高中数学函数地经典题型

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例 1 求函数y

x 2 2 x15

x3的定义域。

8

解：要使函数有意义，则必须满足

x 2 2 x150

x380

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求；另

一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知 f ( x )的定义域，求 f g ( x) 的定义域。

其解法是：已知 f ( x) 的定义域是 [ a , b ] 求f g ( x) 的定义域是解a g ( x) b ，即为所求的定义域。

例 3 已知 f ( x )的定义域为[2,2 ] ，求 f ( x

2

1) 的定义域。

（ 2）已知 f g ( x ) 的定义域，求 f ( x ) 的定义域。

其解法是：已知 f g ( x) 的定义域是[ a, b]求f ( x)的定义域的方法是：a x b ，求g ( x )的值域，即所求 f ( x ) 的定义域。

例4 已知 f (2 x 1)的定义域为[1, 2]，求 f ( x )的定义域。

解：因为 1 x 2 ， 2 2 x 4 ， 3 2 x 1 5 。

即函数 f ( x ) 的定义域是x | 3x 5。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例 5 已知函数y

2

6 mx m8 的定义域为 R 求实数m的取值范围。mx

分析：函数的定义域为 R ，表明 mx 26mx m 8 0 ，使一切x R 都成立，由x2项的系数是 m ，所以应分 m0 或 m0 进行讨论。

解：当 m0 时，函数的定义域为R ；

当 m0 时，mx2 6 mx m 80

是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是

m0

0m1 ( 6 m ) 2 4 m ( m 8 ) 0

综上可知0m 1 。

评注：不少学生容易忽略m 0 的情况，希望通过此例解决问题。

例 6 已知函数 f ( x )

kx7的定义域是

R ，求实数k的取值范围。kx 2 4 kx3

解：要使函数有意义，则必须kx 2 4 kx30 恒成立，

因为 f ( x) 的定义域为 R ，即 kx 2 4 kx30

无实数解

①当 k0 时，16 k 243k 0

恒成立，解得 0 k3；

4

②当 k0 时，方程左边30 恒成立。

综上 k 的取值范围是0 k 3。4

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并

形成意识。

例 7 将长为 a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x ，则另一边长为1

2 x) 于是可得矩形面积。( a

2

y x 1

(a 2 x)

1

ax x 2x 2

1

ax 。222

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

x0

x0a 10x。

(a 2 x )0a 2 x 02

2

y x 21a

故所求函数的解析式为ax ，定义域为 ( 0 ,) 。

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五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例 9 已知 f ( x )的定义域为[ 0,1]，求函数 F ( x ) f ( x a) f ( x a ) 的定义域。

解：因为的定义域为[ 0,1] ，即0x 1 。故函数 F ( x )的定义域为下列不等式组的解集：

0x a1a x1a

，即

0x a1a x 1a

即两个区间 a ,1a与a,1a的交集，比较两个区间左、右端点，知

（ 1）当1

a0 时， F ( x ) 的定义域为x |a x1 a ；2

（ 2）当0

1

时， F ( x ) 的定义域为x | a x1a a；

2

（ 3）当a 11

F ( x ) 不能构成函数。或 a

2

时，上述两区间的交集为空集，此时

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