北京中考数学专题复习一元二次方程组的综合题

北京中考数学专题复习一元二次方程组的综合题

一、一元二次方程

1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．

（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．

试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：

10（1+x）2=14.4，

解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，

答：年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：

2009年底汽车数量为14.4×90%+y，

2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，

∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，

∴y≤2．

答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．

考点：一元二次方程—增长率的问题

2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【解析】

【分析】

作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1

2

×PB×QE，有P、Q点的移动速

度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】

解：

如图，

过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．

∵∠ABC＝30°，

∴2QE＝QB．

∴S△PQB＝1

2

•PB•QE．

设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，

则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．

根据题意，1

2

•（6﹣t）•t＝4．

t2﹣6t+8＝0．

t2＝2，t2＝4．

当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．

3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程

中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m%，购买数量和原计划一样：“美团”网

上的购买价格比原有价格下降了9

20

m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在

两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5

2

m%），在“美团”网上的购买实际消费

总额：a[120（1﹣25%）﹣9

20

m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划

的预算总额增加了15

2

m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；

解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．

答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：

120×0.8a（1﹣25%）（1+5

2

m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣

9

20

m]（1+15m%）=120×0.8a

（1﹣25%）×2（1+ 15

2

m%），即72a（1+

5

2

m%）+a（72﹣

9

20

m）（1+15m%）=144a

（1+ 15

2

m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），

m2=20．

答：m的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.

月份用水量（吨）水费（元）

四月3559.5

五月80151