变量分离的方程
变量分离方程
变量分离方程变量分离方程是解决一元微分方程的常用方法之一。
所谓一元微分方程，是指涉及到一个未知函数及其导数的方程。
变量分离方程的目标是将方程中的已知量和未知量分离在等式的两边，然后分别积分求解，最终得到未知函数的解析表达式。
一般来说，变量分离方程可以写成以下形式：dy/dx = f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的已知函数，dy/dx表示y对x的导数。
我们的目标是将x和y分离到等式的两边。
首先，我们将方程两边关于x积分，得到∫1/g(y)dy = ∫f(x)dx。
左边的积分结果是y的函数，右边的积分结果是x的函数，因此我们将方程变为∫1/g(y)dy = F(x) + C，其中C是积分常数。
然后，我们需要对∫1/g(y)dy进行求解。
这一步可能需要一些数学技巧，例如分部积分、换元法等。
求解后得到∫1/g(y)dy = H(y) = F(x) + C。
最后，我们将解y(x) = H^-1(F(x) + C)，即y是H^-1(F(x) + C)的逆函数。
接下来，我们将通过一个实际的例子来演示变量分离方程的求解过程。
假设我们有一个一元微分方程dy/dx = x/y^2。
我们可以将该方程分解为以下形式：y^2dy = xdx。
然后，我们将方程两边进行积分。
对左边进行积分得到∫y^2dy，对右边进行积分得到∫xdx。
∫y^2dy的积分结果是y^3/3，∫xdx的积分结果是x^2/2。
因此，我们得到y^3/3 = x^2/2 + C，其中C是积分常数。
接着，我们将解y(x) = (3(x^2/2 + C))^(1/3)。
这是方程dy/dx = x/y^2的解析解。
变量分离方程是一种简单而有效的解微分方程的方法。
通过将方程分解以及对两边进行积分，我们可以将已知量和未知量分离，并最终得到未知函数的解析解。
然而，对于一些复杂的微分方程，变量分离可能并不容易实现，此时我们需要借助其他方法，如常数变易法、齐次法等。
变量分离的方程
§2 变量分离的方程考虑微分方程0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2(若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2(变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积.问题是：对)2.2(如何求解？一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：0)()(=+dy y Y dx x X )3.2()3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( )4.2(由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到0)()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的.附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上.例1 求解微分方程0)1)(1(22=+-+xydy dx y x )7.2(解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程01122=-++dy y y dx x x ， 积分得C y x x ln 1ln )ln(222=-++，即 C y e x x =-1222，亦即 2221x e C y x -⋅+= )8.2( 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许)8.2(中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于)8.2(中.因此方程)7.2(的通积分为2221xe C y x -⋅+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .例2 求解微分方程 31'23y y = )9.2( 并作出积分曲线族的图形.解 当0≠y 时，将)9.2(改写为dx ydy2331=， 两边积分，得 C x y +=32， （0≥+C x ）， 或 32)(C x y +=， （C x -≥） )10.2(最后，还有特解0≡y ，它不包含在)10.2(之中.利用方程)9.2(并参照通积分)10.2(，可以作出积分曲线族的图形（图 ）由图 不难看出，过x 轴上的每一点)0,(**x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.总之，微分方程)9.2(满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是局部不唯一的.我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.下面我们通过几个例子来说明,尽管一些方程本身不是可分离变量的,但通过适当变换后,便可变为可分离变量方程.例3 求解微分方程y x dxdy +=2 )11.2( 解 作变换,令y x z +=2,则dx dydx dz +=2,代入原方程得z dx dz+=2,将它分离变量得dx z dz=+2,积分得c x z ln 2ln +=+,或2-=x ce z ,所以原方程的解为22--=x ce y x .例4 求解微分方程)(t a n 2y x dx dy+=)12.2( 解 作变换,令y x z +=,则dx dydx dz+=1,代入原方程,化简后得zdz dx 2cos =,积分得12sin 4121c z z x ++=,所以原方程的隐式解为c y x y x =+--)(2sin )(2.其中14c c =.习题2—21．求解下列微分方程：（1） 221xy y x dxdy +++=； 解 分离变量，得dx x y dy )1(12+=+， 积分后得通积分C x x y ++=221arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++=. （2） 2)2c o s (c o s y x dxdy =； 解 分离变量，得xdx ydy 22cos 2cos =， 积分后得通积分C x x y =--2sin 212tan . 此外由02cos =y 可求得特解42ππ+=n y . （3） 21y dxdy x -=； 解 分离变量，得xdx y dy=-21， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .此外还有特解1±=y .（4） y xey e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得dx e x dy e y x y )()(--=+，积分后得通积分C e e x y x y =-+--)(222.2．求解下列微分方程的初值问题：（1）0=+-dy ye xdx x ，1)0(=y ；解 将方程改写为 0=+y d y dx xe x ，积分后得通积分C y e xe x x =+-221. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22=++-y e x x .（2） 21ln y x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 313. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+x x x y y . （3）321xy dxdy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x x d xdy y +=，积分后得通积分 C x y=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为312122=++x y . 3． 跟踪：设某A 从xOy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从),0(b 开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ，试求B 的光滑运动轨迹.解 设B 的运动轨迹由)(x y y =表达，在0=t 时，B 的坐标为),0(b ，在时刻t 时，B 的坐标为))(,(x y x ，因为B 与A 永远保持等距b ，从而22yb y dx dy --=， 分离变量，得 dx dy yy b =--22， 积分后得通积分C y b y b b y b b b x +-----+=222222ln 2. 由初值条件b y =)0(，得0=C .所以设B 的运动轨迹为222222ln 2y b y b b y b b b x -----+=. 4． 设微分方程)(y f dxdy = )11.2( 其中)(y f 在a y =的某领域（例如，区间ε≤-a y ）内连续，而且0)(=y f ，当且仅当a y =.则在直线a y =上的每一点，方程)11.2(的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa a y f dy )( （发散）. （从而在特解a y =的领域内的每一点，方程)11.2(的解都局部唯一）.证 显然a y =是方程)11.2(的一个解，又经过域 a y a x D <≤-+∞<<-∞ε,:1和域ε+≤<+∞<<-∞a y a x D ,:2内任一点),(00y x ，恰有方程)11.2(的一条积分曲线，它由下式确定： 00)(x x s f ds yy -=⎰ )12.2( 这些积分曲线彼此不相交.其次域1D （2D ）内所有积分曲线C x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，如0)(C x y f dy +=⎰，经过坐标变换0,C C x y --==ξη平移而得到.因此只需考察经过1D （或2D ）内某点的一条积分曲线，它由)12.2(式确定.若在直线a y =上某一点),(1a x ，方程)11.2(的解不局部唯一，即有所论积分曲线当1x x =时达到直线a y =上点),(1a x ，因此积分⎰a y s f ds 0)(必收敛.这与∞=⎰±εa a y f dy )(矛盾. 反之，若⎰a y s f ds 0)(发散.此时由)12.2(容易看出，所论的经过),(00y x 的积分曲线不可能达到直线a y =上，而以直线a y =为渐近线.从而)11.2(的解在直线a y =上的每一点都局部唯一.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
可分离变量微分方程ppt课件
)
C
0.62 2g 3
5
利用初始条件, 得
h t 0 100
C 14 105
0.62 2 g 15
h
hr
100cm
因此容器内水面高度 h 与时间 t
o hdh
有下列关系:
t
(7 105
103 h 32
5
3h 2
)
4.65 2 g
内容小结 作业 P 269 1(1)(5)(7)(10); 2 (3)(4) ; 4 ; 5
M
铀含量
问题, 求: M M (t)
条件: (1) (2)
ddMM M ( 0)
ddtt M t0 M0 (初始条件)
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在衰变过程中铀含 量M(t) 随时间 t 的变化规律.
dM M ( 0)
称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
降落伞下落速度与时间的函数关系.
建模: 相关变量, 有: t
时间, F
力
v
下落速度
问题, 求: v v(t)
条件: (1) F mg k v (k 0)
(2) v t0 0 (初始条件)
根据牛顿第二定律 (3) m dv mg kv
变量分离法解微分方程
变量分离法解微分方程变量分离法是求解一阶常微分方程的一种常用方法，它的基本思想是将微分方程中的变量分离，从而得到两个单独关于各自变量的微分方程，进而解出原方程的解析解。
这种方法在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用。
在变量分离法中，首先需要将原方程变形为关于两个变量的等式。
对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，我们可以将其改写为1/g(y)dy = f(x)dx。
我们可以通过对方程两边同时积分来解出原方程的解。
下面我们以一个具体的实例来说明变量分离法的应用。
考虑一阶线性微分方程dy/dx = y/x，我们可以使用变量分离法来求解。
将方程变形为1/y dy = 1/x dx。
然后我们对方程两边同时积分，得到ln|y| = ln|x| + C，其中C为常数。
进一步，我们可以应用指数函数的对数性质得到|y| = e^(ln|x| + C) = e^(ln|x|) * e^C = Cx，其中C为非零常数。
由于|y| = Cx，我们可以将常数C的正负号去掉，得到y = Cx，其中C为任意常数。
原方程的解为y = Cx，其中C为任意常数。
通过这个具体的实例，我们可以看出变量分离法在求解微分方程时的奏效。
通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到原方程的解析解。
这种方法在实际问题的求解中具有广泛的应用，特别是对于具有分离变量性质的一阶常微分方程来说，变量分离法是一种非常有效的求解方法。
在实际应用中，变量分离法的步骤一般是比较清晰和直观的，但是在解析解的求解过程中，可能会涉及到一些复杂的积分计算，需要运用积分技巧或者其他数学工具来求解。
变量分离法在求解高阶微分方程时不是常用的方法，常用的方法是利用特征方程或者线性微分方程的特殊解求解。
总结和回顾一下，变量分离法是一种常见且实用的求解一阶常微分方程的方法。
通过将微分方程变形为两个变量的等式，并应用积分求解的方法，我们可以得到微分方程的解析解。
变量可分离方程
即
p ( x ) dx p ( x ) dx y e e ce . c1
此外y 0也是方程的解 , 若在上式中充许 c 0, 即知y 0也包括在上式中 ,
故方程的通解为
p ( x ) dx y ce ,
c为任常数 .
例4 解:
dy y 2 cos x 求初值问题 dx 的特解. y (0) 1 dy 先求方程 y 2y 2 1 ln C
C 0
一、变量分离方程的求解
dy f ( x) ( y ) dx
(2.1)
1
0
分离变量, 当 ( y) 0时, 将(2.1)写成 dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. ( y)
0
2
两边积分得 dy ( y) f ( x)dx c
(2.2)
f ( x)的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
例1 解:
dy y 求微分方程 y (1 ) dx 10
的所有解.
y y )得 y 1 0 时方程两边同除以 y(1 10 10
积分得:
dy
y y(1 ) 10
dx c1
y ln x c1 10 y
从上式中解出 y, 再将常数记为 c, 得
y 由y (1 ) 0, 求出方程的所有解为 y 0和y 10, 10
故方程的所有解为:
10 y , x 1 ce
c 0.
10 y , c为任常数 , 和y 0. x 1 ce
y ln x c1 10 y
例2 求微分方程
解: 当
dy x y dx
变量分离方程
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
•课堂练习/Exercise/
1 dy p(x) y dx
dy
1
3
dx (x y)2
2 dy e xy dx
dy 2x3 3xy2 x 4
dx 3x2 y 2y3 y
•思考以下方程的求解方法 1 dy f (ax by c) dx
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
解法
(1) 作变量变换 y u 即 y=ux x
（2）对两边关于 x 求导
dy x du u dx dx
（3）将上式代入原方程，得 整理 du 1 (g(u) u) dx x
x du u g(u) dx
…………….(2.6)
其解为: x , y
(2) 作变换 x X , y Y
将方程(2.5)化为齐次方程
dY a1X b1Y dX a2 X b2Y
(3) 再作变换U Y 将其化为变量分离方程 X
(4) 求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原 方程的解。
并代回原变量，得:
Y 2 2 XY X 2 c1
( y 2)2 2(x 1)( y 2) (x 1)2 c1
此外，容易验证: u 2 2u 1 0
即
Y 2 2XY X 2 0
也是方程(2.18)的解。
因此原方程(2.17)的通解为:
y 2 2xy x2 6 y 2x c 其中 c 为任意常数。
§2.1 Separable First-Order ODE & Transform
微分方程中的变量可分离与一阶线性齐次方程
微分方程中的变量可分离与一阶线性齐次方程微分方程是数学中重要的概念，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。
微分方程可以分为不同的类型，其中包括变量可分离方程和一阶线性齐次方程。
本文将介绍这两种类型的微分方程，并讨论它们的特点和求解方法。
一、变量可分离方程变量可分离方程是指微分方程中的变量可以通过分离变量的方式进行求解。
具体而言，变量可分离方程可以表示为：dy/dx = f(x)g(y)其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
为了求解这种类型的微分方程，我们可以将方程重新排列，将dy和dx分离开来：g(y)dy = f(x)dx接下来，我们可以对上述方程两边同时积分，得到：∫g(y)dy = ∫f(x)dx通过积分，我们可以求得y关于x的函数表达式，从而得到微分方程的解。
举例来说，考虑微分方程dy/dx = x/y。
我们可以将方程变形为ydy = xdx，然后对两边同时积分，得到y^2/2 = x^2/2 + C，其中C是常数。
因此，微分方程的解为y^2 = x^2 + C。
二、一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是指微分方程中的一阶导数与原函数成比例的方程。
一般来说，一阶线性齐次方程可以表示为：dy/dx + P(x)y = 0其中P(x)是关于x的函数。
为了求解这种类型的微分方程，我们可以使用分离变量的方法。
首先，将方程变形为：dy/y = -P(x)dx接下来，对上述方程两边同时积分，得到：ln|y| = -∫P(x)dx + C通过求指数，我们可以得到：|y| = e^(-∫P(x)dx + C) = e^C * e^(-∫P(x)dx)其中e^C是常数。
因此，我们可以将常数e^C合并成一个新的常数k，得到：|y| = ke^(-∫P(x)dx)由于|y|是绝对值，我们可以将其拆分为两个方程：y = ke^(-∫P(x)dx) 或者 y = -ke^(-∫P(x)dx)这样，我们得到了一阶线性齐次方程的解。
变量可分离方程
=
∫
f
( x)dx
分别为
1 和f g( y)
( x)的
原函数，C为任意常数。
反之，如果对任意常数 C，y = y( x)满足 (3)或(4),
则两对 x求导，即得 dy = f ( x)g( y)。即 y = y( x)是 dx
(1)的解。(4)称为(1)的隐式通解，称为通积 分。
如果 g( y0 ) = 0。则 y = y0也是 (1)的解，称为常数解。
最后得方程的所有解为：
2xy + 1 = Cx2
作业 P14，1.(3,4), 2.(1,2), 3.(1,3), 6.
解： x = ±1和 y = ±1均为方程的特解 .
( x 2 − 1)( y 2 − 1 ) ≠ 0 时，方程可以写成：
x x 2 − 1 dx
+
y y 2 − 1 dy
= 0,
积分得：
ln x 2 − 1 + ln y 2 − 1 = C 1
方程的所有解为：
( x 2 − 1 )( y 2 − 1 ) = C .
dy = f ( x)dx g( y)
K分离变量
(2)
如果y = y( x)是(1)的解，则 y = y( x)满足 (2)。
(2)两边对 x积分得 :
∫
dy g( y)
=
∫
f
( x)dx +
C
(3)
或
G( y) = H(x)+ C
(4)
此为y = y( x)满足的隐函数方程。
记G(
y)
=
∫
dy 。H ( x) g( y)
或 y = sin(arcsin x + C )
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
； 4 x 2、cos ydx (1 e ) sin ydy 0 , y x 0 . 4
1、cos x sin ydy cos y sin xdx , y x 0
三、质量为 1 克 的质点受外力作用作直线运动,这外力 t 10 和时间成正比,和质点运动的速度成反比.在 2 50 厘米 / 秒 4 克 厘米 / 秒 秒时,速度等于 ,外力为 , 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 四、 小船从河边点 0 处 出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为 a , 船行方向始终与河岸垂直, 设河宽 为 h , 河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离 的乘积成正比(比例系数为 k ).求小船的航行路 线 .
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln C ,
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
为所求解.
dy
y y x ln csc cot 2 cos C , 2 2 2
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。
分离变量方程
分离变量方程分离变量方程是数学中常见的一种解决问题的方法，通常用于解决涉及多个未知数的方程。
通过将含有多个未知数的方程分解成只含一个未知数的小方程，可以简化问题的解决过程，使得计算更加直观和方便。
下面将介绍一些常见的分离变量方程及其解法。
一、线性方程线性方程是最简单的一类方程，通常具有形如y=ax+b的形式。
对于线性方程，我们可以使用分离变量的方法将未知数y和x分开，从而简化问题的解决过程。
具体来说，我们可以将线性方程化为dy/dx=a，然后对方程两边同时积分，即可求得y的表达式。
二、二阶方程对于二阶方程，通常具有形如y''=f(x,y,y')的形式。
在这种情况下，我们可以通过引入新的未知函数u(x)=y'，将二阶方程化为一组一阶方程。
具体来说，我们可以令u(x)=y'，然后将原方程化为一个包含u和y的一阶方程组，进而使用分离变量的方法解决问题。
三、常微分方程常微分方程是一类包含未知函数的导数的方程，通常具有形如dy/dx=f(x,y)的形式。
对于常微分方程，我们可以使用分离变量的方法将未知函数y和自变量x分开，从而化简问题的解决过程。
具体来说，我们可以将dy/dx=f(x,y)化为dy=f(x,y)dx，然后对方程两边同时积分，即可求得y的表达式。
四、变量分离的重要性分离变量方程在解决数学和物理问题中起着重要的作用。
通过将含有多个未知数的方程分解成只含一个未知数的小方程，我们可以更加直观地理解问题的本质，并且可以更加方便地进行计算。
因此，掌握分离变量的方法对于解决复杂的方程和问题具有重要意义。
总的来说，分离变量方程是一种常见且有效的解决问题的方法，适用于各种类型的方程。
通过将含有多个未知数的方程分解成只含一个未知数的小方程，我们可以简化问题的解决过程，使得计算更加直观和方便。
希望以上介绍能够帮助读者更好地理解和掌握分离变量方程的相关知识。
第一章——变量可分离方程
它不包含在方程的通解中(1.则26须) 予, 以补上
.
此时称y=y0 是方程（1.18)的常数解
附注：2
上面我们在求的dy通=解g(时x)， h(y是) 假设 dx
了。 h(y但) ≠有0时往往会碰到在某些点使得 y0
h(y0 ) = 0。对于这种情形，显然也y =是y解0 ， 且称这种常函数的解为定解。下面分两种情形：
1.2 变量可分离方程
先看一些简单的例子：
dy = F (x, y) dx
1. dy = ye x+ y , dx
( ) 2.= dy x2 y2 + 1 , dx
3. dy= e x ⋅ ye y , dx
1.2.1 变量可分离方程
dy = F (x, y) dx
定义1 形如
dy = f (x)φ( y)
另外，也 y = 是±方 1 程的解，且可在通y解= 1中
取得 C =到0，即如果在通解中
y=
−
C C
+ −
cos 2 cos 2
x x
允许， C =则0已含在 y =通1解中。但不可 y = −1
在通解中取适当的得 C 到，因此原方程的解为：
通解， y =其−中C 为 + c任os意2 x常数，及C一个 C − cos2 x
,
故通解只在或x >之0一x中<有0 意义
.
此外还有解这y =个0解, 未包含在通解中应补上,
.
例6 求微分方程 dy = p(x) y 的通解其, 中是p(的x)连续x 函数
.
dx
解: 将变量分离后得 dy = p(x)dx y
∫ 两边积分得: ln y = p(x)dx + c1
《微积分》第二节 可分离变量的微分方程
x ydx ( x2 1) dy 0
y(0) 1
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得
即
y C x2 1
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
1 y
x2 1
例3. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比,已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.
半衰期：放射性元素衰减一半所需时间.
M0 e t
1 2
M0
.
半衰期： ln 2 .
小结：
一、可分离变量的微分方程类型：
二、可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .
作业
P270习题4_2 1(单)，2(单)，3
解: 根据题意, 有
dM M ( 0)
dt M t 0 M 0 (初始条件)
分离变量, 然后积分:
得 ln M t ln C M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
M M 0 e t . ( 0 ) 指数衰减
第二节 可分离变量的微分方程
变量分离的微分方程的标准形式：g( y)dy f ( x)dx
例如
dy
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法：两边积分
g( y)dy f ( x)dx
设G( y)和F( x)分别为g( y)和 f ( x)的原函数,则
G ( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例1 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 d y 3x2 dx y
1_2变量分离方程
沈阳化工学院第一章初等积分法§1.2变量可分离方程一、变量可分离方程的一般形式1、显示变量可分离方程：dydx=f(x)g(y)2、微分形式变量可分离方程：M1(x)N1(y)dx=M2(x)N2(y)dy变量可分方程：dy dx =xydydx=e x+ydxdt=x2+1dydx=xy非变量可分方程：dy dx =x+ydydx=e x+e ydydx=xx+ydxdt=x2+t2二、变量可分方程的解法1、当g(y)=1时，方程为dydx=f(x)设f(x)在区间(a,b)连续，方程通解为y=∫xx0f(x)dx+C其中C为任意常数，x0∈(a,b)是固定数.2、当g(y)不是常数时，设f(x)在(a,b)连续，g(y)在(α,β)连续，若y=y(x)是方程任意解，且满足y(x0)=y0，则有dy(x)dx≡f(x)g(y(x)),x∈(a,b)通讯作者：席伟1email:teacherxi@沈阳化工学院设g(y)=0，分离变量得dy(x)g(y(x))≡f(x)dx,x∈(a,b)两端积分，得∫xx0dy(x)g(y(x))≡∫xx0f(x)dx,x∈(a,b)所以，y=y(x)满足的隐函数方程为∫y y0dyg(y)≡∫xx0f(x)dx反之，上述隐函数的解也为原方程的解，通常求解时取为不定积分形式∫dy g(y)=∫f(x)dx+C上式即为原方程的隐式通解，也称为通积分3、当g(y0)时，显然，y=y0也为原方程的解，称为常数解.例1求解方程dy dx =yx解当y=0时，分离变量，方程化为dy y =dxx两端积分，即得通积分ln|y|=ln|x|+C1或ln|y|=ln|Cx|(C=0)解得y，得方程通解y=Cx(C=0)另外，y=0也是方程的解，所以在通解y=Cx中，任意常数C可以取零。
通讯作者：席伟2email:teacherxi@沈阳化工学院例2求解方程dy dx =√1−y2√1−x2解当y=±1时，方程的通积分为∫dy √1−y2=∫dx√1−x2+C即arcsin y=arcsin x+C解出y，得到通解y=sin(arcsin x+C)另外，方程还有常数解y=±1，它们不包含在上述通解中。
变量分离方程与变量变换
dy dx
a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2 x b2 y)
令u
a2 x
b2 y,则方程化为
du dx
a2
b2
f
(u)
dy g( y) dx x
(2.5)
的方程称为齐次方程, 其中g(u)是u的连续函数.
求解方法: step1 作变量代换 u y , 即 y xu, x
代入原方程,得 du g(u) u .
dx
x
step2
解变量分离方程,得
du g(u) u
dx x
记
(u)
du , f (u) u
dx 解得 tan u x C, 所求通解为: tan( x y 1) x C.
例3 求微分方程 xy y y(ln x ln y)的通解.
解 令u xy, 则 u xy y ,
代入原方程得 du u ln u , dx x
例6
设
x
0
x2 ydx
ln
y
,求
y( x).
解 方程两边同时对 x 求导 ,得 x2 y 1 dy , y dx
分离变量,并积分得
dy y2
x2dx
,
解得
1 y
1 3
x3
C1
,
即
y
常微分方程2.1变量分离方程与变量变换
变量分离方程的解法
总结词
解变量分离方程的关键是找到一种方式将方程中的未知函数和其导数分离，然后分别求 解。
详细描述
解变量分离方程的一般步骤是先将方程变形为 f′(x)=u(x)v(y)f'(x) = frac{u(x)}{v(y)}f′(x)=v(y)u(x) 的形式，其中 u(x)u(x)u(x) 和 v(y)v(y)v(y) 是两个可导的 函数。然后分别求解 u(x)=0u(x) = 0u(x)=0 和 v(y)=0v(y) = 0v(y)=0，得到原方程的
在某些物理问题中，通过变量变换可以将实际问题转化为数学模型，从而 更好地理解和求解问题。
03
CATALOGUE
实例分析
实例一：变量分离方程的解法
总结词
变量分离法是一种求解常微分方程的有效方法，通过将方程中的变量分离，将问题转化为可求解的形式。
详细描述
变量分离法适用于具有特定形式的常微分方程，如形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。通过对方程进行适当的变形， 使得变量x和y能够分开，从而将问题简化为可求解的形式。
02 注意变换后的新变量的取值范围和定义域，确保 变换的合法性和有效性。
03 在进行变量变换时，要保持方程的等价性，即变 换前后的方程应具有相同的解集。
ห้องสมุดไป่ตู้
变量变换的应用
在求解某些复杂或难以直接求解的常微分方程时，通过变量变换将其转化 为更简单的形式，从而更容易找到解。
通过变量变换可以将一些非线性微分方程转化为线性微分方程，或者将高 阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
实例二：变量变换的技巧
总结词
通过引入新的变量或函数，将原方程转 化为更易于求解的形式，是求解常微分 方程的一种常用技巧。
第一章——变量可分离方程
, c = −1 1 1 = . 所以所求的特解为: y = − sin x − 1 1 − sin x
1.2.2 微分形式变量可分离方程的解法
M 1 ( x) N1 ( y )dx = M 2 ( x) N 2 ( y )dy (1.19)
例：求解方程 x ( y − 1) dx + y ( x − 1) dy = 0
因此原方程的解为，其中为任意常数。 = y Ce x − 1 C
例3
dy = x2 y2 +1 dx
(
)
解: 分离变量: 两边积分: 通解为:
dy 2 = x dx 2 y +1
∫
1 3 arctan y = x + C 3
dy = 2 y +1
2 x ∫ dx + C
dy y = y (1 − ) 的所有解. 例4* 求微分方程 dx 10
?
dx
∫
1- x dx
2
,
1- x
2
+ C1,
即 arcsin = y arcsin x + C1
或= y sin[arcsin x + C = 1] x 1 - C 2 + C 1 - x 2
为所求的通解，其中为属于中的 C = sin C1 任意常数。 [-1,1]
y =
±1
dy 例2 求解微分方程 = 1+ y ? dx
解：当即时，将变量分离，得到 1 + y ≠ 0 y ≠ −1 dy = dx, 1+ y 两边积分，得到 ln 1 + y = x + C1, = y Ce x − 1 即
C = ± eC1 为方程的通解，其中为非的任意常数。 0
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§2 变量分离的方程
考虑微分方程
0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2(
若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式：
0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2(
变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积.
问题是：对)2.2(如何求解？
一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形：
0)()(=+dy y Y dx x X )3.2(
)3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为
C dy y Y dx x X =+⎰⎰)()( )4.2(
由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到
0)
()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为
C dy y Y y Y dx x X x X =+⎰⎰)
()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的.
附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上.
例1 求解微分方程
0)1)(1(2
2=+-+xydy dx y x )7.2(
解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程
01
122=-++dy y y dx x x ， 积分得
C y x x ln 1ln )ln(222=-++，
即 C y e
x x =-1222，
亦即 222
1x
e C y x
-⋅+= )8.2( 其中0≠C .显然1,0±==y x 都是方程的解.若允许)8.2(中的C 可取零值，则特解1±=y 可含于)8.2(中.因此方程)7.2(的通积分为 222
1x
e C y x
-⋅+=， 其中C 为任意常数； 外加特解0=x .
例2 求解微分方程 31
'23y y = )9.2( 并作出积分曲线族的图形.
解 当0≠y 时，将)9.2(改写为
dx y
dy
2
331=， 两边积分，得 C x y +=3
2， （0≥+C x ）
， 或 32)(C x y +=， （C x -≥） )10.2(
最后，还有特解0≡y ，它不包含在)10.2(之中.
利用方程)9.2(并参照通积分)10.2(，可以作出积分曲线族的图形（图 ）
由图 不难看出，过x 轴上的每一点)0,(*
*x P ，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与x 轴重合的直线段，右半部分可以是x 轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切.
总之，微分方程)9.2(满足初值条件00)(y x y =的解，当00≠y 时是局部唯一的；而当00=y 时是
局部不唯一的.
我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径.下面我们通过几个例子来说明,尽管一些方程本身不是可分离变量的,但通过适当变换后,便可变为可分离变量方程.
例3 求解微分方程
y x dx
dy +=2 )11.2( 解 作变换,令y x z +=2,则
dx dy
dx dz
+=2,
代入原方程得
z dx dz
+=2,
将它分离变量得
dx z dz
=+2,
积分得
c x z ln 2ln +=+,
或
2-=x ce z ,
所以原方程的解为
22--=x ce y x .
例4 求解微分方程
)(tan 2y x dx dy
+=
)12.2( 解 作变换,令y x z +=,则
dx dy
dx dz
+=1,
代入原方程,化简后得
zdz dx 2cos =,
积分得
12sin 41
21
c z z x ++=,
所以原方程的隐式解为
c y x y x =+--)(2sin )(2.
其中14c c =.
习题2—2
1．求解下列微分方程：
（1） 221xy y x dx
dy +++=； 解 分离变量，得
dx x y dy )1(12+=+， 积分后得通积分
C x x y ++
=22
1arctan ， 故通解为 )21tan(2C x x y ++
=. （2） 2)2c o s (c o s y x dx
dy =； 解 分离变量，得
xdx y dy 22cos 2cos =， 积分后得通积分
C x x y =--2sin 2
12tan . 此外由02cos =y 可求得特解4
2ππ+=n y . （3） 21y dx
dy x -=； 解 分离变量，得
x
dx y dy
=-2
1， 积分后得通积分 C x y =-ln arcsin .
此外还有特解1±=y .
（4） y x
e
y e x dx dy +-=-. 解 分离变量，得
dx e x dy e y x y )()(--=+，
积分后得通积分
C e e x y x y =-+--)(222.
2．求解下列微分方程的初值问题：
（1）0=+-dy ye xdx x
，1)0(=y ；
解 将方程改写为 0=+y d y dx xe x ，积分后得通积分 C y e xe x x =+
-22
1. 由初值条件1)0(=y ，得21-=C . 所以初值问题的解为01)1(22
=++-y e x x . （2） 21ln y
x dx dy +=，0)1(=y ； 解 分离变量，得 dx x dy y ln )1(2=+，
积分后得通积分 C x x x y y +-=+ln 3
13. 由初值条件0)1(=y ，得1=C .
所以初值问题的解为 01ln 313=-+-+
x x x y y . （3）321xy dx
dy x =+，1)0(=y ； 解 将方程改写为 231x x d x
dy y +=，
积分后得通积分 C x y
=++22121. 由初值条件1)0(=y ，得3=C . 所以初值问题的解为
312122=++x y . 3． 跟踪：设某A 从xOy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从),0(b 开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ，试求B 的光滑运动轨迹.
解 设B 的运动轨迹由)(x y y =表达，在0=t 时，B 的坐标为),0(b ，在时刻t 时，B 的坐标为))(,(x y x ，因为B 与A 永远保持等距b ，从而
22y
b y dx dy --=， 分离变量，得 dx dy y
y b =--2
2， 积分后得通积分
C y b y b b y b b b x +-----+=222
222ln 2. 由初值条件b y =)0(，得0=C .
所以设B 的运动轨迹为
222
222ln 2y b y b b y b b b x -----+=. 4． 设微分方程
)(y f dx
dy = )11.2( 其中)(y f 在a y =的某领域（例如，区间ε≤-a y ）内连续，而且0)(=y f ，当且仅当a y =.则在直线a y =上的每一点，方程)11.2(的解局部唯一，当且仅当瑕积分
∞=⎰±ε
a a y f dy )
( （发散）. （从而在特解a y =的领域内的每一点，方程)11.2(的解都局部唯一）.
证 显然a y =是方程)11.2(的一个解，又经过域 a y a x D <≤-+∞<<-∞ε,:1和域
ε+≤<+∞<<-∞a y a x D ,:2内任一点),(00y x ，恰有方程)11.2(的一条积分曲线，它由下式确定： 00)
(x x s f ds y
y -=⎰ )12.2( 这些积分曲线彼此不相交.其次域1D （2D ）内所有积分曲线C x y f dy +=⎰)
(都可由其中一条，如0)
(C x y f dy +=⎰，经过坐标变换0,C C x y --==ξη平移而得到.因此只需考察经过1D （或2D ）内某点的一条积分曲线，它由)12.2(式确定.
若在直线a y =上某一点),(1a x ，方程)11.2(的解不局部唯一，即有所论积分曲线当1x x =时达到直线a y =上点),(1a x ，因此积分⎰a
y s f ds 0)
(必收敛.这与∞=⎰±εa a y f dy )(矛盾. 反之，若⎰a
y s f ds 0)
(发散.此时由)12.2(容易看出，所论的经过),(00y x 的积分曲线不可能达到直线a y =上，而以直线a y =为渐近线.从而)11.2(的解在直线a y =上的每一点都局部唯一.。