屈婉玲版离散数学课后习题答案2

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离散数学屈婉玲版课后习题

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第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p →q)∧(p →r)⇔(p →(q ∧r))(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨q) ∧⌝(p ∧q)证明(2)(p →q)∧(p →r)⇔ (⌝p ∨q)∧(⌝p ∨r)⇔⌝p ∨(q ∧r))⇔p →(q ∧r)(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨⌝p)∧(p ∨q)∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q)⇔1∧(p ∨q)∧⌝(p ∧q)∧1⇔(p ∨q)∧⌝(p ∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p →q)→(⌝q ∨p)(2)⌝(p →q)∧q ∧r(3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)解:(1)主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为:⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r ∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r ∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有错误!未找到引用源。

离散数学答案-屈婉玲版-第二版-高等教育出版社课后答案

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离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⌝p∨(q∧r))p→(q∧r)(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)(⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为:⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+)(x).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)∀,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

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离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1) p V (q A r)二0 V (0 A 1) =0(2) ( p?r)A (「q V s)二(0?1)A (1 V 1) = 0A 1= 0.(3) ( — p A 一q A r) ?(p A q A「r)二(1 A 1 A 1) ? (0 A 0A 0)=0(4) (一「A s)—(p A _q) = (0A 1)—(1 A 0) =0—0=117.判断下面一段论述是否为真:“二是无理数。

并且,如果3是无理数,则也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p:二是无理数1q: 3 是无理数0r: ' 2是无理数1s: 6能被2整除1t: 6 能被4整除0命题符号化为:p A (q —r) A (t —s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4) (p —q) —( 一q—一p)(5) (p A r) ' ( 一p A 一q)(6) ((p —q) A (q —r)) —(p —r)答:(4)p q p —q _q _p —q—一p (p —q) — (一q—一p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5) 公式类型为可满足式(方法如上例)(6) 公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3. 用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值?⑴飞A q-q)(2) (p -(p V q)) V (p -r)(3) (p V q) -(p A r)答:(2) (p—(p V q) )V (p —r)=(—p V (p V q)) V (_p V r) u - p V p V q V r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p V q p A r (p V q)—(p A r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4. 用等值演算法证明下面等值式:(2) (p —q) A (p —r)二(p —(q A r))⑷(p A - q) V (-p A q)=(p V q) A 一(p A q)证明(2) (p —q) A (p —r)(一p V q) A ( 一p V r):二_ p V (q A r))二p—(q A r)(4) (p A - q) V ( 一p A q)u (p V (一p A q)) A(_ q V (一p A q)-(p V _ p) A (p V q) A ( 一q V 一p) A ( 一q V q)=1 A (p V q) A 一(p A q) A 1二(p V q) A _ (p A q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1) ( _p—q) —(一q V p)(2) _(P —q) A q A r(3) (p V (q A r)) -(p V q V r)解:(1) 主析取范式(- p-q) —( 一q p)二_(p q) ( 一q p)=(- p -q) ( 一q p)=(一p _q) (一q p) (一q _p) (p q) (p _q)u ( - p _q) (p _q) (p q)-刀(0,2,3)主合取范式:(_p—q) —( 一q p)-_(p q) ( 一q p)=(- p -q) ( 一q p)=(一P (一q P)) (一q (一q p))=1 (p — q)二(p —q)二M i=n (i)(2) 主合取范式为:_(p —q) q r=—(一p q) q ru (p _q) q 产0所以该式为矛盾式?主合取范式为n (0,123,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为:(p (q r)) —(p q r)=一(p (q r)) —(p q r)=(一p (一q _r)) (p q r)=(一p (p q r)) (( _q - r)) (p q r))二 1 i二 1所以该式为永真式永真式的主合取范式为1主析取范式为刀(0,123,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2) 前提:p—. q, —(q r),r(4)前提:q— p,q『s,s『t,t r结论:p q证明:(2)①—(q r) 前提引入②—q —r ①置换③q,一「②蕴含等值式④r 前提引入⑤一q ③④拒取式⑥p- q 前提引入⑦」p (3)⑤⑥拒取式证明(4):①t r 前提引入②t ①化简律③qi s 前提引入④s—?t 前提引入⑤q r t ③④等价三段论( q > t)(t r q)?⑤置换炉(q >t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨ q—;p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证1 F面各推理:结论:_ p(1)前提:pr (qr r),s r p,q结论:s —? r ①s 附加前提引入②Sr P前提引入③P①②假言推理④ p —;(q —; r)前提引入⑤q — r③④假言推理⑥q 前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p ,—q, - r q,r _s结论:- p 证明:①p 结论的否定引入② p —「q 前提引入q ①②假言推理 r q 前提引入⑤「r ④化简律⑥r 「s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后一步r 「r 是矛盾式,所以推理正确. 第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为的真值:(1)对于任意 x,均有 2=(x+ )(x ).证明(a),(b) 条件时命题(2)存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+ 一)(x 一).G(x): x+5=9.(1) 在两个个体域中都解释为-xF(x),在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)离散数学习题答案习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取式,并求成真赋值:(2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取式,所以成真赋值为011,111。

6、求下列公式的主合取式,并求成假赋值:(2)()()p q p r ∧∨?∨解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取式,所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取式,再用主析取式求主合取式:(1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取式。

主析取式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取式024M M M ?∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取式:(1)()()p q p r ∨∨?∧ 解:公式的真值表如下:由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式,故主析取式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨习题三及答案:(P52-54)11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提:,,,p q q r r s p ?∨?∨→结论:s 证明:① p 前提引入② p q ?∨ 前提引入③ q ①②析取三段论④q r ?∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论⑥r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理:(2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论:p u →证明:用附加前提证明法。

离散数学-屈婉玲-耿素云-张立昂-主编-高等教育出版社-课后最全答案

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第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化,并指出真值:(1)p∧q,其中,p:2是素数,q:5是素数,真值为1;(2)p∧q,其中,p:是无理数,q:自然对数的底e是无理数,真值为1;(3)p∧┐q,其中,p:2是最小的素数,q:2是最小的自然数,真值为1;(4)p∧q,其中,p:3是素数,q:3是偶数,真值为0;(5)┐p∧┐q,其中,p:4是素数,q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化,并指出真值:(1)p∨q,其中,p:2是偶数,q:3是偶数,真值为1;(2)p∨q,其中,p:2是偶数,q:4是偶数,真值为1;(3)p∨┐q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;(4)p∨q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为1;(5)┐p∨┐q,其中,p:3是偶数,q:4是偶数,真值为0;3.(1)(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中,小丽从筐里拿一个苹果,q:小丽从筐里拿一个梨;(2)(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中,p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语;.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三:(1)p→q,真值为1(不会出现前件为真,后件为假的情况);(2)q→p,真值为1(也不会出现前件为真,后件为假的情况);(3)p q,真值为1;(4)p→r,若p为真,则p→r真值为0,否则,p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1):∨∨,成真赋值为00、10、11;(2):0,矛盾式,无成真赋值;(3):∨∨∨∨∨∨∨,重言式,000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值;7.(1):∨∨∨∨⇔∧∧;(2):∨∨∨⇔∧∧∧;8.(1):1⇔∨∨∨,重言式;(2):∨⇔∨∨∨∨∨∨;(3):∧∧∧∧∧∧∧⇔0,矛盾式.11.(1):∨∨⇔∧∧∧∧;(2):∨∨∨∨∨∨∨⇔1;(3):0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时,应首先将简单陈述语句符号化,然后写出推理的形式结构*,其次就是判断*是否为重言式,若*是重言式,推理就正确,否则推理就不正确,这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确,其余的均不正确,下面以(1)、(2)为例,证明(1)推理正确,(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一,q:明天是星期三,推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中,从p与q的内在联系可以知道,p与q的内在联系可以知道,p与q不可能同时为真,但在证明时,不考虑这一点,而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法(如真值法、等值演算法、主析取式)证明*1为重言式,特别是,不难看出,当取A为p,B为q时,*1为假言推理定律,即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一,q:明天是星期三,推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式,比如,等值演算法、主析取范式(主和取范式法也可以)等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知,*2不是重言式,故推理不正确,注意,虽然这里的p与q同时为真或同时为假,但不考虑内在联系时,*2不是重言式,就认为推理不正确.9.设p:a是奇数,q:a能被2整除,r:a:是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式,下面用等值演算法证明:(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数,q:a,b两数种恰有一个负数,r:a,b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项,故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一,下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入(2)证明:① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式(3)证明:① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明:① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理(2)证明:① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明:① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取(2)证明:① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17.设p:A到过受害者房间,q: A在11点以前离开,r:A犯谋杀罪,s:看门人看见过A。

离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案

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离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p?r)∧(﹁q∨s) ⇔(0?1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)?(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)? (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q)⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∨(⌝q ∨p))∧(⌝q ∨(⌝q ∨p))⇔1∧(p ∨⌝q)⇔(p ∨⌝q) ⇔ M 1⇔∏(1)(2) 主合取范式为:⌝(p →q)∧q ∧r ⇔⌝(⌝p ∨q)∧q ∧r⇔(p ∧⌝q)∧q ∧r ⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔⌝(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∧(⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r)⇔(⌝p ∨(p ∨q ∨r))∧((⌝q ∨⌝r))∨(p ∨q ∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q)? ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x ).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解: F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀,在(a )中为假命题,在(b)中为真命题。

离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案

离散数学(屈婉玲版)第二章习题答案

2.13 设解释I为:个体域D I ={-2,3,6},一元谓词F(X):X≤3,G(X):X>5,R(X):X≤7。

在I下求下列各式的真值。

(1)∀x(F(x)∧G(x))解:∀x(F(x)∧G(x))⇔(F(-2) ∧G(-2)) ∧(F(3) ∧G(3)) ∧(F(6) ∧G(6))⇔((-2≤3) ∧(-2>5)) ∧((3≤3) ∧(3>5)) ∧((6≤3) ∧(6<5))⇔((1 ∧0))∧((1 ∧0)) ∧((0 ∧0))⇔0∧0∧0⇔0(2) ∀x(R(x)→F(x))∨G(5)解:∀x(R(x)→F(x))∨G(5)⇔(R(-2)→F(-2))∧ (R(3)→F(3))∧ (R(6)→F(6))∨ G(5)⇔((-2≤7) →(-2≤3))∧ (( 3≤7) →(3≤3))∧ (( 6≤7) →(6≤3)) ∨ (5>5)⇔(1 →1)∧ (1 →1)∧ (1→0) ∨ 0⇔1∧ 1∧ 0 ∨ 0⇔0(3)∃x(F(x)∨G(x))解:∃x(F(x)∨G(x))⇔(F(-2) ∨ G(-2)) ∨ (F(3) ∨G(3)) ∨ (F(6) ∨G(6))⇔((-2≤3) ∨ (-2>5)) ∨ ((3≤3) ∨ (3>5)) ∨ ((6≤3) ∨ (6>5))⇔(1 ∨ 0) ∨ (1 ∨ 0) ∨ (0 ∨ 1)⇔1 ∨ 1 ∨ 1⇔12.14 求下列各式的前束范式,要求使用约束变项换名规则。

(1)⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)(2) ⌝(∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) )解:(1)⌝∃xF(x)→∀yG(x,y)⇔⌝∃xF(x)→∀yG(z,y) 代替规则⇔∀x⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.1(2 )⇔∃x(⌝F(x)→∀yG(z,y) 定理2.2(2)③⇔∃x∀y(⌝F(x)→G(z,y)) 定理2.2(1)④(2)⌝(∀xF(x,y) ∨∃yG(x,y) )⇔⌝(∀zF(z,y) ∨∃tG(x,t)) 换名规则⇔⌝(∀zF(z,y) )∧⌝(∃tG(x,t) )⇔∃z⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z)⇔∃z (⌝F(z,y) ∧∀t⌝G(x,z))⇔∃z ∀t(⌝F(z,y) ∧⌝G(x,t))2.15 求下列各式的前束范式,要求使用自由变项换名规则。

离散数学屈婉玲版课后习题

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第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为: p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1 所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p →q)∧(p →r)⇔(p →(q ∧r))(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨q) ∧⌝(p ∧q) 证明(2)(p →q)∧(p →r)⇔ (⌝p ∨q)∧(⌝p ∨r) ⇔⌝p ∨(q ∧r))⇔p →(q ∧r)(4)(p ∧⌝q)∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨(⌝p ∧q)) ∧(⌝q ∨(⌝p ∧q)⇔(p ∨⌝p)∧(p ∨q)∧(⌝q ∨⌝p) ∧(⌝q ∨q) ⇔1∧(p ∨q)∧⌝(p ∧q)∧1 ⇔(p ∨q)∧⌝(p ∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p →q)→(⌝q ∨p)(2)⌝(p →q)∧q ∧r (3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) 解:(1)主析取范式(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∧p)∨(⌝q ∧⌝p)∨(p ∧q)∨(p ∧⌝q) ⇔ (⌝p ∧⌝q)∨(p ∧⌝q)∨(p ∧q)⇔320m m m ∨∨⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p →q)→(⌝q ∨p)⇔⌝(p ∨q)∨(⌝q ∨p) ⇔(⌝p ∧⌝q)∨(⌝q ∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为:⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p →(q →r) 前提引入 ⑤q →r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P 中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p →⌝q,⌝r ∨q,r ∧⌝s 结论:⌝p 证明:①p 结论的否定引入 ②p →﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④¬r ∨q 前提引入 ⑤¬r ④化简律 ⑥r ∧¬s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有错误!未找到引用源。

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案习题二及答案:(P38)5、求下列公式的主析取式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ⌝→∧∧ 解:原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨,此即公式的主析取式,所以成真赋值为011,111。

6、求下列公式的主合取式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨⌝∨解:原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔,此即公式的主合取式,所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取式,再用主析取式求主合取式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ⇔∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∧∧⌝∨∧∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧13567m m m m m ⇔∨∨∨∨,此即主析取式。

主析取式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取式024M M M ⇔∧∧。

9、用真值表法求下面公式的主析取式: (1)()()p q p r ∨∨⌝∧ 解:公式的真值表如下:由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式,故主析取式1234567m m m m m m m ⇔∨∨∨∨∨∨习题三及答案:(P52-54)11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

前提:,,,p q q r r s p ⌝∨⌝∨→结论:s 证明:① p 前提引入 ② p q ⌝∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④q r ⌝∨ 前提引入⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入⑦ s ⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理: (2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论:p u →证明:用附加前提证明法。

(完整word版)离散数学第二版 屈婉玲 1-5章(答案)

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《离散数学1-5章》练习题答案第2,3章(数理逻辑)1.答:(2),(3),(4)2.答:(2),(3),(4),(5),(6)3.答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是4.答:(4)5.答:⌝P ,Q→P6.答:P(x)∨∃yR(y)7.答:⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解:P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 (主析取范式)d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解:P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R),R→(Q→S) => P→(Q→S)证明:(1) P 附加前提(2) Q 附加前提(3) P→(Q→R) 前提(4) Q→R (1),(3)假言推理(5) R (2),(4)假言推理(6) R→(Q→S) 前提(7) Q→S (5),(6)假言推理(8) S (2),(7)假言推理d、P→⌝Q,Q∨⌝R,R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提(2) P→⌝Q 前提(3)⌝Q (1),(2)假言推理(4) Q∨⌝R 前提(5) ⌝R (3),(4)析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提(7) R (6)化简(8) R∧⌝R 矛盾(5),(7)合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解:原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))(集合论部分)1、答:(4)2.答:323.答:(3)4. 答:(4)5.答:(2),(4)6、设A,B,C是三个集合,证明:a、A⋂ (B-C)=(A⋂B)-(A⋂C)证明:(A⋂B)-(A⋂C)= (A⋂B)⋂~(A⋂C)=(A⋂B) ⋂(~A⋃~C)=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂(B⋂~C)=A⋂(B-C)b、(A-B)⋃(A-C)=A-(B⋂C)证明:(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~(B⋂C)= A-(B⋂C)(二元关系部分)1、答:(1)R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答:RοR ={〈1,1〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈2,4〉}R-1 ={〈2,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈4,3〉}3.答:R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答:R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解:(1)R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的;(2)R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的;(3)R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。

离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析

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离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0(2)(p↔r)∧(﹁q∨s) ⇔(0↔1)∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.(3)(⌝p∧⌝q∧r)↔(p∧q∧﹁r) ⇔(1∧1∧1)↔ (0∧0∧0)⇔0(4)(⌝r∧s)→(p∧⌝q) ⇔(0∧1)→(1∧0) ⇔0→0⇔117.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(⌝q→⌝p)(5)(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ⌝(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r))(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r)⇔⌝p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)(4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q)⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(⌝p→q)→(⌝q∨p)(2)⌝(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔ (⌝p∧⌝q)∨(⌝q∧p)∨(⌝q∧⌝p)∨(p∧q)∨(p∧⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)⇔∑(0,2,3)主合取范式:(⌝p→q)→(⌝q∨p)⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)⇔(⌝p∨(⌝q∨p))∧(⌝q∨(⌝q∨p))⇔1∧(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q) ⇔ M1⇔∏(1)(2) 主合取范式为:⌝(p→q)∧q∧r⇔⌝(⌝p∨q)∧q∧r⇔(p∧⌝q)∧q∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔⌝(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)⇔(⌝p∧(⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r)⇔(⌝p∨(p∨q∨r))∧((⌝q∨⌝r))∨(p∨q∨r))⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p→q,⌝(q∧r),r结论:⌝p(4)前提:q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论:p∧q证明:(2)①⌝(q∧r) 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换⑦(q→t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q结论:s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论:⌝p证明:①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r∧¬s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解:F(x): 2=(x+)(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ∀,在(a )中为假命题,在(b)中为真命题。

离散数学屈婉玲第二版答案

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离散数学屈婉玲第二版答案【篇一:离散数学课后习题答案_屈婉玲(高等教育出版社)】txt>16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0(2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0.(3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1) ? (0∧0∧0)?0(4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?117.判断下面一段论述是否为真:“?是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: ?是无理数 1q: 3是无理数 0r: 2是无理数 1s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除 0命题符号化为: p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(?q→?p)(5)(p∧r) ?(?p∧?q)(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ?q?p?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 01 111 1 0 11 011 1 1 00 100 1 1 11 001 1所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1) ?(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式(3) p qr p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0000 10 0100 10 1010 00 1110 010 111 111 010 011 111 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q)证明(2)(p→q)∧(p→r)(p∨q)∧(?p∨r)p∨(q∧r))?p→(q∧r)(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q)1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1(p∨q)∧?(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(?p→q)→(?q∨p)(2)?(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解:(1)主析取范式(?p→q)→(?q?p)(p?q)?(?q?p)(pq)(qp)(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq)m0m2m3?∑(0,2,3)主合取范式:(?p→q)→(?q?p)(p?q)?(?q?p)(pq)(qp)(p(qp))(q(qp))1(pq)(pq) m1?∏(1)(2) 主合取范式为:?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r(pq)qr0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为 0(3)主合取范式为:(p?(q?r))→(p?q?r)??(p?(q?r))→(p?q?r)(p(qr))(pqr)(p(pqr))((qr))(pqr))111所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统p中构造下面推理的证明: (2)前提:p?q,?(q?r),r结论:?p(4)前提:q?p,q?s,s?t,t?r结论:p?q证明:(2)①?(q?r) 前提引入②?q??r ①置换③q??r②蕴含等值式④r前提引入⑤?q ③④拒取式⑥p?q前提引入⑦¬p(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t?r 前提引入②t①化简律③q?s 前提引入④s?t 前提引入⑤q?t ③④等价三段论⑥(q?t)?(t?q) ⑤置换⑦(q?t)⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q?p前提引入⑩p⑧⑨假言推理(11)p?q ⑧⑩合取15在自然推理系统p中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p?(q?r),s?p,q结论:s?r证明①s附加前提引入②s?p前提引入③p ①②假言推理④p?(q?r) 前提引入⑤q?r③④假言推理⑥q 前提引入⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统p中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p??q,?r?q,r??s结论:?p证明:①p结论的否定引入②p?﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④¬r?q 前提引入⑤¬r ④化简律⑥r?¬s 前提引入⑦r⑥化简律⑧r?﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.【篇二:离散数学屈婉玲版课后答案】1.1.略 1.2.略 1.3.略 1.4.略 1.5.略 1.6.略 1.7.略1.8.略 1.9.略 1.10.略 1.11.略1.12.将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)2+2=4当且仅当3+3=6. (2)2+2=4的充要条件是3+3?6. (3)2+2?4与3+3=6互为充要条件. (4)若2+2?4, 则3+3?6, 反之亦然.(1)p?q, 其中, p:2+2=4, q: 3+3=6, 真值为1. (2)p??q, 其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为0. (3) ?p?q, 其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为0.(4) ?p??q, 其中, p: 2+2=4, q: 3+3=6, 真值为1.将下列命题符号化, 并给出各命题的真值: (1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三.令 p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1)p?q ??1. (2) q?p ??1. (3) p?q ??1.(4) p?r当p ??0时为真; p ??1 时为假.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐.(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2与4都是素数, 这是不对的.(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的.34(1)p?q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p?q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p?q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p?q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p?q, 其中, p:他吃饭, q: 他听音乐. (8)p?q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p?q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p?q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.(12) ??(p?q)或?p??q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.(13) (p?q)或p?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.设p: 2+3=5.q: 大熊猫产在中国. r: 复旦大学在广州. 求下列复合命题的真值: (1)(p?q) ?r (2)(r??(p?q)) p (3) ?r??(?p??q?r)(4)(p?q??r) ??(( ?p??q) ?r)(1)真值为0. (2)真值为0. (3)真值为0.(4)真值为1.注意: p, q是真命题, r是假命题.1.16.略 1.17. 1.18. 1.19.略略用真值表判断下列公式的类型:(1)p??(p?q?r) (2)(p??q) ??q (3) ??(q?r) ?r (4)(p?q) ??(?q??p) (5)(p?r) ??( ?p??q) (6)((p?q) ??(q?r)) ??(p?r) (7)(p?q) ??(r?s)(1), (4), (6)为重言式. (3)为矛盾式. (2), (5), (7)为可满足式.1.20.略1.21. 1.22. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. 1.31.略略略略略略略略略略将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:5(1)若3+=4, 则地球是静止不动的. (2)若3+2=4, 则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木, 则人类不能生存. (4)若地球上没有水, . (1)p?q, 其中, p: 2+2=4, q: 地球静止不动, 真值为0. (2)p?q, 其中, p: 2+2=4, q: 地球运动不止, 真值为1. (3) ?p??q, 其中, p: 地球上有树木, q: 人类能生存, 真值为1. (4) ?p?q, 其中, p: 地球上有水, q, 真值为1.习题二2.1. 设公式 a = p?q, b = p??q, 用真值表验证公式 a 和 b 适合德摩根律:(ab) ab.a =p?qb =p??q ?(a?b) ?a??b 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 01 0 0 1 1 1 0 0 0 1因为?(a?b)和?a??b的真值表相同, 所以它们等值.2.2. 略2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式, 再用真值表法求出成真赋值.(1) ??(p?q?q) (2)(p??(p?q)) ??(p?r) (3)(p?q) ??(p?r)(1) ??(p?q?q)(?(p?q) ??q) (?p ???q ??q) ??p?q??q p?0 0 0. 矛盾式. (2)重言式.(3) (p?q) ??(p?r) (p?q) ??(p?r) p??q ??p?r易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000, 001, 101, 111p q pr 1 1 1 0 1 11 1 1 00 0 0 1 00 0 0 1 01 0 0 0 0 0 1 1 1 00 0 0 0 00 1 1 0 02.4. 用等值演算法证明下面等值式: (1) p??(p?q) ??(p??q)(3) ??(p?q) ??(p?q) (p?q) (4)(p??q) ??(?p?q) ??(p?q) (p?q)(1) (p?q) ??(p??q) ??p ??(q??q) ??p ??1 ??p. (3) ??(p?q)67((p?q) ??(q?p)) ((?p?q) ??(?q?p)) ??(p??q) ??(q??p) (p?q) (pp) (?q?q) (?pq) (p?q) ?(p?q)(4) (p??q) ??(?p?q)(pp) (p?q) (?qp) (?q?q) (p?q) ?(p?q)2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ?p?q) ??(?q?p) (2) ??(p?q) ?q?r(3)(p??(q?r)) ??(p?q?r)(1)(?p?q) ??(?q?p) (p?q) ??(?q?p) p??q q ??pp??q q ??p(吸收律)??(p??p)??q ??p?(q??q) ??p??q ??p??q ??p?q ??p??q ? m10 m00 m11 m10 m0 m2 m3 (0, 2, 3). 成真赋值为 00, 10, 11.(2)主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.(3)m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7 , 为重言式.2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值: (1) ??(q??p) ??p (2)(p?q) ??(?p?r) (3)(p??(p?q)) ?r(1) ??(q??p) p (?q??p) p ??q?p p ??q?0 ??0 m0?m1?m2?m3这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11. (2)m4 , 成假赋值为100.(3)主合取范式为1, 为重言式.【篇三:离散数学最全课后答案(屈婉玲版)】略1.3.略1.4.略1.5.略1.6.略1.7.略1.8.略1.9.略1.10.略1.11.略1.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)2+2=4当且仅当3+3=6.(2)2+2=4的充要条件是3+3?6.(3)2+2?4与3+3=6互为充要条件.(4)若2+2?4, 则3+3?6,反之亦然.(1)p?q,其中,p: 2+2=4,q: 3+3=6, 真值为1.(2)p??q,其中,p:2+2=4,q:3+3=6,真值为0.(3)?p?q,其中,p:2+2=4,q:3+3=6,真值为0.(4)?p??q,其中,p:2+2=4,q:3+3=6,真值为1.1.13.将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一,则明天是星期二.(2)只有今天是星期一,明天才是星期二.(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一,则明天是星期三.令p: 今天是星期一;q:明天是星期二;r:明天是星期三.(1)p?q ??1.(2) q?p ??1.(3) p?q??1.(4)p?r当p ??0时为真; p ??1时为假.1.14.将下列命题符号化. (1)刘晓月跑得快,跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨,他就乘班车上班.(9)只有天下大雨,他才乘班车上班.(10)除非天下大雨,他才乘班车上班.(11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2与4都是素数,这是不对的.(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.(1)p?q,其中, p:刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p?q,其中, p:老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p?q, 其中,p:天气冷, q:我穿了羽绒服.(4)p, 其中,p:王欢与李乐组成一个小组,是简单命题.(5)p,其中,p:李辛与李末是兄弟.(6)p?q,其中, p:王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p?q,其中, p:他吃饭,q:他听音乐.(8)p?q, 其中,p:天下大雨, q:他乘班车上班.(9)p?q, 其中,p:他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p?q,其中,p: 他乘班车上班,q:天下大雨.(11)p?q, 其中,p:下雪路滑, q:他迟到了.12)??(p?q)或?p??q,其中,p:2是素数,q:4是素数.(13)(p?q)或p?q,其中,p:2 是素数,q:4是素数.1.15.设p:2+3=5.q: 大熊猫产在中国.r: 复旦大学在广州.求下列复合命题的真值:(1)(p?q)?r(2)(r??(p?q))p(3)?r??(pqr)(4)(p?q??r)??((?p??q)?r)(1)真值为0.(2)真值为0.(3)真值为0.(4)真值为1.注意:p, q是真命题,r是假命题.1.16.1.17.1.18.1.19.略略略用真值表判断下列公式的类型:(1)p??(p?q?r)(2)(p??q)??q(3)??(q?r)?r(4)(p?q)??(?q??p)(5)(p?r)??(?p??q)(6)((p?q)(q?r))(p?r)(7)(p?q)(r?s)(1), (4),(6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5),(7)为可满足式.1.20.1.21.1.22.1.23.1.24.1.25.1.26.1.27.1.28.1.29.1.30.1.31.略略略略略略略略略略略将下列命题符号化,并给出各命题的真值:(1)若3+=4,则地球是静止不动的.(2)若3+2=4,则地球是运动不止的. (3)若地球上没有树木,则人类不能生存.(4)若地球上没有水,则3是无理数.(1)p?q,其中, p: 2+2=4,q:地球静止不动,真值为0.(2)p?q,其中, p: 2+2=4,q:地球运动不止,真值为1.(3)?p??q,其中,p:地球上有树木,q:人类能生存,真值为1.(4)?p?q,其中,p:地球上有水,q: 3 是无理数,真值为1.2.1.设公式a=p?q,b=p??q,用真值表验证公式a和b适合德摩根律: (ab)ab.因为?(a?b)和?a??b的真值表相同,所以它们等值.2.2. 略2.3. 用等值演算法判断下列公式的类型, 对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.(1)??(p?q?q)(2)(p??(p?q))??(p?r)(3)(p?q)??(p?r)(1)??(p?q?q)(?(p?q)??q)(?p???q??q)??p?q??q??p 000.矛盾式.(2)重言式.(3) (p?q)??(p?r)(p?q)??(p?r)p??q??p?r易见,是可满足式,但不是重言式.成真赋值为:000,001, 101, 1112.4.用等值演算法证明下面等值式:(1)p??(p?q)??(p??q)(3)??(p?q)??(p?q)(p?q)(4)(p??q)??(?p?q)??(p?q)(p?q)(1)(p?q)??(p??q)??p??(q??q)??p??1??p.(3)??(pq)((p?q)??(q?p))((?p?q)??(?q?p))(pq)(qp)(p?q)(pp)(?q?q)(?pq)(p?q) ?(p?q)(4)(p??q)??(?p?q)(pp)(p?q)(?qp)(?q?q)(p?q) ?(p?q)2.5.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:(1)(?p?q)??(?q?p)(2)??(p?q)?q?r(3)(p??(q?r)) ??(p?q?r)(1)(?p?q)??(?q?p)(p?q) ??(?q?p)p??qq??pp??qq??p(吸收律)??(p??p)??q??p?(q??q) ??p??q??p??q??p?q??p??q m10m00m11m10m0m2m3(0, 2,3).成真赋值为00,10, 11.(2)主析取范式为0, 无成真赋值,为矛盾式.(3)m0?m1?m2?m3?m4?m5?m6?m7,为重言式.2.6.求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1)??(q??p)??p(2)(p?q)??(?p?r)(3)(p??(p?q))?r(1) ??(q??p)p(?q??p)pq?p?pq?0m0?m1?m2?m3这是矛盾式.成假赋值为00, 01,10,11.(2)m4,成假赋值为100.(3)主合取范式为1, 为重言式.。

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案.docx

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离散数学答案屈婉玲版第⼆版⾼等教育出版社课后答案.docx离散数学答案屈婉玲版第⼆版⾼等教育出版社课后答案第⼀章部分课后习题参考答案16设p 、q 的真值为0; r 、S 的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1) p ∨ (q ∧ r)⼆ O V (0 ∧ 1) U 0(2) ( p? r )∧ (「q ∨ S)⼆ (0? 1)∧ (1 ∨ 1)⼆ 0∧ 1= 0. (3)( ⼀ p ∧⼀ q ∧ r ) ? (P ∧ q ∧, r)⼆(1∧ 1∧ 1)(0 ∧ 0∧ 0)=0(4) (⼀ r ∧ S )→(P ∧⼀ q) U (0∧ 1)→ (1 ∧ 0) = 0→O= 1 17 .判断下⾯⼀段论述是否为真:“⼆是⽆理数。

并且,如果3是⽆理数,则' 2也是⽆理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p:⼆是⽆理数 1q: 3是⽆理数 0 r:2是⽆理数 1s: 6能被2整除1 t: 6能被4整除 0命题符号化为:p ∧ (q →r) ∧ (t →S)的真值为1,所以这⼀段的论述为真19.⽤真值表判断下列公式的类型: (4) (P → q) → (_q —_ P) (5) (P ∧ r)' (—p ∧⼀q) (6) ((P →q) ∧ (q → r)) →(p →r)(5) 公式类型为可满⾜式(⽅法如上例) (6) 公式类型为永真式(⽅法如上例)答:(4)_ p → q^q 1 1 1POOIOOI 1 1 1 0 所以公式类型为永真式P 1 1 0 0q —_p 1 1 0 1(p → q)→ (—q →-P) 1 1 1 1第⼆章部分课后习题参考答案3. ⽤等值演算法判断下列公式的类型,对不是重⾔式的可满⾜式,再⽤真值表法求出成真赋值?⑴⼀(p∧q→q)(2) (p→(P ∨q))∨(p→r)(3) (P∨q)→(P∧r)答:(2) (p→(p∨q))∨(p→r):= (⼀p∨(p∨q))∨(⼀p∨r):= ^ p∨p∨q∨r= 1 所以公式类型为永真式⑶P q r p∨q P ∧r (P∨q)→ (P∧0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满⾜式4. ⽤等值演算法证明下⾯等值式:⑵(P → q) ∧(P → r)⼆(P → (q ∧r))⑷(P ∧- q) ∨ (—p∧q)= (p ∨q) ∧⼀(P ∧q)证明(2)(P →q) ∧(P →r)(^p∨q) ∧( ⼀p∨r)=^p∨(q ∧r)):=p→ (q ∧ r)(4) (P ∧— q) ∨ (—p∧q) = (p ∨ (—p∧q)) ∧(~ q∨ ( —p∧q)⼆(P∨— P) ∧(P∨q)∧(⼀q∨-P) ∧Cq∨q)U 1 ∧(P ∨q) ∧^ (P ∧q) ∧1U (P ∨q) ∧^ (P ∧q)5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1) ( ^P→q)→(⼀q∨P)(2) _(P→q) ∧q∧r(3) (P ∨(q ∧r)) →(P ∨q∨r)解:(1) 主析取范式(-p→ q) → (-q P)--(P q) (⼀q P)=(—P ^q) ( ⼀q P)=(-P ^q) (⼀q P) (⼀q -P) (P q) (P ^q)-(-P ^q) (P ^q) (P q)U m0m2m3U ∑ (0,2,3)主合取范式:(^P→q)→(⼀q P)--(P q) (⼀q P)U ( -p -q) (⼀q P)=(-p ( -q P)) ( -q (-q P))=1 (p — q)-(P _q) - M iU ∏ (1)(2) 主合取范式为:—(P → q) q r = ⼀(⼀p q) q r=(P _ q) q r = 0所以该式为⽭盾式?主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)⽭盾式的主析取范式为0(3) 主合取范式为:(P (q r)) → (P q r)u ⼀(P (q r)) → (P q r)=(⼀p ( ⼀q _ r)) (P q r)U ( ⼀p (P q r)) (( ⼀q ^ r)) (P q r)) =1 1所以该式为永真式?永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14.在⾃然推理系统P中构造下⾯推理的证明⑵前提:p—;q, —(q r),r结论:_ P(4)前提:q“ p,q s,s I t,t r结论:P q证明:(2)①—(q r) 前提引⼊②—q ⼀r ①置换③ q ? ⼀r ②蕴含等值式④r 前提引⼊⑤⼀q ③④拒取式⑥p— q 前提引⼊⑦」P (3)⑤⑥拒取式证明(4):①t r 前提引⼊②t ①化简律③qι S前提引⼊④SI t 前提引⼊⑤q t ③④等价三段论(q~ t)(t > q) ⑤置换⑦(q T )⑥化简⑧q ②⑥假⾔推理⑨ q—;P 前提引⼊⑩P ⑧⑨假⾔推理(11)p q ⑧⑩合取15在⾃然推理系统P中⽤附加前提法证明下⾯各推理(1)前提:p— (q > r),S > p,q结论:S-;r证明①S 附加前提引⼊②Sr P 前提引⼊③P ①②假⾔推理④P- (q - r) 前提引⼊⑤ q—;r ③④假⾔推理⑥q 前提引⼊⑦r ⑤⑥假⾔推理16在⾃然推理系统P中⽤归谬法证明下⾯各推理:(1)前提:p ■ —q, —r q,r - S结论:- P证明:①P 结论的否定引⼊② p—;「q 前提引⼊③⼚q ①②假⾔推理r q 前提引⼊⑤「r ④化简律⑥r 「S 前提引⼊⑦r ⑥化简律⑧r 「r ⑤⑦合取由于最后⼀步r 「r是⽭盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在⼀阶逻辑中将下⾯将下⾯命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1) 对于任意X,均有声-2=(x+ )(x T Q.(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为⾃然数集合.(b) 个体域为实数集合.解:F(x): F=2=(x+遢)(x :區).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为-XF(X),在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

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离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)离散数学习题答案习题⼆及答案:(P38)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:(2)()()p q q r ?→∧∧解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式,所以成真赋值为011,111。

6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值:(2)()()p q p r ∧∨?∨解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式,所以成假赋值为100。

7、求下列公式的主析取范式,再⽤主析取范式求主合取范式:(1)()p q r ∧∨解:原式()(()())p q r r p p q q r∧∧?∨∨?∨∧?∨∧()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。

主析取范式中没出现的极⼩项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极⼤项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。

9、⽤真值表法求下⾯公式的主析取范式:(1)()()p q p r ∨∨?∧解:公式的真值表如下:由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极⼩项的析取即为主析取范式,故主析取范式1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨习题三及答案:(P52-54)11、填充下⾯推理证明中没有写出的推理规则。

前提:,,,p q q r r s p ?∨?∨→结论:s 证明:① p 前提引⼊② p q ?∨前提引⼊③ q ①②析取三段论④ q r ?∨前提引⼊⑤ r ③④析取三段论⑥ r s →前提引⼊⑦ s ⑤⑥假⾔推理15、在⾃然推理系统P 中⽤附加前提法证明下⾯推理:(2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→结论:p u →证明:⽤附加前提证明法。

离散数学课后习题答案-屈婉玲(高等教育出版社)

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离散数学课后习题答案-屈婉玲(高等教育出版社)第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0(2)(p?r)∧(q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0.(3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?117.判断下面一段论述是否为真:“?是无理数。

并且,如果3是无理数,则2也是无理数。

另外6能被2整除,6才能被4整除。

”答:p: ?是无理数1 q: 3是无理数0 r:2是无理数1s: 6能被2整除1t: 6能被4整除0命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:(4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)答:(4)p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式(5)公式类型为可满足式(方法如上例)(6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.1(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式(3) P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r)0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 11 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式:(2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r)? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r)(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p)∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值(1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解:(1)主析取范式(?p→q)→(?q?p)2??(p?q)?(?q?p)?(?p??q)?(?q?p)? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q) ?m0?m2?m3?∑(0,2,3)主合取范式:(?p→q)→(?q?p)??(p?q)?(?q?p) ?(?p??q)?(?q?p)?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q) ?(p??q) ? M1 ?∏(1) (2) 主合取范式为:?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为0 (3)主合取范式为:(p?(q?r))→(p?q?r)??(p?(q?r))→(p?q?r)?(?p?(?q??r))?(p?q?r)?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r))?1?1 ?1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)3第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明:(2)前提:p?q,?(q?r),r 结论:?p(4)前提:q?p,q?s,s?t,t?r结论:p?q证明:(2)①?(q?r) 前提引入②?q??r ①置换③q??r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤?q ③④拒取式⑥p?q 前提引入⑦Vp(3)⑤⑥拒取式证明(4):①t?r ②t ③q?s ④s?t ⑤q?t前提引入①化简律前提引入前提引入③④等价三段论4⑥(q?t)?(t?q) ⑤ 置换⑦(t?q)⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q?p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理(11)p?q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p?(q?r),s?p,q 结论:s?r 证明①s 附加前提引入②s?p 前提引入③p ①②假言推理④p?(q?r) 前提引入⑤q?r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:(1)前提:p??q,?r?q,r??s 结论:?p 证明:①p 结论的否定引入②p?q 前提引入③q ①②假言推理5。

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第四章部分课后习题参考答案
3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1) 对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2) 存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
解:
F(x): 2=(x+)(x).
G(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为)
∀,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。

(x
xF
(2)在两个个体域中都解释为)
xG
∃,在(a)(b)中均为真命题。

(x
4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1) 没有不能表示成分数的有理数.
(2) 在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x): x能表示成分数
H(x): x是有理数
命题符号化为: ))
F
x∧
⌝∃
x

(
)
(
(x
H
(2)F(x): x是北京卖菜的人
H(x): x是外地人
命题符号化为: ))
F
⌝∀
x
x→
(x
(
H
)
(
5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车.
解:
(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))
F
y
x
G

y


x→
,
(
))
(
H
)
x
((y
(
(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快
命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →∀∧⌝∃
9.给定解释I 如下:
(a) 个体域D 为实数集合R.
(b) D 中特定元素=0.
(c) 特定函数(x,y)=x y,x,y D ∈.
(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x<y,x,y D ∈.
说明下列公式在I 下的含义,并指出各公式的真值:
(1) )),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀
(2) )),()),,(((y x G a y x f F y x →∀∀
答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x<y, 那么x ≠y. 真值1.
(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.
10. 给定解释I 如下:
(a ) 个体域D=N(N 为自然数集合).
(b ) D 中特定元素=2.
(c ) D 上函数=x+y,(x,y)=xy.
(d ) D 上谓词(x,y):x=y.
说明下列各式在I 下的含义,并讨论其真值.
(1) xF(g(x,a),x)
(2) x y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)
答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.
(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.
11. 判断下列各式的类型:
(1)
(3) yF(x,y).
解:(1)因为 1)()(⇔∨⌝∨⌝⇔→→p q p p q p 为永真式;
所以 为永真式;
(3)取解释I 个体域为全体实数
F(x,y):x+y=5
所以,前件为任意实数x 存在实数y 使x+y=5,前件真;
后件为存在实数x 对任意实数y 都有x+y=5,后件假,]
此时为假命题
再取解释I 个体域为自然数N ,
F(x,y)::x+y=5
所以,前件为任意自然数x 存在自然数y 使x+y=5,前件假。

此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。

13. 给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。

(1) (F(x)
(2) x(F(x)G(x)H(x))
解:(1)个体域:本班同学
F(x):x 会吃饭, G(x):x 会睡觉.成真解释
F(x):x 是泰安人,G(x):x 是济南人.(2)成假解释
(2)个体域:泰山学院的学生
F(x):x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x):x 会吃饭,G(x):x 会睡觉,H(x):x 会呼吸. 成真解释.
第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4};
(b))(x f 为3)4(,4)3(==f f
(c)1
)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(====F F F F y x F 为.
试求下列公式在I下的真值.
(1)),(y x yF x ∃∀
(3))))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀
解:(1) ))4,()3,((),(x F x F x y x yF x ∨∀⇔∃∀
⇔ ))4,4()3,4(())4,3()3,3((F F F F ∨∧∨
⇔1)01()10(⇔∨∧∨
(2) )))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀
))))4(),(()4,(()))3(),(()3,(((f x f F x F f x f F x F x →∧→∀⇔
)))3),(()4,(())4),(()3,(((x f F x F x f F x F x →∧→∀⇔
)))3),3(()4,3(())4),3(()3,3(((f F F f F F →∧→⇔
)))3),4(()4,4(())4),4(()3,4(((f F F f F F →∧→∧
)))3,4()4,3(())4,4(0((F F F →∧→⇔)))3,3(0())4,3(1((F F →∧→∧
)11()00(→∧→⇔)00()11(→∧→∧1⇔
12.求下列各式的前束范式。

(1)),()(y x yG x xF ∀→∀
(5))),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃ (本题课本上有错误) 解:(1) ),()(y x yG x xF ∀→∀),()(y t yG x xF ∀→∀⇔)),()((y t G x F y x →∀∃⇔
(5) )),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃
)),()((),(2323211x x G x x H x x F x ⌝∀→→∃⇔
)),()((),(2332411x x G x H x x x F x ⌝→∀→∃⇔
))),()((),((2334121x x G x H x x F x x ⌝→→∀∀⇔
15.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明:
(1) 前提: ))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃,)(x xF ∃
结论: ∃xR(x)
(2) 前提: ∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x)
结论:x(F(x)∧R(x))
证明(1)
①)(x xF ∃ 前提引入
②F(c) ①EI
③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃ 前提引入
④))())()(((y R y G y F y →∨∀ ①③假言推理
⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI
⑥F(c)∨G(c) ②附加
⑦R(c) ⑤⑥假言推理
⑧∃xR(x) ⑦EG
(2)
①∃xF(x) 前提引入
②F(c) ①EI
③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入
④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI
⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理
⑥R(c) ⑤化简
⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入
⑧∃x(F(x)∧R(x))。

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