非参数统计-非参数密度估计
非参数概率密度估计
非参数概率密度估计非参数概率密度估计是一种常用的统计方法，可以用来估计未知的概率密度函数。
在实际应用中，很多情况下我们不知道数据的概率分布，但是我们可以通过样本数据来对概率密度进行估计。
非参数概率密度估计的基本思路是通过样本数据来构造一个概率密度函数，使得这个函数能够较好地拟合数据。
与参数概率密度估计不同的是，非参数概率密度估计不需要对概率密度函数做出任何假设，因此更加灵活。
常见的非参数概率密度估计方法包括直方图法、核密度估计法、最邻近法等。
下面我们分别介绍一下这几种方法。
1. 直方图法直方图法是最简单的一种非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将数据按照一定的区间划分为若干个小区间，然后统计每个小区间中数据出现的频数，最后将频数除以样本总数和小区间的宽度，得到每个小区间的频率密度。
比如对于分布不均匀的数据，直方图法可能会得到不太准确的结果。
2. 核密度估计法核密度估计法是一种比较常用的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是将每个样本点周围的一定范围内加权平均起来，得到一个平滑的概率密度函数。
核密度估计法的优点是可以得到比较平滑的概率密度函数，适用于各种不同形状的分布。
但是它也有一些缺点，比如对于样本数量较少的情况，可能会得到不太准确的结果。
3. 最邻近法最邻近法是一种比较简单的非参数概率密度估计方法。
它的基本思路是对于每个样本点，找到离它最近的k个样本点，然后将这k个样本点按照距离远近进行加权平均，得到一个平滑的概率密度函数。
比如对于样本数量较少或者分布不均匀的情况，可能会得到不太准确的结果。
总之，非参数概率密度估计是一种非常有用的统计方法，在很多领域都有广泛应用。
当我们不知道数据的分布情况时，可以使用非参数概率密度估计来对数据进行分析和建模。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体问题选择合适的方法。
统计学习理论中的非参数估计
统计学习理论中的非参数估计统计学习理论是一门研究如何从数据中学习模型和进行预测的学科。
在这一领域中，非参数估计是一种重要的统计方法，它的目标是根据给定的数据，估计出未知的概率分布或者密度函数。
与参数估计相比，非参数估计不需要事先对概率分布做出明确的假设，因此更加灵活和适应性强。
一、什么是非参数估计非参数估计是指在统计学中，对数据的概率分布形式不做出具体的假设，而仅从数据本身出发，通过统计方法推断出未知的概率分布或者密度函数。
换句话说，非参数估计不依赖于具体的参数模型。
二、非参数估计的基本思想非参数估计的基本思想是通过使用核密度估计或直方图等方法，对数据本身的分布进行估计。
核密度估计是一种常用的非参数估计方法，其中密度函数由一系列核函数的线性组合表示。
三、核密度估计的原理核密度估计的原理是通过在每个数据点附近放置一个核函数，并对所有的核函数求和来估计密度函数。
核函数的选取可以采用高斯核函数等，通过调整带宽参数，可以控制核函数的宽窄，从而对密度函数进行估计。
四、非参数估计的优缺点非参数估计的优点在于它不需要对概率分布的形式做出明确的假设，更加灵活和适应性强。
它可以适用于各种类型的数据，并能够准确地反映数据的分布情况。
然而，非参数估计的缺点在于它需要更多的数据量来进行估计，计算复杂度较高。
五、非参数估计的应用领域非参数估计在统计学习理论中有广泛的应用。
在分类问题中，可以使用非参数估计来估计不同类别的概率分布，进而进行分类预测。
在回归问题中，非参数估计可以用于拟合曲线或者曲面，从而进行预测。
六、非参数估计的发展和展望随着统计学习理论的发展，非参数估计方法也在不断改进和扩展。
目前，一些新的非参数估计方法，如支持向量机，随机森林等，已经广泛应用于各个领域。
未来，非参数估计方法将进一步优化，并在更多的实际问题中得到应用。
总结起来，非参数估计是统计学习理论中的重要方法之一，它不需要对概率分布的形式做出明确的假设，更加灵活和适应性强。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(Ⅰ)
非参数统计中的核密度估计使用技巧引言非参数统计是一种不依赖于总体分布形式的统计方法，核密度估计就是其中的一种重要方法。
核密度估计是一种通过核函数对数据进行平滑处理来估计概率密度函数的方法，广泛应用于数据分析、模式识别和机器学习等领域。
在实际应用中，正确使用核密度估计的技巧对于得到准确的概率密度估计是至关重要的。
本文将从数据预处理、核函数选择、带宽选择和可视化等方面介绍非参数统计中核密度估计的使用技巧。
数据预处理在进行核密度估计之前，需要对数据进行一些预处理工作。
特别是在处理实际采集的数据时，数据可能存在缺失值、异常值或者需要进行标准化处理。
对于缺失值和异常值，可以选择删除、填充或者插值等方法进行处理；对于需要标准化的数据，可以进行Z-score标准化或者最小-最大标准化等方法。
数据预处理的目的是保证核密度估计的准确性和稳定性，避免因为数据质量问题而导致估计结果失真。
核函数选择核函数是核密度估计中的重要参数，它决定了对数据进行平滑处理的方式。
常用的核函数包括高斯核、矩核和Epanechnikov核等。
在选择核函数时，需要考虑数据的分布特性和估计的目的。
例如，对于对称分布的数据，可以选择高斯核函数；对于偏态分布的数据，可以选择矩核函数。
此外，还可以根据不同的核函数进行比较，选择最适合的核函数进行估计。
带宽选择带宽是核密度估计中的另一个重要参数，它决定了平滑的程度。
带宽过小会导致估计过拟合，带宽过大会导致估计欠拟合。
常用的带宽选择方法包括最小平均交叉验证法、最小均方误差法和银行估计等。
在选择带宽时，需要注意避免过拟合和欠拟合的问题，选择合适的带宽方法进行估计。
可视化核密度估计的结果可以通过可视化的方式呈现出来，帮助人们直观地理解数据分布的特点。
常用的可视化方法包括直方图、散点图和核密度图等。
通过可视化方法，可以直观地观察到数据的分布形态和密度分布情况，辅助我们对数据进行分析和解释。
结论核密度估计是非参数统计中的一种重要方法，正确使用核密度估计的技巧对于数据分析和模式识别具有重要意义。
非参数密度估计
非参数密度估计非参数密度估计是一种在概率论和统计学中非常重要的技术。
该技术旨在通过从样本数据中推断出其真实数据的概率密度函数，而无需在先验上做任何假设。
与参数化估计技术不同，非参数化技术仅使用可得到的数据，而不需要先假设数据的概率分布。
下面是关于非参数密度估计的一些步骤解析。
1. 理解非参数密度估计的概念在探讨非参数密度估计的各个方面之前，理解该方法的概念非常重要。
非参数密度估计旨在通过从已知数据集中推断出一个未知数据集的概率密度函数。
这种方法通常用于连续型和离散型数据的处理，特别是在数据量较大时使用较为广泛。
2. 特征评估为了进行非参数密度估计，首先需要评估样本数据的一些特征。
这些特征包括样本的平均值、方差、分布形状和分布密度等。
这些特征可以用来确定所需的估计方法的类型以及确定最佳估计量的标准。
3. 创建直方图在进行非参数密度估计时，首先需要创建一个直方图，以了解样本数据的分布形状以及密度。
直方图通过将样本数据分成若干等宽的区间，并计算每个区间中数据的数量来展现数据的分布情况。
在这种情况下，每个区间的高度表示该区间中数据的数量。
4. 核密度估计核密度估计是一种最广泛使用的非参数密度估计技术。
这种方法通过在每个数据点附近放置核心函数，并将它们相加来计算概率密度函数。
核心函数通常采用高斯分布，其平均值为所估计的数据点，方差由样本数据确定。
5. 交叉验证交叉验证是一种可以判断估计量性能优劣的方法。
该方法利用将数据集分成训练集和测试集来评估方法的泛化能力。
如果对测试数据的预测能力很强，那么我们可以确定该方法可以在其他未见数据上得到可靠的效果。
综上所述，非参数密度估计是一种有用的统计分析技术，其主要用途是从样本数据中推断出概率密度函数而无需考虑预先设定的概率分布。
然而，在应用该技术时，必须考虑到数据的特征，创建直方图，应用核密度估计，以及使用交叉验证来评估所用方法的效果。
非参数估计(完整)PPT演示课件
P p xdx p xV R
Pˆ k N
pˆ x k / N
V
对p(x) 在小区域内的平均值的估计
9
概率密度估计
当样本数量N固定时，体积V的大小对估计的 效果影响很大。
过大则平滑过多，不够精确； 过小则可能导致在此区域内无样本点，k=0。
此方法的有效性取决于样本数量的多少，以 及区域体积选择的合适。
11
概率密度估计
理论结果：
设有一系列包含x 的区域R1，R2，…,Rn,…，对 R1采用1个样本进行估计，对R2用2 个，…， Rn 包含kn个样本。Vn为Rn的体积。
pn
x
kn / N Vn
为p(x)的第n次估计
12
概率密度估计
如果要求 pn x 能够收敛到p(x)，那么必须满足：
分布，而不必假设密度函数的形式已知。
2
主要内容
概率密度估计 Parzen窗估计 k-NN估计 最近邻分类器（NN） k-近邻分类器（k-NN）
3
概率密度估计
概率密度估计问题：
给定i.i.d.样本集： X x1, x2 , , xl
估计概率分布： p x
4
概率密度估计
10.0
h1 0.25
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 10.0
1.0
0.1
0.01
0.001 2 0 2
h1 1 2 0 2
h1 4 2 0 2 27
由图看出, PN(x)随N, h1的变化情况 ①当N＝1时， PN(x)是一个以第一个样本为中心的正
非参数统计非参数密度估计
exp(| u |)
以高斯核函数为例
pˆn (x)
1 nh
n i 1
1 exp( 1 ( x xi )2 )
2
2h
其中{x1, , xn}为样本序列
用S-Plus编程计算密度估计值. 1) 调用数据文件
A<-read.table("E:\\各种电子课件\\非参数统计 \\data\\newfish.txt",header=T,sep=",")
113 112 250 219 123 197 170 32 92 137 123
k=3 32
数值
19.6 22.3 14.07 8.5 17.3 7.6 6.3 6.5 22.1 2.0 17.3 6.5
R(x,5|ω1)
0.22 0.11 0.94 0.45 0.91 0.54 0.31 0.51 0.18 2.16 0.21 0.19
当带宽h=0.2时,密度函数曲线比较粗糙,噪声很多; 当带宽h=1时,密度函数曲线比较平滑,较为理想; 而带宽h=5时,密度函数曲线最平滑的,但信息损失很多; 如何选择合适的带宽,是核函数密度估计的关键. 考虑估计的均方误差.
MSE(ˆ, ) E(ˆ )2 Dˆ E(Eˆ )2
均方误差
MISE E ( pˆn (x) p(x))2 dx [Bias( pˆn (x)) var(pˆn (x))]dx
nVn i1
hn
核密度估计的定义
定义8.1
假设数据x1,x2,…,xn取自连续分布p(x), 定义核密度估计
pˆn (x)
1 nVn
n K ( x xi )
i 1
hn
其中K ()为核函数
非参数统计方法的介绍
非参数统计方法的介绍统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，为了更好地理解和解释数据，统计学家们发展了各种各样的统计方法。
其中一类重要的方法就是非参数统计方法。
与参数统计方法相对，非参数统计方法不依赖于对总体分布的假设，更加灵活和广泛适用于各种情况。
一、非参数统计方法的概述非参数统计方法是基于数据的排序和秩次的分析方法，不需要对总体参数进行假设。
它的主要特点是：不依赖于总体的分布形式，适用于任意类型的数据；不需要对总体参数进行估计，不需要检验参数值；能够处理非连续型变量和偏态数据。
二、秩次统计法秩次统计法是非参数统计方法中的一种重要方法，主要用于比较两组数据的差异或相关性检验。
这种方法将原始数据转化成秩次或秩次差来进行统计分析，具有较好的稳健性和非正态分布数据的适应性。
三、Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是秩次统计法的一种常见应用，常用于比较两个相关样本或配对样本的差异。
它主要通过将配对观测值的差异转化为秩次，来判断两个总体是否存在差异。
四、Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是另一种常见的秩次统计方法，主要用于比较两个独立样本的差异。
该方法不依赖于总体分布的假设，适用于非正态分布和偏态数据。
它通过比较两个样本的秩次和来判断两个总体是否存在差异。
五、Kruskal-Wallis检验Kruskal-Wallis检验是一种非参数多样本比较方法，适用于三个以上独立样本的差异性检验。
该方法通过将原始数据转化为秩次和来判断不同样本组之间是否存在显著差异。
六、Friedman检验Friedman检验是非参数的配对多样本差异比较方法，用于比较同一组样本在不同条件下的差异。
该方法是将样本各组的观测值转化为秩次，再计算秩次和进行统计推断。
七、Bootstrap法Bootstrap法是一种利用从原始数据中随机抽样的方差估计方法，适用于样本较小或者未知分布的情况。
它通过有放回的抽样来生成多个样本，从而对样本的分布进行估计，并得出对总体参数的估计值。
非参数统计方法中的密度估计算法
非参数统计方法中的密度估计算法密度估计是非参数统计学中的一个非常基础的课题，它的核心是从一个数据集中推断出该数据集背后的分布情况。
在实际应用中，分布情况往往是未知的，但是我们可以通过样本数据来近似该分布。
因为密度是一个连续函数，所以密度估计通常也被称为连续分布估计。
由于非参数统计学不依赖于先验假设，所以密度估计算法非常灵活，有很多种不同的方法可以用来近似分布。
这些方法的目标是尽可能准确地估计分布，同时避免过拟合和欠拟合的问题。
本文将介绍一些常见的密度估计算法，包括直方图、核密度估计和K近邻密度估计。
一、直方图法直方图法是一种非常简单的密度估计算法，它将数据集分成若干个等宽的区间，对每个区间内的数据求和，得到该区间内的频数。
然后通过将每个区间内的频数除以数据总量来估计每个区间的密度。
最终的密度估计是由所有区间密度的柱状图组成的。
然而，直方图法的精确度受区间宽度的影响很大。
如果区间宽度太窄，会导致过拟合，而如果区间宽度太宽，会导致欠拟合。
因此，找到合适的区间宽度是直方图法中的一个重要问题。
二、核密度估计法核密度估计法是一种非常流行的密度估计算法，它采用核函数将每个样本点周围的密度贡献到密度估计中。
具体来说，核密度估计法将每个样本点周围的区域作为一个小尺寸的正态分布，将它们加权平均起来作为最后的密度估计结果。
核密度估计法有很多种不同的核函数，包括高斯核、矩形核、三角核等等。
核函数的形式通常是由使用者根据实际应用情况来决定的，核函数的形状会影响最终密度估计过程中的平滑程度和偏压程度。
核密度估计法的优点是可以自适应地适应数据的分布情况，而不需要手动调整区间大小。
但它的缺点是计算成本较高，而且导数可能不连续，使得图形样式不够吸引人。
三、K近邻密度估计法K近邻密度估计法是另一种非参数密度估计方法，它不需要认为数据服从某个特定的分布，它只需要使用一些已知的样本数值来进行估计。
K近邻密度估计法的思想是：一个点的密度应该是在它周围K个点的距离内的点数占总点数的比例。
kernel密度估计法
kernel密度估计法Kernel密度估计法是一种常用的非参数统计方法，用于估计随机变量的概率密度函数。
在统计学中，概率密度函数描述了随机变量在每个可能取值处的概率分布情况。
Kernel密度估计法通过将一组核函数在每个数据点上进行加权平均来估计概率密度函数。
这种方法的优势在于不需要对数据进行任何分布假设，并且可以适用于任意维度的数据。
Kernel密度估计法的核心思想是将每个数据点周围的一小段区域视为一个核函数的支持区间，将这些核函数加权平均后得到概率密度函数的估计。
核函数通常是一个关于原点对称的函数，且满足积分为1的条件。
常用的核函数有高斯核函数、矩形核函数和三角核函数等。
在进行Kernel密度估计时，首先需要选择合适的核函数和带宽参数。
核函数的选择和带宽参数的确定会直接影响到估计结果的准确性。
常用的带宽选择方法有最小二乘交叉验证和正态分布近似等。
一旦确定了核函数和带宽参数，就可以利用Kernel密度估计法来估计概率密度函数。
对于一个给定的数据点，首先将该点周围的一小段区域视为一个核函数的支持区间，然后计算该点在该区域内的核函数值。
再将所有数据点的核函数值加权平均，得到该数据点处的概率密度估计值。
重复这个过程，可以得到整个数据集的概率密度估计函数。
Kernel密度估计法的优点在于其灵活性和无偏性。
由于不需要对数据进行任何分布假设，因此可以适用于各种类型的数据。
另外，由于采用了加权平均的方法，所以估计结果相对较为平滑，不容易受到离群值的干扰。
然而，Kernel密度估计法也存在一些缺点。
首先，带宽参数的选择对估计结果有较大的影响，但如何选择合适的带宽参数并没有一个统一的标准。
其次，当数据维度较高时，由于样本点的稀疏性，估计结果可能会变得不准确。
此外，当样本量较大时，计算复杂度较高，运算速度较慢。
为了解决上述问题，研究人员提出了一些改进的Kernel密度估计方法。
例如，可以采用自适应带宽参数，根据数据的局部特征来确定带宽参数的取值。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(七)
非参数统计中的核密度估计使用技巧在统计学中，核密度估计是一种非参数统计方法，用于估计随机变量的概率密度函数。
与参数统计方法相比，核密度估计不需要对数据的分布做出假设，因此更加灵活和通用。
在实际应用中，核密度估计经常用于数据的光滑和可视化，例如在探索性数据分析和密度估计中。
本文将介绍核密度估计的原理、使用技巧和注意事项。
1. 核密度估计的原理核密度估计的基本思想是将每个数据点周围的小区间内的数据点贡献到该点的概率密度估计中，然后将所有点的估计值加总起来，得到整个数据集的概率密度估计。
在核密度估计中，核函数起到了平滑数据的作用，常用的核函数包括高斯核函数、矩核函数和Epanechnikov核函数等。
核函数的选择对于核密度估计的性能有着重要影响，不同的核函数适用于不同的数据分布类型。
通常来说，高斯核函数是最常用的核函数，因为它在理论上具有最小的均方误差。
2. 核密度估计的使用技巧在实际应用中，核密度估计需要根据实际数据情况来选择合适的参数和核函数。
以下是一些使用核密度估计的技巧和注意事项：（1）带宽选择：带宽是核密度估计中一个重要的参数，它控制了核函数的宽度和平滑程度。
带宽过大会导致估计过度平滑，带宽过小则会导致估计过度波动。
常用的带宽选择方法包括最小交叉验证法和银子规则等。
在实际应用中，需要根据数据的分布情况和应用需求来选择合适的带宽。
（2）核函数选择：除了高斯核函数外，还有其他的核函数可供选择。
在实际应用中，需要根据数据的特点来选择合适的核函数。
例如，对于有界数据，Epanechnikov核函数更适合；对于长尾分布，矩核函数可能更合适。
（3）多变量核密度估计：对于多维数据，可以使用多变量核密度估计来估计数据的概率密度函数。
多变量核密度估计可以通过多维核函数来实现，例如多变量高斯核函数。
在实际应用中，需要注意选择合适的多变量核函数和带宽。
3. 核密度估计的应用注意事项在使用核密度估计时，需要注意以下一些事项：（1）数据量：核密度估计对数据量的要求比较高，特别是在多维数据的情况下。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(六)
在统计学中，核密度估计是一种用来估计随机变量概率密度函数的非参数方法。
它是一种非常常用的统计方法，因为它不需要对数据做出任何假设，比如正态分布或者其他特定的分布。
在实际应用中，核密度估计通常用来对样本的概率密度函数进行估计，从而帮助我们更好地理解数据的分布特征。
本文将介绍核密度估计的使用技巧，以及一些相关的注意事项。
核密度估计的基本原理是，以每个数据点为中心，通过核函数对数据进行平滑处理，最后将各个核函数的结果进行叠加，从而得到整体的概率密度函数估计。
核函数通常选取高斯核函数或者矩核函数。
在进行核密度估计时，我们需要选择合适的核函数以及带宽参数。
带宽参数的选择对核密度估计的结果有着重要影响，太大的带宽会导致估计过于平滑，而太小的带宽则会导致估计出现噪音。
在实际使用中，我们需要选择合适的核函数和带宽参数来进行核密度估计。
对于核函数的选择，高斯核函数是最常用的选择，因为它有着良好的数学性质，且对于大多数数据集来说都能够产生较好的估计结果。
但在某些特定情况下，矩核函数也是一个不错的选择。
而对于带宽参数的选择，通常可以通过交叉验证或者最小化某种信息准则来进行选择。
在进行核密度估计时，我们还需要注意一些问题。
首先，核密度估计是一个计算密集型的方法，因此在处理大规模数据时需要考虑计算效率。
其次，在进行核密度估计时，我们需要考虑核函数和带宽参数的选择对结果的影响。
在实际应用中，我们通常需要进行多次实验来选择最优的核函数和带宽参数。
此外，在进行核密度估计时，我们还需要注意选择合适的数据处理方法，比如数据标准化或者对数变换，以确保估计结果的准确性。
除了以上提到的一些技巧和注意事项，核密度估计还有一些其他的应用技巧。
比如，在进行核密度估计时，我们通常需要考虑核函数的形状和带宽参数的选择对估计结果的影响。
在实际应用中，我们还需要注意核密度估计的结果如何影响后续的统计推断和决策。
此外，对于多变量数据，我们还需要考虑多变量核密度估计的方法和技巧。
非参数统计中的核密度估计使用技巧(五)
非参数统计是一种不基于任何总体分布假设的统计方法，通常用于处理样本数据量较小或不符合正态分布的情况。
核密度估计是非参数统计中一种常用的密度估计方法，通过对样本数据进行平滑处理，得到数据的概率密度函数。
在实际应用中，核密度估计有一些常用的使用技巧，本文将从几个方面进行论述。
首先，核密度估计的带宽选择是一个重要的技巧。
带宽决定了平滑核的宽窄程度，直接影响到估计密度函数的平滑程度和精确度。
通常情况下，带宽选择不当会导致估计结果的偏差较大。
在实际应用中，可以通过交叉验证法或改进的样本中位数法来选择合适的带宽。
交叉验证法通过反复地划分数据集、估计密度并计算误差来选择最优的带宽，而改进的样本中位数法则是基于样本中位数的一种带宽选择方法。
选择合适的带宽可以有效地提高核密度估计的效果。
其次，核密度估计的核函数选择也是一个重要的技巧。
核函数决定了对样本数据进行平滑处理时所采用的函数形式，不同的核函数对估计结果有着不同的影响。
在实际应用中，常用的核函数有高斯核函数、矩形核函数和三角核函数等。
高斯核函数是最常用的核函数，其平滑效果较好，但也有一些其他核函数在特定情况下有着更好的表现。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的核函数。
此外，核密度估计的样本量对估计结果也有着重要的影响。
样本量越大，核密度估计的效果通常会越好。
因此，在实际应用中，需要尽可能地增加样本量，以提高密度估计的准确性。
最后，核密度估计的多变量情况下的应用也是一个重要的技巧。
在实际应用中，很多情况下需要对多变量数据进行密度估计，此时需要考虑到多变量核密度估计的带宽选择、核函数选择以及样本量对估计结果的影响等方面。
通常情况下，多变量核密度估计需要更加复杂的技巧和方法，如银子规则等。
综上所述，核密度估计是非参数统计中一种常用的密度估计方法，通过对样本数据进行平滑处理，得到数据的概率密度函数。
在实际应用中，需要注意带宽选择、核函数选择、样本量对估计结果的影响以及多变量情况下的应用等多个方面的技巧，才能得到准确、可靠的密度估计结果。
非参数密度估计
第十章非参数密度估计密度估计的参数解是首先假设一个参数模型，X1,…,X n~i.i.d. f Xθ,其中θ为低维参数向量。
然后通过一些估计方法得到θ，如极大似然估计，矩估计等等。
然后到处密度函数。
此方法的危险性在于初始假设模型的不正确可能导致严重的推断错误。
一种常见的非参数密度估计是直方图，他是一种分段常数的密度估计。
另一种基本的密度估计可通过考虑密度函数如何将概率分配到各区间上受到启发，如果f 足够光滑，我们假设f将某概率不但赋予给x i点，而且赋予给x i周围的一个区域。
因此，要从X1,…,X n~i.i.d.f估计f，将X i周围区域的概率密度累加起来时合理的。
10.1 绩效度量绩效度量是为了评价密度估计量的性质。
令f为整个支撑区域上f的估计量，引入积分平方误差ISE h= f x−f x 2 dx∞−∞如果我们想讨论估计量的一般性质，那么在所有可能的样本上对ISE h进行平均是比较合理的。
积分平均误差为MISE h=E{ISE h}其中的期望是关于分布f。
因此MISE h可以看成是误差（ISE h）关于抽样密度的整体度量的平均值。
又由期望和积分的可交换性，MISE h=MSE f x dx其中MSE f x=E f x−f x 2=var f x+ bias f x2bias f x=E f x−f(x)MISE和ISE都可用来研究选择h值的准则。
两者的好坏已知都有争论，详见Birgit Grunda; Peter Hallb; J. S. Marronc.Loss and risk in smoothing parameter selectionPeter Hall and J. S. Marron.lower bounds for bandwidth selection in density estimation10.2 核密度估计一元核密度估计允许采取灵活的加权方案，即拟合f x=1nhK(x−X i)ni=1(10.6)其中K为核密度，h为固定值，通常称为窗宽。
非参数统计方法概述
非参数统计方法概述非参数统计方法是一种在统计学中常用的方法，它不依赖于总体分布的具体形式，而是根据样本数据的秩次或距离来进行推断。
非参数统计方法的应用领域非常广泛，包括但不限于医学、经济学、生态学等各个领域。
本文将对非参数统计方法进行概述，介绍其基本概念、常用方法和应用场景。
一、基本概念非参数统计方法是指在统计推断中，不对总体分布做出任何假设的一类方法。
相对于参数统计方法，非参数统计方法更加灵活，适用于各种类型的数据分布。
在非参数统计方法中，常用的统计量包括秩次统计量、中位数、分位数等，通过这些统计量来进行推断。
二、常用方法1. 秩次检验秩次检验是非参数统计方法中常用的一种方法，它将样本数据按大小排序，用秩次代替原始数据，然后根据秩次的大小来进行推断。
秩次检验包括Wilcoxon秩和检验、Mann-Whitney U检验等，适用于两组或多组样本的比较。
2. 核密度估计核密度估计是一种非参数的概率密度估计方法，它通过在每个数据点周围放置一个核函数，来估计总体的概率密度函数。
核密度估计在密度估计、异常值检测等领域有着广泛的应用。
3. Bootstrap方法Bootstrap方法是一种通过重复抽样来估计统计量的方法，它不依赖于总体分布的假设，可以用于计算统计量的置信区间、标准误差等。
Bootstrap方法在参数估计、假设检验等方面有着重要的应用。
4. 分位数回归分位数回归是一种非参数的回归方法，它通过估计不同分位数下的回归系数，来研究自变量对因变量的影响。
分位数回归在经济学、社会学等领域有着重要的应用。
三、应用场景1. 医学研究在医学研究中，由于数据的复杂性和样本量的限制，非参数统计方法常常被用于分析临床试验数据、生存分析数据等。
例如，Kaplan-Meier曲线的绘制和Log-rank检验就是非参数统计方法在生存分析中的应用。
2. 生态学研究生态学研究中常常涉及到样本数据的非正态性和异方差性，非参数统计方法可以有效地应对这些问题。
非参数密度估计和函数估计
4 nσK
K 2 (x)dx [f (x)]2 dx
1 /5
,
(7.6)
但该结果用处并不很大, 因为它依赖于未知密度 f . 注意最优带宽有 h = O(n−1/5 ) , 这种情况 下 MISE = O(n−4/5 ). 该结果显示了随着样本量的增加带宽缩小的速度, 但对给定的数据集 来说它并未指明带宽具体取多少对密度估计是合适的. 下面给出出几种带宽选择策略. 在实 际应用中, 它们的表现随着 f 的性质以及观测数据的不同也有所不同, 通常没有一个绝对最 好的方法. 拇指法则: 简便起见, 我们定义 R(g ) =
fH (x) = 1 n
n i=1
1 K (H−1 (x − xi )). |H|
我们一般都会采用简单的带宽阵或K (·), 比如H = diag{h1 , . . . , hd }.
fH (x) = 1 nh1 · · · hd
n d
Kj
i=1 j =1
xj − xij hj
.
精确地来讲, (7.2) 的估计量称为固定带宽核密度估计, 因为 h 是常数. 上世纪90年代中 期, 有学者亦指出, 如果 h 依 i 而变化, 即所谓的 variable bandwidth, 则有一些很好的性质, 但我们这里不对这种方法给予详细的讨论, 有兴趣的同学可参见著作 Fan and Gijbels (1996). 带宽值的选择对估计量 fh 有很大的影响. 如果 h 太小, 那么密度估计偏向于把概率密度分配 得太局限于观测数据附近, 致使估计密度函数有很多错误的峰值. 如果 h 太大, 那么密度估计 就把概率密度贡献散得太开. 在很大的邻域里求平均会光滑掉 f 的一些重要特征的. 下面一 节讨论如何选取 h.
非参数核密度估计
非参数核密度估计非参数核密度估计（Non-parametricKernelDensityEstimation）被广泛应用于各种统计学研究中，是一种统计技术，可以提供对数据的非参数估计，它可以用来估计一维或二维数据的未知分布函数。
简单地说，非参数核密度估计就是一种无需既定参数但仍能估计未知数据分布情况的统计方法，它是基于一种半参数统计技术，即核密度估计（KDE）。
它能够捕捉数据中的不同特征，从而获得了准确而精确的数据分析结果。
非参数核密度估计的基本步骤通常包括：（1）给定观察数据的一个子集，利用其来估计未知的数据分布函数。
（2）在该子集上选择一种核函数，所谓核函数是一种带有一定宽度的窗口函数，用来表示样本点的分布。
（3）将各个样本点作为分母项，然后将核函数与样本点所形成的乘积作为分子项，最后进行积分，从而获得未知的数据分布函数。
（4）据此，可以求出该区域的密度函数，并用它来估计该区域内未知数据的分布情况。
非参数核密度估计的优势在于它的宽容性，也就是说，它不需要一个提前定义的参数模型就能估计数据的分布。
然而，由于它的宽容性，它在处理大规模数据时可能会受到计算拥挤的影响，所以，在进行大规模数据分析时，最好选择其他技术来处理。
此外，由于非参数核密度估计依赖于样本数据的窗口函数来表示样本点的分布，模型的结果也会受到样本数据窗口函数的影响。
如果样本数据的窗口函数与分布函数有很大出入，将得到不准确的结果。
总之，非参数核密度估计是一种可以用来估计一维或二维数据未知分布函数的有效统计技术。
它具有宽容性，能够捕捉数据中的不同特征，但也存在一些缺点，以及难以处理大规模数据的情况。
因此，在使用非参数核密度估计时，应当谨慎考量其各方面的优缺点，以得到更加可靠准确的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2) 建立高斯函数文件 Ga<-function(x,h,A) {(1/260*h)*sum((1/sqrt(2*pi))*exp(-0.5*((x-A[,1][1:260])/h)^2))}
以高斯核函数为例
3) 调用函数文件 source("d:\\S文件\\Ga.s")
4) 求函数值 > z<-Ga(1,1,A) >z [1] 0.01347425
exp(| u |)
以高斯核函数为例
pˆn (x)
1 nh
n i 1
1 exp( 1 ( x xi )2 )
2
2h
其中{x1,K , xn}为样本序列
用S-Plus编程计算密度估计值.
1) 调用数据文件 A<-read.table("E:\\各种电子课件\\非参数统计\\data\\newfish.txt",header=T,sep=",")
7) 余弦 8) 指数
核函数
1 I (| u | 1) 2 (1 | u |)I (| u | 1)
3 (1 u2 )I (| u | 1) 4
15 (1 u4 )I (| u | 1) 16
35 (1 u2 )3 I (| u | 1) 32
1 exp( 1 u2 )
2
2
cos( u)I (| u | 1) 42
5) 画图 > x<-seq(1,26,length=52) > z<-rep(0,52) > for(i in 1:52) {z[i]<-Ga(x[i],1,A)} (首先找到A[,1]向量中的最小和最大值,1.09和25.37) > plot(x,z,type="l")
0
5
10
h=0.2
x
0.0
其中，hn是归一化参数，表示每组的组距，称为带宽（窗宽）。 注意：针对连续型的总体X.
例8.1
鲑鱼和鲈鱼的身长(260条)
hist(A[,1], 20)
120
15
100
40
80
10
30
60
20
40
5
10
20
0
0
0
5
10
15
20
25
c1[, 1]
0
5
10
15
20
25
c1[, 1]
鲈鱼比鲑鱼的身长要长。
0
5
10
15
20
25
30
c1[, 1]
推广直方图的密度函数定义。X∈Rd
pˆ(x) ni / n V
1）若V很小，密度值局部变化很大，呈现多峰不稳定的特点； 2）若V较大，从而使估计过于平滑。 如何在稳定与过度平滑之间寻找平衡？ 方法（1）固定体积不变；（2）固定ni不变； 核估计和k-近邻估计。
3. 归类原则：
pˆ (x | 1) pˆ (x | 2 )
x 12 其中,
p(2 | x) p(1 | x) p(2 | x) p(1 | x)
p(i | x)
pˆ (x | i ) p(i )
2
,
pˆ (x | j ) p(j )
j 1
i 1, 2
(贝叶斯公式)
分类问题
序号
113 112 250 219 123 197 170 32 92 137
0.001
z 0.002
0.003
0.004
0.005
0.02
z 0.04
0.06
0.08
15
带宽对估计量的影响
20
25
0
5
10
h=1
x
15
20
25
0.05
0.10
Z 0.15
0.20
0.25
5
10
h=2
x
15
20
25
Parzen窗函数为核函数
h=5
Parzen窗函数 1 I (| u | 1) 2
MSE(ˆ, ) E(ˆ )2 Dˆ E(Eˆ )2
均方误差
MISE E ( pˆn (x) p(x))2 dx [Bias( pˆn (x)) var(pˆn (x))]dx
分析: 1. 带宽hn越小, 核估计的偏差越小, 但方差会增大. 2. 带宽hn越大, 核估计的偏差大, 但方差会变小. 说明hn的变化, 不可能同时使核估计的偏差和方差变小. 只有同时使两者达到一种平衡. 实际上, h的选取要根据数据和密度估计的情况不断调整.
第八章 非参数密度估计
8.1 非参数密度估计
直方图是最基本的非参数密度估计。 假定有数据{x1,x2,…,xn}, 将它由小到大排序，得到数据覆盖的区间(a, b)， 对该区间等间距地分为k组，记为I1,I2,…,Ik，计算Ii中的频率ni/n，则密度 估计为：
pˆ (x)
ni
nh 0,
n
,
x Ii ,i 1, 2,..., k 其他
模式分类问题
一些实际问题: • 鉴定某河流的污染程度; • 通过检查某些指标, 诊断某人是否得了某种疾病; 3. 设备的故障诊断问题; ……
应用密度估计对数据进行分类
1. 假设ω1——鲑鱼， ω2——鲈鱼，它们的先验概率为：
p(1) p(2 ) 1/ 2 (因为两类的频数为130条)
2. 分别估计鲑鱼和鲈鱼的概率密度：
pˆn (x)
1 nh
n i 1
1I 2
xi x h
1
带宽对估计量的影响
当带宽h=0.2时,密度函数曲线比较粗糙,噪声很多; 当带宽h=1时,密度函数曲线比较平滑,较为理想; 而带宽h=5时,密度函数曲线最平滑的,但信息损失很多; 如何选择合适的带宽,是核函数密度估计的关键.
考虑估计的均方误差.
8.2 核密度估计
设区域R是Rd空间上的d维立方体, 其体积为Vn, h是R的边长, 对任意的 x={x1,x2,…,xn}, 定义x的邻域函数:
(
x)
1,
|
xi
|
1 2
,
iHale Waihona Puke 1,2,...,d
0,
其他
kn
n i 1
( x - xi ) hn
落入x邻域的样本数
pˆ (x) 1 n ( x xi ) 称为Parzen窗密度估计
nVn i1
hn
核密度估计的定义
定义8.1
假设数据x1,x2,…,xn取自连续分布p(x), 定义核密度估计
pˆn (x)
1 nVn
n K ( x xi )
i 1
hn
其中K ()为核函数
只要核函数满足:
K(x) 0, K(x)dx 1
R
本节主要讲一维的密度估计。
常用核函数
核函数的名称 1) Parzen窗 2) 三角 3) Epanechikov 4) 四次 5) 三权 6) 高斯
数值
19.6 22.3 14.07 8.5 17.3 7.6 6.3 6.5 22.1 2.0
P(ω1|x)
0.823 0.731 0.523 0.323 0.546 0.323 0.586 0.238 0.923 0.037