统计学一元线性回归课后习题答案

表示实际值与估计值之间的差异程度是0.5
11.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时 间的关系，为此，他抽出了公司最近10个卡车的运货记录的随 机样本，得到运送距离（单位：km）和运送时间（单位：天） 的数据如下表：
运送距离x 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215
要求： (1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并
说明二者之间的关系形态。
人均消费水平
14000 12000 10000
8000 6000 4000 2000
0 0
系列1
10000
20000 人均GDP
30000
40000
产量和生产费用之间存在着正的线性相关关系
(2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之 间的关系强度。
某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费 水平为2278.1078元。
(7)求人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的置信区 间和预测区间。
解：已知n=7，t(7-2)=2.5706
n
yi yˆi 2
se
i 1
n2

置信区间为
SSE n2
305795.0343 61159.007 5
ˆ1

7*651007421 2710124051
7*1904918867 857392
=0.308683
ˆ0 4515.571429 0.308683*12248.428
=734.6928
y = 734.6928 + 0.308683x
回归系数的含义：人均GDP每增加1元， 人均消费增加0.309元。
4）如果航班正点率为80%，估计顾客投诉次数
yˆ80 =429.897-4.7*80=54.2
5）求航班正点率为80%，顾客投诉次数95%的置信区间和预测区间
解：已知n=10，t(10-2)=2.306
n
se
yi yˆi 2
i 1

n2
SSE n2
3035.965 19.449 8
r
n xy x y
n x 2 x2 n y 2 y2
7 *651007421 2710124051

0.998123
7 *1904918867 857392 7 *1346900766 316092
说明两个变量之间高度相关
(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际 意义。
180
130
175
140
185
（1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。
费用
产量与生产费用
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20
0 0
20
40
60
80
100
120
140
产量
产量和费用存在正的线性相关系数
系列1 160
2）计算产
se

n
i 1
xi2

1 n

n i 1
xi
2
19.449
0.98589
57830.39 1 *757.92
10
t ˆ1 4.7 4.7684
sˆ1 0.98589
t ˆ1 ~ t(8) =2.201
sˆ1
t=4.7684>t=2.201，拒绝H0，回归 系数显著
6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0
0
200
400
600
800 1000 1200 1400 1600
运送距离（公里）
根据图表显示，二者可能存在正线性相关关系
(2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度
运送距离x 运送时间y
运送距离x
1
运送时间y 0.94894
1
x与y的简单相关系数是0.9489，两 变量之间呈现高度正相关关系
(4)计算判定系数，并解释其意义。
= 81444968.68 =0.9963 81750763.71
人均GDP对人均消费的影响达到99.6%。
(5)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05)。
提出假设
H0：1=0 人均消费水平与人均GDP之间的
线性关系不显著 计算检验统计量F
F SSR 1 81444968.68 1 1331.6921 SSE (n 2) 305795.03 (7 2)
置信区间为
yˆ80 t 2 (8)se
1
10
x0 x 2
20 相 25
30 35
复习时间关关
系
复习时间和考试分数存在正的线性相关关系
系列1 40
（2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
r
8(20*64 16*61 ... 22*77) (20 16 ... 22)*(64 61 ... 77)
一元线性回归课后习题讲解
--------第九组
11.1 从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下：
企业编号
产量（台） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
生产费用
40
130
42
150
50
155
55
140
65
150
78
154
84
165
100
170
116
167
125
R2 SSR SSR 36 0.9 SST SST SSE 40
回归直线对观测值的拟合程度为0.9，说明变量Y的 变异性中有90%是由自变量x引起的。
2）计算估计标准误差se 并解释其意义
n
se
yi yˆi 2
i 1

SSE
4 0.5
n2
18 2 16
二者之间为负的线性相关关系
系列
80
100
2）用航班正点率作自变量，建立估计的回归方程，并解释 回归系数的意义
Intercept 航班正点率
Coefficient s
429.8986352
-4.7011299
标准误差 t Stat P-value
74.97337331 5.734018 0.000437 0.985891202 -4.76841 0.001411
r=0.9202
（3）对相关系数的显著性进行检验（ ＝0.05),并说明二者之
间的关系强度。
1、提出假设：H0： ；H1： 0
2、计算检验的统计量
t r n 2 ~ t(n 2) 1 r2
t 0.9202
12 2 1 0.92022
7.435453
t(12-2)=2.2281
(3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义
最小二乘估计：y^= ^0+ ^1 x
｛ 将表中数据代入公式得：
=0.003585
=0.118129
∴y=0.118129 + 0.003585x
y关于x的回归方程为y=0.118129 + 0.003585x表示运输距离每增加1公里， 运送时间平均增加 0.003585天。
yˆ0 t 2 (n 2)se
1
n
x0 x 2
n
xi x 2
i 1
2278.1078 2.5706*61159.007 1 5000 4515.57142
7 13625127.29
1990.74915<E(y)2565.46399
人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的
8*(202 162 ... 222 ) 20 16 ... 222 8*(642 612 ... 772) (64 61 ... 77)2
r=0.8621
11.3、根据一组数据建立的线性回归方程 要求：
ˆ ˆ 112） ） ）解解当释=释截6斜距时率的0的E意（1义的y。）意义。
置信区间为[1990.74915，2565.46399]
解：根据前面的计算结果，已知n=7，t(7-2)=2.5706
n
yi yˆi 2
se
i 1
n2

预测区间为
SSE n2
305795.0343 61159.007 5
2278.1078 2.5706*61159.007 1+ 1 5000 4515.57142
根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n2)=2.2281由于t=7.435453>t(12-2)=2.2281， 拒绝H0，产量与生产费用之间存在着显著的正线性
相关关系
11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：小时）和考 试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，一位 研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，取得的数据如 下：
运送时间y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0
(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形 态 (2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实 际意义。
运送时间（天）
(1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态
7 13625127.29
1580.46315 E( y0 ) 2975.74999
人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的预 测区间为[1580.46315，2975.74999]。
11.7随机抽取10家航空 公司，对其近一年的航 班正点率和顾客投诉次 数进行调查，所得数据 如下
• 11.6 下面是7个地区2000年的人均国内生产总值 （GDP）和人均消费水平的统计数据：
地区
北京 辽宁 上海 江西 河南 贵州 陕西
人均GDP(元)
22 460 11 226 34 547 4 851 5 444 2 662 4 549
人均消费水平(元)
7 326 4 490 11 546 2 396 2 208 1 608 2 035
yˆ 10 0.5xˆ
1）表示在没有自变量X的影响时其他各种因素对因变 量Y的影响为10 2）斜率的意义在于：自变量X变化对Y影响程度。回 归方程中，当x增加一个单位时,y将减少0.5个单位。 3）x=6时，代入方程，则，y=10-0.5 6=7
11.4 设SSR=36，SSE=4，n=18 要求：1）计算判定系数R^2并解释其意义
yˆ =429.897-4.7*x
回归系数ˆ1 =-4.7表示航班正点率 每增加1%顾客投诉次数平均下降 4.7次。
3）检验回归系数的显著性（a=0.05）
提出假设 H0：b1 = 0 H1：b1 0
计算检验的统计量
n
yi yˆi 2
se
i 1
n2

SSE n2
3035.965 19.449 8
复习 时间X
考试 分数Y
20 16 34 23 27 32 18 22 64 61 84 70 88 92 72 77
要求：（1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之 间的关系形态。
分数
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
0
复
习
时
间
和
考
试
分
数
存
在
正
的
线
性
5
10 15
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
r
12(40*130 42*150 ...140*185) (40 42 ...140)*(130 150 ...185)
12*(402 422 ...1402) 20 16 222 12*(1302 1502 ...185 ) (130 150 ...185)2
航空公司 航班正点 顾客投诉
编号
率
次数
1
81.1
21
2
76.6
58
3
76.6
85
4
75.7
68
5
73.8
74
6
72.2
93
7
71.2
72
8
70.8
122
9
91.4
18
10
68.5
125
1）绘制散点图，说明二者之间的股息形态
顾客投诉次数
140 120 100
80 60 40 20
0 0
20
40
60
航班正点率
确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自 由度7-2找出临界值F =6.61
作出决策：若F>F ,拒绝H0，线性关系显著
(6)如果某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费水平。
y = 734.6928+ 0.308683 x
y = 734.6928+ 0.308683 *5000=2278.1078