总体均数的估计

n
n
样本k
样本均数
X1 X2
Xk
抽样误差
X1 X2
Xk
从总体N(4.5,0.22)中抽出100个样本的均数、标准差、总体 均数的95%可信区间
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 。。 。。 100
均数 4.57 4.45 4.43 4.49 4.48 4.50 4.49 4.50 4.45 。。 。。 4.49
➢ t分布的由来 ➢ t分布的特征 ➢ t分布曲线下的面积
t分布的由来
中心极限定理
总体
n 100
样本均数
X ~ N(, 2 )
Z X
变量变换
标准正态分布
X ~N(, X 2)
变量变换
___
Z X ___
X
未知 X t
s X
z ~ N (0,1)
t 分布最早由英国统计学家 W. S. Gosset 于1908年以 Student 笔名发表， 又称学生 t 分布。
均数的抽样误差
➢ 概念：抽样引起的总体参数与样本统计 量之间的差异称为抽样误差(sampling error) 。
➢ 均数的抽样误差：抽样引起的样本均数 与总体均数的差异称为均数的抽样误差。
N(4.5, 0.22)
总体
随机抽样 100次
样本
样本 样本 样本
100个样本
n 样本1 n 样本2
总体
时，曲线形状不同。当 时，t 分布趋近
于标准正态分布。
自由度：
➢ν = n-1 限制条件的个数
➢ 随机变量能够自由取值的个数
① n 或ν 越小，则 Sx越大，t 越分散。t 分布的峰 部越矮，而尾部翘得越高(t 值较小且分散)
② n或ν → ∞ ， S→ ，t 分布→ Z 分布，故 Z 分
x
x
同的t分布曲线，如下图
0.4
0.35
0.3
5
0.25
0.2
0.15
1
0.1
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
图6.4 自由度分别为1、5、∞的t分布
t分布的特征
➢ t分布是一簇曲线。 ➢ t分布以0为中心，左右对称。 ➢ 其形态变化与自由度的大小有关。
它与样本例数 n 或自由度ν 有关，某个 自由度对应于一条 t 分布曲线。当 n 或ν不同
➢ 即使从偏态总体随机抽样，当 n 足够大时(如 n > 50)， 样本均数近似正态分布。
➢ 样本均数的总体均数仍为，样本均数的标准差
为 。 X
标准误(standard error)
➢ 样本均数的标准差称标准误，是说明均数抽样误
差大小的指标， 大，抽样误差大；反之
X
X
小，抽样误差小 。
➢ 标准误 的计算：
总体均数的估计和假设检验
总体均数的估计
➢ 均数的抽样误差与标准误 ➢ t分布 ➢ 总体均数的估计
总体 推断
随机抽样
样本
例：为了解某市7岁男童身高的总体均数，随机 抽样调查了该市200名7岁男童，测得其身高 的样本均数为124cm，用来估计该市7岁男 童身高的总体均数。
因身高存在个体差异，故样本均数不恰好 等于总体均数。这种由个体变异产生的，由 抽样造成的样本均数与总体均数之差称为抽 样误差(sampling error)。
其通式为， ➢ 单侧：P(t≤-t,)=或P(t≥t,)= ➢ 双侧：P(t≤-t/2,)+P(t≥t/2,)=
布是 t 分布的特例。
③ t 和 Z 分布：二者都是单峰分布，以 0 为中心， 左右对称。
t分布曲线下面积规律
➢t分布曲线下总面积仍为1或100% ➢t分布曲线下面积以0为中心左右对称。 ➢由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定 面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是随
自由度的大小而变化，如附表3。
3. t 界值表
横标目：自由度ν
纵标目：概率 P (曲线下面积)，一侧尾部面积称 为单侧概率，两侧尾部面积之和称为双侧概率。
表中数字：自由度为ν ，P 为概率α时，所对应的 t 界值，记为 t.
插图：阴影部分表示 t. 以外尾部面积占总面积
的百分数，即概率 P。
t 分布是以 0 为中心的对称分布，表中只列出正 值。查表时，不管 t 值正负，只用绝对值。
2. t 分布的图形与特征
如果抽取例数n=10的样本k个，每个样本又 都可以按公式（6.3）计算出一个t值，可将k个t 值编制成频数表，作出直方图，当k无限增大时， 则可得到一条光滑的曲线。
X X
t
s X
sn
（6.3）
同理，如果抽取例数n=50时，仍能得到一
条t分布曲线，因此，当n变化时，就可以得到不
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-2
0
2
4
单侧t0.05,30=1.697
如由表查出单侧 t0.05,30=1.697，表示从正
态总体作样本例数 n 为31的随机抽样，其 t 值服 从自由度为 30 的 t 分布，在理论上，
P ( t ≤―1.697) = 0.05 或
P ( t ≥ 1.697 ) = 0.05
4.37~4.54 。。 。。
0.17
4.41~4.57
从总体N(4.5,0.22)中抽出100个样本的样本均数的频数分布
组段
4.38～ 4.40～ 4.42～ 4.44～ 4.46～ 4.48～ 4.50～ 4.52～ 4.54～ 4.56～ 4.58～ 4.60～4.62 合计
频数
1 1 3 7 10 26 22 13 8 3 5 1 100
频率(%)
1 1 3 7 10 26 22 13 8 3 5 15 12 22 48 70 83 91 94 99 100.00 ——
n=5
n=10
n=30
n=50
中心极限定理
➢ 从正态总体 N (, ) 中，随机抽取例数为 n 的样本，
样本均数也服从正态分布；
标准差
95%可信区间
0.25
4.46~4.68
0.27
4.33~4.58
0.23
4.32~4.53
➢各样0.1本4 均数未必等4.于42~总4.55体均数；
0.22
4.38~4.58
➢样本均数之间存在差异
0.17
4.42~4.58
0.20
4.39~4.58
0.16
4.42~4.57
0.18 。。 。。
X
n
➢ 标准误 的估计值： s s
X
n
影响标准误大小的因素
➢ X 的大小与成正比 ➢ X 与样本含量n的平方根成反比
抽样误差越小，表明样本均数与总体均 数越接近，即用样本均数估计总体均数的可靠 性越大；反之，抽样误差越大，则用样本均数 估计总体均数的可靠性越小。
P74 例6.1，6.2
t分布