人教版九年级数学上册二次函数专题集

初中数学试卷

金戈铁骑整理制作

二次函数专题集

1．图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B

为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构

成△ABC，设AB=x．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：△ABC的最大面积？

2．如图，抛物线y=错误!未找到引用源。x2+bx+c经过A(－错误!未找到引用源。，0)，B （0，－3）两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，

且l与直线AB交于点D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；

（3）连接BC，求证：BC=CD．

2．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请

求出点P的坐标；

（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过

点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，

△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S

是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说

明理由．

4．如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B=60度．从初始时刻开始，点P、Q同时从A 点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规

定：点和线段是面积为O的三角形），解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是_________秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形

时x的值

是________秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

5．正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物

线y=ax2+bx－4过A、D、F三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=错误!未找到引用源。S△FQN，则判断四边形AFQM的形状；

（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=错误!未找到引用源。x2－错误!未找到引用源。x－10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．

（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？

请写出计算过程；

（3）当0＜t＜错误!未找到引用源。时，△PQF

的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不

是，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写

出解答过程．

7．如图，已知二次函数y=（x+m）2+k－m2的图象与x轴相交于两

个不同的点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴的交点为C．设△ABC

的外接圆的圆心为点P．

（1）求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标；

（2）如果AB恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于错误!未找

到引用源。，

求m和k的值．

8．已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=错误!未找到引用源。x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N．

（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；

（2）如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

9．如图，直线y=-x+4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B 两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

10．如图，抛物线y=－错误!未找到引用源。x2-x+2的顶点为

A，与y轴交于点B．

（1）求点A、点B的坐标；

（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；

（3）当PA-PB最大时，求点P的坐标．