应用光学第二章
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《应用光学》第2章课后答案全文
12. 由两个透镜组成的一个倒像系统，设第一组透镜的焦距 为f1′，第二组透镜的焦距为f2′，物平面位于第一组透镜 的物方焦面上，求该倒像系统的垂轴放大率。
解:
1
1
1
1
F2
1
1
第一组透镜
第二组透镜
1
第二组透镜
13. 由两个同心的反射球面(二球面球心重合)构成的光学系 统，按照光线反射的顺序第一个反射球面是凹的，第二个 反射球面是凸的，要求系统的像方焦点恰好位于第一个反 射球面的顶点，求两个球面的半径r1，r2和二者之间的间隔 d之间的关系。
B′
面,如图示.
l ′ = 2f′
4 试用作图法对位于空气中的正透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
l = −f′
B
……
F
F′
A
H H′
像平面在像 空间无限远 处.
l′=∞
4 试用作图法对位于空气中的正透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
l f' 2
B′
r1 无穷远物点
r2
r1/2
最终像点
11 2
l2 l2 r2
l2
l2
2 r2
(l2l2 )
14. 假定显微镜物镜由相隔20mm的两个薄透镜组构成，物平 面和像平面之间的距离为180mm，放大率β=-10×，要求近 轴光线通过二透镜组时的偏角Δu1和Δu2相等，求二透镜 组的焦距。
y n1u1 u1 10
l = −f′
B
……
F′
F
H H′
A
像平面在像 空间无限远 处.
5 试用作图法对位于空气中的负透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
应用光学第2章
物处球心时 , , =?
§2.3 共球面系统
A1 y1 B1
n1
u1
u1 '
n2 n1 'u u2 u1 ' 2 n2
A1 '(A2) O2 y y1 ' (B )2 2 l2 B ' l1 ' 1
u ' n3 n2 ' 2 n3
r2
C1 O1
r1
A2 ' y2 ' B2 '
1. 线量符号：
① 沿轴线段：以球面顶点O为原点，方向与光线行进方向 相同为正，相反为负；
② 垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之下
为负。 2.角度符号： （一律以锐角来衡量；顺时针为正，逆时针为负） ① 光线与光轴夹角：光轴转向光线； ② 光线与法线夹角：光线转向法线；
③ 光轴与法线夹角：光轴转向法线。
3、单个折射球面近轴光的光路计算公式：
近轴光线(Paraxial ray)：与光轴很靠近的光线，即-U很小。
sin(U ) U；此时用小写
sin(U ) u;sin I i, L l
近轴区：近轴光线所在的区域。 对于轴光线，已知入射光线求折射球面的出射光线：即由 l , u l ', u '
§2.1 单个折射球面的成象倍率、拉赫不变量
①垂轴倍率（像与物的大小之比）：
y ' nl ' nu y n 'l n 'u '
②轴向倍率：
(利用三角形相似和阿贝不变量)
dl ' nl '2 n ' 2 描述光轴上一对共轭点沿轴移动量 之间的关系。 2 dl n ' l n
§2.3 共球面系统
A1 y1 B1
n1
u1
u1 '
n2 n1 'u u2 u1 ' 2 n2
A1 '(A2) O2 y y1 ' (B )2 2 l2 B ' l1 ' 1
u ' n3 n2 ' 2 n3
r2
C1 O1
r1
A2 ' y2 ' B2 '
1. 线量符号：
① 沿轴线段：以球面顶点O为原点，方向与光线行进方向 相同为正，相反为负；
② 垂轴线段：以光轴为界，在光轴之上为正，在光轴之下
为负。 2.角度符号： （一律以锐角来衡量；顺时针为正，逆时针为负） ① 光线与光轴夹角：光轴转向光线； ② 光线与法线夹角：光线转向法线；
③ 光轴与法线夹角：光轴转向法线。
3、单个折射球面近轴光的光路计算公式：
近轴光线(Paraxial ray)：与光轴很靠近的光线，即-U很小。
sin(U ) U；此时用小写
sin(U ) u;sin I i, L l
近轴区：近轴光线所在的区域。 对于轴光线，已知入射光线求折射球面的出射光线：即由 l , u l ', u '
§2.1 单个折射球面的成象倍率、拉赫不变量
①垂轴倍率（像与物的大小之比）：
y ' nl ' nu y n 'l n 'u '
②轴向倍率：
(利用三角形相似和阿贝不变量)
dl ' nl '2 n ' 2 描述光轴上一对共轭点沿轴移动量 之间的关系。 2 dl n ' l n
应用光学(第二章)
2015-3-20
哈工大光电测控技术与装备研究所
38
• 可以发现：同一物点发出的物方倾斜角 不同的光线过光组后并不能交于一点！
n E n’
A O -240mm
C
！
轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。 减小像差的途径：
（1）多个透镜组合
2015-3-20
（2）采用非球面透镜
39
哈工大光电测控技术与装备研究所
第二章 共轴球面系统的 物像关系
2015-3-20 1
透镜是构成光学系统最基 本的成像元件，它由两个球面 或一个球面和一个平面所构成。 光线在通过透镜时会在这些面 上发生折射。因此要研究透镜 成像规律必须先了解单个球面 的成像规律。
2015-3-20
2
§2-1 符号规则（§2-2）
若干概念与术语
哈工大光电测控技术与装备研究所
22
透镜分两大类
• （1）正透镜：中心比边缘厚度大，起
会聚作用
• （2）负透镜：中心比边缘厚度小，起
发散作用
2015-3-20
哈工大光电测控技术与装备研究所
23
物像的虚实
在凸透镜2f 外放一个点燃的蜡烛，后面放一个纸屏， 当纸屏放到某一位置时，会在屏上得到蜡烛清晰的像。
2015-3-20
哈工大光电测控技术与装备研究所
25
与像类似，物也分两种
※ 实物：自己发光的物体。
如灯泡、蜡烛等，也可以是被照明后发光的物体， 如人物，景物等。
※ 虚物：不是由实际光线而是由光线的延长 线相交而成的物。
虚物不能人为设定，它是前一系统所成的像被
当前系统截取得到的。
A
2015-3-20
第二章：应用光学——高斯光学
高斯光学的历史背景
创始人：卡尔·弗里德里希·高斯 形成时间：19世纪初 目的：研究光的传播和成像 应用领域：光学仪器、光学设计、光学测量等
高斯光学的基本原理
基本概念：高斯光学是研究光在均匀介质中的传播和聚焦的学科 基本原理：光的传播遵循高斯定理即光在均匀介质中的传播速度与介质的折射率成正比 应用领域：高斯光学广泛应用于光学仪器的设计和制造如显微镜、望远镜等 发展历程：高斯光学起源于19世纪初经过不断发展和完善已成为光学领域的重要分支
高斯光束的变换
变换原理：基于高斯光束的 性质和光学原理
变换类型：包括平移、旋转、 缩放等
变换应用：在光学测量、成 像、通信等领域有广泛应用
变换效果：可以实现对高斯 光束的精确控制和调整提高
光学系统的性能和效率。
高斯光束的耦合与分离
耦合：将两个或多个高斯光束合并为一个光束 分离：将高斯光束分解为两个或多个光束 应用：在光学通信、光学测量、光学成像等领域有广泛应用 技术：包括光束整形、光束耦合、光束分离等技术
03
高斯光学的应用
高斯光束的传输
光束传输：高斯光束在传输过程中保持其形状和强度不变 应用领域：高斯光束广泛应用于激光通信、激光加工、激光医疗等领域 传输特性：高斯光束具有较好的传输特性如低发散、低损耗等 传输距离：高斯光束的传输距离取决于其功率、波长和传输介质等因素
高斯光束的聚焦
聚焦原理：高斯光束在传播过程中保持其形状和强度不变 应用领域：激光切割、焊接、打标等 聚焦方法：使用透镜或反射镜进行聚焦 聚焦效果：高斯光束的聚焦效果取决于其形状和强度
感谢观看
汇报人：
实验结果：高斯光束具有很好的聚焦特性能量分布均匀符合高斯分布
实验结论：高斯光束在光学实验和实际应用中具有重要价值可用于激光加工、光学测量等领 域。
应用光学 第二章
线偏振
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面 内，这种光称为平面偏振光。也由于在垂直于传 播方向的平面内，平面偏振的光矢量端点的轨迹 为一直线，又称为线偏振光。
120:1415-9-14
2-1A
31 / 135
圆偏振光和椭圆偏振光
传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒 定的两平面偏振光叠加（或组合）可合成光矢 量有规则变化的圆偏振光和椭圆偏振光。
假设：平面波波矢量k平行于xz平面。
x
x
考察：z＝0平面的复振幅分步。
波矢量k平行于xz平面——k的方向 余弦cosα，0，cosγ
o
z
E~ = Aexp(ik ⋅ r) = Aexp(ikx cosα )
o
y
等位相点的轨迹为：x＝const的直线
120:1415-9-14
2-1
光强度也可以由复振幅表示：
圆偏振光和椭圆偏振光：光矢量端点的轨迹为一圆或椭圆，
即光矢量不断旋转，其大小、方向随时间有规律的变化。
Ey
Ey
Ex
Ex
120:1415-9-14
2-1A
32 / 135
3. 非偏振(自然光) P＝0
由普通光源发出的光波都不是单一的平面偏振光， 而是许多光波的总和：它们具有一切可能的振动方 向，在各个振动方向上振幅在观察时间内的平均值 相等，初相位完全无关，这种光称为非偏振光，或 称自然光。
取余ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数为特解：
E = Acos[2π (z − vt)] λ
B
=
A'
cos[
2π λ
(z
−
vt)]
120:1415-9-14
2-1
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面 内，这种光称为平面偏振光。也由于在垂直于传 播方向的平面内，平面偏振的光矢量端点的轨迹 为一直线，又称为线偏振光。
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2-1A
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圆偏振光和椭圆偏振光
传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒 定的两平面偏振光叠加（或组合）可合成光矢 量有规则变化的圆偏振光和椭圆偏振光。
假设：平面波波矢量k平行于xz平面。
x
x
考察：z＝0平面的复振幅分步。
波矢量k平行于xz平面——k的方向 余弦cosα，0，cosγ
o
z
E~ = Aexp(ik ⋅ r) = Aexp(ikx cosα )
o
y
等位相点的轨迹为：x＝const的直线
120:1415-9-14
2-1
光强度也可以由复振幅表示：
圆偏振光和椭圆偏振光：光矢量端点的轨迹为一圆或椭圆，
即光矢量不断旋转，其大小、方向随时间有规律的变化。
Ey
Ey
Ex
Ex
120:1415-9-14
2-1A
32 / 135
3. 非偏振(自然光) P＝0
由普通光源发出的光波都不是单一的平面偏振光， 而是许多光波的总和：它们具有一切可能的振动方 向，在各个振动方向上振幅在观察时间内的平均值 相等，初相位完全无关，这种光称为非偏振光，或 称自然光。
取余ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数为特解：
E = Acos[2π (z − vt)] λ
B
=
A'
cos[
2π λ
(z
−
vt)]
120:1415-9-14
2-1
应用光学第二章
rl
r l'
物空间 像空间
它是一个不变量，几何光学中称它为阿贝(Abbe)不变量
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
(2-6)
rl
r l'
n( h − u) = n '( h − u ')
r
r
物空间 像空间
它是另一个不变量，称为折射不变量，简记为B
B = n( h − u) = n '(h − u ')
设近轴光线与光轴的夹角为θ， sinθ ≈ θ tanθ ≈ θ cosθ ≈ 1
§2.1.3 近轴光学的符号规则及名词术语
图2-3 近轴光线各参量（坐标）正负的标注
u ：物方孔径角、l ：物方截距 u'：像方孔径角、l'：像方截距
正负号规定
(1). 线段：轴向线段与数学坐标兼容，以近轴球面 顶点为原点，与光线传播方向相同的为正，相反者 为负；垂轴线段也与数学坐标兼容，即光轴上方的 线段为正，光轴下方的线段为负； (2). 球面半径：与数学坐标兼容，以球面顶点为原 点，球心在顶点右边者取正值，球心在顶点左边者 取负值；
β
=
y' y
=
nu n 'u '
(2-9)
§2.3.2 轴向放大率
若物平面沿光轴方向移
动一微小距离δl，则像
平面沿光轴方向移动一
微小距离δl'。定义δl'与
δl之比为轴向放大率， 用希腊字母α表示，即：
α
= δl'
δl
(2-10)
A = n(1 − 1) = n '(1 − 1 )
rl
《应用光学》第2章课后答案解析
l = 2f′
B F′ B′ A A′ H H′
F
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
5 试用作图法对位于空气中的负透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平A′ H
H′
F
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
5 试用作图法对位于空气中的负透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
第二章 部分习题答案
牛顿公式 一、物像位置关系 二、物像大小关系 1、垂轴放大率 2、轴向放大率 3、角放大率 三、物方像方焦距关系 四、物像空间不变式
f' n' f n
y nl y nl
高斯公式
f' f 1 l' l
nuy n' u' y'
2. 有一放映机，使用一个凹面反光镜进行聚光照明，光源经过反
f' l 2
B
B′ A F′ A′ H H′
F
像平面为 A’B’所在平 面,如图示.
5 试用作图法对位于空气中的负透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
l=0
B
B′
F′ H A
A′ H′
F
像平面为: 像方主平面
5 试用作图法对位于空气中的负透镜组( f 0 )分别求 下列不同物距的像平面位置.
考虑物镜组二主面之间的距离)。 解:
9. 已知航空照相机物镜的焦距f′=500mm，飞机飞行高度为
6000m，相机的幅面为300×300mm2，问每幅照片拍摄的地
面面积。 解:
10. 由一个正透镜组和一个负透镜组构成的摄远系统，前组
正透镜的焦距f1′=100，后组负透镜的焦距f2 ′=-50，要 求由第一组透镜到组合系统像方焦点的距离D与系统的组合 焦距之比为1∶1.5，求二透镜组之间的间隔d应为多少?组 合焦距等于多少?
应用光学-第二章(2)
§2-6 理想像和理想光学系统(§1-7)从前面讨论可知,共轴球面系统只有在近轴区才能成完善像,而对于宽光束,当u 较大时，成像就不完善，存在像差。
其他原因：（1）光束太细，进入光学系统的能量太弱，成像太暗。
（2）只能对物面上很小的部分成像，不能反映全貌。
只能对细光束成完善像的光学系统实用价值不高！所以，寻找一个能对较大范围、较粗光束及较宽波段范围都能成满意像的光学系统，就是应用光学所需要解决的中心问题。
到哪里找这样的系统呢？•为了揭示物、像、成像系统三者之间的内在联系，可暂时抛开成像系统的具体结构，将一般仅在光学系统近轴区存在的完善像拓展成在任意大的空间以任意宽光束都能完善成像的理想模型，即称为理想光学系统，又称为高斯光学系统（1841年由高斯提出）。
为什么要研究理想光学系统？♦理想光组的成像作为衡量实际光学系统成像质量的标准。
◆进行光学设计的时候，开始只是提出性能要求，如放大倍数等。
这是，光组的具体参数是未知的，因此无法用近轴光学公式计算。
这可咋整？这时就要用由理想光组所抽象出来的光学特征公式进行光组的初始计算，也就是以理想光组理论为基础，根据要求，寻找和确定一个能满足要求的光学系统的整体方案。
这称为光学系统的外形尺寸计算，也称轮廓计算。
♦理想光组可有任意多个折、反射球面或多个光组组成。
寻找理想光组的特征点、面就可以代表整个光组的光学特性，用以讨论成像规律。
P •A•A’P’O 1O K BC DD’C’B’理想光学系统中，物像关系具有以下性质：（1）物空间一个物点对应像空间中唯一的像点，这种一一对应关系称为共轭，这两个对应点称为共轭点。
（2）物空间中每一条直线对应于空间中唯一相应直线，这两条直线称为共轭线。
（直线成像为直线）（3）物空间中每一个平面对应于像空间中唯一平面，这两个面称为共轭面。
（平面成像为平面）（4）如果物空间任意一点D 位于直线BC 上，那么其在像空间的像D’也必位于BC 的共轭线B’C’上。
应用光学第二章
（2－13）
u u
（2－19）
将lu=l′u′=h代入式（2－19）得
第2章球面和球面系统
第2章 球面和球面系统
2.1 2.2 2.3 2.4 光线经单个折射球面的折射 单个折射球面成像放大率及拉赫不变量 共轴球面系统 球面反射镜
第2章球面和球面系统
2.1光线经单个折射球面的折射
2.1.1 如图2－1所示，折射球面OE为两种介质n和n′的分 界面， C 为折射球面的球心， CO 为球面曲率半径， 以字母 r 表示。通过球心的直线为光轴，光轴与球 面的交点O称为顶点。
第2章球面和球面系统 由式（2－9）和上式可将式（2－12）改写为
y nl y nl
（2－13）
上式表明，折射球面的垂轴放大率仅取决于介质的折射率和物体 的位置，而与物体的大小无关。在n、n′一定的条件下，当物体
当β<0时，l和l′异号，表示物和像处于球面的两侧，此时物体
成倒像，像的虚实与物体一致，即实物成实像，虚物成虚像。
' lr l r ' ' nu( ) nu ( ) r r 1 1 1 ' ' ' 1 nul( ) n u l ( ' ) r l r l 1 1 1 1 ' nh( ) n h( ' ) r l r l 1 1 1 ' 1 n( ) n ( ' ) Q r l r l
图2－2轴上点成像的不完善性
第2章球面和球面系统
若物点位于物方光轴上无限远处，此时它发出的光束
可认为是平行于光轴的平行光束，即L=-∞,U=0，如图2－3 所示，此时，光线的入射角可按下式计算： 其中，h为光线的入射高度。
应用光学 第二章 球面和球面系统
一.符号规则
1、沿轴线段：L、 L 、r以折射球面（或反射面）
顶点O为原点，到光线与光轴交点或球心的方向 与光线的传播方向相同，其值为正，反之为负；
2、垂轴线段：以光轴为基准，在光轴上为正，反 之为负； 3、孔径角U和U′ ：光轴以锐角方向转到光线，顺 时针为正，逆时针为负； 4、光线与法线的夹角：I 和I′ ，光线以锐角方向 转到法线，顺时针为正，逆时针为负； 5、光轴与法线的夹角 ：光轴以锐角方向转向法 线，顺时针为正，逆时针为负； 6、折射面之间的间隔：在折射系统中，d恒为正。
3：已知一个光学系统的结构参数，r = 36.48mm, n=1, n’=1.5163 l = - 240mm, y=20mm 已求出：l’=151.838mm，现求 β, y’ （横向放大率与像的大小）
l2 l'1 d1 ,l3 l'2 d 2 ......lk l'k 1 d k 1
当只关心物像位置且折射面很少时，用方法2较为 方便。如需知道一些中间量且折射面较多时，多 采用方法1。
第五节 球面反射镜
一.球面反射镜的物像位置
1 1 2 l' l r
实物成实像
三个放大率之间的关系：
第四节 共轴球面系统
※光学系统一般是轴对称的，有一条公共轴线， 称为光轴。这种系统被称为“共轴系统”
光轴
一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定 （如有 k 个折射面）：各个折射面的曲率半 径 r1 ,r2 ,r3 rk ；各个折射球面的顶点之间的间 隔 d1 , d 2 , d3 dk-1 。各球面间的介质折射 率 n1 , n2 , n3 nk+1 ，其中 nk+1 nk
应用光学(第二章)讲解
L' r r sin I ' sinU '
L' r(1 sin I ' ) sinU '
2019/6/8
哈工大光电测控技术与装备研究所
34
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
U' U I I'
子午面内光路计 算大L计算公式
L' r(1 sin I ' ) sinU '
2019/6/8
哈工大光电测控技术与装备研究所
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• 可以发现：同一物点发出的物方倾斜角
不同的光线过光组后并不能交于一点！
nE
n’
A
O -240mm
C
！
轴上点以宽光束经球面成像时，存在像差（球差）。
减小像差的途径：
（1）多个透镜组合
（2）采用非球面透镜
2019/6/8
哈工大光电测控技术与装备研究所
光路。（即求像方截距L’ 和像方倾斜角U’ ）
nE
n’
A
C
O
-240mm
2019/6/8
哈工大光电测控技术与装备研究所
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• U= -1°: U’= 1.596415° L’=150.7065mm • U= -2 °: U’= 3.291334° L’=147.3711mm • U= -3 °: U’= 5.204484° L’=141.6813mm
5
E
n
n’
A
-U
h
C U’
A’
O r
-L
L’
折射光线EA’ 由以下参量确定：
※像方截距：顶点O到折射光线与光轴交点，用L’表示。
应用光学(第二章)
※ F ’ 就是无限远轴上物点的像点，称像方焦点
A
E
Q’ E’
h
H’
U’
F’
※ 过F ’ 点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面
它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面
将AE延长与出射光线E’F ’的反向延长线交于Q’
通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，
※ 则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点
N
A’
A
F
H H’ F ’
也可以利用像方焦平面。作和入射光线平行的辅 助光线，利用与光轴成一定角度的光束过光组后 交于像方焦平面。
N’
A’
A
F
H H’ F ’
（二）负光组轴上点作图★
方法1：
R
R’
Q Q’
（1）AQ
N
（2）辅助焦平面
（3）延长AQ到N
F’ A
A’ H H’
（4）NR
F （5）RR’（主面上投射高 度相等）
光轴有一定的夹角，
用 w 表示。
这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像
方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点 的共轭像。
（四）物方焦点、物方焦平面；物方主点、 主平面；物方焦距
E
E’
B
F
－U
h
※ 如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由 F发出的光线经光组后与光轴平行，则 F 称为系统
N’
A’
A
F
H H’ F ’
方法３：
过A作垂直于光轴的辅助物AB，按照前面 的方法求出B’，由B’作光轴的垂线，则交点A’ 就是A的像。
B
A’
A
F
H H’ F ’
A
E
Q’ E’
h
H’
U’
F’
※ 过F ’ 点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面
它是无限远处垂直于光轴的物平面的共轭像平面
将AE延长与出射光线E’F ’的反向延长线交于Q’
通过Q’点作垂直于光轴的平面交光轴于H’点，
※ 则Q’H’平面称为像方主平面，H’称为像方主点
N
A’
A
F
H H’ F ’
也可以利用像方焦平面。作和入射光线平行的辅 助光线，利用与光轴成一定角度的光束过光组后 交于像方焦平面。
N’
A’
A
F
H H’ F ’
（二）负光组轴上点作图★
方法1：
R
R’
Q Q’
（1）AQ
N
（2）辅助焦平面
（3）延长AQ到N
F’ A
A’ H H’
（4）NR
F （5）RR’（主面上投射高 度相等）
光轴有一定的夹角，
用 w 表示。
这样一束平行光线经过理想光组后，一定相交于像
方焦平面上的某一点，这一点就是无限远轴外物点 的共轭像。
（四）物方焦点、物方焦平面；物方主点、 主平面；物方焦距
E
E’
B
F
－U
h
※ 如果轴上某一点F的共轭像点在无限远处，即由 F发出的光线经光组后与光轴平行，则 F 称为系统
N’
A’
A
F
H H’ F ’
方法３：
过A作垂直于光轴的辅助物AB，按照前面 的方法求出B’，由B’作光轴的垂线，则交点A’ 就是A的像。
B
A’
A
F
H H’ F ’
应用光学【第二章】复习
第二章共轴球面系统的物像关系本章内容：共轴球面系统求像。
由物的位置和大小求像的位置和大小。
φ U ˊ - UO C A A ˊ n n ˊ P- LrL’II’Q1. 符号规则反射情形看成是折射的一种特殊情形：n’= －n把反射看成是n’= －n 时的折射。
往后推导公式时，只讲折射的公式；对于反射情形，只需将n’用－n代入即可，无需另行推导。
（1） 物像位置关系式rn n l n l n -=-'''2. 近轴光学的基本公式（2） 物像大小关系式这就是物像大小的关系式。
利用公式就可以由任意位置和大小的物体，求得单个折射球面所成的近轴像的大小和位置。
对由若干个透镜组成的共轴球面系统，逐面应用公式就可以求得任意共轴系统所成的近轴像的位置和大小。
l n nl y y '''==β3. 共轴理想光学系统的基点——主平面和焦点近轴光学基本公式的缺点：物面位置改变时，需重新计算，若要求知道整个空间的物像对应关系，势必要计算许多不同的物平面。
已知两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置，则其任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和共轭点来求得。
光学系统的成像性质可用这些基面和基点求得最常用的是一对共轭面和轴上的两对共轭点。
（1） 放大率β=1的一对共轭面——主平面rn n l n l n -=-'''l n nl y y '''==β不同位置的共轭面对应着不同的放大率。
放大率β=1的一对共轭面称为主平面。
物平面称为物方主平面，像平面称为像方主平面。
两主平面和光轴的交点分别称为物方主点和像方主点，用H 、H’表示，H 和H’显然也是一对共轭点。
主平面性质：任意一条入射光线与物方主平面的交点高度和出射光线与像方主平面的交点高度相同（2）无限远轴上物点和它所对应的像点F’——像方焦点rn n l n l n -=-''' 当轴上物点位于无限远时，它的像点位于F’处。
应用光学第二章
•4.（近轴区）折射球面的光焦度，焦点和焦距
• （2-12）式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径 有关，对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变
量。若 n‘ 、n、 r 一定，则l 变化 l’ 变化，它是表征折射
面偏折光线的能力，称为折射球面的光焦度：
•>0 会聚 •＝0 平面折射 •<0 发散
的成像情况
• 有限大小的物体经折射球面的成像，除了物象位
置外，还会涉及像的正倒、虚实、放大率等问题 。
• 细小物平面以细小光束成像
物平面是靠近光轴的很小的垂轴平面，并以细光束成像 ，就可以认为其像面也是平的，成的是完善像，称为 高斯像，我们将这个成完善像的不大区域称为近轴区
一 单个折射球面成像
• 1.垂轴放大率
•3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
•（2-13）
• （2-11）
•（2-12）
•
•一个公式的三种不同表示形式，便于不同场合的应用 •（2-13）式称为阿贝（Abbe）不变量。给定共轭点， Q物＝Q像，Q的大小与物像共轭点的位置有关。 •（2-11）式表示u和u的关系 •（2-12）式表示物像位置的关系。
•h为光线的入射高度
三单个折射球面近轴光线的光路计算
• 1.近轴光：如果限制U角在一个很小的范围内，即从A
点发出的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光 光轴附近的一个小区域称为近轴区。 研究近轴区的物象关系的光学称为近轴光学。 在近轴几何光学中，经常用到以下近似公式（一级泰勒展开 ）
U为物方孔径角，是个很小值（<<1rad）,当U<5°，近似 代替误差大约为1%. 近似的有效范围根据精度要求可扩展 至10-30°
多样的，为使推导出的公式在各种情况下都适用 ，对参数符号做了规定
应用光学第二章
27.22736 50 77.22736 -50 0.17081 -0.26383 1.5163/1 -0.40004 -50 0.31098 64.31856 -50 14.31856 -15.29727 23.58074 9.83503 18.1185
上面计算了由轴上物点A发出的三条光线
计算结果表明，三条光线通过第一个球面折射后，和光轴的交点 到球面顶点的距离L1’随着U1（绝对值）的增大而逐渐减小：
+
+
d — 由前一面顶点算起到下一面顶点。
d
2 角度：
一律以锐角度量，顺时针转为正，逆时针转为负。 角度也要规定起始(基准)轴： U、U' — 由光轴起转到光线； I、I' — 由光线起转到法线； ψ— 由光轴起转到法线，
-
+
例
Q
P
-I
-I'
-U A
O φ C Uˊ Aˊ
-L
n nˊ
r
L'
应用时，先确定参数的正负号，再推导公式。 算出的结果亦应按照数值的正负来确定光线的相对位 置。 注意 为了使导出的公式具有普遍性，推导公式时，几何 图形上各量一律标注其绝对值，永远为正
3度
第一面 -100 -100 -10 -10 -110 -110 10 10 -0.01745 -0.0349 0.19198 0.38389 1/1.5163 1/1.5163 0.12661 0.25318 10 10 0.04875 0.102965 25.9689 24.59107 10 10 35.9689 34.59107 -5 -5 30.9689 29.59107 11.06815 22.5751 -7.27365 -14.66568 -1 -2 2.7945 5.90942
应用光学第二章
下光学系统对物体在横向与纵向上有不同的放大率，如果有
一个正方体物体经光学系统成像，其像将不再是正方体。因
此，用于立体成像的光学系统（如体视显微镜）一般不宜设
计成较大的放大率，以免失真。
3、近轴区域的物像放大率
⑶ 角放大率 物体以某一孔径角u入射到折射球 面上，经折射后以孔径角u′成像，定义u与u′ 的比值为角放大率，用γ表示
❖ ……
❖ ⑤ 对第k面作单个球面成像计算求得（lk′、 uk′、 yk′）。
第四节 共轴球面系统的成像
❖共轴球面系统的放大率就是各面放大率的 乘积，即
1 2 3 （2-35）
1 2 3 （2-36）
1 2 3 （2-37）
三个放大率之间的关系依然成立
u k′、yk′）：
❖ ① 对第一面作单个球面成像计算求得（l1′、u1′、 y1′）；
❖ ② 用过渡公式由（l1′、u1′、y1′）求得（l2、u2、 y2）；
❖ ③ 对第二面作单个球面成像计算求得（l2′、u2′、 y2′）；
❖ ④ 用过渡公式由（l2′、u2′、y2′）求得（l3、u3、 y3）；
n'(1 1) n(1 1) Q r l' r l n'u'nu (n'n) h r
（2-12） 阿贝不变式 （2-13）孔径变化式
n' n n'n
l' l
r
（2-14）“距度”（距离倒数）变化 式
2、近轴区域的物像关系
几何光学中将公式（2-14）等号右面的表达式定义为折射球
面的光焦度，用表示，即
例题
❖例2-2 凹面镜的曲率半径为160㎜， 一个高度为20㎜的物体放在反射镜 前100㎜处，试求像距、像高和垂 轴放大率。
应用光学习题第二章
该题中得到实像点时，采用的就是虚物成实像的形式（会聚光入射）
a.
正弯月单透镜r1
0，r2 r1 r2
0
r1 r2，所以第一个面对球心C1点在C2点的左边
i) 若透镜第二个面的球心C2恰好是第一个面的不晕点。
ii）那么过不晕点的共轭点S1的光线则过C2点
iii ）对于第二个面来说，过球心的光线保持方向不变，
答： 根据不晕条件，物像点在透镜的同一侧，所以不晕透镜分两种情况，
一种是实物成虚像，一种是虚物成实像。
该题中 l =-60 mm<0 所以属于实物成虚像的情况。
(1) 如果是正弯月型透镜
1 2
n1l1 ' n1 ' l1
n2l2 ' n2 'l2
l1' nl2 ' l1' l2 ' 1 1 nl1 l2 l1 l2 1.5
正弯月单透镜构成不晕透镜C（2 S1，S2，S2）
n1 1
n2 1
S1
C1 C2
n
l2 l2
r1
l1
r2 l1
同心球面透镜构成不晕透镜C（2 C1，S1，S1，S2，S2）
n1 1
n2 1
C1
C2
n
r1
r2
l1 l1 l2 l2
编 号 2_005 出处 P193_9
证明同心透镜的光焦度
y' nu n sin u
y n'u' n'sin u'
所以n'y' sin u' ny sin u满足正弦条件
编 号 2_007 答：(接上一页）
（b）forl r,也就是说i' i 0，u u'，sinu sin u'
应用光学第二章总结
第二章总结宗旨：由物的位置和大小求像的位置和大小。
物的位置（L ，U ）+系统参数：n 、n ’、r →像的位置（L ’，U ’） 物像关系式，公式（2-1）~（2-5）→近轴物像关系式（2-6）~（2-10）：2121sin sin sin 'sin '''sin ''sin '','L rI U r nI In U U I I r I L r U L L d U U -===+-=+=-= →2121'''''''','l r i ur n i in u u i i ri l r u l l d u u -===+-=+=-=近轴光路的另一种表示形式（2-11）：(')''n n h n u nu r--=物像位置关系式（2-12）、（2-13）：''1111'()()''n n n n n n l l r l r l r--=⇔-=- 转面公式（2-14）：212111','u u h h d u ==-物像大小关系式（2-15）：'''y nl y n l β==基平面与基点：主平面：放大率β=1的一对共轭面。
物方主平面、像方主平面，物方主点H 、像方主点H ’。
主平面的性质：任意一条入射光线和物方主平面的交点高度与其出射光线和像方主平面的交点高度相等。
像方焦点：无限远的轴上物点通过系统以后的像点F ’。
像方焦平面 像方焦点和像方焦平面的性质：平行于光轴的任意光线，其共轭光线必通过像方焦点F ’；和光轴成一定夹角的平行光线，通过光学系统后，必成像于像方焦平面上一点。
物方焦点：无限远的轴上像点所对应的物点F ，物方焦平面 物方焦点和物方焦平面的性质：过物方焦点F 的任意光线通过光学系统后，平行于光轴出射； 物方焦平面上轴外任意一点发出的所有光线，通过光学系统后，对应一束和光轴成一定夹角的平行光束。
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光学系统的放大率
• 1、垂轴放大率：共轭 面像高与物高比
• 公式：
y` x` f
y f` x 或者
y` l` f ` fl`
y f ` f ` f `l
• 2、轴向放大率：物平 面沿光轴移动dx时，像
也沿光轴移动dx`,
• 公式：
由高斯公式：
dx` dl`
dx dl
• 2、高斯公式：
l (100 0.565) 100.565
代入高斯公式：
f` f 1 l` l l` 19.898 l`2 19.898 2.828 17.070
y` fl` 16.61119.898 0.19786
y f `l 16.611 (100.565)
y` y (0.19786) 10 1.9786
f l`2 f `l2
由牛顿公式：
dx` x`
dx x
• 3、角放大
率：共轭面
上轴上点A
发出的光线
通过光学系
统后，与光
轴的夹角U` 的正切和对 应的入射光 线与光轴所 成的夹角U
远轴光线： tgU`
tgU
对近轴光线： u`
u
由高斯公式： tgU` l
tgU l`
的正切之比。 牛顿公式： 1 ( f ) x f
• 1、应用牛顿公式：
x (l1 lF ) (100 16.046) 83.954
代入牛顿公式：
xx` ff ` x` 16.6112 3.287 83.954
l`2 13.783 3.287 17.070
y` f 0.19786
yx
y` y (0.19786) 10 1.9786
x f 1
f ` x`
对J和J `有：
xJ f `; xJ ` f
节点的应用
• 1、应用节点测定光学系统基点位置 • 过节点的入射光线和出射光线平行。
• 2、用于拍摄大型团体像片的周视相机
无限远处物体理想像高的计算
• 有限距离时的像高求法： • 已知主平面和焦点时：求出垂轴放大倍率，
f ` f ` x`
物像空间不变式
• 拉格朗日-亥姆霍兹不
变式（拉赫不变量）： 实际光学系统在近轴
y` y
nl` n`l
范围内成像的一种普 遍物性。
在近轴时： u h 或u h ;u` h
l
l l`
u l` u` l
y` nl` nu
y n`l n`u`
nuy n`u`y` const
l (x) ( f ) l` x` f ` x l f ; x` l` f `
代入牛顿公式得：
f` f 1 l` l
x` l` f ` fl`
f ` f ` f `l
例题
• 如图所示：已知主点、焦点位置，应用牛顿公式和高斯公 式直接求透镜前100处的物平面所对应的理想像的位置及 放大率。
H `K`F`~ A`B`F` y` x` y` x` y f` y f`
y` x` f
y f` x xx` ff `
高斯公式
• l-以物方主点H为原点 到物点的距离，从左 向右为正，反之为负；
• l`-以像方主点Ｈ`为原
点到像点的距离，从 左向右为正，反之为 负。
• 物/像高度与前一致
• 对于多个球面组成的系统有：
n1u1 y1 n`1u`1 y`1 n2u2 y2 n`k u`k y`k J nuy n`u`y`
• 对于一对确定的共轭面，角放大率等于常数
J nytgU n`y`tgU`
当物像空间同质时：
ytgU y`tgU`
物方焦距与像方焦距关系
• 如图所示光学系统：
应用光学第二章（续）
主讲：张建寰 单位：机电系
本节课的内容
• 1、作图法求像； • 2、解析法求物像关系； • 3、第三类基点：节平面和节点 • 4、像高的求法 • 5、光学系统组合计算：正切法与截距法 • 6、作业
作图法求光学系统的理想像
• 根据已知的主平面和焦点，用作图法求出任意物 点的理想像。
题二：轴上物点A的像
K K`
B
B
K K`
B`
F`
F H H` A`
A
F`
B` H H`
A
A`
F
正透镜虚物成实像
负透镜实物成虚像
理想光学系统物像关系式 （解析法）
• 前面物像关系的解法是图解法，图解法会 由于作图的准确因素造成一定的误差。
• 精确的解法是解析的方法来求出物像关系。
• 按照所选坐标原点的不同，有两种物像关 系计算式：
• 以焦点为原点的——牛顿公式
• 以主点为原点的——高斯公式
牛顿公式
• 如图所示：
• x-以物方焦点F为
原点到物点的距离， 由左向右为正，反 之为负；
• x`-以像方焦点F`
为原点，到像点的 距离，由左向各为 正，反之为负。
• 物高和像高用y,y`
表示
• 利用几何关系可得：
ABF ~ HIF y` f y` f y x y x
• 只要找出从物点发出的两条特殊光线的像空间的 共轭光线就可以找出像点。
B
K
K`
• 两条特殊的光线为：
• 1、通过物点经物方
H` F` A`
焦点入射的光线；
A FH
• 2、通过物点平行光
I
I`
B` 轴入射的光线。
图2-27
B
A
F
M M`
N N` A`
H
H` F`
题一：物点B在F与H之间
然后由物高求出像高； • 主点和焦点未知时：由轴上一物点出发计
算一条近轴光线，根据入射光线会聚角u和 出射光线的会聚角u`，利用物像空间不变 式求出理想像高。
• 无限远物像高：
• 物位于无限远处 时，用光束与光 轴夹角来表示无 限远轴外物点的 位置。如图所示。
y` nu fl`
y n`u` f `l
f l` nu f ` l n`u`
tgU` u` l 或 u` l
tgU u l` u l`
f ` n` fn
对于位于空气中的光学系统有：
f ` f
节平面和节点
• 理想光学系统中，除一对主平面H、H`，和两焦点 F和F`外，还有一对特殊的共轭面，即节平面。
• 所谓节平面就是角放大率为1的一对共轭面。 • 物方节平面和像方节平面
• 节平面与光轴的交点称为节点：J、J`
• 特点： • 过物方节点J的光线，其像方出射光线必过像方节点J`，且
入射光线与出射光线平行。
• 节点位置确定： • 过物方节点J的光线，其像方出射光线必过像方节点J`，
且入射光线与出射光线平行。