导数各类题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用一，导数的概念
1..已知
的值是（）
A.
B. 2
C.
D. －2
变式1：
（）
A．－１Ｂ．－2 C．－3 D．1
变式2：
（）
A．
B．
C．
D．
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令
得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
例1：设函数
在区间D上的导数为
，
在区间D上的导数为
，若在区间D上，
恒成立，则称函数
在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若
在区间
上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足
的任何一个实数
，函数
在区间
上都为“凸函数”，求
的最大值.
解:由函数
得
（1）
在区间
上为“凸函数”，
则
在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵ 当
恒成立,
当
时,
恒成立
等价于
的最大值（
）恒成立，
而
（
）是增函数，则
(2)∵当
时
在区间
上都为“凸函数”
则等价于当
恒成立
变更主元法
再等价于
在
恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
例2：设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的
不等式
恒成立，求a的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）
3a
a
a
3a
令
得
的单调递增区间为（a,3a）令
得
的单调递减区间为（－
，a）和（3a，+
）
∴当x=a时，
极小值=
当x=3a时，
极大值=b.
（Ⅱ）由|
|≤a，得：对任意的
恒成立①
则等价于
这个二次函数
的对称轴
（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，
这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （9分）
∴
于是，对任意
，不等式①恒成立，等价于
又
∴
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：
恒成立
恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数
图象上一点
处的切线斜率为
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）当
时，求
的值域；
（Ⅲ）当
时，不等式
恒成立，求实数t的取值范围。

解：（Ⅰ）
∴
，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递减
又
∴
的值域是
（Ⅲ）令
思路1：要使
恒成立，只需
，即
分离变量
思路2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为
在给定区间上恒成立，回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知
，函数
．
（Ⅰ）如果函数
是偶函数，求
的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数是
上的单调函数，求
的取值范围．
解：
.
（Ⅰ）∵
是偶函数，∴
. 此时
，
，
令
，解得：
.
列表如下：
(－∞,－2 ) －2
(－2
,2
)
2
(2
,+∞)
+ 0 －0 +
递增极大值递减极小值递增
可知：
的极大值为
，
的极小值为
.
（Ⅱ）∵函数
是
上的单调函数，
∴
，在给定区间R上恒成立判别式法
则
解得：
.
综上，
的取值范围是
.
例5、已知函数
（I）求
的单调区间；
（II）若
在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

子集思想（I）
1、
当且仅当
时取“=”号，
单调递增。

2、
单调增区间：
单调增区间：
（II）当
则
是上述增区间的子集：
1、
时，
单调递增符合题意
2、
，
综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；
第三步：解不等式（组）即可；
例6、已知函数
，
，且
在区间
上为增函数．
（1）求实数
的取值范围；
（2）若函数
与
的图象有三个不同的交点，求实数
的取值范围．
解：（1）由题意
∵
在区间
上为增函数，
∴
在区间
上恒成立（分离变量法）即
恒成立，又
，∴
，故
∴
的取值范围为
（2）设
，
令
得
或
由（1）知
，
①当
时，
，
在R上递增，显然不合题意…
②当
时，
，
随
的变化情况如下表：
—
↗极大值
↘
极小值
↗
由于
，欲使
与
的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需
，即
∴
，解得
综上，所求
的取值范围为
根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数
（1）若
是
的极值点且
的图像过原点，求
的极值；
（2）若
，在（1）的条件下，是否存在实数
，使得函数
的图像恒有含
的三个不同交点？若存在，求出实数
的取值范围；否则说明理由。

高1考1资1源2网解：（1）∵
的图像过原点，则
，
又∵
是
的极值点，则
（2）设函数
的图像与函数
的三个不同交点，
等价于
有含
的三个根，即：
整理得：
即：
恒有含
的三个不等实根
（计算难点来了：）
有含
的根，
则
必可分解为
，故用添项配凑法因式分解，
十字相乘法分解：
恒有含
的三个不等实根
等价于
有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数
在点
处取得极小值－4，使其导数的
的取值范围为
，求：（1）
的解析式；（2）若过点
可作曲线
的三条切线，求实数
的取值范围．
（1）由题意得：
∴在
上
；在
上
；在
上
因此
在
处取得极小值
∴
①，
②，
③
由①②③联立得：，∴
（2）设切点Q
，
过
令
，
求得：
，方程
有三个根。

需：
故：
；因此所求实数
的范围为：
题3：已知
在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法
例8、
解：函数的定义域为
（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝
x3－
x2＋10x，
＝x2－7x＋10，令
，解得
或
.
令
，解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为
．
（Ⅱ）
＝x2－(m＋3)x＋m＋6,
要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,
＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在（1，＋∞）
根分布问题：
则
，解得m＞3
例9、已知函数
，
（1）求
的单调区间；（2）令
＝
x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．解：（1）
当
时，令
解得
，令
解得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
.
当
时，同理可得
的递增区间为
，递减区间为
.
（2）
有且仅有3个极值点=0有3个根，则
或
，
方程
有两个非零实根，所以
或
而当
或
时可证函数
有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数
在区间
上的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
解：（Ⅰ）
令
=0,得
因为
，所以可得下表：
+ 0 -
↗极大↘
因此
必为最大值,∴
因此
，
，
即
，∴
，∴
（Ⅱ）∵
，∴
等价于
，
令
，则问题就是
在
上恒成立时，求实数的取值范围，
为此只需
，即
，
解得
，所以所求实数
的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子）
（1）已知函数
(Ⅰ) 若函数
在
时有极值且在函数图象上的点
处的切线与直线
平行, 求
的解析式；
(Ⅱ) 当
在
取得极大值且在
取得极小值时, 设点
所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
解：(Ⅰ). 由
, 函数
在
时有极值 ,
∴
∵
∴
又∵
在
处的切线与直线
平行,
∴
故
∴
……………………. 7分(Ⅱ) 解法一: 由
及
在
取得极大值且在
取得极小值,
∴
即
令
, 则
∴
∴
故点
所在平面区域S为如图△ABC, 易得
,
,
,
,
,。