2019-2020学年高中数学 3.2.1直线的点斜式方程学案 新人教版必修2.doc

2019-2020学年高中数学 3.2.1直线的点斜式方程学案 新人教版必

修2

[提出问题]

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．

问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？

提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．

问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？

提示：满足

y －b

x －0

＝k . 问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？ 提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]

1．直线的点斜式方程

(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．

(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.

2．直线的斜截式方程

(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．

(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．

[化解疑难]

1．关于点斜式的几点说明：

(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．

(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0

x －x 0

不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．

(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．

[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．

(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________．

(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.

(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线

l 的方程为y －4＝－(x －3)．

(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.

[答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]

已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.

[活学活用]

1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．

解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)． (2)∵直线的倾斜角为45°， ∴此直线的斜率k ＝tan45°＝1. ∴直线的点斜式方程为y －3＝x －2.

(3)∵直线与x 轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k ＝0. ∴直线的点斜式方程为y ＋1＝0×(x ＋1)，即y ＝－1.

[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2

在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．

[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－3

3

，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－

3

3

x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，

∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.

[答案] (1)y ＝－3

3

x －3 [类题通法]

1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．

2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．

[活学活用]

2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的1

4，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．

解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝3

3

.

∵所求直线的斜率是

3

3

，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝

3

3x －5. [例3] 当a 为何值时，

(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2

－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，