高三数学正弦余弦应用举例
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正余弦定理的应用举例
目录
CONTENTS
• 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正余弦定理的综合应CHAPTER
正弦定理的应用
在三角形中的运用
01
02
03
确定三角形形状
通过正弦定理可以判断三 角形的形状，例如是否为 直角三角形、等腰三角形 或等边三角形。
计算角度
在航海中，利用正余弦定理可以计算船只的位置和航向。
建筑测量
在建筑测量中，利用正余弦定理可以计算建筑物的角度和距离。
地球科学
在地球科学中，利用正余弦定理可以计算地球的经纬度和地球自转 角速度等参数。
04
CHAPTER
特殊情况下的应用
直角三角形中的应用
01
直角三角形中，可以利用正弦定 理求出未知的边长。例如，已知 直角三角形的一个锐角和相邻的 直角边，可以求出斜边的长度。
在实际生活中的运用
测量距离
在无法直接测量距离的情 况下，可以利用正弦定理 计算出距离。
航海定位
在航海中，可以利用正弦 定理计算出船只的位置和 航向。
建筑设计
在建筑设计中，可以利用 正弦定理计算出建筑物的 角度和边长，以确保建筑 物的稳定性和美观性。
02
CHAPTER
余弦定理的应用
在三角形中的运用
特殊角度三角形中的应用
在特殊角度三角形中，如30-60-90或45-45-90等三角形中 ，可以利用正余弦定理来求解未知的边长或角度。例如，已 知30-60-90三角形的一个边长和锐角大小，可以求出另一个 边长和角度。
在特殊角度三角形中，也可以利用正弦定理来求解面积。例 如，已知30-60-90三角形的两个边长，可以求出该三角形的 面积。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
正、余弦定理在实际生活中的应用
正、余弦定理在实际生活中的应用正弦定理和余弦定理是三角学中重要的定理，它们不仅在数学领域有着重要的意义，而且在日常生活中也有着广泛的应用。
本文将通过几个实际生活中的例子，来说明正弦定理和余弦定理的应用。
我们来看一个生活中常见的例子，即测量高楼的高度。
假设有一栋高楼，我们无法通过直接测量得到其高度，但是我们可以通过测量某一点到高楼顶部的距离和测量这一点与高楼底部的夹角，利用正弦定理和余弦定理来计算高楼的高度。
设高楼的高度为h，某一点到高楼顶部的距离为d，某一点与高楼底部的夹角为θ，则根据正弦定理可得：\[ \frac{h}{\sin{\theta}} = \frac{d}{\sin{(90^\circ - \theta)}} \]根据余弦定理可得：\[ h^2 = d^2 + L^2 - 2dL\cos{\theta} \]通过这两个公式，我们可以根据已知的距离和夹角，计算出高楼的高度。
这就是正弦定理和余弦定理在测量高楼高度时的应用。
正弦定理和余弦定理也可以在航海领域中得到应用。
航海员在航海时需要测量两个位置之间的距离和方向角，而这正是正弦定理和余弦定理所擅长的。
假设航海员需要确定A点和B点之间的距离d和方向角θ，可以利用正弦定理和余弦定理来进行计算。
首先利用余弦定理计算A点和B点的距离：\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta} \]然后利用正弦定理计算出方向角θ：\[ \frac{\sin{\theta}}{a} = \frac{\sin{B}}{d} \]通过这些计算，航海员可以准确地确定A点和B点之间的距离和方向角，从而确保航行的安全和准确性。
在建筑领域中，正弦定理和余弦定理也有着重要的应用。
在设计桥梁和建筑物结构时，需要计算各种角度和距离，而这些计算中常常需要用到正弦定理和余弦定理。
在地质勘探和地震预测中，也需要利用正弦定理和余弦定理来计算地层的深度和角度，从而进行地质勘探和地震预测工作。
正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
正弦定理与余弦定理的使用
正弦定理与余弦定理的使用三角函数是数学中的重要概念，其中正弦定理与余弦定理是常用的三角函数定理。
本文将对正弦定理与余弦定理的使用进行探讨。
1. 正弦定理的使用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。
其数学表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于求解三角形内部元素的相关问题。
例如，已知三角形两边长度和夹角时，可以利用正弦定理求解第三边的长度。
又或者已知两边长度和夹角时，可以通过正弦定理求解夹角的大小。
2. 余弦定理的使用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三条边a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。
其数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC余弦定理也常用于求解三角形内部元素的相关问题。
例如，已知三边长度时，可以通过余弦定理求解夹角的大小。
又或者已知两边长度和夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。
3. 使用示例现假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，夹角C=60度。
我们可以通过正弦定理和余弦定理来求解其他未知量。
首先应用正弦定理，根据a/sinA = b/sinB = c/sinC，我们可以得到c/sinC = a/sinA，带入已知条件可得：c/sin60 = 5/sinA进一步化简可得：c = 5*sin60 / sinA对于未知角A，我们可以通过求反正弦函数来得到其大小。
接下来，我们可以应用余弦定理来求解角C的大小。
根据c² = a² +b² - 2abcosC，带入已知条件可得：5² = 7² + c² - 2*7*c*cos60进一步化简可得：c² - 7c + 21 = 0通过解一元二次方程，我们可以求解得到c的值。
通过以上的例子，我们可以看到正弦定理与余弦定理在解决三角形相关问题时的重要性。
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正弦定理余弦定理应用举例
正弦定理和余弦定理是三角函数与几何问题 之间的桥梁，它们将几何形状的边长和角度 联系起来，为解决几何问题提供了重要的工 具。
实际应用价值
正弦定理和余弦定理在现实生活中有着广泛 的应用，例如测量、建筑、航海等领域，通
过这些定理可以解决许多实际问题。
未来发展方向
要点一
理论完善
判断三角形是否为等腰三角形
通过比较三角形的两边长度和对应的角的正弦值或余弦值， 可以判断三角形是否为等腰三角形。
判断三角形是否为等边三角形
如果三角形的三个角都相等，则它们的正弦值和余弦值也相 等，利用这个性质可以判断三角形是否为等边三角形。
求解三角形面积
利用正弦定理计算三角形面积
已知三角形的两边长度和夹角，可以通过正弦定理计算出三角形的面积。
正弦定理余弦定理应用举例
$number {01}
目 录
• 正弦定理的应用 • 余弦定理的应用 • 正弦定理与余弦定理的综合应用 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
正弦定理的应用
计算角度
计算已知两边及夹角时的角度
已知三角形的两边及其夹角，可以使用正弦定理计算出该角的大小。
计算已知两边及非夹角时的角度
求解三角形面积
公式
$S = frac{1}{2}absin C$
例如
在三角形ABC中，已知a=3, b=4, C=60°，则三角形的面积为 $frac{3sqrt{3}}{2}$。
03
正弦定理与余弦定理的综合 应用
判断三角形形状
1 2
3
判断三角形是否为直角三角形
利用正弦定理和余弦定理，可以判断三角形是否满足勾股定 理的条件，从而确定是否为直角三角形。
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用三角学是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其是测量学中。
而正弦定理和余弦定理作为三角学中的基本定理，具有重要的实际应用价值。
本文将探讨正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。
1. 正弦定理的应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
根据这个定理，我们可以得到以下几个实际问题中的应用。
1.1 测量高度正弦定理常用于测量无法直接得到的高度。
例如，在测量一棵树的高度时，我们可以站在树的底部和树的顶部，分别测量出与水平线的夹角，然后利用正弦定理可以求得树的高度。
这种方法在工程测量、地理测量等领域也得到广泛应用。
1.2 三角形的边长比较正弦定理可以用于比较三角形的边长。
例如，在一个三角形中，已知两个角的大小和一个边的长度，我们可以利用正弦定理求得另外两个边的长度。
这对于解决实际问题中的边长比较非常有帮助。
1.3 解决航空、航海等问题正弦定理在航空、航海、导弹制导等领域也有着广泛的应用。
通过测量角度、距离等信息，可以利用正弦定理计算出目标的位置、飞行轨迹等重要参数，从而更好地实现对目标的监控和控制。
2. 余弦定理的应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。
以下是余弦定理的一些实际应用。
2.1 测量距离余弦定理可以用于测量两点之间的距离。
例如，在航海中，通过测量其中一个角度、两点间的距离和另一个角度，可以利用余弦定理求得两个点之间的距离。
这对于制定航线、航行安全等都起着重要的作用。
2.2 三角形的面积计算余弦定理可以用于计算三角形的面积。
已知三角形的三边长度a、b、c，以及两个角的大小A、C，可以利用余弦定理计算出三角形的面积。
这在建筑、地理等领域中都有重要的应用。
2.3 解决物理问题余弦定理在物理学中也有广泛的应用。
正弦定理和余弦定理的应用举例
正弦定理和余弦定理的应用举例1．实际测量中的常见问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) (5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B.如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，所以∠CBA ＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A 在点B 的北偏西15°.(教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离为________．解析：由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．答案：50 2 m如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________．解析：因为∠D ＝30°，∠ACB ＝60°， 则∠CAD ＝30°，所以CA ＝CD ＝a ， 所以AB ＝a sin 60°＝32a . 答案：32a测量距离[典例引领]如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B 点出发到达C 点)【解】 在△ABD 中，由题意知，∠ADB ＝∠BAD ＝30°，所以AB ＝BD ＝1，因为∠ABD ＝120°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，解得AD ＝3，在△ACD 中，由AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 150°， 得9＝3＋CD 2＋23×32CD ， 即CD 2＋3CD －6＝0，解得CD ＝33－32， BC ＝BD ＋CD ＝33－12， 2个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰．若本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，则这条索道AC 长为________．解析：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD，所以200sin 30°＝AD sin 120°.所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3(m)．在△ADC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°， 所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(200 3)2＋3002－2×2003×300×cos 150° ＝390 000，所以AC ＝10039. 故这条索道AC 长为10039 m. 答案：10039 m距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， 所以AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. 所以BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 km ，测量高度[典例引领]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.【解析】 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 【答案】 1006求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．(2018·湖北省七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.解析：由题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝⎛⎭⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m. 答案：1039测量角度[典例引领]一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛C .(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，求∠CAB 的大小． 【解】 (1)由题意，在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝23－2，BC ＝4， 根据余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24， 所以AC ＝2 6.(2)根据正弦定理得，sin ∠BAC ＝4×3226＝22，所以∠CAB ＝45°.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．[通关练习]1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北的方向前进．解析：设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC ＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进． 答案：30°2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型； (2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．易错防范(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 km D ．60 2 km解析：选B.如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°， 所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝302，故选B.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)， 所以在△ACD 中，由余弦定理得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．10 km C ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C.作出示意图(如图)，全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°， 即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km. 6．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)．答案：5 67．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB 于D 点，则CD 为所求河的宽度．在△ABC 中，因为∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝75°，所以AC ＝AB ＝120 m.在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD。
正弦、余弦定理与应用
正弦、余弦定理与应用正弦、余弦定理是解决三角形中各边和角关系的重要工具。
在几何学和三角学中，它们被广泛应用于测量和计算问题。
本文将介绍正弦、余弦定理的概念及其应用，并通过实例展示其有效性。
一、正弦定理正弦定理是解决三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用可以帮助我们求解未知边或未知角。
例如，给定一个三角形的两边长度和它们之间的夹角，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。
例如，假设三角形ABC，已知边AB的长度为5，边AC的长度为7，夹角BAC的大小为30°。
应用正弦定理，我们可以得到：5/sin30° = 7/sinBAC通过代入数值并解方程，我们可以求得角BAC的大小。
正弦定理使我们能够通过已知边长和夹角大小来计算其他边长和角度。
二、余弦定理余弦定理是另一个用于三角形中边和角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC通过余弦定理，我们可以计算三角形中的边长或角度。
例如，已知三角形ABC的两边长度分别为3和4，夹角C的大小为60°，我们可以通过余弦定理计算第三边的长度。
应用余弦定理，我们可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°通过计算，我们可以求得第三边的长度c。
余弦定理在解决三角形中边和角关系时非常有用，特别是当仅已知两边和它们之间的夹角时。
三、应用案例正弦、余弦定理广泛应用于测量和计算相关问题。
以下是一些实际应用案例：1. 三角测量：正弦、余弦定理可以用于三角形测量中。
例如，在地理测量中，通过测量三角形的边长和角度可以确定地球上两点之间的距离。
正弦定理余弦定理应用举例
sin A B cos C , cos A B sin C
2
2
2
2
(4)在ABC中，A B a b sin A sin B
(即大边对大角，大角对大边）
(5)正弦定理和余弦定理
二. 判断三角形形状
(1)a cos A b cos B; 等腰三角形或直角三角形
∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD= 3km.
在△BCD中，∠BCD=45°，
∠BDC=75°，∠CBD=60°.
BC
3 sin 75 sin 60
6 2
2.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2 ( 3)2 ( 6 2 )2 2 3 6 2 cos 75
题型分类 深度剖析
题型一 与距离有关的问题 【例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取
相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,
∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离.
思维启迪 分析题意，作出草图，综合运用正、
余弦定理求解.
解 如图所示在△ACD中，
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2
2ca
角化边公式
cosC a2 b2 c2
2ab
斜三角形的解法
已知条件 定理选用
一般解法
一边和两角 (ASA或AAS)
正弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再 用正弦定理求出两边。
两边和夹角 (SAS)
400 3
.
变式2 如图所示，测量河对岸的
正弦定理余弦定理的应用举例1
例2、我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里B处，
发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时
的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要
的速度大小为
。
C
分析：2小时敌舰航行距离AC=20， 由AB=12，∠BAC=120°，
余弦定理可解我舰航行距离 BC。
10 ° A 50 °
B
南
基础知识复习
1、正弦定理 a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
注：阅读教材P12，了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
BC
ABsin A sin C
5sin15 sin10
7.4524(km).
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米。
变式：某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处，观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时，汽车到A的距离 为31千米，汽车前进20千米后，到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远，才能到达M汽车站？
=a/sin(α+β)
A
β
B
αa
C
解三角形的应用---实地测量举例
例3、 如何测定河对岸两点A、B
间的距离？如图在河这边取一点， 构造三角形ABC，能否求出AB? 为什么？？
B
A C
正弦、余弦定理的应用
分别用正弦定理和余弦定理求解！
例2.在ABC中,已知(a2 b2 )sin(A B) (a2 b2 )sin(A B), 试判断ABC的形状.
练习：若 sin A cos B cos C ，
a
b
c
则ABC的形状为 ______.
例3.设三角形ABC内角A, B, C的对边分别为a,b, c. 若b 2，c 1, A 2B, 试求cosC的大小.
练习：（1）在△ABC 中，sinA:s.
（2）在△ABC 中, a2 b2 c2 bc ,则A等于_______ .
思考：
设三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b,c. 已知b 10, c 14,C 600,如何求a ?
例1.设三角形ABC内角A, B, C的对边分别为a,b,c. 若2b cos A a cosB c,试求角A的大小.
cos B c 2 a 2 b 2 2ac
a2 b2 c2 cos C
2ab
结论：设a是三角形中最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a2 b2 c2 △ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
余弦定理应用：
１、已知两条边和一个夹角，求第三条边; ２、已知三条边，求三个角; 3 、判断三角形的形状.
3
一个常用的三角形面积公式:
S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B
2
2
2
思考:如何简单证明?
应用举例:
例1.已知a,b, c是ABC中角A, B,C的对边, S是ABC的面积,若a 4,b 5, S 5 3,求c的长度.
练习：在 ABC中，a 4sin10,b 2sin 50, C 70， 试求ABC的面积。
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[问答题,论述题]一个优秀的团队应具备哪些特征？ [判断题]婴幼儿急性胃肠炎的主要病原体是人类轮状病毒。A.正确B.错误 [单选]RR表示（）A.比值比B.相对危险度C.特异危险度D.人群特异危险度E.特异危险度百分比 [多选]过滤式自救器的注意事项有（）。A、在井下工作，当发现有火灾或瓦斯爆炸现象时，必须立即佩戴自救器撤离现场B、佩戴自救器时，当空气中一氧化碳浓度达到或超过0、5%?吸气时会有些干、热的感觉，这是自救器有效工作的正常现象，必须佩戴到安全地带才能取下，切不可因干、热感 [单选]对脊柱关节病具有诊断意义的磁共振成像表现是（）。A.骶髂关节滑膜炎B.骶髂关节骨水肿C.骶髂关节骨侵蚀D.骶髂关节脂肪沉积E.骶髂关节肌腱附着点炎 [单选]图示支座反力BC的影响线形状正确的是：（）A.B.C.D. [单选]企业对信用风险进行控制首先必须解决（）。A.弄清企业信用风险的内部原因B.制定科学的信用决策C.应收账款的管理和监控D.拖欠账款的追收 [单选,A1型题]在对某个家庭暴力患者的创伤治疗方案中，治疗师给了该患者一本宣传手册，里面有关于对家庭暴力的常见误解，可求助的社会机构以及其他社会资源，这个治疗师是采用（）A.心理动力取向的治疗B.认知行为治疗C.眼动脱敏和再加工治疗D.阅读治疗E.虚拟现实治疗 [单选]导致心源性猝死最常见的原因是（）A.心瓣膜病变B.冠心病C.心肌病变D.高血压性心脏病E.窒息 [单选]Inmarsat通信系统中，移动站的工作波段为（）。A.L波段B.C波段C.S波段D.X波段 [名词解释]数据库 [单选]下列正常肾上腺声像图，哪一项描述正确A.正常肾上腺超声显示率左侧低于右侧B.新生儿肾上腺约为肾的1/3大小C.成人肾上腺约为肾的1/13大小D.新生儿肾上腺部位表浅，周围缺乏脂肪，其检出率高于成人E.以上描述均正确 [单选]行业标准是对的补充，是专业性、技术性较强的标准。（）A.地方标准B.出口产品标准C.国家标准D.企业标准 [单选]绿豆粉、黄豆粉、赤豆粉统称为（），可以制作点心A、豆粉B、生粉C、淀粉D、粟粉 [问答题,简答题]从技术角度简述互联网的概念。 [单选]原发性闭经是指（）。A.年龄超过14岁，第二性征已发育，月经未来潮者B.年龄超过15岁，第二性征已发育，月经未来潮者C.年龄超过16岁，第二性征已发育，月经尚未来潮者D.年龄超过17岁，第二性征已发育，月经尚未来潮者E.年龄超过15岁，第二性征未发育者 [填空题]在Staion的主界面窗口中，包括（）；（）、信息栏、主窗口、报警线、状态栏等栏目。 [填空题]高层建筑设计时应该遵循的原则是（），（），（），（）。 [名词解释]总长（LOA） [单选]“夫百病之始生也，皆生于风雨寒暑，清湿喜怒”之“清湿”是指（）。A.湿邪B.风湿C.痰湿D.寒湿E.湿热 [单选,A1型题]医师在执业活动中，违反《执业医师法》规定，有下列行为之一的，由县级以上人民政府卫生行政部门给予警告或者责令暂停六个月以上一年以下执业活动；情节严重的，吊销其医师执业证书（）A.未经批准开办医疗机构行医的B.经患者或家属同意，对患者进行实验性临床医疗的 [单选]人食用患疯牛病的牛肉可导致下列哪种疾病()A．库鲁病B．克-雅病C．致死性家族性失眠症D．新变异型克-雅病E．杰茨曼-斯脱司勒-史茵克综合征 [单选]4岁男孩，劳累后气促，5.3kPa，闻及股动脉枪击声，诊断应考虑为（）A.室间隔缺损B.房间隔缺损C.动脉导管未闭D.肺动脉狭窄E.法洛四联症 [单选]不属于龟鳖目的科是（）。A.壁虎科B.龟科C.棱皮龟科D.海龟科 [单选]保险凭证是简化了的保险单，保险凭证的效力与保险单相比()。A.前者大于后者B.前者小于后者C.相等D.视具体情况而定 [问答题,简答题]什么是初馏点？ [单选]超声多普勒听到胎心音的时间是（）.A.孕4周后B.孕5周后C.孕6周后D.孕7周后E.孕12周后 [单选]在OSI模型中，传输层为第（）层A.3B.4C.6D.7 [单选]高血压伴有低血钾最可能的病因是（）.A.原发性高血压服用利尿剂治疗B.原发性醛固酮增多症C.嗜铬细胞瘤D.肾动脉狭窄E.库欣综合征 [单选,A2型题,A1/A2型题]子宫颈癌的好发部位是（）A.子宫颈外口柱状上皮与鳞状上皮交界处B.子宫峡部解剖学内口C.子宫峡部组织学内口D.阴道穹隆E.子宫颈管 [单选]下列不属于并励直流电动机（）。A.绕组导线截面小B.绕组匝数少C.励磁绕组和电枢绕组并联D.机械特性硬 [单选]公孙穴位于（）。A.第1跖骨小头后缘，赤白肉际处B.第1跖骨小头前缘，赤白肉际处C.第1跖骨趾关节部，赤白肉际处D.第1跖骨基底部前下缘，赤白肉际处E.第1跖骨基底部后下缘，赤白肉际处 [单选,A1型题]能消食和中，回乳疏肝的药物是（）A.山楂B.莱菔子C.神曲D.鸡内金E.麦芽 [单选]关于何为"正当补偿"的问题，一直是人们争论的焦点，救济法学上总体上可以概括为两种，即完全补偿说和（）。A.适当补偿说B.相应补偿说C.合理补偿说D.部分补偿说 [单选,A1型题]严重胸腹联合损伤后，必须首先处理的是（）。A.呼吸骤停B.闭合性液气胸C.急性弥漫性腹膜炎D.粉碎性胸腰椎骨折E.轻度血压下降 [单选,A1型题]能透过血脑屏障而产生中枢抑制作用的成分是（）A.小檗碱B.黄连碱C.四氢黄连碱D.药根碱E.甲基黄连碱 [单选]t分布曲线是（）A.正态分布曲线B.标准正态分布曲线C.当自由度越大，t分布曲线的尾部越高D.t分布是一条以均数为中心左右对称的曲线E.t分布是一簇曲线，随自由度的改变而不同 [单选]主合同和从合同是以（）条件划分的。A.按照当事人是否相互负有义务划分B.按照合同的成立是否以标的物的交付为必要条件划分C.按照合同表现形式划分D.按照相互之间的从属关系划分 [单选]男女双方晚婚的，除国家规定的婚假外，增加婚假（）日。A.10；B.14；C.30 [填空题]愿景是组织未来（）达到的一种状态，它为组织提供了一个清晰的图景，描述了组织正在（），以及希望成为什么或被看成什么。