数学的均衡(对称)

数学的均衡

——对称

做一个实验：把你的两只手正放在桌面上。想象一条垂直平分两大拇指之间连线的直线，它就是对称轴。如果把一面镜子放在这条直线上并倾向左手一点，那么它将在与你右手相应的位置形成一个映像。这就是轴对称。

不论是天然的事物还是人工的产品，一个最突出、最直观的几何性质就是对称性。在现实世界中，最明显的是人体的左右对称性。对称的概念出现在自然、艺术、科学、建筑乃至诗歌中。事实上，它能够在我们生活的几乎所有方面找到。有一些东西中它似乎是固有的，以致于我们常常视其为自然。正如大数学家外尔所说“对称性和美紧密相连”。对称性在数学给出严密的定义之前，多少还是模糊的，由于对称性与美联系在一起，往往与匀称也就是比例均匀、一个整体各部分配置平衡以及和谐、优美、适中及不走极端有些相似。但是物体的匀称与空间的几何图形的对称性有一定距离。

一只蝴蝶的体态、一片叶子的形状、人类的身体、一个完整的圆以及蜂窝结构等等，一看之下给人的感觉是完全均衡的，这多半要归因于它们的对称。有时一种形式上的差异，也会成为特殊的吸引人的品质。当我们看到一种图案或雕塑时，无须过分留意即能判定喜欢它或不喜欢它，而它的对称或差缺，大概是影响我们感觉的重要因素。

数学中也充满对称。从数学观点看，如果能找到一条直线，它分一个对象

为两个全等的部分，或者沿这条直线折叠，能使其中的一部分与另一部分完全重合，那么这一对象就被认为是关于这条直线为轴对称。在几何中，具有这种性质的图形很多，例如，线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等等。在代数中，一个函数的反函数能够由改变X和Y坐标的位置来实现。用相应的方程可以绘制出一个函数和它反函数的图象，它们是关于直线y=x对称的。类似地，如果能找到一个点，使一个对象绕着这个点转动180°，还能和原来重合，那么这一对象就被认为是关于这个点中心对称。在几何中，具有这种性质的图形也很多。如线段、平行四边形、圆等等。

从数学上看真正的对称性是与某种变换或某种操作下的不变性联系在一起的。例如，一个图形具有左右（轴）对称性，那么它在反射的操作下仍然重合到它本身。一个圆、一个球，在转动之下，我们仍然得到同一的圆和球，这就是转动（中心）对称性。这两种对称性，我们看起来还是比较直观的。还有一种对称性，看起来就不那么直观了，那就是平移对称性。三角形的所有性质几乎都是与它在空间里的位置无关的，也就是说，无论我们把三角形移到哪里，它的性质都保持。这么看，平移不变性是一种抽象的对称性，但它也有一种具体的背景，即三维的晶体和二维的壁纸，显然具有直观的对称性。

对于具有对称性的几何图形，数学研究的问题是什么呢？主要有以下三个：1．两种对称图形，它们的对称性本质上是相同还是不同的？

2．对于各种对称性加以分类。

3．证明这种分类是完备的，也就是具有某种对称性的图形必定属于其中之一种。

亲爱的读者，你愿意研究这些问题吗？

【附录】

一、【《算经十书》简介】

唐代初年，数学家李淳风奉诏校注了十部算书，作为国子监明算科的教材。这十部算书是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《缀术》、《五经算术》和《缉古算经》，统称《算经十书》，其中《缀术》在公元1084年即已失传。1213年发现一本署名东汉徐岳著的《数术记遗》，就将它代替《缀术》，仍然凑成十部。

《周髀算经》、《九章算术》、《张邱建算经》、《海岛算经》、《孙子算经》的介绍可在本书中查找，下面简单介绍其它几部算经。

《缀术》是祖冲之的主要著作，也是《算经十书》中内容最艰深的数学著作。据《隋书·律历志》记载：“（祖冲之）所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”祖冲之虽然一生担任过各种大小官职，但是他一直把科学研究作为自己的事业。祖冲之的儿子继承父业，进一步钻研，使《缀术》得以补充完善，特别是创造性地发现了球体积公式，完成了刘徽和祖冲之的未竟事业。祖冲之父子的研究成果大概都保存在他们父子合著的《缀术》之中，由于该书失传，现在只能从唐代学者李淳风为《九章算术》的“开立圆术”所

作的注中了解其大概情形。

《缀术》的失传，是中国数学史上的一个重大损失。

《缉古算经》的作者是唐初历算家王孝通。据《旧唐书》记载，王孝通在《上缉古算术表》中说：“臣长自闾阎，少小学算。镌磨愚钝，迄将皓首，钻寻秘奥，曲尽无遗。代乏知音，竟成寡和。伏蒙圣朝收拾，用臣为太史丞。…，遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术。名曰‘缉古’。请访能算之人考论得失，如有排其一字，臣欲谢以千金。”全书除第1题是关于历法的问题外，其余各题都是关于土木工程、仓库容积以及勾股定理应用的问题。且这些问题都是前人没有研究或者前人虽已研究，但未能解决的问题，所以表现了很高的独创性。

《缉古算经》共列20个问题，大部分都归结为一个三次方程求解。创造了布列三次方程解应用问题，并运用开立方法解三次方程的方法。这是一个辉煌成就，不仅是现存中国典籍中关于解三次方程的最早记述，在世界数学史上也是关于三次方程数值解法及其应用的最古老的珍贵文献。

《缉古算经》原文不易看懂，且题中数据较多，计算较繁，是现存《算经十书》中最难学的一本。

《夏侯阳算经》的著作年代应在《张邱建算经》之前，但不幸在宋初已经失传。现传本《夏侯阳算经》很可能是唐代宗时期（763年～779年）写成的韩延算术。其中有很多乘除速算的例题，并记载了许多唐代的制度、法令和官吏名称等，有一定的历史价值，但数学上的学术价值不大。

《数术记遗》一卷，卷首题“汉徐岳撰，北周汉中郡守前司马臣甄鸾注”。但是书中引用佛经词汇等不符合东汉末年的史实，因此后人疑为甄鸾本人依托伪造又自己注释的作品。《数术记遗》列有十四种不同的算法。第一种“积算”即一般用的算法，最后一种“计数”指心算。其它12种包括太乙算、两仪算、三方算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算和珠算。这些算法中，或用彩色珠子的位置表示各位数字，或用少数特制的筹，由筹的方向表示各位数字。甄鸾意在化简筹算方法，但效果并不理想。关于“珠算”倒是值得一提的，这里的“珠算”很可能是元明时代盛行的珠算的先驱。

《五曹算经》是一部为地方行政官员编写的应用算术书。全书五卷，标题分别为田曹、兵曹、集曹、仓曹和金曹。此算经是甄鸾所撰注。

《五经算术》二卷，是将《尚书》、《诗经》、《周易》、《周官》、《礼记》和《论语》等经籍古注中有关数学计算的叙述加以解释。也是甄鸾所撰注。一般认为，《五曹算经》和《五经算术》这两本书对数学的贡献不大。

二、【李淳风简介】

李淳风是七世纪时唐朝的天文学家、历算家和史学家，颇有才学，为唐太宗所用，高宗时官至朝议大夫兼太史令。他参与了《隋书·律历志》的编纂，因修史有功被封为昌乐县男。李淳风奉诏领导注释古代的十部算书为国子监明算科教材，后世称为“算经十书”。