必修四培优讲义-教师版

第一章 三角函数

1．任意角：⎪⎩

⎪⎨

⎧.成的角零角：不作任何旋转形转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；

正角：按逆时针方向旋任意角

2．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z ； 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z ；

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z ； 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z ； 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z ；

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z ； 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z .

3.由角α所在象限判断

α所在象限：

4．与角α终边相同的角的集合为

{}360,k k ββα=⋅+∈Z

5．长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6．半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是

l r

α=

．

7．弧度制与角度制的换算公式：︒=180π，2360π=，1180

π

=

，180157.3π⎛⎫

=≈

⎪⎝⎭

．

8．若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则

(1)弧长公式：l

r α

==

180

r

n π(n 为圆心角的角度数)；(2) 扇形的周长：2C r l =+；

P x

y

A

O

M T (3)扇形的面积公式：211

22

S

lr r α==． 9.特殊角的三角函数值： 度 ︒0

︒30 ︒45 ︒60

︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180 ︒270 ︒360

弧度

6

π 4

π 3

π 2

3

2π

4

3π

6

5π

π

2

3π

π

2

αsin

2

1 22

2

3 1

2

3 2

2

-1

αcos

1

23 2

2

21- 22

-

2

3-

-1 0 1

αtan

3

3 1 3

不存在

3-

-1

3

3

-

不存在

10.设α是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是

(),x y ，它与原点的距离是

()

220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠

y

x

=αcot ； x r =αsec ；y r =αcsc .

11.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

12．三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

13.三角函数间的基本关系：

(1)平方关系： 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα (2)商数关系： αααtan cos sin = αα

αcot sin cos =

(3)乘积关系: 1cot tan =⋅αα 1sin csc =α⋅α 1cos sec =α⋅α

2

12

1α正切、余切

余弦、正割

-----+++++

-+

正弦、余割

o o o x y

x y

x

y

r

o

x

y

a 的终边

P （x,y )(3) 若 o

π

2

,则sinx

(1)

|sinx|>|cosx|

|cosx|>|sinx|

|cosx|>|sinx|

|sinx|>|cosx|

sinx>cosx

cosx>sinx

16. 几个重要结论:O

O

x

y

x

y

14.三角函数的诱导公式：公式一~公式八：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 1、公式一~公式四：记忆口诀：函数名称不变，符号看象限． 诱导公式一： ααπsin )2(sin =+k ，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z

诱导公式二：ααπ

sin )(sin -=+，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． 诱导公式三：ααsin )(sin -=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．

诱导公式四：ααπ

sin )(sin =-，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

2、公式五~公式八：记忆口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 诱导公式五：ααπ

cos )2sin(

=-，cos sin 2παα⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

．

诱导公式六：ααπ

cos )2sin(

=+，cos sin 2παα⎛⎫

+=- ⎪⎝⎭

． 诱导公式七： ααπcos )23sin(

-=+，ααπ

sin )23cos(=+. 诱导公式八： ααπcos )23sin(-=-，ααπ

sin )-2

3cos(-=. 15．(1)的图象上所有点向左（右）平移

ϕ

个单位长度，得到函数

()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来

的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

(2)函数

sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1ω

倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

ϕω

个单位长度，得到函数

()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来

的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．

16．函数

()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：||2ωπ

=

T

；③频率：12f ωπ

=

=T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．

函数

()sin y x ωϕ=A ++B ，

当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，