高斯小学奥数四年级上册含答案第11讲_整数数列计算

「分析」 算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找 到计算的捷径呢？
例题 6
计算： 100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 ．
「分析」 算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？
课堂内外
平方和公式
计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”： 12 22 32 L n2 n n 1 2n 1 6
9. 练习 3
答案： 66 简答： 原式 11 10 11 10 9 8 9 8 L
11 10 9 8 L 2 1 66
3 2 32 1
10. 练习 4 答案： 10； 6 简答： （1） 6 5 4 2 6 5 4 7 4 2 7 4 10 ； （2） 6 5 4 6 2 5 4 6 6 2 6 6 6 ．
99 2 97 2 L 3 2 2 1 2 (99 1) 50 2 5000 ．
7. 练习 1 答案： 50 简答：原式共有 100 项，两个一组，共有 50 组，每一组都是 1，所以这个算式的结果是 50 1 50 ．
8. 练习 2 答案： 96 简答：原式 (95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有 48 个， 所以共分了 12 组，原式 12 8 96 ．
15. 作业 5 答案： 135 简答：三项为一组，共有 10 组： 原式 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 0 3 6 L 27 可以看成首项为 3，末项为 27，公差为 3 的等差数列，和为 3+27 9 2=135 ．
第十一讲 整数数列计算
1. 例题 1 答案： 50 详解：原式共有 50 项，两个一组， 共有 25 组，每一组都是 2，所以这个算式的结果是 25 2 50 ．
2. 例题 2 答案： 51
详解：
原式 (50 49 48 47) (46 45 44 43) L (6 5 4 3) 2 1 ， 3~50 共 48 个数，所以一共分了 12 组，原式 12 4 2 1 51 ． 3. 例题 3 答案：（1）332000；（2） 2499；（ 3）210
练习 3
计算： 112 102 92 82 72 62 52 42 32 22 12 ．
本讲一开始的漫画中， 幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的 和 是我们新 定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过．在这类问题中， 新引入的运算符号代表新的含义， 而且在不同的题目中， 符号代表的含义不一样．
11. 作业 1 答案： 50 简 答 ： 原 式 = 99 97 95 93 L 3 1 ， 从 1 至 99 ， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 共 有 99 1 2 1 50 项，每两项为一组，共有 25 组，和 = 2 25 50 ．
12. 作业 2 答案： 1000；2600 简答：（ 1）原式 = 55 45 （2）原式 = 63 37
详解：
（1）原式 （666 334）（666-334) 332000； （2）原式 =502 12 2500 1 2499 ；
（3）原式 20 19 20 19 18 17 18 17 L 20 19 18 17 L 2 1 210 ．
4. 例题 4 答案： 28
详解：先算括号里面的： 5@3 (5 1) (3 2) 6 ，
平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识．
平方数列求和： 12 22 32 L n2 1 2 1 2 3 1 3 4 1 L n n 1 1
=1 2 2 3 3 4 L n n 1 1 2 3 L n
其中，等差数列
1 2 3 L n n n 1 2 ； ………………………………………………①
例题 4
规定运算“ @”为： a@b a 1 b 2 ．计算： 6@ 5@3 ．
「分析」 算式中涉及到两次“ @”运算，那么应该先算哪一个呢？
练习 4 规定运算 为： a b 2 a b ，计算：（ 1） 6 5 4 ；（ 2） 6 5 4 ．
例题 5
计算 ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7 98 99 ．
例题 1
计算： 100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 ．
「分析」 算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径呢？
练习 1
计算： 100 99 98 97 96 95 L
2 1．
例题 2
计算： 50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 ．
剩下的部分 1 2 2 3 3 4 L n n 1 1 2 3 L n 则是最基本的整数裂项，
我们进行如下操作：
312 12 4 012
32 3 2 3 4 12 3
33 4 345 23 4
…………
3n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1
相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有：
21 21
6@(5@3) 6@6 (6 1) (6 2) 28 ． 5. 例题 5
答案： 1584
详解：
原式 (1 2 3) (4 5 6) L (97 98 99) 0 3 6 L 96 (3 96) 32 2 1584 ．
6. 例题 6 答案： 5000
详解： 原式 =(100 99 99 98) (98 97 97 96) L (4 3 3 2) 2 1
第十一讲 整数数列计算
在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识， 如等差数列 2，5， 8，11，14，17，? ．在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数 2 为首项， 最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差 3， 3 称为公 差．
你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗？ 第 m 项和第 n 项相差 m n 个公差（ m> n）； 项数公式： 项数 末项 首项 公差 1 ； 求和公式： 和 首项 末项 项数 2 ； 项数为奇数时有： 和 中间项 项数 ． 在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想．事 实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中 也能够发挥作用．
3 1 2 2 3 3 4 L n n 1 =n n 1 n 2 ， 所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 …………………②
② 减 ①，得平方和公式：
2
2
2
1 23L
2
n
=
n
n1
n2
3n n1 2
=n n 1 n 2 3 1 2
= n n 1 2n 4 6 3 6 = n n 1 2n 1 6
「分析」 算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计 算的捷径呢？最后一组是否包含 4、3、2、1 这 4 个数呢？
练习 2
计算： 95 93 91 89 87 85 83 81 L
7 5 3 1．
除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种． 乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6 简写为 6 5 ．乘方 是乘法的简便运算， 例如我们可以把 6 6 6 6 6 简写为 65，读作“6 的 5 次方”．再 举几个例子： 10 10 可以记为 102 ，读作“ 10 的 2 次方”或“ 10 的平方”；10 10 10 可以记为 103 ，读作“10 的 3 次方”或“10 的立方”；10 10 10 10 可以记为 104 ， 读作“ 10 的 4 次方”．对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如 a2 a a ， b4 b b b b 等． 已知平方差公式： a2 b2 a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法 分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试） ． 可以用如下一句话来解释平方差公式： 两个数的平方差等于它们的和乘以差， 简记为“平方差等于和乘差” ．
55 45 100 10 1000 ； 63 37 100 26 2600 ．
13. 作业 3 答案： 5050 简答：平方差公式，原式 = 100 99 98 97 L 3 2 1 ，和为 5050．
14. 作业 4 答案： 52
简答：根据运算规定： 4 2 4 2 2 10 ， 5 4 2 5 10 5 10 2 52 ．
例题 3
已知平方差公式： a2 b2 a b 计算：（ 1） 666 2 3342 ；
（ 2） 50 1 50 1 ；
a b．
（ 3） 2
2
2
2
2
2
2
2
20 19 18 17 16 15 L 2 1 ．
「分析」
对于
2
20
2
19
我们可以写为
20 19
20 19 20 19 ，是不是整个算式中的数
都可以这样转化呢？
作业
1. 计算： 99 97 95 93 91 89 L 3 1 ．
2.
计算：（
1）
2
55
2
45
；（
2）
2
63
2
37
．
3. 计算： 1002 992 982 972 962 952 L 22 12 ．
4. 规定运算“ ?”为： a b a b +2 ．计算 5 4 2 ．
5． 计算： 1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．