Stirling公式
wallis公式与stirling公式的推广
wallis公式与stirling公式的推广Wallis公式与Stirling公式是多项式逼近无穷级数发展过程中的重要结果。
它们推广到非整数阶，就有了称为B-L类（Wallis-Stirling）的推广公式。
它们主要用于计算πnil、γ 和ζ函数。
B-L类公式又称为Wallis-Stirling公式，它是Wallis 公式和Stirling公式的推广，可用来计算非整数阶的函数。
具体来说，它可以用来求解某些类型的无穷级数的逼近表达式，也就是Wallis公式和Stirling公式的推广。
B-L类公式的形式如下：
z(n)=(1/n)(1+1/2+1/3+...+1/(n-1))(1+1/2(n-1)+1/3(n-
1)2+...+1/n(n-1)n-1+1/n(n-1)n)。
其中，n是一个正整数，n≥2，z(n)就是我们想要求解的函数，也就是B-L类公式求解的函数。
B-L类的推广公式的准确率要优于Wallis公式和Stirling公式，它也可以拓展到非整数阶，可以做到精确求解类型的函数，被广泛应用于数学计算中。
striling公式
Stirling公式是以苏格兰数学家詹姆斯·斯特灵命名的一种近似公式，它用于估计一个大数的阶乘。
该公式在数学和科学计算中经常用于涉及大数阶乘的问题。
Stirling公式表达式如下：
n! ≈√(2πn) * (n/e)^n
其中：
- n! 表示非负整数n 的阶乘，即从1 到n 的所有正整数的乘积。
- π是数学常数π，约等于3.14159。
- e 是自然对数的底数，约等于2.71828。
- √(2πn) 表示2πn的平方根。
Stirling公式是一种渐近近似公式，随着n 增大，逼近精度越高。
它在计算大数阶乘时特别有用，因为直接计算大数阶乘可能导致溢出或计算困难。
例如，我们使用Stirling公式来近似计算10 的阶乘：
n = 10
10! ≈√(2π* 10) * (10/2.71828)^10
10! ≈√(62.831853) * (3.678794)^10
10! ≈3598695.618741
实际的10! 的值为3,628,800。
从结果中可以看出，使用Stirling公式得到的近似值与实际值相当接近，特别是当n 增大时。
然而，需要记住Stirling公式仍然是一个近似值，在处理非常小的n 或需要高精度计算时可能不够准确。
stirling子集递推公式
stirling子集递推公式
Stirling子集是对一个集合的非空子集进行划分的数量。
设S(n, k)表示n个元素的集合的子集划分为k个非空子集的数量，则
Stirling子集的递推公式为：
S(n, k) = k*S(n-1, k) + S(n-1, k-1)
其中，S(n-1, k)表示将n个元素的集合划分为k个非空子集中的一部分，而S(n-1, k-1)表示其中一个非空子集包含n元素。
这个递推公式的意义是，当我们要将n个元素的集合划分为k个非空子集时，可以分两种情况来考虑：第一种情况是将第n个元素放入某一个已经划分的非空子集中，此时问题转化为将前n-1个元素的集合划分为k个非空子集，即S(n-1, k)；第二种情况是将第n个元素单独作为一个非空子集，此时问题转化为将前n-1个元素的集合划分为k-1个非空子集，即S(n-1, k-1)。
因此，两种情况的数量相加即可得到n个元素的集合划分为k个非空子集的总数。
拓展：除了Stirling子集的递推公式，在计算实际问题中也会用到Stirling数。
Stirling数是一种用于计算排列和组合问题的数学工
具，有两种类型：Stirling第一类数（符号为S(n, k)）用于计算将n 个元素划分为k个非空环排列的数量，而Stirling第二类数（符号为
S(n, k)）用于计算将n个元素划分为k个非空的集合的数量。
这两类Stirling数也存在递推公式，可以用来计算更复杂的排列和组合问题。
斯特林公式适用条件
斯特林公式适用条件斯特林公式，这可是个很有趣的东西呢。
那它的适用条件啊，就像我们挑鞋子一样，得合脚才行。
斯特林公式主要是对阶乘的一种近似计算。
咱们先来说说这个阶乘，阶乘就像是搭积木，数字越大，搭起来就越复杂。
比如说5的阶乘，就是5×4×3×2×1，这还比较好算。
可要是100的阶乘呢，那数字可就大得吓人了。
这时候斯特林公式就像个小助手一样冒出来了。
那斯特林公式适用在什么情况下呢？一般来说，当这个数足够大的时候，斯特林公式就开始显神通了。
这就好比你要去搬很重很重的东西，平时的小力气可不行，得等这个东西重到一定程度，你那些特殊的工具，就像斯特林公式，才用得上。
那多“大”算大呢？通常来说，数越大，斯特林公式的近似效果就越好。
如果这个数比较小，就像你用大炮打蚊子，完全没必要嘛。
比如说10以内的数，你用斯特林公式去算阶乘的近似值，那误差可能会让你皱眉头的。
再打个比方吧，斯特林公式就像一个大胃王的套餐，是为那些“大食量”的大数准备的。
如果是小数，就像小朋友的小点心，这个大胃王套餐就不适合了。
在数学里，很多时候我们会遇到一些复杂的计算，涉及到阶乘的组合或者概率问题。
当这些数是那种超级大的数，斯特林公式就像一把万能钥匙，能让我们快速地得到一个近似的结果。
这个近似结果就像一幅简笔画，虽然不是那么精确细致，但是能让我们很快地了解大致的轮廓。
如果我们非要在小数上用斯特林公式，那就像你硬要把大人的衣服套在小孩身上，怎么看都别扭，而且误差就像那不合身的衣服一样，松松垮垮的，让我们觉得很不舒服。
从另一个角度看，斯特林公式的适用条件就像一个专属的俱乐部。
大数就像那些成年的、够资格的会员，可以大摇大摆地进去享受这个公式带来的便利。
而小数呢，就像那些没到年龄的小孩子，只能在外面眼巴巴地看着。
这并不是说小数就没有自己的计算方法，就像小孩子也有自己的游乐场一样，只是斯特林公式这个大游乐场是为大数专门打造的。
Stirling 公式
谈Stirling 公式（转）彭宇煦12位粉丝1楼甲、一个机率问题什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。
举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。
所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。
不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。
事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。
常识是我们作观念探险之旅的出发点。
问1：丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的问2：当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。
n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。
在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。
因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。
本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。
正态分布推导
正态分布的推导斯特林(Stirling)公式的推导斯特林〔Stirling〕公式：这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling太强了。
1，Wallis公式证明过程很简单，分部积分就可以了。
由x的取值可得如下结论：即化简得当k无限大时，取极限可知中间式子为1。
所以第一局部到此完毕，k!被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解继续兜圈。
关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。
分别是：显然，代入第一局部最后公式得〔注：上式中第一个beta为平方〕所以得公式：正态分布推导在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。
记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。
大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。
但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。
这时候数学就像数学教师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。
只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。
最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以与施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。
前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。
他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。
于是就有了这篇文章：斯特林(Stirling)公式的推导如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。
本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。
于是直至今日，方才有这篇小文字。
本篇是斯特林公式的一个应用。
stirling插值公式
stirling插值公式
斯特林插值公式是一种用于近似给定数据点之间的值的方法。
该方法通常用于数值分析和插值理论中。
斯特林插值公式的一般形
式如下：
f(x) = f(x0) + (x x0)f[x0,x1] + (x x0)(x x1)f[x0,x1,x2] + ... + (x x0)(x x1)...(x xn-1)f[x0,x1,...,xn]
其中，f(x)是要插值的函数，x0, x1, ..., xn是已知的数据点，f[x0,x1], f[x0,x1,x2], ..., f[x0,x1,...,xn]是对应的差商。
斯特林插值公式的优点是可以通过已知的数据点来近似计算其他位
置的函数值，而不需要知道函数的具体形式。
斯特林插值公式的应用范围广泛，包括在数学、工程、物理学
等领域中。
它可以用于曲线拟合、数据平滑、信号处理等方面。
然而，需要注意的是，斯特林插值公式在一些情况下可能会出现插值
误差较大的问题，特别是在数据点较为稀疏或者不均匀分布的情况下，因此在实际应用中需要谨慎使用，并结合其他插值方法进行比
较和分析。
总的来说，斯特林插值公式是一种重要的插值方法，它通过已
知数据点之间的关系来近似计算其他位置的函数值，具有广泛的应
用前景。
然而，在具体应用中需要注意插值误差和数据分布的影响，以确保插值结果的准确性和可靠性。
Γ函数与Stirling公式
1 lim 1 n n
n2
n! n
n
n
2 。 e
n! n
n
n
。
n 解 由 n!~ 2 n （ n ）知 e
1 lim 1 n n
因为
n2
n! nn
1 n n ln 1 1 1 n 1 n 。 2 lim 1 e 2 lim e n n n n
n
n
n
lim
n!
n 1 2
n
lim
n! 2 n
n 1 2
n
2 n
n n
1。 e
n
e n
n
n
于是利用等价无穷大量代换的方法得 n lim lim n n n! n
1 例 求极限 lim 1 n n
n
n2
2 n
n
1 2 1 1 lim n n ln 1 1 lim n n o 2 1 2 n n n n n 2n 1 1 lim o(1) , n 2 2
s
n n! 2 n e 12n 。 e 从这个定理立即得到无穷大量的等价关系：
n
n （ n ） 。 n!~ 2 n e 关于阶乘的 Stirling 公式的意义在于，它可以将阶乘转化成幂函数，使 得阶乘的结果得以更好的估计，而且 n 越大，估计就越准确。 n 例 求极限 lim 。 n n n! n 解 由 n!~ 2 n （ n ）知， e
如何估计阶乘 n! 的增长量级，这在理论与实际应用中是非常重要问题。Γ 函 数与阶乘有着密切的关系，这就是 (n 1) n! 。 因此对Γ函数增长的估计也就蕴含了 n! 的增长估计，这就是下面的定理： 定理（Stirling 公式） Γ 函数有如下的渐进估计：
1.4 组合数学之—stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。 Stirling公式给出一个求n!的近似公式，它对从 事计算和理论分析都是有意义的。 1) Wallis公式
I n sin xdx n 0, 1, 2,
n dx =nlnn－n+1 1
1 1 tn=－ 2 ln1+ln2+…+ln(n－1)+－ 2 lnn 1 =ln(n!)－－ 2 lnn
tn的几何意义是由x轴,x=n,以及连接(1,0), (2,ln2),…,(n－1,ln(n－1)),(n,lnn)诸点而 成的折线围成的面积。
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 SБайду номын сангаасirling近似公式
1 0<An－tn<Tn－tn=－ 8
所以 n! ~ 2πn (－) n→∞ 令bn=An －tn.序列b1,b2,…是单调增，而且有上 界，故有极限，令 limbn=b1 1 由(1-3-4),(1-3-5) 得 2 n －ln(n!)+－lnn bn=nlnn－n+1 = lnn－n+1－ln(n!)+－ln n√ n n ln(n!)=1－bn+ lnn －ln n √ －lne n n ∴n!=e 1-bnn (－) √ e
1.4 Stirling近似公式
所以
1 π (2k)!! 2 · —— = — lim , [ —— ] 2 2k+1 k→∞ (2k-1)!! 1 π (2k)!!(2k)!! 2 — ·—— lim = , [ ———— ] 2 2k+1 k→∞ (2k)! π 2 (k!) 2 1 · —— = — lim [ —— ] 2k+1 2 k→∞ (2k)!
stirling 公式
stirling 公式
斯特林公式是数学中的一个重要公式，它用于近似n的阶乘。
斯特林公式的一般形式如下：
n! ≈ √(2πn) (n/e)^n.
其中，n! 表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底。
这
个公式由苏格兰数学家詹姆斯·斯特林在18世纪提出，并且在数学
和科学领域得到了广泛的应用。
斯特林公式的作用是用一个简单的公式来近似计算n的阶乘，
特别是当n很大时，计算n的阶乘会变得非常复杂，而斯特林公式
可以提供一个相对准确的近似值。
这在统计学、概率论、物理学等
领域的计算中非常有用。
斯特林公式的推导涉及到数学分析和级数展开等高级数学知识，它的证明比较复杂，但是可以通过泰勒级数和对数函数的性质来进
行推导。
斯特林公式在实际应用中有着广泛的用途，比如在概率论中的
泊松分布、统计学中的伽玛分布等都会用到斯特林公式来近似计算阶乘。
在物理学中，斯特林公式也可以用来近似计算热力学系统的微观状态数。
总之，斯特林公式在数学和科学领域都有着重要的地位。
总的来说，斯特林公式是一个重要的数学工具，它提供了一种简单而有效的方法来近似计算阶乘，为复杂计算提供了便利，因此在各个领域都有着广泛的应用。
常用十个斯特灵展开公式
常用十个斯特灵展开公式
斯特灵展开是一个在数学和物理学中常用的技巧，用于近似计算大数的阶乘。
斯特灵公式由斯特灵（Stirling）提出，它通过将阶乘表示为一个函数的极限形式来简化计算过程。
以下是常用的十个斯特灵展开公式：
1. n!的斯特灵展开公式n!的斯特灵展开公式
n的阶乘可以表示为：
2. ln(n!)的斯特灵展开公式ln(n!)的斯特灵展开公式
n的阶乘的自然对数可以表示为：
3. n^k的斯特灵展开公式n^k的斯特灵展开公式
n的k次方可以表示为：
4. e^n的斯特灵展开公式e^n的斯特灵展开公式
自然常数e的n次方可以表示为：
5. log(n!)的斯特灵展开公式log(n!)的斯特灵展开公式n的阶乘的常用对数可以表示为：
6. n^x的斯特灵展开公式n^x的斯特灵展开公式
n的x次方可以表示为：
7. x^n的斯特灵展开公式x^n的斯特灵展开公式
x的n次方可以表示为：
8. sin(n)的斯特灵展开公式sin(n)的斯特灵展开公式正弦函数sin(n)可以表示为：
9. cos(n)的斯特灵展开公式cos(n)的斯特灵展开公式
余弦函数cos(n)可以表示为：
10. log(n)的斯特灵展开公式log(n)的斯特灵展开公式
自然对数ln(n)可以表示为：
以上是常用的十个斯特灵展开公式，它们可以在大数近似计算中提供便利。
使用斯特灵展开公式，可以加快计算速度，同时得到相对准确的结果。
斯特林(Stirling)公式的推导之欧阳语创编
斯特林(Stirling)公式的推导
斯特林（Stirling）公式：
这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling太强了。
1，Wallis公式
证明过程很简单，分部积分就可以了。
由x的取值可得如下结论：
即
化简得
当k无限大时，取极限可知中间式子为1。
所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解
继续兜圈。
关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。
分别是：
显然，
代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方）所以得公式：。
斯特林公式Stirling Formular
题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。
在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：!constant nn n e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：constant =Stirling 公式：!nn n n e σ⎫≈=⎪⎭紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：221111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k nπ-≥⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：0011,0kj j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝⎭∑其中1k ≥。
将(1)式的前m 项记为2211exp 2(21)nm k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫= ⎪⎪-⎭⎝⎭∑同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。
这函数便是Γ-函数：10()t z z e t dt +∞-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：!()lim(1)()zn n n z z z z n →∞Γ=++而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。
之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。
直到最近才有了新的突破。
2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。
其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：3571111!exp 1236012601680nn n e n n n n ⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。
lnn!斯特林公式
lnn!斯特林公式Lnn!斯特林公式，也称作马可斯特林公式或马可斯特林格式，是20世纪30代英国数学家（Sir）约翰马可斯特林（John M. Stirling）提出的数学规律。
此公式可以将一个复杂的问题变成一个简单的数学算式，使人们可以更容易地进行数学分析和解决复杂的问题。
Lnn!斯特林公式是一个函数，形式如下：lnn!=ln(n!)=nln(n)-n+ln((2πn)/e)+1/2ln(n)其中：n!表示1乘以2乘以3乘以...乘以n的乘积，ln表示自然对数，π表示圆周率，e表示自然常数。
Lnn!斯特林公式的数学历史可以追溯到古埃及时期，但它最早是由20世纪30年代的英国数学家约翰马可斯特林提出的。
斯特林在他的一篇论文中提出了马可斯特林公式，以解决复杂的问题。
他认为，通过将一个复杂的问题转换为一个简单的数学算式，人们可以轻松地进行数学分析，并较容易地解决复杂的数学问题。
Lnn!斯特林公式最常用于求解概率论和概率统计的问题。
它是许多概率论的基础。
由于它的可靠性和效率，它也被用于解决其他科学问题。
例如，可以使用它来计算力学和物理学中的熵及其他函数。
Lnn!斯特林公式也可以用于大数定律和中心极限定理（CLT）分析，以及概率论和统计分析中的分布问题。
它也可以用于求解统计学中的参数估计问题，如最小二乘法、线性模型和判别分析。
Lnn!斯特林公式也被广泛用于机器学习。
它可以用于计算机科学中的信息压缩，因为可以用来求解通过熵定义的信息压缩算法的比特数。
它也可以用于编码和译码，这种编码是一种数据压缩方法。
此外，它还可以用于机器学习中的核函数，这是一种用于处理非线性功能的方法。
总之，Lnn!斯特林公式可以以多种方式被用于各种科学和数学问题，从概率论到机器学习，它都有着独特的优势。
尽管许多人有时可以无法理解其复杂的数学结构，但它依然可以被广泛应用于各种科学和数学问题的解决中。
斯特林(Stirling)公式的推导(内容清晰)
斯特林(Stirling)公式的推导
斯特林（Stirling）公式：
这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling太强了。
1，Wallis公式
证明过程很简单，分部积分就可以了。
由x的取值可得如下结论：
即
化简得
当k无限大时，取极限可知中间式子为1。
所以
第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解
继续兜圈。
关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。
分别是：
显然，
代入第一部分最后公式得
（注：上式中第一个beta为平方）所以得公式：。
stiring公式
stiring公式Stirling's formula, also known as Stirling's approximation, is an important formula in mathematics that provides an approximation for factorials. The formula wasfirst derived by the Scottish mathematician James Stirling in the 18th century and has since been used in various fields of study, including physics, statistics, and computer science.The formula can be expressed as:n! ≈ √(2πn) (n/e)^nWhere n is a positive integer and e is Euler's number, approximately equal to 2.718.This formula provides an approximation of n! (nfactorial) for large values of n. The approximation becomes more accurate as n increases and can also be used to approximate other related functions such as the gamma function.To understand the derivation of Stirling's formula, we need to understand a few concepts first. One of these is the idea of logarithmic functions. The logarithm of a number isthe power to which the base must be raised to produce that number. For example, the logarithm of 100 to the base 10 is 2, since 10 raised to the power of 2 gives 100. The natural logarithm of a number, denoted by ln, is the logarithm ofthat number to the base e.Another concept that is important in Stirling's formulais the central limit theorem. This theorem states that the distribution of a sum of independent and identicallydistributed random variables approaches a normal distribution under certain conditions. This theorem is used to prove the convergence of the gamma function, which is closely relatedto the factorial function.Using these concepts, we can derive Stirling's formula by applying a few mathematical techniques, including the method of stationary phase and Laplace's method. The details of the derivation are beyond the scope of this article, but the result is the formula shown above.Stirling's formula has many applications in various fields of study. For example, in physics, the formula is used to approximate the entropy of a system and the density of states in statistical mechanics. In statistics, it is used to estimate probabilities and to compute confidence intervals.In computer science, it is used to analyze algorithms and data structures.Despite its usefulness, Stirling's formula is not always accurate, especially for small values of n. In those cases, other approximations may be used. However, for large valuesof n, Stirling's formula remains a powerful tool for providing quick and approximate calculations of factorials and related functions.。
2n的阶乘的n次方根的极限
2n的阶乘的n次方根的极限要求2n的阶乘的n次方根的极限，我们可以使用Stirling公式来近似计算。
根据Stirling公式，当n趋向于无穷大时，n!可以近似表示为：n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中，π是圆周率，e是自然对数的底数。
将这个近似式代入原始问题中，我们得到：lim(n→∞)[(2n)!]^(1/n)≈lim(n→∞)[√(2π(2n))*((2n)/e)^(2n)]^(1/n)将指数和根号的运算进行合并，我们有：lim(n→∞)[(2n)!]^(1/n)≈lim(n→∞)[√(2π(2n))*((2n)/e)^(2n)]^(1/n)=lim(n→∞)(√(2π(2n)))^(1/n)*(((2n)/e)^(2n))^(1/n)根据极限的性质，我们可以分别计算两个部分的极限。
首先，我们计算(√(2π(2n)))^(1/n)的极限：lim(n→∞)(√(2π(2n)))^(1/n)将指数转换成幂的形式，我们得到：lim(n→∞)(√(2π(2n)))^(1/n)=exp[lim(n→∞)ln(√(2π(2n)))/n]=exp[lim(n→∞)(1/n)*ln(√(2π(2n)))]由于n无限增大时，ln(√(2π(2n)))的增长速度比1/n快得多，所以极限为1。
接下来，我们计算(((2n)/e)^(2n))^(1/n)的极限：lim(n→∞)(((2n)/e)^(2n))^(1/n)同样地，我们将指数转换成幂的形式：lim(n→∞)(((2n)/e)^(2n))^(1/n)=exp[lim(n→∞)ln(((2n)/e)^(2n))/n]=exp[lim(n→∞)(1/n)*ln(((2n)/e)^(2n))]利用指数和对数的性质，我们有：lim(n→∞)(1/n)*ln(((2n)/e)^(2n))=lim(n→∞)(2n/n)*ln(2n/e)=2*lim(n→∞)ln(2n/e)再次应用极限的性质，我们可以计算出这个极限：lim(n→∞)ln(2n/e)=ln(lim(n→∞)(2n/e))=ln(∞)=∞因此，我们得到：lim(n→∞)(((2n)!)^(1/n)≈1*∞=∞所以，2n的阶乘的n次方根的极限是正无穷大（∞）。
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Stirling's Formula
An important formula in applied mathematics as well as in probability is the Stirling's formula known as
where is used to indicate that the ratio of the two sides goes to 1 as n goes to . In other words, we have
or
Proof of the Stirling's Formula
First take the log of n! to get
Since the log function is increasing on the interval , we get
for . Add the above inequalities, with , we get
Though the first integral is improper, it is easy to show that in fact it is convergent. Using the
antiderivative of (being ), we get
Next, set
We have
Easy algebraic manipulation gives
Using the Taylor expansion
for -1 < t < 1, we get
This implies
We recognize a geometric series. Therefore we have
From this we get
1.
the sequence is decreasing;
the sequence is increasing.
This will imply that converges to a number C with
and that C > d1 - 1/12 = 1 - 1/12 = 11/12. Taking the exponential of d n, we get
The final step in the proof if to show that . This will be done via Wallis formula (and Wallis integrals). Indeed, recall the limit
Rewriting this formula, we get
Playing with the numbers, we get
Using the above formula
we get
Easy algebra gives
since we are dealing with constants, we get in fact . This completes the proof of
the Stirling's formula.
Stirling公式的意义在于:当n足够大之后n!计算起来十分困难,虽然有很多关于n!的不等式,但并不能很好的对阶乘结果进行估计,尤其是n很大之后,误差将会非常大.但利用Stirling公式可以将阶乘转化成幂函数,使得阶乘的结果得以更好的估计.而且n越大,估计得就越准确.。