N）．，则刚买车后家庭的结余资金为y1=买车前家庭积累资金-首付汽车款y1＝(1+0.229712x)-4.5×0.99x，即买车后家庭的结余资金为：=-4.5×0.99x＋0.229712x+1（x∈N）．y1用计算机作出其图象：可知x=12.86时，y=0．1说明购房13个月后该家庭有能力买车．但是为了保证买车后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值．现建立买车后家庭月支出v（万元）关于x的函数关系式:因为按此方案，汽车贷款为15(l-1%)x70%，在资金紧张时，贷款期限选5年较为合理，也利于提前买车，所以v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支＝0.019347×15(l-1%)x70%＋21×0.005728+0.15+0.1，即买车后家庭月支出为：v=0.203144×0.99x+0.370288 （x∈N）．因此，还清汽车贷款时的家庭结余为＝买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出] ×五年y2＝y1+60[0.5-v]＝( -4.5×0.99x＋0.229712x+1)+60[0.5-(0.203144×0.99x+0.370288)]，＝-16.68864×0.99x＋0.229712x+8.78272即还清汽车贷款时的家庭结余为y2=-16.68864×0.99x＋0.229712x+8.78272 （x∈N）．用计算机作出其图象：可知x=20.75时，y2=0．综上所述，按方案一，说明可在购房21个月后再购车．方案二：先买车后购房．为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选5年期和30年期．按70%的比例可贷汽车款10.5万元，首付30%后（4.5万元），家中（家庭有积蓄10万元）还剩资金5.5万元．同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金y3＝剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）×月数＝5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5×0.019347)xy 3=5.5+0.0468565x（x∈N，60≤x），而此时购房需首付y4=30×(1+0.8%)x30%=9×1.008x刚买后家庭的结余资金为5y，则5y=买房前家庭积累资金-首付房款＝y3－y4＝5.5+0.0468565x－9×1.008x，即买房首付后家庭的结余资金为：5y=－9×1.008x+0.0468565x+5.5（x N）．用计算机作出其图象：由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取．因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房．即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房，21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．。
人教A版高一数学必修一 3.2.2 函数模型的应用实例 教案
3.2.2 函数模型的应用实例一、教学目标：知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图． 2．会利用选择或建立的函数模型． 3．会运用函数模型解决实际问题． 过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性．2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析式，并应用模型解决实际问题．情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服务生活，体会数学的应用价值．2．培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度． 二、重点难点重点：根据收集的数据作出散点图，并通过观察图像选择问题所适用的函数模型，利用演算或计算机数据建立具体的函数解析式．难点：怎样合理分析数据选择函数模型和建立具体的函数解析式． 三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、展示。
四、教学过程（1）温故知新，提出问题；上节课我们已经学习了应用已知函数模型解决实际问题，主要的函数模型有y kx b =+，2y ax bx c =++，log a y x =，0rx y y e =．但在实际解决问题中，我们常常碰到没有函数模型或不能建立确切的函数模型，那我们又改如何选择和确定函数模型，如何解决实际问题呢？设计意图：从温故的角度自然地复习已经学习的函数模型内容，进入学习函数模型实际应用的情景，以及为本节课中选择函数模型作好铺垫．同时提出没有函数模型或不能建立确切的函数模型的实际问题如何解决，明确本节课的任务，以及点出本节课的课题．（2）问题探究；例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？师生：共同完成例1 解答：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55196(1 + r1) = 56300，可得1951年的人口增长率，r1≈0.0200.同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为；r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N.根据表中的数据作出散点图并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000代入y=55196e0.0221t，由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？解答：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y=a·b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·b x得：701607.947.25a ba b⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖.设计意图：利用问题串引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型，培养学生建模能力，从而提高解决问题的能力．学生独立思考与学生小组合作，即锻炼学生的思考能力，又加强学生的小组合作，学会团结合作，为下一种选择函数模型作好必要知识和能力铺垫．利用图像发现函数模型，渗透数形结合思想，同时加深对函数的表格、解析式、图像的三种表示形式．归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：设计意图：回顾解题过程，系统总结一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，学生理解从解题过程上升为解题策略，培养学生的反思和总结能力．当堂检测：1．某商人购货，进价按原价扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数与按新价让利总额之间的函数关系是.2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为，则的函数解析式为.3．某企业实行裁员增效.已知现有员工人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员人后年纯收益为万元.(1)写出关于的函数关系式，并指出的取值范围.(2) 当时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数(其中，，为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.答案；1．(x∉N*) 2．3．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x，因为，所以.即x的取值范围是中的自然数.(2)因为，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，，y取最大值.当a为奇数时，，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去.)答：当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有；解得所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有；解得所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.五、课堂小结所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.六、课后作业课时练与测七、教学反思。
高中数学人教A版必修一教案：3.2.3函数模型的应用实例(一)
通过此问 题背景，让学 生恰当选择相 应一次函数模 型解决问题， 加深对函数概 念本质的认识 和理解.让学 生体验解决实 际问题的过程 和方法.
S 13 120 11 =233(km). 6
解题方法：
培养学生
1．读题，找关键点；
分析归纳、概
2．抽象成数学模型； 3．求出数学模型的解；
矩形菜地，问矩形的长、 300 x m，从而矩形菜地的面积为：
宽各为多少时，这块菜
2
地的面积最大？ 习题 4．某市一种
出租车标价为 1.20 元 /km，但事实上的收费标
S 1 x(300 x) 2
1 (x 150)2 11250(0 x 300). 2
准如下：最开始 4km 内 不管车行驶路程多少，
数关系式.学生根据要求，完成例 1 的解 答.
例 1 解：因为火车匀速运动的时间 为(200 – 13)÷120 = 11 (h)，
5 所以 0 t 11 .
5 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶 路程为 120t，所以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 S 130 120t (0 t 11).
学生总结，教师完善.
括能力.从而初 步体验解应用
题的规律和方
4．做答.
法.
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人教A版数学必修一教案：§3.2.2函数模型的应用实例(ⅲ)
§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）一、教学目标1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。
3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。
二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
三、学法与教学用具1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。
2、教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。
本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。
（二）尝试实践探求新知例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？探索以下问题：1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.例2. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：1）描点画出水温随时间变化的图象；2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y （℃）关于时间()x s 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？探索过程如下：1）首先建立直角坐标系，画出散点图；2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：符合实际（四）布置作业：作业：教材P107习题32（B组）第1、2题：小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教A版数学必修一教案：函数模型的应用实例(ⅲ)
§3.2.2函數模型的應用實例（Ⅲ）一、教學目標1、知識與技能能夠收集圖表數據資訊，建立擬合函數解決實際問題。
2、過程與方法體驗收集圖表數據資訊、擬合數據的過程與方法，體會函數擬合的思想方法。
3、情感、態度、價值觀深入體會數學模型在現實生產、生活及各個領域中的廣泛應用及其重要價值。
二、教學重點、難點：重點：收集圖表數據資訊、擬合數據，建立函數模解決實際問題。
難點：對數據資訊進行擬合，建立起函數模型，並進行模型修正。
三、學法與教學用具1、學法：學生自查閱讀教材，嘗試實踐，合作交流，共同探索。
2、教學用具：多媒體四、教學設想（一）創設情景，揭示課題2003年5月8日，西安交通大學醫學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預測與控制策略數學模型”研究專案，馬知恩教授率領一批專家晝夜攻關，於5月19日初步完成了第一批成果，並製成了要供決策部門參考的應用軟體。
這一數學模型利用實際數據擬合參數，並對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真，結果指出，將患者及時隔離對於抗擊非典至關重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫人數將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數100人左右；若4月21日以後，政府示採取隔離措施，則高峰期病人人數將達60萬人。
這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發佈的數據，建立了非典流行趨勢預測動力學模型和優化控制模型，並對非典未來的流行趨勢做了分析預測。
本例建立教學模型的過程，實際上就是對收集來的數據資訊進行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數。
（二）嘗試實踐探求新知例1．某地區不同身高的未成年男性的體重平均值發下表（身高：cm；體重：kg）身高ykg與身高xcm的函數模型的解析式。
2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低於0.8倍為偏瘦，那麼這個地區一名身高為175cm ，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？探索以下問題：1）借助計算器或電腦，根據統計數據，畫出它們相應的散點圖；2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學過的何種函數的圖象較為接近？3）你認為選擇何種函數來描述這個地區未成年男性體重ykg與身高xcm的函數關係比較合適？4）確定函數模型，並對所確定模型進行適當的檢驗和評價.5）怎樣修正所確定的函數模型，使其擬合程度更好？本例給出了通過測量得到的統計數據表，要想由這些數據直接發現函數模型是困難的，要引導學生借助計算器或電腦畫圖，幫助判斷.根據散點圖，利用待定係數法確定幾種可能的函數模型，然後進行優劣比較，選定擬合度較好的函數模型.在此基礎上，引導學生對模型進行適當修正，並做出一定的預測. 此外，注意引導學生體會本例所用的數學思想方法.例2. 將沸騰的水倒入一個杯中，然後測得不同時刻溫度的數據如下表：1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象；2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫y （℃）關於時間()x s 的函數模型，並作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何.3）水杯所在的室內溫度為18℃，根據所得的模型分析，至少經過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經過幾分鐘會降到10℃？對此結果，你如何評價？本例意圖是引導學生進一步體會，利用擬合函數解決實際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論.課堂練習：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產，並且前4個月的產量分別為1萬件、1 .2萬件、1.3萬件、1.37萬件. 由於產品品質好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好. 為了在推銷產品時，接收定單不至於過多或過少，需要估測以後幾個月的產量，你能解決這一問題嗎？探索過程如下：1）首先建立直角坐標系，畫出散點圖；2）根據散點圖設想比較接近的可能的函數模型：一次函數模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函數模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 冪函數模型：12()(0);h x ax b a =+≠指數函數模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）利用待定係數法求出各解析式，並對各模型進行分析評價，選出合適的函數模型；由於嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學分工合作，最後再一起討論確定.（三）歸納小結，鞏固提高.通過以上三題的練習，師生共同總結出了利用擬合函數解決實際問題的一般方法，指出函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，是解決實際問題的重要思想方法. 利用函數思想解決實際問題的基本過程如下：符合實際（四）佈置作業：作業：教材P107習題32（B組）第1、2題：。
高中数学函数模型的应用实例教案3 新人教A版必修1
3.2 函数模型及其应用几类不同增长的函数模型一、教学目标（1）使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。
（2）通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。
（3）体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。
二、教学重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义。
难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。
三、教学手段：运用计算机、实物投影仪等多媒体技术。
四、教材分析：1、背景（1）圆的周长随着圆的半径的增大而增大：L=2πR (一次函数)（2）圆的面积随着圆的半径的增大而增大：S=πR2 (二次函数)（3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x (指数型函数)。
2、例题例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2) 比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。
根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。
解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元；y=40 (x ∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*)方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。
Y=0.4×2x-1(x *N )从每天的回报量来看：图112-1第1~4天，方案一最多：每5~8天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资1~4天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案三。
人教A版高一数学必修一3.2.2 函数模型的应用实例导学案
3.2.2函数模型的应用实例班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课前预习· 预习案【温馨寄语】有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。
”愿你们在前行的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦【学习目标】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义2．恰当运用函数的三类表示法(解析式、图象、表格)并借助信息技术解决一些实际问题.【学习重点】1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合【学习难点】1．运用数学模型分析解决实际问题2．对数函数应用题的基本类型和求解策略知识拓展· 探究案【交流展示】1．某市原来民用电价为0.52元/kW·h，换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h，对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量A.至少为82kW·hB.至少为118kW·hC.至多为198kW·hD.至多为118kW·h2．一等腰三角形的周长是20，底边长 y 是关于腰长 x 的函数，它的解析式为A.y=20−x(x≤10)B.y=20−2x(x<10)C.y=20−x(5≤x≤10)D.y=20−2x(5<x<10)3．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元.每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在相同的时间内，产量减少3件，如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件，则在同样的时间内，生产哪一档次的产品的总利润最大？ A.10B.9C.8D.74．某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益 R (总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q (单位：件)的函数，满足关系式： R =f (Q )={400Q −12Q 2，0≤Q ≤400，80000，Q >400.求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？5．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是 (下列数据仅供参考：√2=1.41，√3=1.73，√33=1.44，√66=1.38 ) A.38%B.41%C.44%D.73%6．某人2013年1月1日到银行存入一年期存款 a 元，若年利率为 x ,按复利计算，到2016年1月1日，可取回款 元. A.a (1+x )3B.a (1+x )4C.a+(1+x )3D.a (1+x 3)7．如图，开始时桶1中有 a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=ae −nt ，那么桶2中水就是y 2=a −ae −nt ，假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过 分钟桶1中的水只有 a8 升.8．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1)写出该城市人口数 y (万人)与年份 x (年)的函数关系. (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120人(精确到1年).9．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量 y(只)与引入时间 x (年)的关系为 y=a log2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到A.300只B.400只C.600只D.700只10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v=5log2O10，单位是m/s，其中 O 表示燕子的耗氧量.(1)当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？11．今有一组数据，如表所示：下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是A.指数函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数12．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据：则下列函数模型中能较好地反映计算机在第 x 天被感染的数量 y 与 x 之间的关系的是A.y=10x B.y=5x2−5x+10C.y=5×2xD.y=10log2x+10【学习小结】1．幂函数模型解析式的两种类型及求解方法(1)已知函数解析式形式：用待定系数法求解.(2)解析式形式未知：审清题意，弄清常量，变量等各元素之间的关系，列出两个变量，之间的解析式，进而解决问题.2．二次函数模型应用题的解法(1)理解题意，设定变量，.(2)建立二次函数关系，并注明定义域.(3)运用二次函数相差知识求解.(4)回归到应用问题中去，给出答案.3．一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.4．对一次函数解析式的三点说明解析式：.(1)一次项的系数.(2)时，是的正比例函数，即为非零常数).(3)时，直线必经过一、二象限；时，直线必经过原点；时，直线必经过三、四象限.5．数据拟合问题的三种求解策略(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解.(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较.(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.6．对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.7．指数型函数模型在生活中的应用(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率总理常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为(其中为基础数，为增长率，为时间)的形式.(2)增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相差的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解.是数学常用的方法之一.【当堂检测】1．某商人购货，进价按原价 a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 之间的函数关系是 .2．已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过 x 年后的剩留量为 y ，则y=f(x)的函数解析式为 .3．某企业实行裁员增效.已知现有员工 a 人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的3，设该企业裁员 x 人后年纯收益为 y 万元.4(1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围.(2) 当140<a≤280 时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁.)4．某工厂今年1月，2月，3月生产某产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可选用二次函数或指数型函数 y=mn x+p (其中m ，n ，p 为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问选择以上哪个函数作为模型较好？并说明理由.答案【交流展示】1．D2．D3．B4．y＝R－100Q－20000={300Q−12Q2−20 000，0≤Q≤400，60 000－100Q，Q>400Q∈Z.(1)0≤Q≤400时，y＝−12(Q−300)2+25 000，当Q＝300时，y m a x＝25 000.(2)Q＞400时，y＝60 000－100Q＜20 000，综合(1)(2)，当每年生产300件产品时，总利润最大，为25 000元. 5．B6．A7．108．(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2％＝100×(1＋1.2％)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)3，……x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)x(x∈N).(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2％)10＝100×1.01210≈112.7(万人).(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到100×(1＋1.2％)x＝120，x=log1.012120100=log1.0121.2=lg1.2lg1.012≈15.28.所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.9．A10．(1)由题意，当燕子静止时，它的速度υ＝0，所以，0=5log2O10，解得：O＝10，则燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)由耗氧量O＝80得：υ=5log28010=5log28=15(m/s).11．C 12．C【当堂检测】1．y＝a4x(x∉N*)2．y＝(0.9576)x 1003．(1)由题意可得y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x=−1100x2+(a100−140100)x+a，因为a−x≥34a，所以x≤14a.即x的取值范围是(0，a4]中的自然数.(2)因为y=−1100[x−(a2−70)]2+1100(a2−70)2+a，且140＜a≤280，所以当a为偶数时，x=a2−70，y取最大值.当a为奇数时，x=a−12−70，y取最大值.(因为尽可能少裁人，所以舍去x=a+12−70.)答：当员工人数为偶数时，裁员(a2−70)人，才能获得最大的经济效益，当员工人数为奇数时，裁员(a−12−70)人，才能获得最大的经济效益.4．设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有{f(1)=a+b+c=1，f(2)=4a+2b+c=1.2，f(3)=9a+3b+c=1.3，解得{a=−0.05，b=0.35，c=0.7，所以f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.①设y2＝g(x)＝mn x＋p则有{g(1)=mn+p=1，g(2)=mn2+p=1.2，g(3)=mn3+p=1.3，解得{m=−0.8，n=0.5，p=1.4，所以g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝135.②比较①，②知，g(4)＝1.35更接近4月份的实际产量1.37万件.故选择y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模型较好.。
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§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）
一、教学目标
1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。
2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。
3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。
二、教学重点、难点：
重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
三、学法与教学用具
1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。
2、教学用具：多媒体
四、教学设想
（一）创设情景，揭示课题
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。
本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。
（二）尝试实践探求新知
例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表
（身高：cm；体重：kg）
身高60 70 80 90 100 110
** ** ** ** ** ** 体重
身高120 130 140 150 160 170
** ** ** ** ** ** 体重
1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？
探索以下问题：
1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；
2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？
3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系比较合适？
4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？
本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.
根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.
例2. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：
时间（S ） 60 120 180 240 300 温度（℃） **
**
**
**
**
时间（S ） 360 420 480 540 600 温度（℃）
**
**
**
**
**
1）描点画出水温随时间变化的图象；
2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y （℃）关于时间()x s 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？
本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.
课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？
探索过程如下：
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型：2
()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12
()(0);h x ax b a =+≠
指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.
（三）归纳小结，巩固提高.
通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：
符合 实际
不符合实际
（四）布置作业：
作业：教材P 107习题32（B 组）第1、2题：
画散点图
收集数据
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解决实际问题在
检验。