中考数学专题复习课 专题提升十二+与圆的切线有关的证明与计算(新人教版)
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∴cos∠E＝cos∠CBG＝BBGC＝2245.
【中考预测】 如图Z12－7，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是 ∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长； 图Z12－7
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
中考变形1答图
2．[2015·安顺]如图Z12－6，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径 作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；图Z12－6
(2)求cos∠E的值．
解：(1)证明：连结OD，CD.
径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE； (2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC，
中考预测答图①
∴∠ABC＝12(180°－∠BAC)＝63°.
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°. ∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°；
(3)如答图②，连结OD， ∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠BAC＝∠ODA＝54°， ∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°.
专题提升(十二) 与圆的切线有关的证明与计算
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【教材原型】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为 切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______ ．1[浙教版九下P43作业题第1(2)题]
图Z12－1
【解析】 连结OC，因为PC为⊙O的切
中考变形答图
(2)如答图②，连结BF. ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18° ，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°. 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形， ∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝72°. 由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°.
∵AB＝6，∴OA＝12AB＝3. ∴A︵D＝72π18× 0 3＝6π 5 .
中考预测答图②
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【教材原型】
已知：如图Z12－4，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O 于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线 AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)
线，所以∠PCO＝90°，
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，
所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB ＝2－1＝1.
教材原型答图
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)
已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】 已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C时，若 ∠DAC＝30°，求∠BAC的大小； (2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若 ∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
【中考预测】
如图Z12－3，在△ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交
AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，
交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE＝CE；
图Z12－3
(2)求∠CBF的度数； ︵
(3)若 AB＝6，求AD的长．
解：(1)如答图①，连结AE，∵AB是⊙O的直
图Z12－2
解：(1)如答图①，连结OC. ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l， ∴∠OCD＝90°. 由AD⊥l，得∠ADC＝90°， ∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥OC， ∴∠ACO＝∠DAC. 在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°；
①
②
图Z12－4
证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，
∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝
教材原型答图
180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂
∵BC是直径，∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，∴D是AB的中点．
又∵O为CB的中点，∴OD∥AC，
∴OD⊥EF，
中考变形2答图
∴EF是⊙O的切线；
(2)连结BG.∵BC是直径，∴∠BGC＝90°
在 Rt△ACD 中，DC＝ AC2－AD2＝ 102－62＝8， ∵AB·CD＝2S△ABC＝AC·BG，
∴BG＝ABA·CCD＝121×0 8＝458，∵BG⊥AC，EF⊥AC， ∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG，
直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】 1．如图Z12－5，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有
BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
图Z12－5
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4， ∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
Fra Baidu bibliotek
解：(1)如答图①，连结BD，
中考预测答图①
∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
∵CD平分∠ACB，
︵︵ ∴AD＝BD，∴AD＝BD. ∴Rt△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝5 2cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 2 cm；
(2)直线PC与⊙O相切． 理由：如答图②，连结OC，
中考预测答图②
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE， ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB. ∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
【中考预测】 如图Z12－7，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是 ∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长； 图Z12－7
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
中考变形1答图
2．[2015·安顺]如图Z12－6，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径 作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；图Z12－6
(2)求cos∠E的值．
解：(1)证明：连结OD，CD.
径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE； (2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC，
中考预测答图①
∴∠ABC＝12(180°－∠BAC)＝63°.
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°. ∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°；
(3)如答图②，连结OD， ∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠BAC＝∠ODA＝54°， ∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°.
专题提升(十二) 与圆的切线有关的证明与计算
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【教材原型】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为 切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______ ．1[浙教版九下P43作业题第1(2)题]
图Z12－1
【解析】 连结OC，因为PC为⊙O的切
中考变形答图
(2)如答图②，连结BF. ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18° ，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°. 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形， ∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝72°. 由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°.
∵AB＝6，∴OA＝12AB＝3. ∴A︵D＝72π18× 0 3＝6π 5 .
中考预测答图②
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【教材原型】
已知：如图Z12－4，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O 于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线 AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)
线，所以∠PCO＝90°，
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，
所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB ＝2－1＝1.
教材原型答图
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)
已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】 已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C时，若 ∠DAC＝30°，求∠BAC的大小； (2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若 ∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
【中考预测】
如图Z12－3，在△ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交
AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，
交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE＝CE；
图Z12－3
(2)求∠CBF的度数； ︵
(3)若 AB＝6，求AD的长．
解：(1)如答图①，连结AE，∵AB是⊙O的直
图Z12－2
解：(1)如答图①，连结OC. ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l， ∴∠OCD＝90°. 由AD⊥l，得∠ADC＝90°， ∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥OC， ∴∠ACO＝∠DAC. 在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°；
①
②
图Z12－4
证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，
∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝
教材原型答图
180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂
∵BC是直径，∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，∴D是AB的中点．
又∵O为CB的中点，∴OD∥AC，
∴OD⊥EF，
中考变形2答图
∴EF是⊙O的切线；
(2)连结BG.∵BC是直径，∴∠BGC＝90°
在 Rt△ACD 中，DC＝ AC2－AD2＝ 102－62＝8， ∵AB·CD＝2S△ABC＝AC·BG，
∴BG＝ABA·CCD＝121×0 8＝458，∵BG⊥AC，EF⊥AC， ∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG，
直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】 1．如图Z12－5，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有
BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
图Z12－5
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4， ∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
Fra Baidu bibliotek
解：(1)如答图①，连结BD，
中考预测答图①
∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
∵CD平分∠ACB，
︵︵ ∴AD＝BD，∴AD＝BD. ∴Rt△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝5 2cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 2 cm；
(2)直线PC与⊙O相切． 理由：如答图②，连结OC，
中考预测答图②
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE， ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB. ∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．