2019-2020年高考数学一轮复习必备 第13课时：第二章 函数-反函数教案

2019-2020年高考数学一轮复习必备第13课时：第二章函数-反函数教案

一．课题：反函数

二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题．

三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若与互为反函数，

函数的定义域为、值域为，则，；

3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．

（二）主要方法：

1．求反函数的一般方法：（1）由解出，（2）将中的互换位置，得，（3）求的值域得的定义域．

（三）例题分析：

例1．求下列函数的反函数：

（1）；（2）；

（3）．

解：（1）由得

22

11

()(1)

24

y x x

=+-≤-

，

∴，

∴所求函数的反函数为．（2）当时，得，当时，得，

∴所求函数的反函数为．（3）由得，∴，

∴所求反函数为

13

()12() f x x x R

-=+-∈

．

例2．函数

11

(,)

1

ax

y x x R

ax a

-

=≠-∈

+的图象关于对称，求的值．

解：由

11

(,)

1

ax

y x x R

ax a

-

=≠-∈

+得，

∴

1

1

()(1)

(1)

x

f x x

a x

-

-

=≠-

+，

由题知：，，∴．

例3．若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值．

解：∵既在的图象上，又在它反函数图象上，

∴，∴，∴．

例4．（《高考计划》考点12“智能训练第5题”）设函数，又函数与的图象关于对称，求的值．解法一：由得，∴，，

∴与互为反函数，由，得．

解法二：由得，∴，

∴．

例5．已知函数（定义域为、值域为）有反函数，则方程有解，且的充要条件是满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．

例6．（《高考计划》考点12“智能训练第15题”）已知，是上的奇函数．（1）求的值，（2）求的反函数，（3）对任意的解不等式．

解：（1）由题知，得，此时

21212112()()021212112x x x x

x x x x f x f x ------+-=+=+=++++，

即为奇函数．

（2）∵，得， ∴121()log (11)1x f x x x -+=-<<-．

（3）∵，∴11111x x x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴，

①当时，原不等式的解集，

②当时，原不等式的解集．

（四）巩固练习：

1．设，则 ．

2．设，函数的反函数和的反函数的图象关于( )

轴对称 轴对称 轴对称 原点对称

3．已知函数，则的图象只可能是 （ ）

4．若与的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则 ．

五．课后作业：《高考计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14