《不等式与不等式组》经典例题分析

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不等式与不等式组经典例题分析

【例1】满足的x的值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于。

【分析】要求出那些整数之和,必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解,因此我们应该先解不等式.

解:原不等式去分母,得

3(2+x)≥2(2x-1),解得:x≤8.

满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,±7,±8,-9,-10,-11.

这些整数的和为(-9)+(-10)+(-11)=-30.

【例2】如果关于x的一元一次方程3(x+4)=2a+5的解大于关于x的方程的解,那么().

【分析】分别解出关于x的两个方程的解(两个解都是关于a的式子),再令第一个方程的解大于第二个方程的解,就可以求出问题的答案.

解:关于x的方程3(x+4)=2a+5的解为

关于x的方程的解为

由题意得,解得.因此选D.

【例3】如果,2+c>2,那么().

A. a-c>a+c

B. c-a>c+a

C. ac>-ac

D. 3a>2a

【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式,求得它们的解集后,便可以找到正确的答案.

解: 由

所以a<0.

由2+c>2,得c>0,答案:B

【例4】四个连续整数的和为S,S满足不等式,这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .

【分析】由于四个数是连续整数,我们欲求最大值与最小值,故只须知四数之一就行了,由它们的和满足的不等式就可以求出.

解:设四个连续整数为m-1,m,m+1,m+2,它们的和为S=4m+2.

由<19,

解得7

由于m 为整数,所以m =8,则四个连续整数为7,8,9,10,因此最大数与最小数的平方的差为102-72=51.

由于绝对值的定义,含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,去掉绝对值符号,转化为不含绝对值号的代数式进行运算,即含有绝对值号的不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.

【例5】解不等式 |x-5|-|2x+3|<1.

【分析】 关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论:

解:(1)当x ≤时,原不等式化为-(x-5)-[-(2x+3)]<1,

解得x<-7,结合x ≤

,故x<-7是原不等式的解; (2)当

<x ≤5时,原不等式化为-(x-5)-(2x+3)<1, 解得是原不等式的解;

(3)当x >5时,原不等式化为:x-5-(2x+3)<1,

解得x >-9,结合x >5,故x >5是原不等式的解.

综合(1),(2),(3)可知,是原不等式的解.

【例6】关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+b x a a b x 23

223的解集为25≤≤-x ,求a 、b 的值。 【分析】解此类不等式,是用构造方程法:先解出不等式组的解集,再根据已知条件列成方程组,解出结果。

解:解原不等式组的解为2a-3b ≤x ≤2b-2/3a

由已知条件2

5≤≤-x 得方程组2a-3b=-5 2b-2/3a=2

解得:a=-2,b=1/3

【例7】若不等式⎩

⎨⎧>+<1-2m x 1m x 无解,则m 的取值范围是 . 【分析】解无解类不等式组,常用反解法:

解:由原不等式组得2m-1

如:关于x 的不等式组⎩⎨⎧>--≥-0

125a x x 无解,求a 的取值范围 。 答案:a≥3

【例8】若不等式组⎩

⎨⎧<<+<<-5321x a x a 的解集为23+<

【例9】不等式组⎩

⎨⎧+>+<+1159m x x x 的解集是x >2,则m 的取值范围是 解:解原不等式组得:x>2

x>m+1

由不等式组解集是x>2,根据大大取大的法则得:m+1≦2,解得:m≤1

【例10】不等式组x +9﹥5x+1

x ﹤m+1 的解集是x ﹤2,则m 的取值范围是

解:解原不等式组得:x ﹤2

x ﹤m+1

由不等式组解集为x ﹤2,根据同小取小的法则得:m+1﹥2,所以m ﹥1

【例11】不等式组x +9﹤5x+1

x ﹤m+1 的解集是x >2,则m 的取值范围是

解:解原不等式组得:x>2

x ﹤m+1

由不等式组解集为x>2所以m 的范围为空集,无解。

注意:一个不等式组中有解的情况下,两个不等式都是大大、小小都有解,一大一小时,取值范围为空集(如例11形式)。

【例12】 如果不等式组 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a ,b )共有多少个?请说明理由。

分析解答:把原不等式组化为最简形式,得

由于不等式组有解,解集必为

又由于它的整数解仅为1,2,3,所以

从而

于是,整数a 取1~9共9个整数,整数b 取25~32共8个整数。

故有序数对(a ,b )共有9×8即72对。

【例13】若不等式组有五个整数解,则a=_________ 分析解答:把原不等式化为最简形式,得

由于不等式组有解,解集必有

又它有五个整数解,这五个整数解只能是-3,-2,-1,0,1

故a的取值范围是

【例14】若不等式组的解集为,则的值为_______。

分析解答:把原不等式组化为最简形式,得

由于,所以

于是

解得a=1,b=-2

【例15】已知,且﹣1<x﹣y<0,则k的取值范围为。

解:第二个方程减去第一个方程得到x﹣y=1﹣2k,

根据﹣1<x﹣y<0得到:﹣1<1﹣2k<0

即解得<k<1

k的取值范围为<k<1.

【例16】如果不等式组的解集是x>4,则n的取值范围是。

解:由x+7<3x+7移项整理得,2x>0,∴x>0,

∵不等式组的解集是x>4,

∴n=4,

【例17】若不等式组有解,则m的取值范围是。

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