2021高考数学(文科,通用)复习课件：专题8 第3讲分类讨论思想
最新-2021年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题讲座1 四大数学思想 精品
1≥1，∴a≥23，∴23≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥23.
(2)若∠PF2F1＝90°， 则PF21＝PF22＋F1F22. ∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝2 5， 解得PF1＝134，PF2＝43， ∴PPFF12＝72. 若∠F2PF1＝90°，
则F1F22＝PF21＋PF22 ＝PF21＋(6－PF1)2， 解得PF1＝4，PF2＝2， ∴PPFF12＝2. 综上所述，PPFF12＝2或72.]
(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又 点A(－1,0)，则PPAF的最小值是________．
(2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1， m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
解得k＞12. 又M为线段AB的中点，所以
x0＝x1＋2 x2＝3－＋84kk2， y0＝y1＋2 y2＝3＋64k2.
由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，
所以3＋6－4k82k＋2＝0－a－－02， 3＋4k2
所以－4a＝2k＋3k.
又因为k＞
1 2
，所以2k＋
3 k
≥2
6 ，当且仅当k＝
[变式训练4] (1)(2016·杭州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中 点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为 1，则四面体B-EB1D1的体积为________．
(1)3f(ln 2)＞2f(ln 3) (2)－ 36，0 [(1)令F(x)＝fexx，则F′(x)＝f′x－ex fx. 因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0， 即F(x)在R上单调递减． 又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)， 即felnln 22＞felnln 33， 所以fln2 2＞fln3 3，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)．
最新-2021届高考数学文二轮复习课件：1.3 分类讨论思想 精品
[ 变 式 训 练 1] (2015·全 国 卷 Ⅰ ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2x－1－2，x≤1， －log2x＋1，x＞1，
且 f(a)＝－3，则 f(6－a)＝(
)
A．－74 B．－54 C．－34 D．－14 解析：由于 f(a)＝－3， ①若 a≤1，则 2a－1－2＝－3，整理得 2a－1＝－1. 由于 2x>0，所以 2a－1＝－1 无解；
[思路点拨] 由于 f(x)＝ax＋b 中 a 的范围没有确定，故应对 a 进行分 类讨论，即 a>1 或 0<a<1.
[自主解答] 当 a>1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1,0]上为增函数，由题 意得aa－ 0＋1＋bb＝＝0－1， 无解．当 0<a<1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1,0]上为
[自主解答] (1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． ①设 a＝0，则 f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点． ②设 a＞0，则当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以 f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又 f(1)＝－e，f(2)＝a，取 b 满足 b＜0 且 b＜ln a2， 则 f(b)＞a2(b－2)＋a(b－1)2＝ab2－32b＞0， 故 f(x)存在两个零点．
③设 a＜0，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝ln(－2a)． 若 a≥－2e，则 ln(－2a)≤1，故当 x∈(1，＋∞)时， f′(x)＞0，因此 f(x)在(1，＋∞)内单调递增． 又当 x≤1 时，f(x)＜0，所以 f(x)不存在两个零点． 若 a＜－2e，则 ln(－2a)＞1，故当 x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0； 当 x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0. 因此 f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递 增．
【高考数学考点突破】分类讨论思想(2020-2021)
难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R . (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n 21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立. 当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立.当c =3时，因为S 1=2，S 2=3， 所以当k =1，k =2时，c ＜Sk因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS cS k k 成立.［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||bbx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-= 由x –a ≠0，得ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0 若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOACOA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵xy COA ||tan =)1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a ) 以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x aby -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk-=-=θθθ 又tan2θ=–b ∴–b =212k k- ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x abkx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x kkkx a --=+ ③ 又xyk =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nnnn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ；（3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ； （3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a ) 此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. （2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )；若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增.从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种. 答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0}, 由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2； 由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根. 若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0. 将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得01)1()1(20=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾.又由A ∩B ≠∅,∴x 0=1x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1 ∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x ,y )，则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程. （1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()(即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1 ∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b1. 因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知 f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知 当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性： 对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1) 即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1. 因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1 即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1 即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。
高考文科数学知识整合专项复习课件 分类讨论思想
ⅰ( )当l不垂直x轴时，设l的方程为y k x 1，
C上的点P使OP OA OB成立的充要条件是P点 的坐标为(x1 x2，y1 y2 )，
则2 x1 x2 2 3 y1 y2 2 6，
整理，得2x12 3y12 2x22 3y22 4x1x2 6y1 y2 6. 又A、B在C上，即2x12 3y12 6, 2x22 3y22 6， 故2x1x2 3y1 y2 3 0.①
段函数，然后分别求其最值．
解析：1 若f
0
1，则 a
a
1
a 0
a2
1
a 1.故a的取值范围是(，1]．
2当x a时，f x 3x2 2ax a2，
f a
则f
x min
f
a 3
a 0 2a2
a
0
2a 3
2
当x a时，f x x2 2ax a2，
a 0
； a 0
2
2
所以f x在[0， )，( ， ]上递增，在[，3 )，(3 ，2 ]上递减．
22
22
选A.
考点2 由运算的要求或性质、定理、 公式的条件引起的分类讨论
例2.已知数列an的前n项和Sn 2n2 2n， 数列bn的前n项和Tn 2 bn，则数列an
的通项公式为an ______________，数列
当0＜a 1时，1 1，此时g x 0在区间0,1上
a
恒成立，所以g x ax 1 在区间0,1上单调
2 2x 递增．
当x 1时，g x取得最大值，最大值为g 1
a 1，所以b a 1.
2
2
综上，当a＞1时，b a；当0＜a 1时，b a 1. 2
最新-2021高考数学文二轮复习课件：233 分类讨论思想 精品
第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分． 第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理.
3.分类讨论解题的步骤
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类． (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳．
类型一
由概念、法则、公式引起的分类讨论 LEIXING
例1 在公差为 d 的等差数列{an}中，已知 a1＝10，且 a1,2a2＋2,5a3 成等比数列． (1)求 d，an；
则
kPP1＝－2
7
5，kPP2＝2
7
5 .
当直线 L 与圆 C 相切时，32kk－2＋4k1＝32，解得 k＝±34.
故当
k∈－34，43∪－2
7
5，2
7
5时，直线
L
与曲线
C
只有一个交点．
审题过程
切入点 直线与曲线 C 只有一个交点，即直线与圆相切，或与曲线 C 相 交(仅有 1 个交点)，从而确定斜率 k 的取值范围．
(2)若存在 x0∈R，使得 f(x0)≥m1 －4，求实数 m 的取值范围． 解 (2)不等式 f(x0)≥m1 －4，即 x0－|x0＋2|－|x0－3|＋4≥m1 ＋m， 令 g(x)＝x－|x＋2|－|x－3|＋4，则存在 x0∈R，使得 g(x0)≥m1 ＋m 成立， 因此m1 ＋m≤g(x)max＝2，即m1 ＋m≤2， 当 m>0 时，原不等式为(m－1)2≤0，解得 m＝1， 当 m<0 时，原不等式为(m－1)2≥0，解得 m<0， 综上所述，实数 m 的取值范围是(－∞，0)∪{1}.
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2．转化与化归思想
转化与化归思想方法的实质：就是在研究和解决有 关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化， 进而得到解决的一种方法．一般是将复杂的问题通过变 换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容 易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决 的问题．
角度 1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论
(2)(2016·河南信阳一模)设 f(x)是定义在 R 上的单调 增函数，若 f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意 a∈[－1，1]恒成 立，则 x 的取值范围为________．
解析：(1)构造函数 g(x)＝ex·f(x)－ex，则 g′(x)＝ex·f(x) ＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，
∴g(x)＝ex·f(x)－ex 是 R 上的增函数． 又∵g(0)＝3，∴不等式可转化为 g(x)>g(0)，解得 x>0. 故不等式 exf(x)>ex＋3 的解集为(0，＋∞)．
(2)∵f(x)在 R 上是增函数， ∴由 f(1－ax－x2)≤f(2－a)， 可得 1－ax－x2≤2－a，a∈[－1，1]． ∴a(x－1)＋x2＋1≥0 对 a∈[－1，1]恒成立． 令 g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.
(2)不等式组 分)所示．
表示的可行域如图(阴影部
由图可知，若要使不等式组
表示的平面区域
是直角三角形，只有当直线 y＝kx＋1 与直线 x＝0 或 y＝
2x 垂直时才满足．
结合图形可知斜率 k 的值为 0 或－12. 答案：(1)A (2)－12或 0
[规律方法] 常见的由图形的位置或形状变化引起 的分类讨论
答案：(1)－3，32 (2)－337，－5
模块一论方法专题4分类讨论思想-2021届高考数学二轮复习课件(新高考版)
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调研三 由数学运算和字母参数变化引起的讨论 某些数学问题(如分段函数)，在运算过程中往往需要讨论， 含字母参数的问题(如方程、不等式)需要对参数分类讨论．
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②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得
ff（ （－ 0）1） ＝＝ 0，－1，即aa－ 0＋1＋bb＝＝0－ ，1，显然无解．
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所以a＋b＝－32.
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【分析】
由T＝2ωπ可判断A；当x＝π12
π 时，2x＋ 3 ＝
π 2可
判断B；利用整体换元法可判断C；y＝sin2 x＋π12 ＝cos 2x－π3 ≠f(x)可判断D.
【解析】
由题知f(x)＝cos
2x＋π3
，最小正周期T＝
2π 2
＝
π
ππ
π，所以A正确；当x＝12时，2x＋ 3 ＝ 2 ，所以B正确；
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调研一 由数学概念引起的讨论 涉及数学概念(如指、对数函数、绝对值等)中的范围，如含 有参数要注意对参数的分类讨论．
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2021-2022年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料
2021年高三数学第二轮专题复习分类讨论思想课堂资料一、基础知识整合分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
1.分类原则：分类应按同一标准进行，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.2.分类方法：明确讨论对象以及研究的范围;确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.3.含参数问题的分类讨论是常见题型。
4.注意简化或避免分类讨论。
二、例题解析[例1] 一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） (A) (B)(C)x y x y +-=-=70250或 (D)x y y x ++=-=70250或 [分析]设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a , 当a =0时，直线过原点，此时直线方程为；当时，设直线方程为x a yaa +==17，则求得，方程为。
[例2] 15sin cos cos 213ABC A B C ∆==中，已知，，求. [分析][]∴=-+=--⋅cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B因此，只要根据已知条件，求出cos A ，si n B 即可得cosC 的值.但是由si nA 求cos A 时，是一解还是两解？这一点需经过讨论才能确定，故解本题时要分类讨论。
对角A 进行分类.[解]50cos 132B B ABC <=<∆为的一个内角 ∴<<=45901213 B B ，且sin ⑴若为锐角，由，得，此时A A A A sin cos ===123032⑵若为钝角，由，得，此时A A A A B sin ==+>12150180这与三角形的内角和为180°相矛盾。
2021年高考数学二轮复习第一部分方法、思想解读第3讲分类讨论思想、转化与化归思想课件文
情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.
2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要
把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.
-21思想方法诠释
思想分类应用
应用方法归纳
突破训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对
数函数的单调性,根本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条
件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目
条件确定是否进展分类讨论.
2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比方除以一个数
时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是
用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方
法.
2.转化与化归的原那么
(1)熟悉化原那么;(2)简单化原那么;(3)直观化原那么;(4)正难那
么反原那么;(5)等价性原那么.
3.常见的转化与化归的方法
(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)
类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.
转化为f(-1)=f(-3),f(1)=f(-5),解得a=8,b=15,其余由求导完成,恐有
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,
离不开转化与化归,如未知向的转化、新知识向旧知识的转化、复
杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际
问题向数学问题的转化等.
-17思想方法诠释
思想分类应用
高考二轮复习文科数学专题八第三讲 分类讨论思想
讨论f′(x)＝0的零点是否是在该区间上．
解析：(1)f′(x)＝x(ax＋2)eax.
①当a＝0时，令f′(x)＝0，得x＝0.
若x＞0，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
2021/8/10
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若x＜0，则f′(x)＜0，从而f(x)在(－∞，0)上单调递减．
②当a＜0时，令f′(x)＝0，得x(ax＋2)＝0，
可得Q0，2－t82，R8t ＋2t ，4.
这时|QR|＝ 8t ＋2t 2＋2＋t822，
当4＜t≤8时，Q、R两点分别在BC、AD上， 对方程①分别令y＝0和y＝4，
可得Q＝2t －8t ，0，R8t ＋2t ，4.
这时|QR|＝4
t2＋16 t.
综上所述：当0≤t≤8－4 3时：|QR|＝2 16＋t2；
＝－12＋2 22＋32＋－ 442＋222552＋2 6622＋ …＋－33kk－2222＋2233kk－1122＋ (33kk)22
＝123＋321＋…＋18k2－5＝k9k2＋4，
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S3k－1＝S3k－a3k＝k4－2 9k， S3k－2＝S3k－1－a3k－1 ＝k4－2 9k＋3k－2 12＝12－k ＝－3k3－2－16，
当8－4 3＜t≤4时，|QR|＝ 8t ＋2t 2＋2＋t822；
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当4＜t≤8时，|QR|＝4
t2＋16 t.
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跟踪训练 4．四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1∶1∶1∶3，求
满足条件的平面M的个数．
解析：①4个顶点都在M同侧，则有：C41 ·1＝4个(平面)； ②距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有： ·1
最新-2021高考数学理新课标版考前冲刺复习课件：第1部分第2讲分类讨论、转化与化归思想 精品
课时作业
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第1部分 数学思想方法
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栏目 导引
第1部分 数学思想方法
下课
栏目 导引
[名师点评] 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不 等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含 参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的 判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或 不同取值范围进行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要 符合最简原则．
[解析] 当焦点在 x 轴上时，0<m<2. 此时 a2＝2，b2＝m，c2＝2－m. 故 e2＝ac22＝2－2 m＝14，解得 m＝32. 当焦点在 y 轴上时，m>2，此时 a2＝m，b2＝2，c2＝m－2. 故 e2＝mm－2＝14，解得 m＝83.
(2016·高考全国卷甲)已知函数 f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)当 a＝4 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求 a 的取值范围． 【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当 a＝4 时， f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2， f(1)＝0. 曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x＋y－2＝0.
二 转化与化归思想转化与化归Biblioteka 原则常见的转化与化归的方法
(1)熟悉化原则
(1)直接转化法 (2)换元法 (3)数形结合法
(2)简单化原则
(4)构造法
(3)直观化原则
(5)坐标法 (6)类比法 (7)特殊化方法
(4)正难则反原则 (8)等价问题法
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第3讲 分类讨论思想
思想方法概述 热点分类突破 真题与押题
思想方法概述
1.分类讨论思想是一种重要的数学思想方法.其基本思
路是将一个Leabharlann 复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基
础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问
题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于
增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综
a1q2＝a3＝32， 当 q≠1 时，由题意，得a111－－qq3＝S3＝92.
所以a1q2＝32，
①
a11＋q＋q2＝29，
②
由①②，得1＋qq＋ 2 q2＝3，即 2q2－q－1＝0，
所以 q＝－12或 q＝1(舍去).
当 q＝－12时，a1＝aq32＝6.综上可知，a1＝32或 a1＝6. 答案 32或 6
解析 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t， 若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝36tt＝12；
若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝32tt＝32. 所以圆锥曲线 T 的离心率为12或32. 答案 12或32
则 f(a－5)的值为( )
17
3
A.log23
B.16
C.2
D.1
a≤3 解 析 分 两 种 情 况 分 析 ， 2a－3＋1＝3 ① 或 者
a>3 log2a＋1＝3
②，①无解，由②得，a＝7，
所以 f(a－5)＝22－3＋1＝32，故选 C. 答案 C
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则 数列{an}是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对
(1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵
与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论
有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为
思
维 非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算
升 华
中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负
数，三角函数的定义域等.
变式训练1
(1)已知函数 f(x)＝l2oxg－23＋x＋1，1，xx>≤33， 满足 f(a)＝3，
解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
答案 a≤ 2
(2)在等比数列{an}中，已知 a3＝32，S3＝92，则 a1＝
________. 解析 当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝32， S3＝3a1＝92，显然成立；
热点分类突破
➢ 热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论 ➢ 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 ➢ 热点三 由参数引起的分类讨论
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例 1 (1)(2014·浙江)设函数 f(x)＝x－2＋x2，x，xx≥<00，， 若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是________.
变式训练2
x≥0，
(1)已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x，
x－y＋3≥0，
例 2 (1)不等式组x＋y≥0，
表示的平面区域
x≤2
内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称 为整点).
解析 画出不等式组表示的平面区域(如图). 结合图中的可行域可知
x∈[－32，2]，y∈[－2,5]. －x≤y≤x＋3，
由图形及不等式组，知－32≤x≤2，且x∈Z. 当x＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；
求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置
变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分
类讨论. 一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二
思 次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化； 维 函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；
升
华 圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的 形状变化.
当x＝0时，0≤y≤3，有4个整点； 当x＝1时，－1≤y≤4，有6个整点； 当x＝2时，－2≤y≤5，有8个整点； 所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个). 答案 20
(2)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2，若曲线 T 上 存 在 点 P 满 足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2| ＝ 4∶3∶2 ， 则曲线T的离心率为________.
(3)由数学运算要求引起的分类讨论.如除法运算中 除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的 要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以 一个正数、负数，三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论.有的图形类 型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、 线、面的位置关系等.
(5)由参数的变化引起的分类讨论.某些含有参数的 问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值 不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要 运用不同的求解或证明方法.
合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思
路，降低问题难度.
3
2.分类讨论的常见类型 (1)由数学概念引起的分类讨论.有的概念本身是分类 的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的 数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件 下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的 单调性等.
3.分类讨论的原则 (1)不重不漏. (2)标准要统一，层次要分明. (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原 则地讨论.
4.解分类问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进 行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决. (4)归纳总结，将各类情况总结归纳.
解析 ∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列； 当p＝1时，{an}是等差数列； 当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是 等差数列也不是等比数列.
答案 D
热点二 由图形位置或形状引起的讨论