2007-2017全国1卷文科数学立体几何配答案汇总

2007-2017全国1卷文科数学立体几何配答案汇总2007 18．（本小题满分12分） 如图，A B C D，，，为空间四点．在ABC△中，22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB为轴运动． （Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD；（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD⊥？证明你的结论．18．解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE，，因为ADB 是等边三角形，所以DE AB⊥．当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =，所以DE ⊥平面ABC，可知DE CE ⊥由已知可得31DE EC ==，，在DECRt △中，222CD DE EC =+=．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．DBACEDBCA证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥． （ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥． 综上所述，总有AB CD ⊥． 200818、（本小题满分12分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）。

（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG 。

224侧视图正视图624GFB'D'D∥平面ＥＦＧ； 2009(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60。

()I 证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。

解 （I ）作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形 设ME x =，则SE x =，222(2)2AE ED AD x =+=-+2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-由2tan 60,(2)23(2)MF FB x x =•-+=-。

得解得1x =即1ME =，从而12ME DC = 所以M 为侧棱SC 的中点 （Ⅱ）222MB BC MC +=，又60,2ABM AB ∠==,所以ABM ∆为等边三角形，又由（Ⅰ）知M 为SC 中点2,6,2SM SA AM ===，故222,90SASM AM SMA =+∠=取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角连接BH ，在BGH ∆中，22312223,2222BG AM GH SM BH AB AH =====+=所以2226cos 2BG GH BH BGH BG GH +-∠==••二面角S AM B --的大小为6arccos(2010（18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,,垂足为，是四棱锥的高。

P ABCD -AB CD AC BD ⊥H PH {}n a（Ⅰ）证明：平面 平面; （Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积。

(18)解：(1)因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高。

所以AC PH,又AC BD,PH,BD 都在平PHD 内,且PH BD=H. 所以AC 平面PBD. 故平面PAC 平面PBD. (6)分(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB CD,AC所以 因为APB=ADR=600所以,HD=HC=1.可得 等腰梯形ABCD 的面积为S=AC x PAC ⊥PBD 6AB =APB ADB ∠=∠=P ABCD-⊥⊥⊥⊥63∠∠6312BD = 2+. ……..9分所以四棱锥的体积为V=x （2+）x = ……..12分2011（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形。

底面 。

（I ）证明：（II ）设，求棱锥的高。

201231333323+P ABCD -ABCD 60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥ABCD PA BD ⊥1PD AD ==D PBC -19．（2012•课标文）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA 1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V 1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．201319．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．19．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝3.又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ， 故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3. 2014(19)(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.（3）19.（4）（1）证明：（5）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥（6）又AO ⊥平面11BB C C，所以1B C AO⊥，故1B C ABO ⊥平面（7）由于AB ABO ⊂平面，故1B C AB ⊥（8）（2）解：（9）做OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，做OH AD ⊥，垂足为H 。

（10）由于,BC AO BC OD ⊥⊥，故BC AOD ⊥平面，所以OH BC ⊥（11）又OH AD ⊥，所以OH ABC ⊥平面（12）因为160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得34OD =（13）由于1AC AB ⊥，所以11122AO B C == （14）由OH AD OD OA ⋅=⋅，且227AD OD OA =+=，得21OH =（15）又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为217，故三棱柱111ABC A B C -的高为217201518. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6.18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o120 ，可得AG=GC=32x ，GB=GD=2x.因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=32x .由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=22x .由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACDV-=13×12AC ·GD ·366x =.BEGP DCA BEGPF DCA 故x=2……9分 从而可得6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD 5故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25. (12)分 201618.（本题满分12分）如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(Ⅰ)证明G 是AB 的中点；(Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． 18．(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ．又DE ⊥平面PAB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ．又PG ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题PA=PB ，∴G 是AB 的中点． (Ⅱ)解：在平面PAB 内作EF ⊥PA （或EF // PB ）垂足为F ，则F 是点E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面PAB ． ∴EF ⊥PC 作EF ⊥PA ，∴EF ⊥平面PAC ．即F 是点E 在平面PAC 内的正投影连接CG ，依题D 是正ΔABC 的重心，∴D 在中线CG 上，且CD =2DG ．易知DE // PC ，PC=PB=PA = 6，∴DE =2，PE =22322233PG =⨯=则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2．所以四面体PDEF 的体积1433V S DE =⨯=.201718．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠=∠=90BAP CDP（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90∠=,且四棱锥APDP-ABCD 的体积为8，求该四棱锥的侧面积.318. （12分）【解析】（1）由已知90==︒∠∠，BAP CDP得AB AP⊥.⊥,CD PD由于AB CD∥，故AB PD⊥，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面PAD内作PE AD⊥，垂足为E.由（1）知，AB⊥平面PAD，故AB PE⊥，可得PE⊥平面ABCD.设AB x=，则由已知可得2AD x=，2=.PE x故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCDV AB AD PE x -=⋅⋅=.由题设得31833x=，故2x =.从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==. 可得四棱锥P ABCD-的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+。