2018全国卷高考数学最后一讲
2018高考数学全国卷含答案解析
从而 ，故MA，MB的倾斜角互补，所以 .
综上， .
20.（12分）
解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为 .因此
.
令 ，得 .当 时， ；当 时， .
所以 的最大值点为 .
（2）由（1）知， .
（i）令 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知 ， ，即 .
所以 .
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
14．记 为数列 的前 项和.若 ，则 _____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记 为等差数列 的前 项和.若 ， ，则
A． B． C． D．
解：（1）在 中，由正弦定理得 .
由题设知， ，所以 .
由题设知， ，所以 .
（2）由题设及（1）知， .
在 中，由余弦定理得
.
所以 .
18.（12分）
解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又 平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.
2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 理科数学 含解析 精品
注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ∈R ，i a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】 则10a -=，即1a =，故选C ．2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ） A ．5 B C ．D ．2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ． 3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是（） A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788688889193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x x <甲乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D ． 4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB = ，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=【答案】A【解析】由c a =225c a =，∴2225a b a +=，故224b a=．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ． 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号 考场号 座位号A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π【答案】D【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD=，2AB =．由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E，且122r CD ==， 设外接球的球心为O，如图所示，由题得222914R=+=， 所以该几何体的外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=，故选D ． 7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行；③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ． 8．已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则15f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x =+，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ． 9．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．αβ∥，且l α∥，l β∥B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥，又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥， 由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．10．已知三棱柱111ABC A BC -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．52B ．52C ．26D ．26【答案】C【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得222+AB BC AC =，∴AB BC ⊥．设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，在1Rt A AC △中，有()222132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．∴11AB CS =△1252ABB S =△． 设点B 到平面11ABC 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=，得112512332d ⨯=⨯⨯，∴2d =，又113BC =，∴直线1BC 与平面11ABC所成角正弦值为126d BC =C ． 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]12， B．C．⎤⎦D ．[]14， 【答案】D【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △∴()12a c b -=，∴2a c -=()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤≤211144PF PF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤． 即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12ln 3e 3+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[]2e ，【答案】A【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立， 即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立，令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x =-='，求得1x a=， （1）当11a≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln313a +≤≤；（2）当13a ≥，即103a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减，因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln30g a =-≥，所以ln323a ≤≤，综合可得，a 无解，（3）当113a <<，即113a <<时，在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤⎥⎝⎦，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1g a =，()33ln3g a =-，()()312ln3g g a -=-，①若2ln 30a ->，即1a <<，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln3g a =-，此时，由11ln0a -≥，()33ln32g a =-≤，求得12ln3e 3a +≤≤，综上可得1a <； ②若2ln 30a -≤，即11ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤，综合可得1ea ≤≤综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤或1a <或1e a ≤≤，即12ln3e 3a +≤≤．故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018高考数学最后一讲
2018高考最后一讲一聚焦考点1.1函数【考点梳理】【考点剖析】例1 已知函数f(x)=ax3−3x2+1,若存在唯一零点x0,且x0>0，则a的取值范围为（）A.(2,+∞)B.(- ∞,−2)C.(1,+ ∞)D.(- ∞,−1)例2 已知函数f(x)={xlnx−2x ,x>0x2+32x , x≤0的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1 的对称点在y=kx-1的图像上，则实数k的取值范围是（）A. (12,1) B.(12,34) C.(13,1) D. (12,2)例4 已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫x＋π4＋2x2＋x2x2＋cos x的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．－2 B．2 C．－4 D．4最值互嵌最值互嵌也称复合最值问题。
（1）M=max{x1,x2,…，x n}⇔M≥x i(i=1,2,…,n)（2）m=min{x1,x2,…，x n}⇔m≤x i(i=1,2,…,n)例5 设x,y∈R+,A=min{x,yx2+y2}, 则A max = ( )A.1B.−√22C.√22D.12例6 设a∈R+,b∈R,且 max {min {2x+4,ax2+b,5−3x}}=2,则a+b 的值为（）A.-1B.1C.2D.3例31.2立体几何小题【考点梳理】例7 ．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，12，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．174πB．214πC．4πD．5π例8 如图，在平行四边形ABCD中，AB BD⊥，=AB CD=BD=，沿BD 把ABD△翻折起来，且平面ABD⊥平面BCD，此时A，B，C，D在同一球面上，则此球的体积为___________．例9 桌面上有3个半径为2018的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点在同一平面内，则该球的半径为 （ ） A.2018 B.2018.3C.2018.5D.2018.π1.3解三角形与数列【考点回顾】时间 题号 考查背景 考点 2013 17 三角函数 正弦定理2014 17 数列 已知Sn 求a n ,等差数列 2015 17 数列 已知Sn 求a n ,裂项求和 2016 17 三角函数 正余弦定理、三角恒等变换 201717三角函数正余弦定理例10 如图，在△ABC 中，点D 在AC 边上，且AD ＝3DC ，AB ＝7， ∠ADB ＝π3，∠C ＝π6.(Ⅰ)求DC 的值； (Ⅱ)求tan ∠ABC 的值．例11 已知数列{ a n} ,{b n}的前n项和分别为S n，T n .b n-a n=2n+1,且S n+T n=2n+1+n2-2.(1)求T n-S n(2)求数列{b n2n}的前n项和R n.1.4圆锥曲线【考点回顾】【小题快解】例12 （1）过抛物线（）的焦点作倾斜角为的直线，若直线与抛物线在第一象限的交点为A,并且点也在双曲线（,）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ A ）A B C D22y px=0p>F60l l A22221x ya b-=0a> 0b>*在椭圆中2221;b e a =-在双曲线中222 1.b e a=-*（2）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ）A. 1B.1 D. 1+ *椭圆和双曲线的通径长为22;b a抛物线的通径长为2.p * （3）已知双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>两个焦点为分别为)0,3(),03(21F F ，-，过点2F 的直线l 与该双曲线的右支交于,M N 两点，且1F MN ∆ 是等边三角形，则以点2F 为圆心，与双曲线M 的渐近线相切的圆的方程为（ ）A.22(2x y +=B.22(4x y +=C.22(1x y +=D.223(5x y +=*双曲线焦点F 到渐近线的距离为短半轴长b.*（4）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,左,右焦点分别 为12,,F F 若双曲线右支上一点P 满足12212,,3F PF F PF S π∆∠==则离心率为______．*椭圆中122tan ,2F PF S b θ∆=双曲线中122cot .2F PF S b θ∆=* （5）设椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左右焦点分别为12,,F F 椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角，则该椭圆离心率e 的取值范围为__________.*12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，点P 在椭圆上，,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ*（6）抛物线2:3C y x =的焦点为F ,过F 且倾斜角为030的直线交C 于,A B两点,O 为坐标原点，则AOB ∆面积为（ ）C.6332D.94*AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，则 ①12||AB x x p =++；②22||sin pAB α=；*【大题剖析】例13 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。
2018年高考数学最后一课
可以从以下五个方面对试题的特征进行认真审视, 将试题中隐藏的内在联系揭示出来
(系揭示出来
(2)结论特征 结论即解题的目标,从已知条件出发向目标
靠拢是解题的一种过程,从结论出发不断缩小结论与已知的 差异也是一种常用方法
(3)结构特征 应准确地把握综合命题的条件与结论,
五、数形结合法:明确条件及结论的几何意义,将题设与结论用图形 表示出来，利用数形结合考虑问题，常常可以发现已知与未知间 多方位的联系,从而直接、迅速地找到正确结论.
考 题预 测
六、特征分析法：不同的选择题各有其不同的特点，某些选择题的 条件、结论或条件与结论之间存在一些特殊关系，只要发现了这些 特殊关系就能很快作出选择.即抓住题中的位置特征、数值特征、 结构特征进行推理.
s
1 4
C
t4
rr i2j
4t3 16t2
rr D i j
（t表示时间，s表示位移）则瞬时速度为0的时刻是
A 0秒、2秒或4秒
B 0秒、2秒或16秒
C 2秒、8秒或16秒
D 0秒、4秒或8秒
从6人中选4人参加数学、物理、化学、英语比赛， 每人只能参加其中一项，甲、乙两人都不能参加英语比赛， 则不同的参赛方案的种数工有
则 f (x1) f (x2 ) 的符号
填空题的解法与策略 考 题 预 测
一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定
理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接 求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题， 要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
考 题预 测
过抛物线 y2 4x的焦点F作直线l与抛物线交于P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) 两点，若 x1 x2 6 则|PQ|=
2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 理科数学 解析版(含答案)
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a ∈R ，ia 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】则10a -=，即1a =，故选C ． 2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（） A ．5 BC ．D ．2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ．3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788688889193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x x <甲乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D ．4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ） A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选D ． 5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若O M N△的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=【答案】A【解析】由c a=225c a =，∴2225a b a +=，故224b a =．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ． 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）7988569888621甲乙23班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π【答案】D【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD =，2AB =． 由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E，且122r CD ==， 设外接球的球心为O，如图所示，由题得222914R =+=， 所以该几何体的外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=，故选D ． 7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行；③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ． 8．已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则15f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x =+，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ． 9．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．αβ∥，且l α∥，l β∥B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥， 又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥，由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．10．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ ）A ．52B ．52C ．26D ．26【答案】C【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得222+AB BC AC =，∴AB BC ⊥． 设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，在1Rt A AC △中，有()222132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．∴11AB C S =△，1252ABB S =△． 设点B 到平面11AB C 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=，得112512332d ⨯=⨯⨯，∴2d =，又113BC =，∴直线1BC 与平面11AB C所成角正弦值为126d BC =C ． 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]12， B．C．⎤⎦D ．[]14， 【答案】D【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △∴()1222a cb -=，∴2a c -=-()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤≤，∴211144PF PF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤． 即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12ln 3e3+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．[]2e ，【答案】A【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增， 若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立， 令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x =-='，求得1x a=， （1）当11a≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln 32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln313a +≤≤；（2）当13a ≥，即103a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减，因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln 30g a =-≥，所以ln323a ≤≤，综合可得，a 无解，（3）当113a <<，即113a <<时，在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤⎥⎝⎦，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1g a =，()33ln 3g a =-，()()312ln 3g g a -=-，①若2ln30a ->，即31a <，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln 3g a =-，此时，由11ln0a -≥，()33ln 32g a =-≤，求得12ln3e 3a +≤≤，综上可得1a <<； ②若2ln30a -≤，即11ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤，综合可得1ea ≤≤，综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤或1a <或1e a ≤≤12ln3e 3a +≤≤．故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
最新高考数学考前最后一讲
2018届高三(5)数学最后一讲一、整卷要求：1. 合理安排答题时间和答题顺序，建议考前5分钟可浏览填空题1-8题和三角函数、立体几何题，如果有思路，考试一开始可先把该题做好，踏实之感油然而生。
2.考试中，平常心很重要。
遇到不会做的题目，不要慌。
要有强有力的心理暗示：我不会的，别人也不会；我会的，别人也不会。
当你保证基础题不失分的情况下，把试卷上第一遍不会做的题研究出来一道，你就是最强的！！！！！3. 最后一次建议各位：简单题和中档题一定要舍得花时间，一定要做好！（答案正确、思路清晰、答题规范美观）回顾：填空题（1-12）、解答题（15、16、17、18、19（1）（2）、20（1）（2））附加题21（B ）、21（C ）、22、23（1）共138+34=172分） 最后的区分可能往往是由中档题来完成的！ 二、填空题的要求 比如：1.集合运算（交集、并集、补集）空集、子集。
注意：描述法给出的集合要“两看”，一看元素是什么，二看限制条件有几个（不能漏了） 例：集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 的意义（2011年）；2.复数运算（复数的四则运算、复数的模、复数的共轭复数、复数的实部和虚部）；注意：代数(定义、能否巧运算或是利用性质检验)几何两条线 例：2)2(i z -=，则z 的模为 。
（2013.2）22z z =3.简易逻辑① 充要关系的判断；关注两要素“条件结论”“小大” ② 简单命题的四种命题形式； ③ 含有一个量词的命题的否定. 注意：常常嵌入在解答题中考察 （4）古典概型注：一定要老老实实的枚举事件，该题要格外重视，切忌谨慎使用组合数公式，（可用组合公式验证确保准确性）信息卷的第一题是容易题中的分水岭。
关注互斥事件的融入（5）流程图注：看清楚输出的是什么？在草稿纸上或图的旁边安执行顺序一步步的将循环过程列举出来（列表）。
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)
2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．806．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018 高考文科数学收官课第一讲-圆锥曲线
2018高考文科数学收官课第一篇．2018圆锥曲线高考说明`第二篇．解析几何在解答题中的学科特色(),y M M x x =3(),y N N x 第三篇 方法论之弦长面积问题题型一：弦长问题斜率存在12AB x x =- （适用于直线上任意两点间距离）AB = （直线与椭圆交于两点的弦长）12AB y y =-题型二：三角形面积问题（底乘高型） y kx m =+ d PH==12ABP S AB d =⋅△1121212ABF S F F y y =⋅-△ 1212y y k x x -=⋅-题型三：平行四边形面积 1y kx m =+ 2y kx m =+d CH ==ABCD S AB d =⋅=△ 题型四：三角形面积问题（利用公式法转化面积）111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===△PMN PAB S S =△△11sin sin 22PA PB APB PM PN MPN ⋅∠=⋅∠ PA PNPM PB=第四篇北京高考真题分析与探究通过直线和圆锥曲线的位置关系的解答题，重点考查：1．对“设而不求”和“整体代入”的理解和运用；2．函数与方程、数形结合、分类思考等数学思想方法；3．运算能力、逻辑推理能力及分析问题和解决问题的能力．特点：需思考，要运算高考真题分析2013北京文：直线y kx m =+()0m ≠与椭圆W ：2214x y +=相交于A 、C 两点，O 为坐标原点．（1）当点B 的坐标为()0,1，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长． （2）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 分析：1．由题知直线AC 存在，可设为y kx m =+与椭圆联立；2．AC 中点M 的坐标，由四边形为菱形可得OM 垂直AC 得到k 与m 的关系；解：假设存在点B 在W 上且不是W 的顶点时满足题意，则有：由题知直线AC 存在，可设为y kx m =+ ．．．．．．．．．．6分2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩⇒ ()222148440k x kmx m +++-= ．．．．．．．．．．8分设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则有：1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+ ．．．．．．．．．．10分 M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，14OM k k =- ．．．．．．．．．．11分11144OM AC k k k k ⎛⎫⋅=⋅-=-≠- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．13分 故假设不成立所以，当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． ．．．．14分2014北京文：已知椭圆C ：2224x y += （1）求椭圆C 的离心率．（2）设O 为坐标原点，若点B 在椭圆上，点A 在直线2y =上，且O A O B ⊥，求线段AB长度的最小值．考点：点B 随着点A 的变化而变化，当点在椭圆上移动时，问线段AB 长度的最值问题．注意：椭圆上只有一个动点哦！ 分析：思路：通过OA OB ⊥可以将点B 的横坐标用点A 的坐标表示，从而AB 的长度为关于点A 的坐标的式子，通过点A 的坐标满足椭圆方程将距离化为单变量的问题，从而通过函数或者均值可求最值．解：设()00,A x y ，(),2B t ，则220024x y +=， ．．．．．．．．．．5分OA OB OA OB ⊥⇒⋅ ，0000220y tx y t x +=⇒=-．．．．．．．．．．7分()()()22222000000222y AB x t y x y x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭ ．．．．．．．．．．8分()222220000022004844042y x x y x x x =+++=++<≤ ．．．．．．．．．．10分 ()22002084042x x x +<≥≤，当且仅当204x =时取等号． ．．．．．．．．．．12分28AB AB ⇒≥≥ ．．．．．．．．．．14分2015北京文：已知椭圆C ：2233x y +=,过点()0,1D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．思路分析：在圆锥曲线解答题中：（1）直线间的位置关系常见的有平行和垂直两种 （2）注意作出图像直观感受，猜想证明．解：由题意可知：设直线AB 的方程为AB l ，则AB l ：y kx k =-，2213x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩⇒ ()()2222316330k x k x k +-+-= ．．．．．．．．．．9分0∆>设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有： 2122631k x x k +=+21223331k x x k -=+ ．．．．．．．．．．10分AE l :()11122y y x x --=--1113,12y M x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭．．．．．．．．．．11分 11211221111221133BM DE y kx k y x x k k x x ---+-+---=-=--- ()()()()()()1212121223123k x x k x x k x x -+-+--=--()()()()()12121212323k x x x x x x --++-=-- ．．．．．．．．．．12分∴()()()2222123361233131023BMDEk k k k k k k x x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭-==-- ．．．．．．．．．．13分 ∴BMDE k k BM DE =⇒∥（,BM DE 不重合） ．．．．．．．．．．14分2016北京文：已知椭圆C :22221x y a b+=过点()2,0A ,()0,1B 两点．（1）求椭圆C 的方程及离心率．（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ．直线PB 与X 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．思路分析：定值问题：椭圆上只有一个点在动，将四边形面积转化为关于椭圆上动点的坐标问题求解．注意：椭圆上只有一个点在动哦！解：设()2222000000,1444x P x y y x y ⇒+=⇒+= ．．．．．．．．．．6分 002PAy k x =- ⇒ ()00002:20,22PAy y l y x M x x ⎛⎫-=-⇒ ⎪--⎝⎭．．．．．．．．．．7分 001PBy k x -= ⇒ 00001:1,01PB y x l y x N x y ⎛⎫--=++⇒ ⎪-⎝⎭．．．．．．．．．．8分 12ABMN S BM AN =⋅ （中心式，即为得出结论之前的表达式） 0000022211x x y AN y y +-=+=-- 00000222122y x y BM x x +-=+=-- ．．．．．．．．．．10分 ()22000000000044484112222ABMNx y x y x y S BM AN x y x y ++--+=⋅⋅=⋅--+ ．．．．．．．．．．11分 00000000448812222x y x y x y x y --+=⋅=--+ ．．．．．．．．．．13分 故四边形ABNM 的面积为定值，定值为2． ．．．．．．．．．．14分2017北京文：已知椭圆C 的两个顶点分别为()2,0A -，()2,0B ，焦点在x． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ．求证：BDE △与BDN △的面积之比为4:5． 思路分析：定比问题：椭圆上只有一个点在动，其余点从动，则将三角形面积比转化为相似三角形对应边之比， 再转化为关于椭圆上动点坐标的斜率问题进行求解．注意：椭圆上只有一个点在动哦！解：连接BM ，过E 作AB 的垂线，垂足为F ，如下图：设()()00,022D x x -<<，()00,M x y ， 则2000200012244AM BMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+-- ．．．．．．．．．．．6分 1DE AM k k ⋅=-，故4DE BM k k = ．．．．．．．．．．．7分 又根据椭圆的对称性，有BM BE k k =-，因此4DE BE k k =-（*） ．．．．．．．．．．．8分 因为tan DE EF k EDF DF =∠=，tan BE EFk EBF BF=-∠=- ．．．．．．．．．．9分 代入（*）式得：4BF DF = ．．．．．．．．．．．10分因此45BF BD =，又//EF MN ．．．．．．．．．．11分 故由三角形相似比，45BE BF BN BD == ．．．．．．．．．．．13分 因此45BDE BDNSBE SBN ==，证明完毕． ．．．．．．．．．．14分计算能力在圆锥曲线中的体现：1.利用两点求斜率，利用点斜式求直线方程；2.直线与椭圆联立方程组，韦达定理、判别式 ；3.消参过程、整体代入：4．求面积、弦长的最值问题分析：结合近五年高考试题来看，有两年主要是结合韦达定理就能做的题目，有三年倾向于用坐标法去进行求解，尤其是2014年的那道题目，考查了通过椭圆上一点的变化引起的其他量的变化．而从考查的题型来看，考查了弦长面积问题、中点垂直对称问题、定值问题、共线问题2018模拟题已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点． 求证：点1F 在以MN 为直径的圆上．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> ，则222112c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得2,a b ==所以椭圆方程为221.43x y += ．．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A ．当直线PQ 不存在斜率时，可得33(1,),(1,)22P Q ---直线AP 方程为()122y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,同理，得(4,3)N --．所以()()113,3,3,3F M F N =-=--, 得110F M F N ⋅=．所以190MF N∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上．当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为()1y kx =+ ，()11,y x P 、()22,yx Q ．由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k x k x k +++-=． 显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++,直线AP 方程为11(2)2y y x x =--，得116(4,)2y M x --- , 同理， 226(4,)2y N x ---． 所以12111266(3,),(3,)22y y F MF N x x --=-=---． 121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2因为()()11221,1y k x y k x =+=+所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22 ()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=-++--+++=-++++-⋅==- 所以110F M F N⋅=所以90MFN ∠=︒,F 在以MN 为直径的圆上．综上，F 在以MN 为直径的圆上． ．．．．．．．．．．．．14分已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 （1）求椭圆C 的方程．（2）设A 是椭圆C 的右顶点，点B 在x 轴上．若椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求点B横坐标的取值范围．解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =ab =222a b c =+．解得 2a =，b =∴椭圆C 的方程为22142x y +=． ．．．．．．．．．．．．4分 （2）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． 依题意，(2,0)A ．设(,0)B t ，(,)P m n ，则()222422mn m +=-<<，(2,)PA m n =--，(,)PB t m n =--∴(2,)(,)0PA PB m n t m n ⋅=--⋅--=，即 2(2)()0m t m n --+=．将 2242m n -=代入上式，得 2(2)()204m m t m ---+=． ∵ 22m -<<， ∴ 202mt m +-+=， 即 22m t =+． ∴ 2222t -<+<， 解得 20t -<<，∴ 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． ．．．．．．．．．．．．14分高考预测题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，双曲线2222:1x y C a b-=的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F 且一条渐近线的倾斜角为π6． （I ）求椭圆1C 的标准方程；（II ）设与坐标轴不平行的直线l 与椭圆1C 交于,A B 两点，若在,A B 两点处的切线相交于点P ，且P 在以12F F 为直径的圆上，试探究P 与以AB 为直径的圆的关系，并加以证明．解：（I ）由题意，224a b +=，且πtan 6b a ==．．．．．．．．．．．2分所以1a b ==． ．．．．．．．．．．．3分 221:13x C y +=． ．．．．．．．．．．．4分 （II ）P 在以AB 为直径的圆上，证明如下： ．．．．．．．．．．．5分设()00,P x y ，于是22004x y +=．设过点P 的一条直线的方程为00()y y k x x -=-． ．．．．．．．．．．．7分与椭圆方程联立得：0022()13y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：即2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=． ．．．．．．．．．．．8分 若直线与椭圆相切，则判别式0∆=，即2222000036()4(31)3()30k kx y k kx y ⎡⎤--+--=⎣⎦．整理成一个关于k 的方程，即()222000036122412120x k kx y y -+-+=．．．．．10分若203x =，则201y =，易知，PA PB ⊥． ．．．．．．．．．．．11分 若否，则由韦达定理，220012220012123612136123612y x k k x x -+-+===---．．．．．．．．．．．．13分 由于12,k k 恰为直线,PA PB 的斜率，故仍有PA PB ⊥．因此P 在以AB 为直径的圆上． ．．．．．．．．．．．14分2．已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点与一个短轴端点构成等边三角形，此三角（I ）求椭圆的方程；（II ）过点(4,0)A 的直线1l 与椭圆交于,B C 两点，过椭圆右焦点F 的直线2l 与椭圆交于,M N 两点，且+40AB AC FM FN ⋅⋅=，证明：若1l 与2l 相交，则交点必在定直线上．解：（I）由已知可得：b =，122b c ⋅⋅=．．．．．．．．．．．2分21c ∴=，23b =，24a =， ．．．．．．．．．．．3分 椭圆方程为22143x y +=． ．．．．．．．．．．．4分 （II ）直线1l 与椭圆交于,B C 两点，此时斜率存在，设直线1l ：()4y kx =-，B C ，坐标为()11,x y ，()22,x y ， ．．．．．．．．．．．6分 联立方程：()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，()22224+33264120k x k x k -+-=， 0∆>21223243k x x k ∴+=+，2122641243k x x k -=+ ．．．．．．．．．．．7分 ()()()()()()21212121222222224414416361641232=1416434343AB AC x x y y k x x x x k k k k k k k ∴⋅=--+=+--++⎛⎫-+-⋅+= ⎪+++⎝⎭当直线2l 的斜率不存在时，此时直线为1x =，,M N 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，94FM FN ⋅=-，()2223619+4904343k AB AC FM FN k k +⋅⋅=-=≠++， 此时不满足条件，故直线2l 的斜率存在． ．．．．．．．．．．．9分设直线1l ：()11y k x =-，M N ，坐标为()33,x y ，()44,x y ，联立方程：()2211431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，()22221114+384120k x k x k -+-=， 0∆>213421843k x x k ∴+=+，21342141243k x x k -=+， ．．．．．．．．．．．11分()()()()()()23434134342221211122211111=11914128=11434343FM FN x x y y k x x x x k k k k k k k ⋅=--++--++⎛⎫-+-+=-⎪+++⎝⎭()()221221361361+404343k k AB AC FM FN k k ++∴⋅⋅=-=++， ．．．．．．．．．．．13分 解方程：221k k =，又两直线相交，1k k ≠，10k k ∴+=，此时1l 与2l 的交点必在AF 的垂直平分线52x =上． ．．．．．．．．．．．14分课后小练：1．已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率为，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）． （I ）求椭圆W 的方程； (II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ．P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）,A B 是椭圆C 在y 轴右侧部分上的两个动点，若原点O 到直线AB，证明：△ABF 的周长为定值．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，离心率为12，过右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，设点(,0)P m ，记直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若120k k +=，求m 的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程．（2）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 斜率为1k ，直线BF 斜率为2k ，证明：12k k +为定值．C考点趋势分析：1、通过高考真题探究，定量问题的考查依然是近年来的热点，并占有相当的比重，并且2018年高考说明将样题改为2014年真题——通过椭圆上一点的变化引起的其他量的变化，考查直线与圆的位置关系的定量关系，这也预示着北京高考在圆锥曲线部分考法的变化趋势——在侧重分析的基础上考查学生转化问题的能力和计算能力；2、根据最近各区模拟题的考法以及我对高考说明的解读，结合以上高考真题规律的探究，我认为，今年高考依然会以定量关系作为命题点，考查椭圆的几何性质，但考法会稍有变化，即有可能以直线与椭圆联立考查设而不求的解题方法．但在问题设置方面会以探究形式出现，考查学生的分析能力、问题的转化能力以及计算能力．。
2018年高考数学全国卷压轴题解析
2018年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第11题）已知)(x f 是定义域为),(+∞-∞的奇函数，满足)1()1(x f x f +=-，若2)1(=f ，=++++)50()3()2()1(f f f f （）A ．50-B ．0C ．2D ．50【分析】本题是高考中比较典型的题型，涉及抽象函数的奇偶性、对称性和周期性问题.注意到题设条件)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+可知，函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，从而)(x f 的周期为4.再利用周期性求解即可.【解析】解法1：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，故()()f x f x -=-且(0)0f =.又(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+.从而(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=.于是函数)(x f 的周期为4，且(4)(2)(0)0f f f =-==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C ．解法2：因为)(x f 是奇函数且(1)(1)f x f x -=+，所以函数)(x f 的图象关于原点和直线1x =对称，且函数)(x f 的周期为4.不妨设()sin2f x A x π=，由(1)2f =得2A =，()2sin 2f x x π=.于是3(1)(2)(3)(4)2sin2sin 2sin 2sin 2022f f f f ππππ+++=+++=.所以(1)(2)(3)(50)(1)(2)202f f f f f f ++++=+=+= ，故选C ．【评注】若对于小题中含周期性的问题通常可以考虑构造sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++.函数图象的对称性问题是近十年高考数学全国卷每年必考的问题，因此要熟悉函数图象的对称性的有关性质，详见本书第7章例2.例2（理科第12题）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点，A 是椭圆左顶点，点P 在过点A 且斜率为63的直线上，21F PF ∆为等腰三角形， 12021=∠P F F ，则C 的离心率为（）A ．32B ．21C ．31D ．41【分析】求椭圆C 的离心率的关键是建立,,a b c 间的等量关系，本题题设条件很多，路径宽广.【解析】因为21F PF ∆为等腰三角形，︒=∠12021P F F ，所以c F F PF 2212==.设(,)P x y ，则2cos602x c c c =+= ，2sin 60y c == ，所以(2)P c ，又(,0)A a -，6323=+=a c c k AP ，所以c a 4=，41=e ，故选D ．【评注】本题可推广到一般：已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为k 的直线上,12PF F ∆满足212PF F F =且12F F P α∠=,则C 的离心率2sin (2cos 1)k e k αα=+-.例3（文科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与底面所成的角为 30，若SAB ∆的面积为8，则该圆锥的体积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，圆锥的高h 和底面半径r ，再代入圆锥的体积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h .因为母线SB SA ,互相垂直，所以SAB ∆的面积为：8212=l ，所以4=l .又因为SA 与圆锥底面所成角为 30，所以232==h r ，所以该圆锥的体积为2183V r h ππ==.【评注】求圆锥的体积即求圆锥的底面半径和高，要注意圆锥的轴截面中母线长，高和底面半径构成直角三角形.例4（理科第16题）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为87，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB ∆的面积为155，则该圆锥的侧面积为_____．【分析】根据题目的已知条件求出圆锥的母线长l ，底面半径r ，再代入圆锥的侧面积公式即可.【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r .因为母线SA ，SB 所成角的余弦值7cos 8ASB ∠=，所以sin 8ASB ∠=.因为SAB ∆的面积为21sin 2l ASB ∠=280l =.因为SA 与圆锥底面所成角为 30，所以22r l =.圆锥的侧面积为22S rl l π===.【评注】例3和例4为姊妹题，可推广到一般：已知圆锥顶点为P ，母线,PA PB 所成角的角为(0)θθπ<<，PA 与圆锥底面所成角为02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.若PAB ∆的面积为S ，则该圆锥的侧面积为2cos =sin S S πϕθ侧，体积为3V π=.例5（文科第21题）已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f .（Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：)(x f 只有一个零点.【分析】第（Ⅰ）问利用()f x '正负，写出)(x f 的单调区间.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，一般利用函数的单调性和零点存在定理来判断.【解析】（Ⅰ）当3a =时，321()3(1)3f x x x x =-++，36)(2--='x x x f .令()0f x '=，解得3x =-或3x =+.当(,3(3)x ∈-∞-++∞ 时，()0f x '>；当(3x ∈-+时，()0f x '<.故()f x 单调递增区间为)323,(--∞，),323(+∞+；)(x f 的单调递减区间为)323,323(+-．（Ⅱ）证法1：由于210x x ++>，所以()0f x =等价于330x a -=++.设32()31x g x a x x =-++，则2222(23)()0x x x g x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点，从而()f x 至多有一个零点.又22111(31)626()0f a a a a -=-+-=---<,1(31)0f a +=>.故()f x 有一个零点.综上，()f x 只有一个零点.证法2：由于210x x ++>，所以()f x 只有一个零点等价于32()3(1)x g x a x x =-++只有一个零点.因为2222(23)()03(1)x x x g x x x ++'=≥++，仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞单调递增.故()g x 至多有一个零点.又1(31)03g a a a --<---<，1(91)09g a a a +>+->.故()g x 只有一个零点.从而()f x 只有一个零点.【评注】解决函数零点个数问题一般要用函数零点存在定理，而应用函数零点存在定理的关键就是准确迅速找到函数零点所在的区间，这也是高考的重点和难点．观察函数)1(31)(23++-=x x a x x f 的结构特征，注意到321(1)(1)x x x x -=-++，可得2(1)(31)1()33x x x a f x ++--=+，1(31)03f a +=>.要使()0f x <，只需2(1)(31)1x x x a ++--<-，注意到221331(x x x ++=++≥，所以只需431x a --<-，即13x a <-，为了便于计算取31x a =-，得22111(31)626()0366f a a a a -=-+-=---<，这就是第（Ⅱ）问证法1寻找函数零点所在的区间的思考过程.注意到当1x >时，22013x x x <++<，22113x x x >++，()9x g x a >-，要使()0g x >，只需9x a >，取91x a =+即可；当1x <-时，2201x x x <++<，2211x x x >++，()3x g x a <-，要使()0g x <，只需3x a <，取31x a =--即可，这就是第（Ⅱ）问证法2寻找函数零点所在的区间的思考过程.例6（理科第21题）已知函数2()x f x e ax =-.（Ⅰ）若1=a ，证明：当0≥x 时，1)(≥x f ；（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞只有一个零点，求a .【分析】第（Ⅰ）问适当变形构造函数，利用函数最值证明，或直接二次求导，利用函数最值证明.第（Ⅱ）问是函数零点个数问题，可利用函数的单调性和零点存在定理来判断进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当1a =时，()1f x ≥等价于2(+1)10x x e --≤.设2()(+1)1x g x x e -=-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--.当1x ≠时，()0g x '<.所以()g x 在(0,)+∞单调递减.而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥.证法2：当1a =时，()1f x ≥等价于21+1xe x ≥.设2()+1xe g x x =，则222(1)()(1)x x e g x x -'=+.当1x ≠时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞单调递增.而(0)1g =，故当0x ≥时，()1g x ≥，即()1f x ≥.证法3：当1a =时，2()x f x e x =-，则()2x f x e x '=-，()2xf x e ''=-.当(0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '在(0,ln 2)单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '在(ln 2,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，ln 2()(ln 2)2ln 222ln 20f x f e ''≥=-=->，()f x 在(0,)+∞单调递增.所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)1f x f ≥=.即当0≥x 时，1)(≥x f .（Ⅱ）解法1：设函数2()1x h x ax e -=-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，()(2)x h x ax x e -'=-.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故24(2)1a h e =-是()h x 在[0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点.由（Ⅰ）知，当0x >时，2x e x >，所以33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->故()h x 在(2,4)a 有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法2：设函数2()xe h x a x =-，()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.（1）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（2）当0a >时，3(2)()xx e h x x -'=.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)4e h a =-是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在1x =1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.解法3：（1）当0a ≤时，()0f x >，()f x 没有零点；（2）当0a >时，设函数()2ln ln h x x x a =--，则2()x h x -'=，且()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点.当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,+)x ∈∞时，()0h x '>.所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,+)∞单调递增.故2(2)ln 4e h a=是()h x 在(0,)+∞的最小值.①若(2)0h >，即204e a <<，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即24e a >，在(0,2)内存在1x =1()0h x >，在(2,)+∞内存在22x ae =，使得2()0h x >.所以()h x 在(0,2)内和(2,)+∞内各有一个零点.因此()h x 在(0,)+∞有两个零点.综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =.【评注】第（Ⅱ）问解法2中1()0h x >的计算过程是2(1)01h a a =-=->，2()0h x >的计算过程是2743322224422()()10()ae a a a e e e e a h ae a a a a ae a e e a a=->-=⋅->⋅-=；解法3中1()0h x >的计算过程是2ln ln 0h a ==，2()0h x >的计算过程是222()2ln ln 743ln 4(1)3(ln )0h ae ae ae a a a a a a =-->--=-+->.30分钟限时训练练习1已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A ．1BCD ．2【解析】设两个圆的圆心分别为1O ，2O ，球心为O ，两圆的公共弦为AB ，其中点为E ，则四边形12O OO E 为矩形，于是对角线12O O OE =.而OE =，所以12O O =，故选C ．练习2平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行．类似地，空间中一个四棱柱为平行六面体的一个充要条件是_________.【解析】两组相对侧面分别平行.（本题为开放题，答案不唯一）练习3设函数sin ()2cos x f x x=+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++.当2222k x k ππππ-<<+（k ∈Z ）时，1cos x >-，即()0f x '>；当242233k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<.因此)(x f 在每一个区间222,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎝⎭（k ∈Z ）内是增函数，)(x f 在每一个区间242,2k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）内是减函数.（Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x g x a a x x x +'=-=-++++.故当13a ≥时，()0g x '≥.又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即()f x ax ≤.当10a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-.故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得当0[0,)x x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在0[0,)x 上单调递增.故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >，于是当0(0,)x x ∈时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+.当0a ≤时，有10222f a ππ⎛⎫=>≥⋅ ⎪⎝⎭.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（本章作者：张国治、聂文喜、杨续亮、侯有岐、汪仁林）2018年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）压轴题解析例1（文科第12题）设函数20,()1 0,x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【分析】本题考查分段函数及不等式的解法，既可以利用零点分段法进行分类讨论，也可以利用函数的图象采用数形结合加以解决，还可以利用函数单调性求解．【解析】因为当0x ≤时，()f x 单调递减且()1f x ≥；当0x >时，()1f x =，所以(1)(2)f x f x +<等价于210x x <+≤或201x x <<+，解得1x ≤-或10x -<<，所以0x <，故选D ．【评注】本题深刻考查函数单调性的概念，函数的单调性具有“双向性”：既能通过自变量的大小推出函数值的大小，也能通过函数值的大小推出自变量的大小.李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”在复习备考过程中要注意深刻理解核心概念，准确把握概念的内涵和外延.另外，本题与2017年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）文科第16题理科第15题类似，详见本书第5章例3.例2（理科第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A ．4B ．3C ．4D ．2【分析】本题关键是构造出合理的图形，认清截面图形的特点．对于截面面积最值的处理，既可以建立严格的函数关系，从函数的最值角度入手定量分析解决，也可以从最值取得的条件（即特殊位置）入手定性分析解决．【解析】解法1：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即正方体中同一个顶点出发的三条棱所在直线与平面α所成的角都相等.如图，易知平面'ACD 满足题意，再将其平移至平面EFGHIJ ．设EF GH IJ x ===，根据对称性与相似可得，FG HI JE x ===-，故六边形EFGHIJ 的周长为定值．所以当x x =-，即2x =时，截面EFGHIJ 是正六边形，2max 6424S ⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭．故选A ．解法2：如图，建立空间直角坐标系D xyz -．因为正方体的12条棱可以分为三组，分别与单位向量(1,0,0)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c 互相平行．设截面EFGHIJ 的法向量为(,,)x y z =n ，当每条棱所在直线与平面α所成的角都相等时，满足⋅⋅⋅==a n b n c n |a ||n ||b ||n ||c ||n |，222222222x y z x y z x y z ==++++++令1x y ==，则截面EFGHIJ 的法向量(1,1,1)=n ．设截面EFGHIJ 与三个坐标轴的交点分别为,,R S T ，令DR DS DT t ===，易知RS ST TR ==，即RST ∆是等边三角形，同时REJ ∆也是等边三角形．于是2()2(1)RJ DR DA t =-=-，23(1)2REJ S t ∆=-．同理23(1)2SFG S t ∆=-，23(1)2THI S t ∆=-，又232RST S ∆=，所以截面EFGHIJ 面积22233333(1)(263)222RST REJ S S S t t t t ∆∆=-=--=-+-．于是当32t =时，max 324S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．【评注】解答本题的一个关键是平面α处于什么位置时，正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，其实人教A 版必修2课本多次出现这个几何模型，如第57页例2的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第11题理科第11题也是源于此图；再如第79页第2题的图，2016年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第18题也是源于此图.所以，在复习备考过程中，要注意回归课本.解答本题的另一个关键是平面α处于什么位置时，α截此正方体所得截面的面积最大，如果注意到正方体的对称性，不难猜想：当平面α过正方体的中心，且与各棱交点为相应棱的中点时，截面的面积最大，此时截面是正六边形，不难得到正确答案．例3（文科第16题）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为__．【分析】注意到题设条件2228b c a +-=符合余弦定理中222cos 2b c a A bc +-=的结构特征，从而容易想到求ABC △的面积应选择公式1sin 2ABC S bc A =△，进而想到要利用正弦定理将题设条件sin sin 4sin sin b C c B a B C +=化边为角.【解析】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，因为sin sin 0B C ≠，所以1sin A =.因为2228b c a +-=，由余弦定理得2224cos 02b c a A bc bc +-==>，所以cos2A =，bc =11123sin 2223ABC S bc A ==⨯=△．【评注】在解三角形有关问题时，如果涉及到边角关系，那么可以利用正弦定理或余弦定理进行边角互化．到底是化边为角还是化角为边，要根据题设具体问题具体分析.例4（理科第16题）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是________．【分析】对于函数最值问题的处理，我们通常优先考虑利用导数或均值不等式．【解析】解法1：()2cos 2cos 2f x x x'=+22cos 2(2cos 1)x x =+-2(cos 1)(2cos 1)x x =+-.令()0f x '>，得1cos 2x >，即()f x 在2,2k k ππ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增；令()0f x '<，得1cos 2x <，即()f x 在52,233k k ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递减.则min ()232f x f k ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．解法2：因为()2sin 2sin cos 2sin (1cos )f x x x x x x =+=+，所以2223()4sin (1cos )4(1cos )(1cos )f x x x x x =+=-+4(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )3x x x x =-+++44(33cos )(1cos )(1cos )(1cos )34x x x x -++++++⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．当且仅当33cos 1cos x x -=+，即1cos 2x =时，取等于号．根据()()f x f x -=-可知，()f x 是奇函数，于是(),22f x ⎡∈-⎢⎣⎦，min ()f x =，此时sin x =，1cos x =．解法3：()2sin 2sin cos f x x x x=+222sin 2sin cos cos 1)x x x x x =+++-2223233332sin cos sin 2sin x x x x x x =+++++-22sin ))3322x x x =+++-2≥-当且仅当sin 0,3sin 0,2x x x +=⎨+=⎪⎩即23x k ππ=-，k ∈Z 时，()f x 取得最小值33-.【评注】若注意到()f x 是周期函数，周期为2π，且()f x 是奇函数，当[0,]x π∈时，()0f x ≥，则只需要求函数()f x 在区间[,0]π-上的最小值，容易利用导数求得min ()f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．本题与2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题类似，都是利用导数或均值不等式求函数最值问题，详见本书第4章例4.解法3利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析式子的结构，堪称妙法.类似的题目可参考本书主编发表在《中学数学》（高中版）2015年第7期上的文章《巧用配方法妙解调考题》.例5（文科第21题）已知函数()ln 1x f x ae x =--．（Ⅰ）设2x =是)(x f 的极值点，求a ，并讨论)(x f 的单调区间；（Ⅱ）证明：当1a e≥时，()0f x ≥．【分析】（Ⅰ）先求出()f x '，由(2)0f '=求a ，再由()f x '的正负，写出)(x f 的单调区间.（Ⅱ）常规思路是转化为证明()f x 的最小值min ()0f x ≥．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x f x ae x'=-.由题设知，(2)0f '=，所以212a e =.从而21()ln 12x f x e x -=--，211()2x f x e x -'=-.当02x <<时，0)(<'x f ；当2x >时，0)(>'x f .所以)(x f 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（Ⅱ）证法1：当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--.设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-.当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()(1)0g x g ≥=.故()(1)0f x f ≥=.因此，当1a e ≥时，()0f x ≥.证法2：当1a e ≥时，1()ln 1x f x e x -≥--，故只需证明当1a e =时，()0f x ≥，即要证1ln 1x e x -≥+.设1()x g x e x -=-，则1()1x g x e -'=-.当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增．因为(1)0g =，所以1x e x -≥，当且仅当1x =时取等号．不等式两边取对数的1ln x x -≥，当且仅当1x =时取等号．从而ln 1x x ≥+，当且仅当1x =时取等号．所以1ln 1x e x -≥+．所以当1a e ≥时，()0f x ≥．证法3：当1a e ≥时，()0f x ≥等价于ln 1x ae x x x +³.设函数()x ae g x x =（1a ≥），则2(1)()xa x e g x x -'=.所以当(0,1)x Î时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.故()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，从而()g x 在(0,)+∞的最小值为(1)1g ae =³.设函数ln 1()x h x x+=，则2ln ()x h x x '=-.所以当(0,1)x Î时，()0h x '>；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<.故()h x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为(1)1h =综上，当1a e ≥，0x >时，()()g x h x ³，即()0f x ≥．证法4：当1a e ≥时，()0f x ≥等价于ln 1x x a +³.设函数ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()x x x g x e --'=.设函数1()ln 1h x x x =--，则211()h x x x'=--.所以当(0,)x Î+¥时，()0h x '<,()h x 在(0,)+∞单调递减.因为(1)0h =，所以当(0,1)x Î时，()0h x >，从而()0g x '>，()g x 在(0,1)单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，从而()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减.从而()g x 在(0,)+∞的最大值为1(1)g e=.又因为1a e≥，所以()a g x ³，即()0f x ≥．【评注】本题与2013年高考数学全国甲卷（Ⅱ卷）理科第21题如出一辙，第（Ⅰ）问解法和第（Ⅱ）问的证法1和证法2也与该题完全类似，详见本书第13章例6.第（Ⅱ）问的证法3与2014年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的证法1类似，详见本书第12章例6.第（Ⅱ）问的证法4与2013年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第21题第（Ⅱ）问的解法2类似，详见本书第14章例6.例6（理科第21题）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．【分析】第（Ⅰ）问先求出导函数()f x '的零点，进而对参数a 进行分类讨论，得到()f x 的单调性；第（Ⅱ）问要注意()f x 有两个极值点1x ，2x 的隐含条件2a >且121x x =，将不等式1212()()2f x f x a x x -<--等价转化为当12x x <时，22212ln 0x x x -+<或11112ln 0x x x -+>，而这就是要研究函数1()2ln g x x x x=-+的单调性，此时利用第（Ⅰ）问的结果即可.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（1）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时，()0f x '=，所以)(x f 在(0,)+∞单调递减．（2）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =．当(0,)()22a a x +∈+∞ 时，0)(<'x f ；当()22a a x +∈时，0)(>'x f .所以)(x f分别在(0,)2a -，()2a ++∞单调递减，在44()22a a +单调递增．（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121212121212()()ln ln ln ln 112f x f x x x x x a a x x x x x x x x ---=--+=-+---2222ln 21x ax x -=-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x =-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <．所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--．证法2：由（Ⅰ）知，)(x f 存在两个极值点当且仅当2a >．由于)(x f 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则101x <<．由于12121212121212()()ln ln ln ln 112f x f x x x x x a a x x x x x x x x ---=--+=-+---1112ln 21x ax x =-+-，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于11112ln 0x x x -+>.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（Ⅰ）知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0g =，从而当(0,1)x ∈时，()0g x >．所以11112ln 0x x x -+>，即1212()()2f x f x a x x -<--．【评注】对于含有两个变量的不等式，一般转化为只含有一个变量的不等式，并构造函数结合单调性进行证明，本题与2011年高考数学湖南卷文科第22题如出一辙，通过分析和解析，我们容易发现，本题实际上就是要证明11ln (2x x x >-（01x <<）或11ln ()2x x x<-（1x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.30分钟限时训练练习1设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+ ，[1.)x ∈+∞，则当3,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是（）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)284,28,563⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【解析】由题设知[)883,,2,256,2,3.(1)x x x C x x x ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎪∈⎪-⎩因为函数8x C 在区间3,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭和[)2,3上分别单调递减，且38163C =，2828C =，所以当3,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，函数8x C 的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选D ．练习2对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n ≤≤-），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于_________.【解析】当1i j m ≤<≤时，21ij m P C =，这样的ij P 共有2m C 个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为2211m m C C ⋅=；当1m i j n +≤<≤时，21ij n mP C -=，这样的ij P 共有2n m C -个，故所有ij P（1m i j n +≤<≤）的和为211n m n m C --⋅=；当1,1i m m j n ≤≤+≤≤时，4()ij P m n m =-，这样的ij P 共有()m n m -个，故所有ij P （1i j m ≤<≤）的和为4()4()m n m m n m ⋅-=-；综上所述，所有ij P （1i j n ≤<≤）的和等于6.练习3已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的n *∈N 都成立（其中e 是自然对数的底数），求α的最大值.【解析】（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++.设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-.令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x'=-=-++.当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以()h x 在0x =处取得极大值，而(0)0h =，所以()0g x '<（0x ≠），函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数.于是，当10x -<<时，()(0)0g x g >=；当0x >时，()(0)0g x g <=.所以，当10x -<<时，()0f x '>，)(x f 在(1,0)-上为增函数；当0x >时，()0f x '<，)(x f 在(0,)+∞上为减函数.故函数)(x f 的单调递增区间为(1,0)-，单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）不等式11n e n α+⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭等价于不等式1()ln 11n n α⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭.由111+>知，11ln 1n n α≤-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.设11()ln(1)G x x x =-+，(0,1]x ∈，则2211(1)ln (1)()x x x G x ++-'=-+=++++.由（Ⅰ）知，22ln (1)01x x x+-≤+，即22(1)ln (1)0x x x ++-≤.所以()0G x '<，(0,1]x ∈.于是()G x 在(0,1]上为减函数.故函数()G x 在(0,1]上的最小值为1(1)1ln 2G =-.综上所述，α的最大值为11ln 2-.（本章作者：杨瑞强）2018年高考数学全国丙卷（Ⅲ卷）压轴题解析例1（文科第12题，理科第10题）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】本题考查三棱锥的外接球问题，求三棱锥D ABC -体积的最大值，底面积已知，关键是求三棱锥D ABC -的高的最大值.【解析】如图，设球心为O ，ABC ∆的外接圆的圆心为1O ，则当球心O 在线段1DO 上时，三棱锥ABC D -的体积最大．因为ABC ∆的面积3960sin 212=⋅⋅=∆ AB S ABC ，所以6=AB .所以ABC ∆的外接圆的半径为1232sin 60AB O A == ．所以球心O 到平面ABC 的距离2222114(23)2OO OA O A =-=-=．所以三棱锥D ABC -的高的最大值11426DO DO OO =+=+=．所以三棱锥D ABC -体积的最大值16333D ABC V -=⨯⨯=.故选B ．【评注】三棱锥的外接球问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）文科第16题，详见本书第4章例3，三棱锥的体积最值问题是高考命题的热点，例如2017年高考数学全国乙卷（Ⅰ卷）理科第16题，详见本书第4章例4，本题可以看成是由以上两题改编而成.例2（理科第12题）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【分析】比较大小的常用方法是作差法和作商法，注意到a ，b 是两个底数不同，真数相同的对数，可考虑利用对数函数的单调性和对数换底公式.【解析】解法1：因为0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，22log 0.3log 0.5<，所以01a <<，1b <-，从而0a b +<，0ab <.又因为0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b ab a b +=+=+=，0.30.30.3log 1log 0.4log 0.3<<，所以01a b ab+<<，从而0ab a b <+<，故选B ．解法2：因为0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.4log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ⋅+=+=+=<⋅，0.22ln 0.3ln 0.3ln 0.3ln 0.3log 0.3log 0.30ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ab ⋅=⋅=⋅=<⋅，ln 0.3ln 0.4ln 0.3ln 0.3ln 0.3(ln 0.4ln 0.3)0ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2ln 0.2ln 2a b ab ⋅⋅-+-=-=>⋅⋅⋅，所以0ab a b <+<，故选B ．【评注】虽然是选择题压轴题，但考查却都是通性通法，导向鲜明.例3（文科第16题）已知())1f x x =+，4)(=a f ，则=-)(a f _____．【分析】已知()f a 求()f a -，容易想到利用函数的奇偶性或直接利用函数的解析式.【解析】解法1：因为())1f a a =+，())1f a a -=+，所以()())1ln()12f a f a a a +-=+++=，因为4)(=a f ，所以()2f a -=-．解法2：设())g x x =，则1)()(+=x g x f .因为()()))0g x g x x x +-=+=，所以21)(1)()()(=+-++=-+a g a g a f a f ，又因为4)(=a f ，所以2)(-=-a f ．【评注】一个奇函数与一个常数的和在高考数学全国卷中曾多次考查，例如2012年高考数学全国卷文科第16题，详见本书第15章例3.例4（理科第16题）已知点)1,1(-M 和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若 90=∠AMB ，=k _____．【分析】解答本题的关键是将条件90=∠AMB 合理转化，转化的途径很多，如0=⋅，1MA MB k k ⋅=-，222MA MB AB +=，点M 在以线段AB 为直径的圆上等.【解析】解法1：设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，代入x y 42=，得0)42(2222=++-k x k x k .设),(),,(2211y x B y x A ，则222142k k x x +=+，121=x x .因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA )1)(1()1)(1(2121----+++=k kx k kx x x 2221212(1)(1)()22k x x k k x x k k =+-+-++++0=.将222142kk x x +=+，121=x x 代入上式整理得，0442=+-k k ，所以2=k ．解法2：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+，124y y =-.因为90=∠AMB ，所以)1)(1()1)(1(2121--+++=⋅y y x x MB MA 1212(2)(2)(1)(1)ty ty y y =+++--21212(1)+(21)()50t y y t y y =+-++=．将t y y 421=+，124y y =-，代入上式整理得，01442=+-t t ，所以21=t ,2=k ．解法3：设直线AB 的方程为1+=ty x ，代入x y 42=，得0442=--ty y .设),(),,(2211y x B y x A ，则t y y 421=+.设线段AB 的中点为N ，则12(,2)2x x N t +,因为以线段AB 为直径的圆与准线l 相切， 90=∠AMB ，所以M 为切点，所以21t =,21=t ,2=k ．【评注】比较解法1和解法2，对于抛物线2:2C y px =而言，一般设直线方程为x ty a =+，计算量要小一点.抛物线的焦点弦有很多常用性质，如能灵活运用，可以有效减少计算量.本题与2013年高考数学大纲全国卷理科第11题如出一辙，试题如下：已知抛物线2:8C y x =与点(2,2)M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若0=⋅MB MA ，则=k （）A．1D．2将这两道题推广到一般，即可得到抛物线焦点弦的一个性质：已知点0(,)2p M y -和抛物线22(0)C y px p =>：，过C 的焦点作斜率为k 的直线与C 交于B A ,两点，若 90=∠AMB ，0p k y =．例5（文科第21题）已知函数x ex ax x f 1)(2-+=.（Ⅰ）求)(x f y =在(0,1)-处的切线方程；（Ⅱ）证明：当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【分析】第（Ⅰ）问由导数的几何意义，容易求出.第（Ⅱ）问注意到当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210x x x e e +-+≥.【解析】（Ⅰ）2(21)2()ex ax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（Ⅱ）证法1：当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +=+-+，则1()21e x g x x +'=++．当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．证法2：当1a ≥时，≥+e x f )(e ex x x +-+12．令,1)(2e e x x x g x +-+=则x ex x x g )2)(1()(-+-='．当1x <-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当21<<-x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当2>x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减.所以当2x <时，()(1)0g x g ≥-=，又当2x ≥时，0)(>x g ，所以()0g x ≥，即当1≥a 时，0)(≥+e x f ．【评注】比较第（Ⅱ）问两种证法，都注意到了当1≥a 时，2211ax x x x +-≥+-，转化证明210x x x e e +-+≥，证法1还注意到了0x e >，进一步转化证明211e 0x x x ++-+≥，更胜一筹.例6（理科第21题）已知函数x x ax x x f 2)1ln()2()(2-+++=．（Ⅰ）若0=a ，证明：当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f ；（Ⅱ）若0=x 是()f x 的极大值，求a .【分析】第（Ⅰ）问注意到(0)0f =．利用导数研究函数()f x 的单调性即可证明．第（Ⅱ）问要充分利用(0)0f =和0=x 是()f x 的极大值这两个条件，注意到()f x 解析式的结构特征，可考虑构造函数22()ln(1)2x h x x x ax =+-++，也可考虑多次求导，使得求导后的有关函数解析式中不再出现ln(1)x +，从而便于求出极值，进而求出a 的值.【解析】（Ⅰ）证法1：当0=a 时，x x x x f 2)1ln()2()(-++=，()ln(1)1x f x x x'=+-+.设()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2)1()(x x x g +='.当01<<-x 时，0)(<'x g ，当0>x 时，0)(>'x g .故当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，当且仅当0=x 时，0)(=x g ，从而0)(≥'x f ，当且仅当0=x 时，0)(='x f .所以)(x f 在),1(+∞-上单调递增.又0)0(=f ，故当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .证法2：当0=a 时，2()(2)ln(1)2(2)ln(1)2x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦.设2()ln(1)2x g x x x=+-+，则222()0(1)(2)x g x x x '=≥++，仅当0x =时等号成立.所以()g x 在),1(+∞-上单调递增.又(0)0g =，故当01<<-x 时，()0g x <；当0>x 时，()0g x >.因为20x +>，所以当01<<-x 时，0)(<x f ；当0>x 时，0)(>x f .（Ⅱ）解法1：（1）若0≥a ，由（Ⅰ）知，当0>x 时，)0(02)1ln()2()(f x x x x f =>-++≥，这与0=x 是()x f 的极大值点矛盾.（2）若0<a ，设函数2222)1ln(2)()(ax x x x ax x x f x h ++-+=++=.由于当min{x <时，022>++ax x ，故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x x ax ++-++++'=-=++++++.如果016>+a ，则当a x 160+-<<，且min{x <时，0)(>'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016<+a ，则016422=+++a ax x a 存在根01<x ，故当)0,(1x x ∈，且min{x <时，0)(<'x h ，故0=x 不是)(x h 的极大值点.如果016=+a ，则223)126)(1()24()(--+-='x x x x x x h .则当01<<-x 时，0)(>'x h ，当10<<x 时，0)(<'x h ，所以0=x 是)(x h 的极大值点，从而0=x 是)(x f 的极大值点.综上，61-=a .解法2：因为2'()(21)ln(1)1ax x f x ax x x -=++++，且'(0)0f =.令2()(21)ln(1)1ax x g x ax x x -=++++，则2(341)'()2ln(1)(1)ax a x g x a x x ++=+++，且'(0)0g =.令2(341)()2ln(1)(1)ax a x h x a x x ++=+++，则232661'()(1)ax ax x a h x x +-++=+.令'(0)0h =，则16a =-.下面证明，当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点.当16a =-时，31(6)3'()(1)x x h x x -+=+.当(1,0)x ∈-时，'()0h x >，()h x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减.所以当(1,)x ∈-+∞时，'()()(0)0g x h x h =≤=，()g x 在(1,)-+∞上单调递减.所以当(1,0)x ∈-时，'()g()g(0)0f x x =>=，()f x 在(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()g()g(0)0f x x =<=，()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以0x =是()f x 的极大值点.综上，16a =-.【评注】本题第（Ⅰ）问实际上就是要证明2ln(1)2x x x +<+（10x -<<）或2ln(1)x x +>+（0x >），这两个不等式是等价的，也是在对数放缩过程中常用的.第（Ⅱ）问解法1的关键一步是通过构造函数)(x h ，将函数)(x f 的极大值点转化为)(x h 的极大值点，由于函数()f x 的定义域为()1,-+∞，当0a <时，适当放缩获得0的一个邻域.因为222+1+x ax ax +>，故可以令21+0ax >可得x <，所以当min{x <时，22+0x ax +>，使得故)(x h 与)(x f 的符号相同.又0)0()0(==f h ，故0=x 是)(x f 的极大值点，当且仅当0=x 是)(x h 的极大值点.解法2的关键一步是通过多次求导，先利用必要条件求出参数a 的值，再证明所求a 的值满足充分性.构造函数和多次求导是破解高考导数压轴题的有效策略，详见本书第2章例7和例10.30分钟限时训练练习1如图，一环形花坛分成A，B，C，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A ．96B ．84C ．60D ．48【解析】按所种花的品种分类：种4种花有4424A =种种法，种3种花有34248A =种种法，种2种花有2412A =种种法，所以，故选不同的种法总数为84，故选B ．练习2设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为_________.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则414610S a d =+≥，5151015S a d =+≤，4145133425a a d S S =+=-+≤.练习3已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为()2101a f x x x '=+-+，所以(3)61004a f '=+-=，16a =，所以2()16ln(1)10f x x x x =++-，2(1)(3)()1x x f x x --'=+.当11x -<<时，()0f x '>；当13x <<时，()0f x '<；当3x >时，()0f x '>.所以)(x f 的单调递增区间为(1,1)-，(3,)+∞；)(x f 的单调递减区间为(1,3).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)(x f 在(1,1)-内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,)+∞内单调递增，且当1x =或3x =时，()0f x '=.所以)(x f 的极大值为(1)16ln 29f =-，极小值为(3)32ln 221f =-.因为3(1)(3)1216ln 216(ln 2)04f f -=-=->，2(16)16101616ln 29(1)f f >-⨯>-=，2(1)321121(3)f e f --<-+=-<，所以在)(x f 的三个单调区间(1,1)-，(1,3)，(3,)+∞，直线y b =与函数()y f x =的图象各有1个交点，当且仅当(3)(1)f b f <<.因此，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--.（本章作者：陈清华、聂文喜）。
2018年河北省石家庄二中高考数学最后一卷(理科)(A卷)(J)
2018年河北省石家庄二中高考数学最后一卷（理科）（A卷）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知集合2，3，4，，，，，则B中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】解：由题意，时，，2，3，4，时，，2，3，时，，2，时，综上知，B中的元素个数为10个故选：D．由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2.若复数为纯虚数，则的值为A. 1B.C. iD.【答案】D【解析】解：为纯虚数，可得，则．故选：D．利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的幂运算求解，化简分母为实数即可．本题考查复数的基本概念，复数的基本运算，考查计算能力．3.已知命题p：，，那么命题￢为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解命题p：，，那么命题￢为，，故选：C．利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．本题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题．4.已知双曲线：的一个焦点为，且双曲线C的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：双曲线：的一个焦点为，，且双曲线C的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：故选：D．求出双曲线的半焦距，利用离心率求出a，然后求解b，得到双曲线方程即可求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5.已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】解：由题知可行域如图所示，的几何意义表示可行域中点与定点的距离的平方，由图可得，最小值为．故选：A．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域中点与定点的距离的平方求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.设，，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得：，即，；又，，，，，．故选：B．把正切化为正弦、余弦的商，利用三角恒等变换求得与的关系．本题考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题．7.给出30个数：1，2，4，7，11，，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框处和执行框处应分别填入A. ？；B. ？；C. ？；D. ？；【答案】D【解析】解：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即中应填写；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即；第3个数比第2个数大2即；第4个数比第3个数大3即；故中应填写故选：D．由程序的功能是给出30个数：1，2，4，7，11，要计算这30个数的和，我们可以根据循环次数，循环变量的初值，步长计算出循环变量的终值，得到中条件；再根据累加量的变化规则，得到中累加通项的表达式．本题考查的知识点是循环结构，其中在循环次数循环终值初值步长，是循环次数，终值，初值，步长的知三求一问题，属于基础题．8.已知函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：函数，则，令，，令，解得．可得：函数在上单调递减，上单调递增．，又．．故选：A．函数，则，令，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体表面积为A.B.C.D. 8【答案】B【解析】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点底面ABCD的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，故表面积，故选：B．根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．本题考查的知识点是棱锥的几何特征，简单几何体的三视图，求侧面的面积难度较大．10.的展开式中，的系数为A. B. 120 C. 240 D. 420【答案】B【解析】解：的展开式的通项公式：，的展开式的通项公式：．可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：．令，，，或，，．解得，或，．的系数为．故选：B．的展开式的通项公式：，的展开式的通项公式：可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：通过分类讨论即可得出．本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.过抛物线焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆交于C，D两点，若有三条直线满足，则r的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当轴时，过与抛物线交于，土，与圆交于，土，满足题设．当l不与x轴垂直时，设直线l：，代入，得，，把代入：得．设，，，，，，，可得4 ，，即时，l仅有三条．故选：B．分轴与l不与x轴垂直两种情况讨论，当l不与x轴垂直时，设直线l：，与抛物线方程联立，设，，，，结合题意，可求得4 ，继而可得，从而可得答案．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查等价转化思想与分类讨论思想，求得是关键，考查综合运算能力，属于难题本题的选择题，可以利用特殊值验证法，或回代检验法，推出结果．12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则对任意的，函数的零点个数至多有A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个【答案】A【解析】解：当时，，可得，可知时，函数是减函数；时函数是增函数，，，且时，，又是定义在R上的奇函数，，而时，，所以函数的图象如图：令则，由图象可知：当时，方程至多3个根，当时，方程没有实数根，而对于任意，方程至多有一个根，，从而函数的零点个数至多有3个．故选：A．【分析】当时，，求出，判断时，函数是减函数，时函数是增函数，，，且时，，利用奇函数的性质，，画出函数的图象利用换元法，转化求解函数的零点个数即可．本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.某校高一年级3个学部共有800名学生，编号为：001，002，，800，从001到270在第一学部，从271到546在第二学部，547到800在第三学部采用系统抽样的方法从中抽取100名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为004，则第二学部被抽取的人数为______．【答案】34【解析】解：样本间隔为，则抽出的号码为，由，解得，即，则，36，，68，共有个．故答案为：34．求出样本间隔，结合系统抽样的定义解不等式即可．本题主要考查了系统抽样的应用问题，根据条件求出样本间隔列出不等式是解题的关键．14.已知向量，则______．【答案】5【解析】解：，则，由于，则，即有，则，即为，则有．故答案为：5．运用向量模的公式和向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量的平方即为模的平方，以及模的公式，考查运算能力，属于基础题．15.已知平面截球O的球面得圆M，过圆心M的平面与的夹角为，且平面截球O的球面得圆N，已知球O的半径为5，圆M的面积为，则圆N的半径为______．【答案】【解析】解：如图，圆M的面积为，，又，，又过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，，，又，故答案为：．先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．本题考查二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．16.已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为______．【答案】【解析】解：中，，由正弦定理得，，，；又，，；又，，，，；又，，，，即的取值范围是故答案为：由正弦、余弦定理求得C的值，再用正弦值表示出a、b，用三角函数值计算的取值范围．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17.已知等比数列满足，，且是，的等差中项．求数列的通项公式；若，，对任意正整数n，恒成立，试求m的取值范围．【答案】解：设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，得因此即有解得，或，又数列单调递增，则故．，，，，得．，对任意正整数n恒成立，对任意正整数n恒成立，即恒成立．，，即m的取值范围是．【解析】利用已知条件，列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解通项公式．化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和，列出不等式，通过求解表达式的最小值，求解m的取值范围．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，错位相减法的应用数列与不等式以及函数的最值的求法考查计算能力．18.在等腰直角中，A，D分别为EB，EC的中点，，将沿AD折起，使得二面角为．作出平面EBC和平面EAD的交线l，并说明理由；二面角的余弦值．【答案】解：在面EAD内过点E作AD的平行线l即为所求．证明：因为，而l在面ABCD外，AD在面ABCD内，所以，面ABCD．同理，面EBC，于是l在面EBC上，从而l即为平面EBC和平面EAD的交线．由题意可得为二面角的平面角，所以，．过点E作AB的垂线，垂足为F，则面ABCD．以F为原点，AB所在直线为x轴正方向，垂直AB的直线为y轴，FE所在直线为z轴，AF为单位长度建立空间直角坐标系；如图：则0，，4，，0，，2，，，从而，，设面BCD的一个法向量为，则由得，所以，不妨取．由面ABCD知平面BCD的法向量不妨设为于是，，所以二面角的余弦值为．【解析】在面EAD内过点E作AD的平行线l即为所求证明，推出面同理，面EBC，从而l即为平面EBC和平面EAD的交线．过点E作AB的垂线，垂足为F，则面以F为原点，建立空间直角坐标系；求出面BCD的一个法向量，平面BCD的法向量利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，空间向量的数量积的应用二面角的平面角的求法考查空间想象能力以及计算能力．19.某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩单位：cm，且均为整数，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上包括的只有两个人，且均在甲队规定：跳高成绩在185cm以上包括定义为“优秀”．求甲，乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在单位：内的运动人数b；在甲，乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；在甲，乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．【答案】解：由频率直方图可知：成绩在以190cm以上的运动员的频率为，全体运动馆总人数人，成绩位于中运动员的频率为，人数为，由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有3名，人；由频率直方图可得：180cm以上运动员总数为：，由茎叶图可得，甲乙队180cm以上人数恰好10人，所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为6人，设事件A为“至少有1人成绩优秀”，事件B为“两人成绩均优秀”，，，；可取的值为0，1，2，，，，．【解析】由频率直方图可知：成绩在以190cm以上的运动员的频率为，可得全体运动馆总人数，进而得出成绩位于中运动员的频率与人数，由茎叶图可知：甲队成绩在的运动员有3名，可得b．由频率直方图可得：180cm以上运动员总数为：，由茎叶图可得，甲乙队180cm以上人数，可得乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为6人，设事件A为“至少有1人成绩优秀”，事件B为“两人成绩均优秀”，利用相互对立事件、相互独立及其条件概率计算公式即可得出．可取的值为0，1，2，利用超几何分布列的计算公式即可得出．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、茎叶图、相互对立事件、相互独立及其条件概率计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点F的坐标为，点P坐标为，且直线轴，过点P作直线与椭圆E交于A，B 两点B在第一象限且点A在点B的上方，直线OP与交于点Q，连接．求椭圆E的方程；设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由．【答案】解：设椭圆方程为，由题意椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点F的坐标为，点P坐标为，且直线轴，可知：，所以，所以椭圆的方程为．是定值，定值为．设，，因为直线AB过点，设直线AB的方程为：，联立所以，，因为点Q在直线OP上，所以可设，又Q在直线上，所以：所以．【解析】利用椭圆的焦点坐标，以及已知条件求出a，c，然后求解b，求解椭圆方程．设，，设直线AB的方程为：，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，点Q在直线OP上，所以可设，又Q在直线上，通过，化简斜率乘积推出结果．本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查设而不求转化思想的应用．21.设函数，其中，Ⅰ讨论函数极值点的个数，并说明理由；Ⅱ若，成立，求a的取值范围．【答案】解：函数，其中，．．令．当时，，此时，函数在上单调递增，无极值点．当时，．当时，，，，函数在上单调递增，无极值点．当时，，设方程的两个实数根分别为，，．，，．由，可得．当时，，，函数单调递增；当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增．因此函数有两个极值点．当时，由，可得．当时，，，函数单调递增；当时，，，函数单调递减．因此函数有一个极值点．综上所述：当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．由可知：当时，函数在上单调递增．，时，，符合题意．当时，由，可得，函数在上单调递增．又，时，，符合题意．当时，由，可得，时，函数单调递减．又，时，，不符合题意，舍去；当时，设，，．在上单调递增．因此时，，即，可得：，当时，，此时，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为．【解析】函数，其中，．令对a与分类讨论可得：当时，此时，即可得出函数的单调性与极值的情况．当时，当时，，当时，，即可得出函数的单调性与极值的情况．当时，即可得出函数的单调性与极值的情况．由可知：当时，可得函数在上单调性，即可判断出．当时，由，可得，函数在上单调性，即可判断出．当时，由，可得，利用时函数单调性，即可判断出；当时，设，，研究其单调性，即可判断出本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线过点，其参数方程为为参数，，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；求已知曲线和曲线交于A，B两点，且，求实数a的值．【答案】解：的参数方程，消参得普通方程为，的极坐标方程化为，即；将曲线的参数方程标准化为为参数，代入曲线：，得，由，得，设A，B对应的参数为，，由题意得即或，当时，，解得，当时，，解得，综上：或．【解析】直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线位置关系式的应用，参数的确定．23.已知函数．求不等式的解集；若对于恒成立，求a的取值范围．【答案】解：函数；当时，有，解得，即；当时，恒成立，即；当时，有，解得，即；综上，不等式的解集为；由恒成立，得恒成立，，当且仅当，即是等号成立；又因为，当且仅当时等号成立，又因为，所以，所以a的取值范围是．【解析】利用分类讨论法去掉绝对值，再求不等式的解集；由题意得出恒成立，求出的最小值即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
2018年全国各省市高考数学真题及解析（高清精美版）
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2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (浙江卷)及详解详析
1 / 7一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1. 已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则C U A =( )A . ∅B . {1，3}C . {2，4，5}D . {1，2，3，4，5}2. 双曲线−y 2=1的焦点坐标是( ) A . (−，0)，(，0)B . (−2，0)，(2，0)C . (0，−)，(0，) D . (0，−2)，(0，2)3. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A . 2B . 4C . 6D. 8俯视图正视图4. 复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A . 1+iB . 1−iC . −1+iD . −1−i5. 函数y =sin 2x 的图象可能是( ) DCBA6. 已知平面α，直线m ，n满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. 设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时( ) A . D (ξ)减小 B . D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大D . D (ξ)先增大后减小8. 已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则( )A . θ1≤θ2≤θ3B . θ3≤θ2≤θ1C . θ1≤θ3≤θ2D . θ2≤θ3≤θ19. 已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e •b +3=0，则|a −b |的最小值是( ) A .−1B .+1C . 2D. 2−10. 已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( )A . a 1<a 3，a 2<a 4B . a 1>a 3，a 2<a 4C . a 1<a 3，a 2>a 4D . a 1>a 3，a 2>a 4二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则，当z =81时，x =______________________，y =_________________12. 若x ，y 满足约束条件，则z =x +3y 的最小值是____________，最大值是__________13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =，b =2，A =60°，则sinB =___________，c =___________________14. 二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________15. 已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是____________________，若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________16. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)17. 已知点P (0，1)，椭圆+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足=2，则当m =____________________时，点B 横坐标的绝对值最大三、解答题(本大题共5小题，共74分)此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号18. (14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−，−)(1)求sin (α+π)的值(2) 若角β满足sin (α+β)=，求c osβ的值19. (15分)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2 (1) 证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1 (2) 求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值C 1B 1A 1CA20. (15分)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n +1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n (1) 求q 的值 (2) 求数列{b n }的通项公式21. (15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B满足PA ，PB 的中点均在C 上 (1) 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴(2)若P 是半椭圆x 2+=1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围22. (15分)已知函数f (x )=−lnx(1) 若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln 2(2)若a ≤3−4ln 2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点1 / 72018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数 学 答 案1.答案： C 解答：由题意知U C A ={2,4,5}. 2.答案： B 解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213xy -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0). 3.答案：C 解答：该几何体的立体图形为四棱柱，(12)2262V +⨯=⨯=. 4.答案：B 解答：22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴1z i =-.5.答案：D 解答：令||()2sin 2x y f x x ==，||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，所以()f x 为奇函数①；当(0,)x p Î时，||20x >，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可知，选D.6.答案：A 解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.7.答案：D 解答：111()0122222p p E p x -=???+， 22211113()()()()222222p pD p p px -=?+?+? 22111()422p p p =-++=--+， 所以当p 在(0,1)内增大时，()D x 先增大后减小，故选D. 8.答案：D 解答：作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM .过O 作ON 垂直于直线SM ，可知2SEO θ=∠，3SMO θ=∠，过SO 固定下的二面角与线面角关系，得32θθ≥.易知，3θ也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角， 根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角13θθ≥， 所以231θθθ≤≤.9.答案：A 解答：设(1,0)e =，(,)b x y =，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=22(2)1x y ⇒-+=如图所示，a OA =，b OB =，（其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=.）∴min11a bCD -=-=.（其中CD OA ⊥.）10.答案：B 解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <. 11.答案：8 11 解答：当81z =时，有811005327100x y x y ì++=ïïíï++=ïî，解得811x y ì=ïïíï=ïî.12.答案：2- 8 解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当42x y ì=ïïíï=-ïî时，3z x y =+取最小值，最小值为2-；当22x y ì=ïïíï=ïî时，3z x y =+取最大值，最大值为8.13.答案：73解答：由正弦定理sin sin a bA B =2sin 2B=，所以sin B =. 由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-=，得214724c c+-=，所以3c =.14.答案：7 解答：通项1813181()()2rrr r T C x x --+=843381()2r r r C x -=. 84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187()7242C ⨯⋅=⨯=. 15.答案：(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 解答：∵2λ=，∴24,2()43,2x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩.当2x ≥时，40x -<得24x ≤<.当2x <时，2430x x -+<，解得12x <<. 综上不等式的解集为14x <<.当243y x x =-+有2个零点时，4λ>.当243y x x =-+有1个零点时，4y x =-有1个零点，13λ<≤. ∴13λ<≤或4λ>.16.答案：1260 解答：224121353435337205401260C C A C C C A +=+=.17.答案：5 解答：3 / 7方法一：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 当直线斜率不存在时，9m =，20x =.当直线斜率存在时，设AB 为1y kx =+.联立2241x y my kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(41)8440k x kx m +++-=，20410mk m ∆>⇒+->，122841kx x k +=-+，1224441mx x k -=+. ∵2AP PB =，∴122x x =-，解得121641k x k -=+，22841kx k =+. ∴228821414k x k k k==≤++（当且仅当12k =时取“=”）. 122216884141k k x x k k -=⋅=-++，122442241mx x m k -==-+，得5m =，∴当5m =时，点B 横坐标最大.方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,1)AP x y =--，22(,1)PB x y =-，∵2AP PB =，∴1212232x x y y =-⎧⎨=-⎩，∴22222222(2)(32)(1)4(2)4x y m x y m ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由(1)(2)得234m y +=.(3)将(3)代入(2)，得222(5)164m x --+=，∴2x =，∴当5m =时，2x 取最大值. 18.答案： （1）45； （2）5665-或1665. 解答：（1）445sin()sin 15απα-+=-=-=.（2）∵()βαβα=+-，∴cos cos[()]βαβα=+-，∵5sin()13αβ+=，∴12cos()13αβ+=±， 又∵4sin 5α=-，且α终边在第三象限，∴3cos 5α=-.①当12cos()13αβ+=时，cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++12354362056()()1351356565--=⨯-+⨯-==-. ②当12cos()13αβ+=-时，cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++1235416()()()13513565=-⨯-+⨯-=. 19.答案： （1）略； （2）13解答：（1）∵12AB B B ==，且1B B ⊥平面ABC ， ∴1B B AB ⊥，∴1AB =.同理，1AC ===过点1C 作1B B 的垂线段交1B B 于点G ，则12C G BC ==且11B G =，∴11B C =.在11AB C ∆中，2221111AB B C AC +=，∴111AB B C ⊥，①过点1B 作1A A 的垂线段交1A A 于点H . 则12B H AB ==，12A H =，∴11A B =.在11A B A ∆中，2221111AA AB A B =+，∴111AB A B ⊥，②综合①②，∵11111A B B C B ⋂=，11A B ⊂平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ，∴1AB ⊥平面111A B C .（2）过点B 作AB 的垂线段交AC 于点I ，以B 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以BI 所在直线为y 轴，以1B B 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)A -，1(0,0,2)B，1(1C ， 设平面1ABB 的一个法向量(,,)n a b c =，则1020200n AB a c n BB ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，令1b =，则(0,1,0)n =，又∵1AC =，1cos ,13n AC <>==. 由图形可知，直线1AC 与平面1ABB 所成角为锐角，设1AC 与平面1ABB 夹角为α.∴sin α=20.答案：（1）2q =； （2）243152n n n b -+=-. 解答：（1）由题可得34528a a a ++=，4352(2)a a a +=+，联立两式可得48a =. 所以34518(1)28a a a q q ++=++=，可得2q =（另一根112<，舍去）. （2）由题可得2n ≥时，221()2[2(1)(1)]41n n n b b a n n n n n +-=+--+-=-，当1n =时，211()213b b a -=+=也满足上式，所以1()41n n n b b a n +-=-，n N +∈,而由（1）可得41822n n n a --=⋅=，所以1141412n n n n n n b b a +----==， 所以121321()()()n n n b b b b b b b b --=-+-++-01223711452222n n --=++++， 错位相减得1243142n n n b b -+-=-， 所以243152n n n b-+=-.21.答案： （1）略； （2）. 解答：（1）设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则PA 中点为20011(,)282x y y y ++，由AP 中点在抛物线上，可得220101()4()228y y x y +=+， 化简得2210100280y y y x y -+-=，显然21y y ≠， 且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=，所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根，5 / 7所以1202y y y +=，1202M P y y y y y +===，即PM 垂直于x 轴. （2）121()(||||)2M P M M S x x y y y y =--+-0121()||2M x x y y =--，由（1）可得1202y y y +=，212008y y x y =-， 2220000012(2)4(8)8(4)0()y x y y x y y ∆=--=->≠，此时00(,)P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上， ∴2220000008(4)8[4(1)4]32(1)y x x x x x ∆=-=--=--，∵010x -≤<，∴0∆>，∴12||y y -===， 22222200121212000042(8)6(44)()2||38888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---++--=-=-=-=- 2003(1)x x =--，所以23012001()||2M S x x y y x x =--=--=，t =，所以3S =∈， 即PAB ∆的面积的取值范围是. 22.答案： （1）略； （2）略. 解答： （1）1()f x x '=-，不妨设12()()f x f x t ''==，即12,x x1t x-=的两根，2102xtx -+=的根，所以1404t ∆=->，得1016t <<12t =1t=，12122111()()ln ln 2ln 22f x f x x x t t t t+=-=-=+，令1()2ln 2g t t t =+，222141()022t g t t t t -'=-=<，∴()g t 在1(0,)16上单调递减. 所以1()()88ln 216g t g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-. （2）设()()()ln h x kx a f x kx x a =+-=-+，则当x 充分小时()0h x <，充分大时()0h x >，所以()h x 至少有一个零点，则2111())164h x k k x '=+=-+-， ①116k ≥，则()0h x '≥，()h x 递增，()h x 有唯一零点， ②1016k <<，则令211())0416h x k '=+-=，得()h x 有两个极值点1212,()x x x x <，14>，∴1016x <<. 可知()h x 在1(0,)x 递增，12(,)x x 递减，2(,)x +∞递增，∴1111111()ln )ln h x kx x a x x ax =+=-+11ln x a =-++，又1111()h x x '==， ∴1()h x 在(0,16)上单调递增，∴1()(16)ln163ln16334ln 20h x h a <=-+≤-+-=， ∴()h x 有唯一零点，综上可知，0k >时，y kx a =+与()y f x =有唯一公共点.。
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江苏省启东中学2018年高考数学复习最后一讲一、 选择题１、设非零向量a →,b →,c →,若p →=a →|a →| + b →|b →| + c →|c →|,则|p →|的取值范围是（ ）A ．[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[-3,3]２、Ｏ是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满点[),,0+∞∈++=λλAC AB ，则Ｐ点的轨迹一定通过ABC ∆（ ）Ａ.重心 B.垂心 C.内心 D.外心３、已知函数f(x)=x cosx 的定义域为(- π2 ,π2 ),当|x i |<2π (i=1,2,3)时,f(x 1)+f(x 2)<0,f(x 2)+f(x 3)<0, f(x 3)+f(x 1)<0,则有 （ ）A 、 x 1+x 2+x 3>0B. x 1+x 2+x 3<0C 、f(x 1+x 2+x 3)≥0 D. f(x 1+x 2+x 3)≤0４、已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝｜a－b ＋c ｜＋｜2a ＋b ｜，N ＝｜a ＋b ＋c ｜＋｜2a －b ｜，则M 与N 的大小关系是 （ ） A .M ≥N B.M ≤N C.M ＜N D.M ＞N５、已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为（ ）A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1６、已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 （ ）A.x=1B.x=2C.x=－21 D.x=21 ７、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ ＝a2 ，则三棱锥P －BDQ 的体积为 （ ）333 D.不确定 ８、以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ）A ．367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18385９、在三角形ＡＢＣ中，如果2226c b a =+则（C B A tan )cot cot +的值等于（ ）Ａ.51 B. 52 C. 71 D.72 １０、身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有 ( ）A 、48种B 、72种C 、78种D 、84种 二、填空题11、三次函数()x f 的图像过原点，且与x 轴相切于非原点的一点，若1-=x 时()x f 有极值-1，则()x f =12、已知直线01=++by ax 与圆5022=+y x 有公共点，且横坐标纵坐标均为整数，则这样的直线共有 ．13、在公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中，若n S 是{}n a 的前n 项和，则数列304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则有＝ 14、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）. 15、在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上 和 。
2018年高考数学浙江卷(含答案与解析)
【解析】由 可得 ，即 ，即 ，如图，由几何意义得，b的终点B在以F为圆心，半径为1的圆上运动，a的终点A在射线OP上，当点B为点F到OP的垂线与圆F的交点时， 最小，即
【考点】平面向量的运算及几何意义
10.【答案】B
【解析】由 结构，想到常用对数放缩公式 ，所以 ，即 .若 ，则 即 而 ，故 ，即与 矛盾，所以 ，所以选B
1.已知全集 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
2.双曲线 的焦点坐标是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是（）
A.2B.4C.6D.8
4.复数 ( 为虚数单位)的共轭复数是（）
A. B. C. D.
5.函数 的图象可能是（）
AB
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分14分）
已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若角 满足 ，求 的值.
19．（本小题满分15分）
如图，已知多面体 ， ， ， 均垂直于平面 ， ， ， ， .
柱体的体积公式： ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高.
锥体的体积公式： ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高.
球的表面积公式： ，其中 表示球的半径.
球的体积公式： ，其中 表示球的半径.
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【考点】直线与椭圆的位置关系以及平面向量等知识
2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷理科数学word解析版
密
号 场 不考
订
装号 证 考 准
只
卷 名 姓
此
级 班
绝密 ★ 启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷
理科数学
注意事项： 1 、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自
己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2 、回答第Ⅰ卷时， 选出每小题的答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
7．执行如下图的程序框图，若输入 a 的值为 2，则输出 S的值为（
）
开始
输入 a
S 1,k 1
SS a k1
k≤4？
是
k k1
否 输出 S 结束
A ． 3.2
B． 3.6
C． 3.9
D． 4.9
【答案】 C
【解析】 运行框图中的程序可得
① k 1 ， S 1 2 2 ，不满足条件，继续运行； 2
② k 2 ， S 2 2 = 8 ，不满足条件，继续运行； 33
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3 、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4 、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
a 1．已知 a R ， i 为虚数单位．若复数 z a i 是纯虚数．则 的值为（
8．已知函数 f x 在定义域 0， 上是单调函数， 若对于任意 x 0， ，都有 f f x 1 2 ， x
则 f 1 的值是（
）
5
A．5
B．6
C． 7
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2018全国卷高考数学最后一讲一、最新高考信息分析1.命题要求的变化2018年全国新课标数学学科《考试大纲》和《考试说明》文理科和2017年对比，在内容、能力要求、时间、分值（含选修比例）、题型题量、包括考试说明后面的题型示例等几个方面都没有发生变化.但从教育部的相关信息，有以下几点改变：（1）2018高考数学将把考查逻辑推理素养作为重要任务，以数学知识为载体，考查学生理性思维、严格推理的能力；（2）通过多种渠道渗透数学文化，如有的试题将通过数学史展示数学文化的民族性与世界性；（3）通过揭示知识的产生背景和形成过程，体现数学的实用性和创新性；（4）通过对数学思维方法的总结、提炼，呈现数学的思想性.2．新课标全国卷数学试卷的命题特点（1）试题的设计理念体现“大稳定、小创新、重运算、考思维”。
（2）坚持对五能力两意识的考查：五个能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力；两个意识：应用意识和创新意识；注重对数学思想与方法的考查。
（3）体现数学的基础、应用和工具性的学科特色，多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质和思维能力，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。
（4）重视回归课本，每年会借用课本中的一个图形、一个概念的注解、一个例题的思考题或一个练习题等改编包装成高考题。
2013年新课标全国卷Ⅱ考了正棱柱、正棱锥这两个概念，这两个概念课本上有注解，选考4-4的第1问考了课本上一个例题的思考题，2013年新课标全国卷Ⅰ理科的第6题借用了课本上的一个图形等。
二、高考考情报告纵观2008～2017年10年高考的试题，结合最新消息，从以下几个方面对2018年高考试题加以预测：如新课标全国卷Ⅰ卷。
理科每年必考的知识点有：复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。
理科每年常考的知识点有：常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。
理科不考知识点（即考纲不要求的知识点，人教A 版）有：象与原象、反函数（只考指数函数和对数函数的反函数）、极限、连续性、向量的平移、定比分点、高次不等式、反三角表示、流程图、正棱台、直线的到角公式与夹角公式、圆锥曲线的第二定义、椭圆和双曲线的准线、复合函数的导数仅限于形如)(b ax f +的导数、随机变量的表示没有ξ、几何证明选讲等。
文科每年必考的知识点有：集合、复数、平面向量、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（概率与统计模块）等。
文科每年常考的知识点有：常用逻辑用语、线性规划、数列、解三角形、直线与圆等。
文科不考知识点（即考纲不要求的知识点，人教A 版）有：象与原象、反函数（只考指数函数和对数函数的反函数）、极限、连续性、定积分、复合函数的导数、向量的平移、定比分点、高次不等式、反三角表示、空间向量、立体几何的各种角、正棱台、直线的到角公式与夹角公式、曲线与方程、圆锥曲线的第二定义、椭圆和双曲线的准线、排列组合、二项式、随机变量的期望、方差和分布列、正态分布、数学归纳法、几何证明选讲等。
三、高考命题预测1.集合、简易逻辑和复数：这是高考必考内容，预测18年有2～3道客观题，且一般以简单题出现。
例1：18届金典卷第一套理科N 卷1设,U R =已知集合{}2|230P x x x =--≥，{}6220<-<=x x Q ，则()Q P C U Y 为（ ）A.{}|11x x -<≤B. {}|34x x <≤C. {}|13x x -<<D.{}|11x x x ≤->或说明：新课标全国卷第1题集合常和解不等式结合考。
例2:18届金典卷第一套理科N 卷2已知()12=++i z z （i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数的模为（ ） A.23 B.12D.210 说明：复数多考基本运算和复数的几何意义。
例3:18届模拟卷第六套理科Y 卷4已知:p ()0,10-∈∃x ，0220x x <-；:q ()+∞∈∀,0a ，函数ax y tan =的最小正周期为aπ， 则真命题是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．p q ∨ D ．()p q ∨⌝ 说明：简易逻辑多考命题真假和全称命题，充分必要条件考的次数较少。
2.函数与导数：试题个数稳定在2-3个小题，一个大题. 选择题、填空题主要以考查函数的基本性质、函数图象及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也有可能与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式、解析几何（抛物线的切线）应用问题,也有可能涉及到导数新增知识积分.例4:大理一中18届第一次月考14设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=()1log 2+x -3ax+a+1(a 为常数)，则4)1(<-x f 的解集为（ ）A. ()5-，∞ B. ()∞+，5 C.()∞+，2 D.()2-，∞ 说明：函数性质的简单应用是高考常考的题型。
例5:全国第二次百万联考乙卷理科10设,(0,1)(1,)a b ∈+∞U ，定义运算：log ,log ,a bb a b a b a a b ≤⎧Θ=⎨>⎩，则（ ） A. (24)8(28)4(48)2ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ B. (24)8(48)2(28)4ΘΘ>ΘΘ>ΘΘC. (48)2(28)4(24)8ΘΘ>ΘΘ>ΘΘD. (48)2(24)8(28)4ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ 说明：指对运算或分段函数是高考考查函数极其常见又基础的题型.例6:18届模拟卷第四套理科N 卷4 设函数()e a x e e x g x (1)(--+=为自然对数的底数），定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<，若存在()()01{|1}2x x f x f x x ∈+≥-+，且0x 为函数()g x x -的1个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.⎫+∞⎪⎪⎝⎭B.)+∞C.)+∞D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭ 说明：小题函数零点和导数结合是常考的题型。
例7:18届模拟卷第四套理科N 卷21已知函数()()21ln 2f x a x x x a R =+-∈. （1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；（2）当1=a 时，若函数()()()()220112x m g x m f x x x -=<<-+有3个极值点123123,,()x x x x x x <<，证明：131ln()22x x +>-. 说明：解答题中导数试题仍以考常规问题为主,不过也会和三角函数等结合.3.数列：如果没有解答题，会有两个小题；如果有解答题，为一个大题,不出现小题.一般所占分值为10—12分。
小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n 项和公式等内容为主，属中低档题；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列为主. 理科也有可能与函数、解析、不等式、数学归纳法等结合综合考查，但可能性很小.例8:2018届湖南山西高三大联考文科12在数列{}n a 中，14(1),(1)2(1)n n n na n n n n a ++=++-+且11a =.记22ini n i a T i =+=∑，则 A.19T 能被41整除 B. 19T 能被43整除C.19T 能被51整除D. 19T 能被57整除说明：预测2018年全国Ⅰ卷文科小题将考数列,解答题第一题考解三角形. 例9:18届联考卷第三套理科卷17已知数列{}n a 满足71=a ，n n n a a 341-=+.（1）若{}n n t a 3⋅- 为等比数列，求常数t 和{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a S λ<+176对*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.说明：预测2018年全国Ⅰ卷理科解答题考数列，考查数列往往涉及到通项公式、前n 项和及恒成立问题等。
4.三角函数、解三角形与平面向量：若果有解答题，则会出现两个小题；如果没解答题则会有四个小题，一般所占分值为20-22分.若小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查（注意在实际问题中的考查）或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质.另外向量也可能与解析等知识结合考查.果例10:18届金典卷第一套理科N 卷7已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列叙述错误的是A.π127-=x 是函数的一条对称轴 B ．3πϕ=C.要得()f x 的图象，只需将函数()1cos 2222g x x x =+的图象向左平移6π个单位D.要得()1cos 2222g x x x =+的图象，只需将函数()f x 的图象向右平移12π个单位 说明：三角函数图象性质及图象平移是考查的重点。
例11:2018届全国第一次百万联考乙卷文科17△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin ,ac B A =且7cos 8A =. （1）求△ABC 的面积；（2）若a =，求△ABC 的周长.说明：预测2018年全国Ⅰ卷文科解答题考解三角形，正弦定理与余弦定理是考查的重点。
5.解析几何：一般为2小一大，所占分值为22分。
小题一般主要考查：直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解.大题一般以直线与圆曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.另外要注意对二次曲线间结合的考查，比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等.例12:18届模拟卷第四套理科N 卷20抛物线C 的方程为()20x my m =>，点()1,1P -与点0,4m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线的同一侧，Q 为抛物线C 上任意一点，PQ QF +的最小值为2.（1）求m 的值；（2）设过点)5,4(N 且斜率不为18的动直线l 交抛物线C 于B A ,两点，探究在直线4x =-上是否存在一个定点S ，使得12k k 为定值，其中21,k k 分别是直线SB SA ,的斜率.说明：预测2018年解析几何部分小题考双曲线，和椭圆，大题会考抛物线，全国卷每隔几年会考一次抛物线。