总体均数估计

X
X X t , n 1 SX S n
式中 为自由度(degree of freedom, df)
20
X ~ N ( , s ) z ~ N (0,1)
2 z x
s
X ~ N ( ,s ) z ~ N (0,1)
2 z
x
sx
x
x x t Sx S/ n
30
例 5-3 某地 27 名健康成年男子血红蛋白的均数 125g\L (cm)， 标准差 15g\L， 求其总体均数的 95%和 99% 置信区间。
31
本例n 27, 查附表2，
n - 1 26, 0.05时，双侧t 0.05/2,26 2.056, 0.01时，t 0.01/ 2， 26 2.779.
12
一、抽样误差与标准误
1.抽样误差：由于抽样造成的样本统计量与总体
参数以及样本统计量与样本统计量之间的差异。
抽样误差是不可避免的，但可以估计。
2.标准误(Standard error，SE)：标准误为样本均 数的标准差，用 表示，是说明样本均数抽样 误差的大小的指标，描述样本均数的离散程度，
反映用样本均数估计或推断总体均数的可靠性。
5. 5. 5. 5. 5. 6.
频数
100 150 200 250 300 350 400 450
3. 3. 4. 4. 4. 4. 4.
均数
50 0
71 92 12 33 54 74 95 5. 5. 5. 5. 5. 6. 15 36 57 77 98 19
3个抽样实验结果图示
n 30; S X 0.0920
n 10; S X 0.1580
7
样本均数的抽样分布具有如下特点
① 各样本均数未必等于总体均数； ② 各样本均数间存在差异； ③ 样本均数的分布为中间多，两边少，左右基本 对称。 ④ 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大 大缩小。
8
9
中心极限定理：
（1）从正态总体中作随机抽样，则样本均数服从 正态分布；从偏态总体中作随机抽样，样本含量n 足够大（n＞30）则样本均数近似服从正态分布。 （2）从总体均数为μ，标准差为σ的正态总体中抽 取例数为n的样本，样本均数的总体均数为μ，标 准差为 s 。 x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 22 23 24 25
单侧 双侧
0.25 0.50 1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.686 0.686 0.685 0.685 0.684
0.20 0.40 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.859 0.858 0.858 0.857 0.856
ν─>∞ (标准正态曲线 ) ν =5 ν =1
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
t
23
2．参数(only one): 2．参数 (only one): 3．t 界值表：详见附表 2，可反映 t 分布曲下的面积 t 界值表：详见附表 2 ，可反映 分布曲 3．t 界值表：详见附表 2，可反映 t t 分布曲下的面积 线下的面积。 单侧概率或单尾概率：用 t , 表示； 单侧概率或单尾概率：用 单侧概率或单尾概率：用 t , 表示； 表示；
第五章
估计和假设检验。
总体
参数估计基础
统计推断：用样本信息推断总体特征，包括参数
样 本
1
图示：总体与样本
sample1 sample2
x1 x2
x3
Population
x1
sample3
x1
μ
sample4
sample5
x4 x5
2
抽样试验（n=5）
3
抽样试验（n=10）
4
抽样试验（n=30）
2 N ( , s ) 总体标准差为 s X 的正态分布 X , 则通
过同样方式的 z 变换( s )也可将其转换为 X 标准正态分布 N(0, 1 )，即 z 分布。
19
X
2
3．实际工作中，由于s X未知，用S 代替，
则 ( X ) / S X 不再服从标准正态分布，而 服从t 分布。
26
1．点估计(point estimation)
用相应样本统计量直接作为其总体参数的估计值。
、S估计 如用x代替，用s代替s
其方法虽简单，但未考虑抽样误差的大小。
27
2．区间估计(interval estimation)：
按预先给定的概率(1)所确定的包含 未知总体参数的一个范围。 总体均数的区间估计：按预先给定的 概率(1)所确定的包含未知总体均数的一 个范围。
p(1 p) n
15
4. 标准误的应用
（1）表示抽样误差大小，描述（n相同）样本 统计量的离散程度，反映用样本统计量估计或 推断总体参数的可靠性；
（2）用于估计总体参数的可信区间；
（3）用于进行样本均数/频率的假设检验。
16
标 准 差（S） 1.表示个体变量值的变异度大小，
( X X ) n 1
双侧概率或双尾概率：用 双侧概率或双尾概率：用 t / 2, 表示。 表示。 双侧概率或双尾概率：用 t / 2, 表示。
24
-t
0
t
附表2
自由度
t 界值表
概 率，P 0.025 0.01 0.05 0.02 12.706 31.821 4.303 6.965 3.182 4.541 2.776 3.747 2.571 3.365 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 0.005 0.01 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 0.0025 0.001 0.005 0.002 127.321 318.309 14.089 22.327 7.453 10.215 5.598 7.173 4.773 5.893 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 0.0005 0.001 636.619 31.599 12.924 8.610 6.869 5.959 5.408 5.041 4.781 4.587 3.819 3.792 3.768 3.745 3.725
0.10 0.20 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316
0.05 0.10 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708
15 x t 0.05 / 2 , 26 s x 125 2.056 (119.06,130.94) g / L 27 15 x t 0.01/ 2, 26 s x 125 2.779 (116.98,133.02) g / L 27
17
3. 可对某一个变量值是否在正常值 断。
二、t 分布的概念
1．若某一随机变量 X 服从总体均数为 、总体
2 标准差为 s 的正态分布 N ( , s ) ，则可通过 z 变换
( s
X
)将一般正态分布转化为标准正态分布 N(0,1 )，
2
即 z 分布；
18
2．若样本均数 X 服从总体均数为 、

如给定=0.05,该范围称为参数的95%可信区
间或置信区间； 如给定=0.01,该范围称为参数的99%可信区 间或置信区间。 28
总体均数置信区间的计算
• • • • • 总体均数置信区间的计算需考虑： （1）总体标准差s是否已知， （2）样本含量n的大小 通常有两类方法： （1） t分布法 （2）u分布法
13
3.标准误的计算
均数的标准误与标准差成正比，与样本例数的平 方根成反比。 若标准差固定不变时，可增加n而缩小抽样误差。
14
对于二项分布，X~B(n,π), X 则样本频率
p
n
其标准误：
s
p
(1 )
n
实际中， π一般未知， 常用样本频率p近似代替 则其标准误：
S
p
p(1 p) n1
5
1000份样本抽样计算结果
总体的 总体标 均数的 准差s 均数 均数 均数标准差
S
n
s
n
n=5
5.00
0.50
4.99
0.2212
0.2236
n=10
n=30
5.00
5.00
0.50
0.50
5.00
5.00
0.1580
0.09200.15810 Nhomakorabea0913
6
频数
100 150 200 250 300 350 400 450 50 0