第6章 总体均数和总体率

44
4.99
69
4.99
94
5.22
45
5.07
70
5.06
95
5.14
46
4.88
71
4.81
96
5.12
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4.97
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4.93
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4.89
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4.86
73
4.94
98
4.72
49
4.90
74
4.97
99
5.01
50
4.89
75
5.02
100
均数
5.08 5.16 5.00 4.97 5.01 5.04 4.98 5.13 5.05 4.87 4.96 4.92 4.97 5.20 5.12 5.18 4.96 4.89 4.77 5.22 5.03 4.91 4.86 4.87 4.86
• 又称为Student t分布 (Student’s tdistribution)
t X X ~ t分布, n 1
SX S n
t 分布的图形及特征
f(x)
0.40
0.30
ν ∞(标准正态曲线) ν=5
ν=1
0.20
0.10
0.00
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
52
5.10
77
5.15
28
5.28
53
4.99
78
4.96
29
5.11
54
5.02
79
5.00
30
4.97
55
5.16
80
4.75
31
5.01
56
5.13
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4.96
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4.89
57
5.06
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5.29
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4.95
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5.01
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5.07
34
5.10
59
4.98
84
4.96
35
5.05
60
4.91
• 由个体变异产生的，随机抽样引起的样本 统计量与总体参数之间的差异称为抽样误 差（sampling error）。
• 抽样造成的样本均数与总体均数间的差异 就称为均数的抽样误差。
• 在抽样研究中，抽样误差是不可避免的， 但抽样误差分布具有一定的规律性。
图3-1 从正态分布总体N（5.0, 0.62）中随机抽样所得样本均数的分布
计算 公式
用途
σ已知或σ未知但 n 较大
X Z 2 (
) n
X
Z
2(
S) n
σ未知：
X
t
2, (
S) n
估计总体均数
正态分布： X Z 2S
偏态分布：PX ~ P100-X
判断观察对象的某项指标正 常与否
第三节 总体率的点估计与 区间估计
一、二项分布
如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则生存概率为=1-P=0.2，
因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结 果为x次的概率分布。其概率密度为：
•
P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。：
0.4 P(X)
0.3
二项分布的图形
n =20 =0.5
n =5 =0.3
n =10 =0.3
n =30 =0.3
0.2
0.1
0.0 4 8 12 16 0 2 4
P( X m) 1 P( X m 1)
2
2
t
t ,
t 2,
t
t 2,
单侧：Pt t , 或P t t ,
双侧：P t t 2, P t t 2,
即 P t 2, t t 2, 1
① 在相同自由度时，t 的绝对值越大，P 越小 ② 在相同 P 值时，自由度越大所对应的 t 界
值越小 ③ 在相同 t 值时，双侧概率 P 为单侧概率 P
P( X 1.96 X X 1.96 X ) 1 0.05
在总体中抽样，样本均数所计算的区间有95%可能 包括总体均数
X Z0.025 X X X Z0.025 X
95%
X
2.5%
2.5%
Z 0.025 X
Z0.025 X
X Z 2 X , X Z 2 X
2. 未知但n足够大(n>50)
X ~ N 0,1
X
X 常未知，若用SX X ，这时对样
本均数进行的不是 Z变换而是 t 变换
t X X
SXFra Baidu bibliotek
Sn
统计量 t 不再服从N(0,1)标准正态分布
• 英国统计学家 W. S. Gosset 于1908年以 “Student” 笔名发表 论文，证明统计量 t 服从v = n-1的t分布
85
4.84
36
5.25
61
4.91
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5.01
37
5.02
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5.13
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5.03
40
4.96
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4.66
43
5.01
68
4.93
93
5.20
图6-5 从N（0, 1）中随机抽样算得的100个95％可信区间（n=10）
可信区间的两个要素
• 可信度：可靠性，即1-α。一般取90%、 95％，可人为控制
• 区间的宽度：区间的大小（区间的长度）， 越小越好
• 必须二者兼顾
均数的可信区间与参考值范围的区别
区别点
均数的可信区间
参考值范围
意义 按预先给定的概率，确定 “正常人”的解剖、生理、 的未知参数的可能范围 生化、某项指标的波动范围
P(t /2,
X
SX
t /2, ) 1
P( X t /2, SX X t /2, SX ) 1
X t 2, SX , X t 2, SX
-t/2, v
0
t/2, v
可信区间的涵义
• 从总体中作随机抽样，每个样本可以算得一个可 信区间。如95%可信区间意味着做100次抽样， 算得100个可信区间，平均有95个估计正确。在 实际研究中，一般只进行一次抽样，算得一个可 信区间，对于这个可信区间来说，我们就认为该 区间包含了总体均数 ，把握度为95%。
与样本例数的平方根成反比。
X ~ N
, 2
n X ~ N
,
2 X
X n
• X 越大，样本均数的分布越分散，样本均数
与总体均数的差别越大，抽样误差越大，由样
本均数估计总体均数的可靠性越小。反之， X
越小，样本均数的分布越集中，样本均数与总 体均数的差别越小，抽样误差越小，由样本均 数估计总体均数的可靠性越大。
3、依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得 Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n 其中n为样 本含量,即事件发生总数，x为某事件出现次数,cnxPx(1-P)n-x为二项 式通式，cnx=n!/x!(n-x)!, P为总体率。
说，如果n或n(1-)大于5时，常可用正态
近似原理处理二项分布问题
二项分布的性质 ：累积概率
（1）二项分布的概率之和等于1
n CnX X (1 )nX 1 n 1
X 0
（2）单侧累积概率
至多有m例阳性的概率（下侧累积概率）
m
P( X m)
CnX X (1 )n X
X 0
至少有m例阳性的概率（上侧累积概率）
中心极限定理
• 从正态总体 N (, 2) 中，随机抽取例数为
n 的样本，样本均数也服从正态分布；即 使从偏态总体随机抽样，当 n 足够大时(n ≥ 50)，样本均数近似正态分布。
• 从均数为，标准差为 的正态或偏态总体
中，抽取例数为 n 的样本，样本均数的总
体均数也为 ，标准差与原标准差成正比，
0246 X
4 8 12 16
• 当=0.5时，分布对称；当 0.5，分布呈 偏态；当<0.5时分布呈正偏态；当>0.5时
分布呈负偏态；特别是当n值不是很大时，
偏离0.5愈远，分布愈偏
• 随着n的增大，二项分布逐渐逼近正态分布。
如 =0.30，n=5和n=10时，图形呈偏态，
当n=30时，图形已接近正态分布。一般地
的两倍
④ 时，t界值即为Z界值
第二节 总体均数的点估计与 区间估计
• 点估计（point estimation）：将样本统计量 直接作为总体参数的估计值
• 区间估计（interval estimation）：按事先给 定的概率 ，估计包含未知总体参数的一个 可能范围
• 区间估计的实质
– 假设某个总体的均数为，需要找到两个
• X 的大小与 成正比，与 n 成反比。当 固定不变时，样本含量n增大， X 减小。
因此，在实际工作中，可通过适当增加样 本含量来减小抽样误差。
• 常未知，用 S 估计，因此均数标准误的估
计值为
SX S n
t 分布的演化
X ~ N , 2 X ~ N 0,1
X ~ N
,
2 X
X Z 2SX , X Z 2SX
X Z 2SX X 1.96SX
例6-3中，因n=120 ，x 3.86mmol / L， s 1.73mmol / ，L 试求该地正常成年男性 血清胆固醇平均水平的95％可信区间。
x
1.96sx
3.86 1.96
1.73 120
3.86 0.31
量A和B，使得在一个比较高的可信度下
(如95%)，区间(A, B)能包含 。即
P(A< <B)=0.95
• 可信区间的定义
– 按一定的概率或可信度(1-α)估计包含未知总体 参数的可能范围，该范围通常称为参数的可信 区间或者置信区间(confidence interval，CI)，预 先给定的概率(1-α)称为可信度或者置信度 (confidence level),常取95%或99%
2.0
3.0
4.0
5.0
t
t 分布的特征为： ① 以0为中心，左右对称的单峰分布
② 越小，t值越分散，峰越矮，尾越高 ③增大，t分布逐渐逼近Z分布， 时，
t分布即为Z分布
t 界值表
• 横标目：自由度
• 纵标目：概率 P (曲线下面积)
• 表中数字：自由度为 ，概率P 为时，
所对应的 t 界值，记为t,
1、对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）
2、对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、 甲死乙生[概率为P(1-P)]、乙死甲生[概率为(1-P）P]或甲乙均生[概率 为(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2
即（3.55，4.17）mmol/L
• 例6-1 从某地随机抽取120名30岁-40岁正常 男性，得其血清总胆固醇水平的均数为 4.95mmol/L，标准差为0.64mmol/L，试估计 该地30岁-40岁正常男性血清总胆固醇平均 水平的95%可信区间。
• 因n=120，属于未知但n足够大，又均数为
• 样本均数大部分分布在总体均数5.0的左右， 中间多、两边少，左右基本对称，服从正 态分布，并且样本均数的变异范围比原变 量的变异范围要小很多。
• 样本均数的标准差称为均数的标准误，简
称标准误，用符号 X 表示。均数的标准误
说明各样本均数X 围绕总体均数 的离散
程度，可用来反映样本均数的抽样误差大 小。
样本号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
表 6-1 随机抽取的 100 份样本血清总胆固醇的计算结果 （n=30）
均数
样本号 均数
样本号 均数
样本号
5.01
26
5.18
51
4.88
76
4.99
27
4.90
第6章 总体均数和总体率的估计
第一节 均数抽样误差与t分布
• 欲了解总体的特征，最直接的方法是对总 体中的每个观察单位进行测量，通过整理 分析得到总体参数，但这在医学研究实际 中往往是不可能实现的。
• 通常应用抽样研究，通过样本指标来了解 总体特征。
• 抽样研究所得样本均数会不会恰好等于未 知的总体均数呢？
• 如果固定样本含量n从同一总体中进行多次 抽样，所得样本均数又会如何呢？
• 假设已知某地30岁-40岁正常男性血清总胆 固醇的均值为5.0mmol/L，标准差为 0.6mmol/L。现从该总体中进行随机抽样， 每次抽取30名正常男子，并测得他们的血 清总胆固醇水平，最终共抽取100份样本， 并计算出每份样本的均数。
– 可信区间(CL, CU )为开区间，CL、CU 称可信限
总体均数可信区间的计算
1. 当σ已知
X 在总体中抽样，样本均数的Z变换值有95%
Z ~ N 0,1 可能性落在(-1.96,1.96)之间
X
P(Z0.05 2 Z Z0.05 2 ) 1 0.05
P(1.96 X 1.96) 1 0.05 X
4.95mmol/L，标准差为0.64mmol/L ，故该
地30岁-40岁正常男性血清总胆固醇平均水
平的95%可信区间为
X
1.96S X
4.95 1.96
0.64 120
4.95 0.11
即（4.84，5.06）mmol/L
3. 当σ未知n 较小
P(t /2, t t /2, ) 1