欧拉图和哈密尔顿图-精
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图论讲义第4章-欧拉图与hamilton图
[1] E. Lucas，Récréations Mathématiques IV, Paris, 1921.
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
Fleury 算法的步骤如下：
输入：欧拉图 G 输出：G 的欧拉闭迹。
step1. 任取 v0 ∈V (G) ，令 w0 := v0 ， i := 0 。 step2. 设迹 wi = v0e1v1 eivi 已取定。从 E \ {e1, e2 , , ei }中选取一条边 ei+1 ，使得 （1） ei+1 和 vi 相关联； （2） ei+1 不选 Gi = G \ {e1, e2 , , ei }的割边，除非没有别的选择。
个顶点都是偶度顶点。从而 G +e 有 Euler 闭迹。故 G 有 Euler 迹。证毕。
一个图 G 如果有一条欧拉迹或欧拉闭迹，则我们可以沿着欧拉迹或欧拉闭迹连续而不 重复地把 G 的边画完。因此存在欧拉迹或欧拉闭迹的图通常称为可一笔画的图，或者说它 可一笔画成。如果图 G 可分解为两条迹或闭迹的并，则 G 的边可用两笔不重复地画完。同 样地，如果图 G 可分解为 k 条迹或闭迹的并，则 G 可 k 笔画成。
获得 2k 个同类 u−v 迹。这种分类构成一个等价关系，因此形成了对有重复点的 u−v 迹集合
的划分。划分出的每一个等价类有偶数个条 u−v 路。这说明有重复点的 u−v 迹总共有偶数条。
有以上两方面知， G′ = G − e 中共有奇数条顶点不重复的 u−v 迹（即 u−v 路），因此，
G 中共有奇数个含有边 e 的圈。
step3. 当 step2 不能再执行时，停止。
定理 4.1.3 若 G 是 Euler 图，则 Fleury 算法终止时得到的是 G 的 Euler 闭迹。
欧拉图和哈密尔顿图
（b）中去掉结点u1和u2以后，p（G–{ u1，u2}）=3， 由此 可以判定，这两个图都不是哈密尔顿图。
用正十二面体代表地球。游戏题的内容是：沿着正十二面体的棱寻
找一条旅行路线，通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是 Hamilton回路问题。
欧拉回路是指不重复地走过所有路 径的回路，而哈密尔顿环是指不重复地
走过所有的点，并且最后还能回到起点的回 路
哈密尔顿图
定义：通过图G的每个结点一次且仅一次的环称为哈密尔顿环。 具有哈密尔顿环的图称为哈密尔顿图。通过图G的每个结点一次 且仅一次的开路称为哈密尔顿路。具有哈密尔顿路的图称为半哈 密尔顿图。
解一
a
a：说英语； b：说英语或西班牙语； C: 说英语,意大利语和俄语； d：说日语和西班牙语 e：说德语和意大利语； f：说法语、日语和俄语； g：说法语和德语.
b
d
c
e g
f
解 设7个人为7个结点, 将两个懂同一语言的人之间连一条边 (即他们能直接交谈), 这样就得到一个简单图G, 问题就转化为 G是否连通. 如图所示, 因为G的任意两个结点是连通的, 所以 G是连通图. 因此, 上述7个人中任意两个人能交谈.
欧拉图算法
int main() { memset(g,0,sizeof(g)); cin >> n >> e; for (i = 1; i <= e; i++) { cin >> x >> y; g[y][x] = g[x][y] = 1; du[x]++; //统计每个点的度 du[y]++; } start = 1; // 如果有奇点，就从奇点开始寻找，这样找到的就是 for (i = 1; i <= n; i++) // 欧拉路。没有奇点就从任意点开始， if (du[i]%2 == 1) // 这样找到的就是欧拉回路。(因为每一个点都是偶点) start = i; circuitpos = 0; find_circuit(start); for (i = 1; i <= circuitpos; i++) cout << circuit[i] << ' '; cout << endl; return 0; }
二部图欧拉图哈密尔顿图平面图教学课件
网络设计：用于设计网络拓扑结构，如路由器、交换机等设备的连接
电路设计：用于设计电路板布局，如PCB板、集成电路等
地图绘制：用于绘制地图，如城市地图、交通地图等
建筑设计：用于设计建筑布局，如房屋、办公楼等
物流规划：用于规划物流网络，如仓库、配送中心等
城市规划：用于规划城市布局，如道路、公园等
汇报人：
哈密尔顿图是平面图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图定义：每个顶点的度数等于图中的边数
哈密尔顿图的性质：哈密尔顿图是欧拉图
哈密尔顿图的判定方法：通过计算每个顶点的度数来判断
哈密尔顿图的应用：在图论、计算机科学等领域有广泛应用
PART FIVE
平面图是一种特殊的图，其顶点和边都在同一个平面上
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度数都是2或0。
哈密尔顿图是一种特殊的欧拉图，其每个顶点的度数都是2。
哈密尔顿图是一种特殊的平面图，其顶点和边都可以在平面上表示出来。
哈密尔顿图是一种特殊的图，其每个顶点的度，即每个顶点的度数都是2
哈密尔顿图是二部图的一种特殊情况，即每个顶点的度数都是2
在数学中，哈密尔顿图可以用于研究图的性质，如图的连通性、图的色数等。
哈密尔顿图在图论中具有重要的应用价值，特别是在网络流、电路设计等领域。
在计算机科学中，哈密尔顿图可以用于解决一些NP-hard问题，如旅行商问题、背包问题等。
在物理学中，哈密尔顿图可以用于描述量子系统的状态空间，从而进行量子计算和量子信息处理。
汇报人：
,
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
二部图是一种特殊的图，由两个部分组成，每个部分包含一组节点每个节点只能与另一部分的节点相连，不能与同一部分的节点相连二部图的节点可以分为两个集合，每个集合中的节点只能与另一个集合中的节点相连二部图的边可以分为两种类型，一种是连接两个不同集合的边，另一种是连接同一集合中的边二部图的性质包括：每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边数，每个节点度数之和等于边
第十五章欧拉图与哈密顿图
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是 连通的且为若干个边不重的圈的并.
本定理的证明可用归纳法. 例15.1 设G是非平凡的且非环的欧拉图，证明：
（1）λ(G)≥2. （2）对于G中任意两个不同顶点u, v，都存在 简单回路C含 u 和 v.
证 （1）由定理15.5可知，e E(G), 存在圈C， e 在C中，因而 p(G - e) p(G), 故 e 不是桥。 由 e 的任意性λ(G)≥2，即G是2边-连通图。
在这里做个规定: 平凡图是欧拉图.
例1 下列各图中 是否有欧拉回路、欧位通路？ 图15.1
解：e1 e2 e3 e4 e5 为(1)中的欧拉回路，所以(1)图为欧拉图. e1 e2 e3 e4 e5 为(2)中的一条欧拉通路，但图中不存在 欧拉回路（为什么？），所以(2)为半欧拉图。
（3）中既没有欧拉回路也没有欧拉通路(为什么？)， 所以(3)不是欧拉图，也不是半欧拉图。
设(2)中图为G2，则 G2 V1,V2 , E , 其中 V1 {a, g,h,i,c},V2 {b,e, f , j,k,d }, 易知， p(G2 -V1) |V2 | 6 |V1 | 5,由定理15.6可知， G2不是哈密顿图，但G2是半哈密顿图，其实， baegjckhfid 为G2中一条哈密顿通路.
图示：
(a)
“周游世界” 智力题
(b)
哈密顿图
一、哈密顿通路、哈密顿回路、 哈密顿图、 半哈密顿图的定义
定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有 顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路；
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密 顿回路；
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图； 具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈 密顿图.
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
第9章 欧拉图和哈密顿图
10
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
9
定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
v1
v2
v3
v8
v4
v1 v2 v2 v3
v8
v4
v8
v4
v1
v2
v3
v2
v8 v8
v4 v4
v6
v7
v6
v5
（a）
（b） v7 v6 v6 v5
v7 （vc6 ） v5
定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
11
❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
第四篇 图 论
1
第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
2
9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
9
定理9.1.2 设G=<V, E>是有向弱连通图，则 （1）当且仅当G的每个顶点的入度等于出度时， G是欧拉图。 （2）当且仅当G除两个顶点外，其它顶点的入度 等于出度，而除外的两个顶点，一个的入度比出度 多1，另一个的入度比出度少1时，G有欧拉通路。
定理9.1.1和定理9.1.2提供了欧拉通路与欧拉回 路的十分简便的判别准则。
v1
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v1 v2 v2 v3
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（a）
（b） v7 v6 v6 v5
v7 （vc6 ） v5
定理9.1.3 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连 通的且为若干个边不重的圈的并。
11
❖ 9.1.3 欧拉图的难点 对于欧拉图，需要大家注意以下几点： 1．仅有欧拉通路而无欧拉回路的图不是欧拉图。 2. 图中是否存在欧拉通路、欧拉回路的判定非常简单，
第四篇 图 论
1
第九章 欧拉图和哈密顿图
❖ 9.1 欧拉图 ❖ 9.2 哈密顿图
2
9.1 欧拉图
9.1.1 欧拉图的引入和定义 18世纪中叶，在东普鲁士哥尼斯堡城，有一条
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
《离散数学》 第八章 欧拉图与哈密尔顿图
1 10 1
8.1 欧拉图
8.1.4 欧拉图的应用
欧拉图的应用，计算机旋转鼓轮的设计原理。
现在构造一个有向图G，G有8个顶点，每个顶点分别表示 000～111的一个二进制数。设α i∈{0，1}，从顶点α 1α 2α 3 引出两条有向边，其终点分别为α 2α 30和α 2α 31，这两条边 分别为α 1α 2α 30以及α 1α 2α 31，按照此种方法，对于八个 顶点的有向图共有16条边，在这个图的任意一条通路中，其 邻接的边必是α iα jα kα t和α jα kα tα s的形式，即前一条有 向边的后3位与后一条有向边的前3位相同。因为图中的16条 边被记成不同的4位二进制信息，即对应于图中的一条欧拉 回路。
推论 无向连通图中顶点与间存在欧拉通路，当且仅当中 与的度数为奇数，而其他顶点的度数为偶数。
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
b
a
d
c
图8.1-2
v1
v2
v1
v3
v4
v5
v6
v2
(a)
图8.1-3
v4
v3 (b)
8.1 欧拉图
8.1.2 欧拉图的判定
定理8.1.3 有向图是欧拉图，当且仅当是强连通的，且 中每个顶点的入度都等于出度。
8.2 哈密尔顿图
8.2.1 哈密尔顿图
在图8.2-2中，（a）、（b）中存在哈密尔顿回路，是哈密 尔顿图，（c）中存在哈密尔顿通路，但不存在哈密尔顿回 路，是半哈密尔顿图，（d）中既无哈密尔顿回路，也无哈 密尔顿通路，不是哈密尔顿图。
（ a）
（ b）
（ c）
（ d）
8.2 哈密尔顿图
8.2.2 哈密尔顿图的判定
欧拉图及哈密顿
哈密顿路径是指一条遍历图的所有顶 点的路径，这条路径的起点和终点是 同一点，但路径上的边可以重复。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
哈密顿图的性质
哈密顿图具有连通性，即任意两 个顶点之间都存在一条路径。
哈密顿图的顶点数必须大于等于 3，因为至少需要3个顶点才能 形成一条遍历所有顶点的路径。
哈密顿图的边数必须为奇数，因 为只有奇数条边才能形成一条闭
欧拉图及哈密顿
• 欧拉图 • 哈密顿图 • 欧拉图与哈密顿图的应用 • 欧拉回路与哈密顿回路 • 欧拉路径与哈密顿路径
目录
01
欧拉图
欧拉图的定义
总结词
欧拉图是指一个图中存在一条路径，这条路径可以遍历图中的每条边且每条边 只遍历一次。
详细描述
欧拉图是由数学家欧拉提出的一种特殊的图，它满足特定的连通性质。在欧拉 图中，存在一条路径，这条路径从图的一个顶点出发，经过每条边一次且仅一 次，最后回到起始顶点。
互作用网络的研究。
04
欧拉回路与哈密顿回路
欧拉回路的概念与性质
概念
欧拉回路是指一个图形中，从一点出 发，沿着一条路径，可以回到起始点 的路径。
性质
欧拉回路必须是连续的，不能中断， 也不能重复经过同一条边。此外，欧 拉回路必须是闭合的，起始点和终点 必须是同一点。
哈密顿回路的概念与性质
概念
哈密顿回路是指一个图形中，存在一 条路径，该路径经过了图中的每一条 边且每条边只经过一次。
随机构造法
通过随机选择边和顶点，不断扩展图，直到满足哈密顿图的条件。这种方法需要大量的计 算和随机性，但可以用于构造大规模的哈密顿图。
03
欧拉图与哈密顿图的应用
欧拉图在计算机科学中的应用
算法设计
欧拉图理论是算法设计的重要基础，特别是在图算法和动态规划 中，用于解决诸如最短路径、最小生成树等问题。
图论课件第四章 欧拉图与哈密尔顿图
所以：解为：egjeijdghdbhcbafcg
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、算法证明
定理1 若G是欧拉图，则G中任意用Fleury算法作出的 迹都是G的欧拉环游。
证明：令Wn=v0e1v1…envn为由Fleury算法得到的一条 G中迹。
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
图论及其应用
应用数学学院
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第四章 欧拉图与哈密尔顿图
主要内容 一、欧拉图与中国邮路问题 二、哈密尔顿图 三、度极大非哈密尔顿图与TSP问题 四、超哈密尔顿图问题
“充分性”
若不然，设Q=(v, w)是G的一条不能扩充为G的欧拉环游 的最长迹，显然v = w,且Q包含了与v关联的所有边。即Q是 一条闭迹。
于是，G-v包含G-Q且G-Q的每个顶点度数为偶数.
于是，G-Q的非平凡分支是欧拉图，说明有圈，即G-v有 圈，这与条件矛盾.
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
欧拉图和哈密而顿图
15.1 欧拉图 欧拉(1707-1783)：瑞士著名的数学家。13岁进入 欧拉 ：瑞士著名的数学家。 岁进入 巴塞尔大学， 岁取得哲学硕士学位 岁取得哲学硕士学位。 巴塞尔大学，16岁取得哲学硕士学位。1736年， 年 他证明了欧拉定理， 他证明了欧拉定理，并解决了哥尼斯堡桥的问 从而成为图论的创始人。 题，从而成为图论的创始人。 定义15.1 通过图（无向图或有向图）中每一条边 通过图（无向图或有向图） 定义 一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧 拉通路。通过图（无向图或有向图） 拉通路。通过图（无向图或有向图）中每一条 边一次且仅一次行遍图中所有顶点的回路称为 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图， 欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，具 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。 有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
9
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
16
15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
15.2 哈密顿图
到目前为止， 到目前为止，还没有找到哈密尔顿通路存在的充 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 分必要条件。下面介绍一个必要定理。 定理15.6：设无向图 Ｇ＝＜Ｖ ， Ｅ＞ 是哈密尔顿 Ｇ＝＜Ｖ， 定理 ： 设无向图Ｇ＝＜Ｖ Ｅ＞是哈密尔顿 图，则对V的每个非空真子集 均成立： 则对 的每个非空真子集S均成立： 的每个非空真子集 均成立 w(G-S) ≤|S| 其中， 中的顶点数， 表示G删去 其中， |S| 是S中的顶点数， w(G-S)表示 删去 中的顶点数 表示 删去S 顶点集后得到的图的连通分图的个数。 顶点集后得到的图的连通分图的个数。
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15.欧拉图与哈密顿图 欧拉图与哈密顿图
例：用定理解决哥尼斯堡桥的问题
15.1 欧拉图
个结点为奇次数， 有４个结点为奇次数， ∴不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 不存在欧拉回路，也不存在欧拉路径。 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径， 故要从一点出发经过桥一次且仅一次的路径 ， 再回到出发点是不可能的。 再回到出发点是不可能的。
离散数学15 欧拉图与哈密顿图
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
定义（哈密顿通路和哈密顿回路） 经过图（有向图或无向图）每个顶点一次
且仅一次的通路称为哈密顿通路。 经过图每个结点一次且仅一次的回路（初
级回路）称为哈密顿回路。 定义（哈密顿图和半哈密顿图）
存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。 存在哈密顿通路但不存在哈密顿回路的图 称为半哈密顿图。 平凡图是哈密顿图。
由两判定定理，立即可知 （4）为欧拉图， （5）、（6）即不是欧拉图，也不是半欧拉图。
例15.2（P296） v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2
◼ Fleury算法
◼ （1）任取v0V(G)，令P0=v0。 ◼ （2）设Pi=v0e1v1e2…..eivi已经行遍，则按下面
判断所示两图是否为欧拉图、半欧拉图？
无向欧拉图与无向半欧拉图的判断方法
定理15.1（无向欧拉图的判定）无向图G是欧拉图当 且仅当G是连通图，且G中没有奇度顶点。
定理15.2（无向半欧拉图的判定）无向图G是半欧拉 图当且仅当G是连通图，且G中恰有两个奇度顶点。
（1）
（2）
（3）
有向欧拉图与有向半欧拉图的判断方法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）（2）（3）（4）为哈密顿图 （5）为半哈密顿图 （6）既不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
欧拉图和哈密顿图
例如，由定理可知，下图 (a)图为欧拉图，本图 既v成圈8 可圈画v6之v以在1并(看vc2)(成v中为3 圈v)清。4 vv晰1将5v起v2(6av见v)87分v，v1解8，将v成1v与42若个v圈3干圈vv42个画vv24边在，v6不(vb4v)8重v中5v2的v)之6，圈v并也4，的(可两v并6看个v7 不是(a)图特有性质，任何欧拉图都有这个性质。
尽管讨论哈密顿通路和哈密顿回路在形式上与欧
拉通路和欧拉回路非常相似，但遗憾的是到目前为止， 仍然没有找到一个合适的条件来作为判断哈密顿通路 或哈密顿回路存在的充要条件。不过，可以给出哈密 顿通路和哈密顿回路存在的充分条件或必要条件。
定理9.2.1设无向图G=<V, 的任意非空子集，则
E>是哈密顿图，V1是V
下面给出一些哈密顿图的充分条件。
定理9.2.2设G=<V, E>是具有n个节点的简单无向图，若
对任意的u, v∈V均有
deg(v) +deg(u) ≥n－1
则G中存在哈密顿通路。
容易看出，定理9.2.2中的条件对图中是否存在哈密顿路 是充分而不必要的。
如图9.2.6所示的六边形G，虽然任意两个节点度数之和 等于4<6-1(n=6)，但G中却显然有哈密顿路（实际上G是哈密 顿图）。
只要数一下图中节点的度数即可。
❖ 9.1.4 欧拉图的应用 一笔画问题 所谓“一笔画问题”就是画一个图形，笔不离纸，每条 边只画一次而不许重复地画完该图。“一笔画问题”本质上 就是一个无向图是否存在欧拉通路（回路）的问题。如果该 图为欧拉图，则能够一笔画完该图，并且笔又回到出发点； 如果该图只存在欧拉通路，则能够一笔画完该图，但笔回不 到出发点；如果该图中不存在欧拉通路，则不能一笔画完该 图。
第13节欧拉图与哈密顿图
18/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
19/25
集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
22/25
集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
集合与图论
哈密顿图的充分条件之一
若顶点vir-1,(r=2,3,...,k)与顶点vp相邻， 则G 有哈密顿圈v1v2...vi(r-1)vpvp-1...virv1.
因此vp至少与v1,v2,...,vp-1中的k个顶点不相邻. vp的度数为h，于是h≤p-1-k，从而k+h≤p-1， 因此k与h中至少有一个小于p/2，G 中有一个顶 点的度小于p/2.
集合与图论
欧拉图的判别定理
若G2中还有边，则同样的方式，G2中有圈Z3，如 此等等，最后必得到一个图Gn，Gn中无边. 于是我们得到了G中的n个圈Z1,Z2,...,Zn,，它们是两 两无公共边的，因此，G的每条边在且仅在其中的一个 圈上，于是G的边集被划分为n个圈. 由于G是连通的，所以每个圈Zi至少与其余的某个 圈有公共顶点，从而图G由一些边不重的相互之间有公 6/25 共顶点的圈构成.
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集合与图论
哈密顿图的充分条件之二
定理3 设G是有p(p≥3)个顶点的图，如果 对G的任意一对不相邻的顶点u和v，均有 degu+degv≥p， 则G是一个哈密顿图. 只需证明p(p≥3)个顶点的每个非哈密顿图中至少 有两个不相邻的顶点u和v，有degu+degv≤p-1即可. 刚才的证明中的v1，vp就满足这个性质.
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集合与图论
实 例
例4：某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7 人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在 同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？ 解 做无向图G=<V,E>, 其中 V={v| v为与会者}， E={{u,v} | u,vV且u与v有共同语言，且u v}. 易知G为无向图且vV, deg(v)4，于是，u,vV, 有 deg(u)+deg(v) 8，可知G为哈密顿图. 服务员在G中 找一条哈密顿圈C，按C中相邻关系安排座位即可.
大学离散数学欧拉图和哈密尔顿图
(a)
(b)
推论1:哈密尔顿图无割点.
2020/9/28
24
计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
例3：
▪ 证明下述各图不是哈密顿图。
2020/9/28
25
计算机科学学院 刘芳
15.2.3 Hamilton图的判定方法
推论2：
▪ 对二部图G＝＜ V1,V2,E＞
若| V1 |≠| V2 |，则一定不是H图。 证明：
2020/9/28
14
计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
例如：
2020/9/28
15
计算机科学学院 刘芳
15.1.4 中国邮路问题
判断条件
▪ 定理：
▪ 设L是图G的包含所有边的回路，则L具有最小长 度的充分必要条件是： ▪ 每条边最多重复一次； ▪ G的每个回路上，所有重复边的长度之和，不 超过该回路长度的一半。
2020/9/28
16
计算机科学学院 刘芳
15.2 Hamilton 图
15.2.1 问题引入 15.2.2 Hamilton图的定义 15.2.3 Hamilton图的判定方法 15.2.4 应用举例
2020/9/28
17
计算机科学学院 刘芳
15.2.1 问题引入
周游世界问题(W.Hamilton, 1859年)
▪ 可以用结点表示城市，城市间的交通路线用边表示，而 城市间的交通线路距离可用附加于边的权表示。
▪ 这样，上述问题可以归结为寻找一条权的总和为最短的 哈密尔顿回路的问题。
2020/9/28
30
计算机科学学院 刘芳
分析
▪ 穷举法 ▪ 近似算法 ▪ …………