《复变函数与积分变换》试卷及答案
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«复变函数与积分变换»期末试题（A）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
2
3
1i-
的幅角是（）；
2.)
1
(i
Ln+
-的主值是（）；
3. 2
1
1
)
(
z
z
f
+
=，=
)0()5(f（）；
4．0
=
z是4
sin
z
z
z-
的（）极点；
5．
z
z
f
1
)
(=，=
∞]
),
(
[
Re z
f
s（）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数)
,
(
)
,
(
)
(y
x
iv
y
x
u
z
f+
=的导函数为（）；
（A）y
x
iu
u
z
f+
=
')
(；（B）
y
x
iu
u
z
f-
=
')
(；
（C）y
x
iv
u
z
f+
=
')
(；（D）
x
y
iv
u
z
f+
=
')
(.
2．C是正向圆周3
=
z，如果函数=
)
(z
f（），则0
d)
(=
⎰C z
z
f．
（A）
2
3
-
z
；（B）
2
)1
(3
-
-
z
z
；（C）
2
)2
(
)1
(3
-
-
z
z
；（D）
2
)2
(
3
-
z
. 3．如果级数∑
∞
=1
n
n
n
z
c在2
=
z点收敛，则级数在
（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；
（C ）i z
+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰
C
dz z f
（C ）如果
0)(=⎰
C
dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是
),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
(A) 的可去奇点；为z
1
sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞
(C) ;1sin 1
的孤立奇点为
z
∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）设)()(2
2
2
2
y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a
（2）．计算⎰
-C
z
z z z e d )
1(2
其中C 是正向圆周：2=z ；
（3）计算⎰=++33
42215
d )2()1(z z z z z
（4）函数
32
3 2
)
(sin
)3 (
)2
)(
1
(
)
(
z z
z
z
z
z
f
π-
+
-
=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题14分）将函数)
1(1
)(2
-=
z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨ ⎧='==+'-''-1 )0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x 六、（本题6分）求 )()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明： t e d t ββπωω βω-+∞ =+⎰2022cos