DSP课设_基于重叠相加法圆周卷积的实现

课程设计任务书学生姓名：易杨专业班级：电信0802 指导教师：陈德军工作单位：信息工程学院题目：基于重叠相加法圆周卷积的实现初始条件：具备数字信号处理的理论知识；具备Matlab编程能力；分析重叠相加法的圆周卷积的原理；提供编程所需要的计算机一台要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、独立编写程序实现基于重叠相加法的圆周卷积2、用Matlab验证程序结果，并分析重叠相加法的圆周卷积的原理3、完成符合学校要求的设计说明书时间安排：一周，其中3天程序设计，2天程序调试指导教师签名：年月日系主任（或责任教师）签名：年月日目录摘要 (I)1 软件基础 (1)1.1 MA TLAB介绍 (1)1.2 MA TLAB的应用 (2)2 理论基础 (3)2.1 圆周卷积原理 (3)2.2重叠相加法 (4)3 程序设计 (6)3.1 程序设计思路 (6)3.2程序设计流程图 (7)3.3方案比较 (8)4 程序代码 (9)5 程序运行结果与分析 (11)心得体会 (12)参考文献 (13)摘要MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，主要用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算等领域。

本次课程设计将通过MATLAB软件进行重叠相加法圆周卷积的设计，并对其具体过程进行分析。

关键词：MATLAB 重叠相加法圆周卷积1 软件基础1.1 MATLAB介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。

它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

Matlab和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。

它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。

MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接MATLAB开发工作界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。

MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB 成为一个强大的数学软件。

在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C++ ，JA V A 的支持。

可以直接调用，用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以使用。

MATLAB具有以下特点：1.高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2.具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；3.友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；4.功能丰富的应用工具箱，为用户提供了大量方便实用的处理工具。

1.2 MATLAB的应用MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作：● 数值分析● 数值和符号计算● 工程与科学绘图● 控制系统的设计与仿真● 数字图像处理技术● 数字信号处理技术● 通讯系统设计与仿真● 财务与金融工程MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。

附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB 函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。

2 理论基础2.1 圆周卷积原理对两个N 点序列)(1n x 和)(2n x ，除了可以做线性卷积外，还有一种很重要的卷积运算，就是圆周卷积。

令则圆周卷积结果长度不变，为N 。

由上式可以得出圆周卷积与周期卷积的关系，就是有限长序列圆周卷积结果的周期延拓，等于它们周期延拓后的周期卷积。

也就是说，周期卷积的主值序列，是各周期序列主值序列的圆周卷积。

圆周卷积的实现步骤如下：⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=110110)()(11N n N N n n x n x ⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=120120)()(22N n N N n n x n x ∑∑-=-=-=-=⊗=11212121)()()()()()()(N m NN m N m n x m x m n x m x n x n x n y若)(1n x 、)(2n x 分别是长度为N 、M 的序列则)(1n x 与)(2n x 线性卷积至多M+N-1个非零值，如果L<M+N-1则周期延拓时必然会有一部分非零值发生混叠；只有当L>M+N-1时，周期延拓才不会发生混叠。

之所以讨论用圆周卷积来计算线性卷积的条件，是因为圆周卷积可在频域下利用DFT 求得，从而可采用DFT 的快速算法FFT 来计算，这样就可以利用FFT 来计算线性卷积，大大提高运算效率。

2.2重叠相加法在实际应用中利用FFT 来计算两个序列的圆周卷积从而实现计算其线性卷积，但是常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需要补很多的零点，这样就需要打的存储量，运算时间也会变长。

所以常用到的解决方法有两种，其中一种就是重叠相加法。

h(n)长度为N ，x(n)长度为无限长， x(n)取M 点，且与N 尽量接近∑∞-∞==k k n x n x )()()()()(kM n R n x n x M k -= x(n)与h(n)的卷积为)(*)()(*)()(n x n h n h n x n y k k ∑∞-∞===)()](*)([n y n h n xk k kk ∑∑∞-∞=∞-∞===重叠相加法的卷积示意图如下：重叠相加法的步骤如下（1）将h(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L 的FFT ，得到 H(k)。

（2）分别将xk(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L 的FFT ，得到 Xk(k) （3）计算)()()(k H k X k Y k k =，并求长为L 的反变换，即)]([)(k Y IFFT n y k k =（4）将yk(n)的重叠部分相加，最后得到结果为∑∞-∞==k k n y n y )()(3 程序设计由以上原理可以设计程序利用FFT算法来实现基于重叠相加法的圆周卷积。

3.1 程序设计思路函数juanji(x1,x2,L)的设计：（1）x1(n)进行N点快速傅里叶变换得X1k（2）x2(n)进行N点快速傅里叶变换得X2k（3）进行频域相乘Yk=X1k*X2k（4）对Yk进行反变换得到时域卷积结果y(n)函数chongdie（x,h,N）的设计：方案1：（1）首先取长序列x(n)进行分段的长度N，以使其分段后的长度与较短的相近（2）确定圆周卷积的周期L（3）填充序列使得循环中对序列的索引不会超出范围（4）确定分段数K（5）对序列进行分段调用juanji()函数计算圆周卷积（6）各段重叠相加（7）取出实际的输出序列方案2：（1）首先取圆周卷积的周期L（即进行L点的快速傅里叶变换）（2）计算每一分段的大小N（3）填充序列使得循环中对序列的索引不会超出范围（4）计算分段数K（5）对序列进行分段调用juanji()函数计算圆周卷积（6）各段重叠相加（7）取出实际的输出序列3.2程序设计流程图整体程序包含主程序与卷积函数、重叠相加函数两大部分。

函数juanji()流程图如下此函数用于对X1和X2两序列进行快速傅里叶变换后进行乘积，之后再进行反变换后恢复到时域结果。

chongdie （x,h,N ）函数流程图如下：方案1： 方案2：3.3方案比较方案1和方案2的区别在于：在方案1中由已知的长序列x(n)分段大小N 、短序列长度M 依据公式计算L N+M-1圆周卷积周期L 。

而在方案2中由已知的圆周卷积周期L 、短序列长度M 依据公式计算长序列x(n)的分段大小。

比较这两种方案可以知道，方案1中如果L 直接取L=N+M-1，则L 的值不一定是2的n 次方，而接下来的要进行的L 点快速傅里叶变换中，L 的值需要为2的n 次方才能正确计算。

所以方案1的必须要求取恰当的N 值以使L 点满足要求。

方案2中可以直接取L 为恰当的值从而满足快速傅里叶变换的要求，所以方案2比方案1的适用范围更大。

4 程序代码主程序：x1=[1,2,3,4,5,5,4,3,2,1];x2=[1,0,1];L=8;y=chongdie(x1,x2,L);s=1:10;subplot(2,2,1);stem(s,x1)r=1:3;subplot(2,2,2);stem(r,x2)u=1:13;subplot(2,2,3);stem(u,y)函数juanji()：function y=juanji(x1,x2,L)if length(x1)>L %如果x1长度大于L则产生错误error('L must not be less than length of x1');endif length(x2)>L %如果x2长度大于L则产生错误error('L must not be less than length of x2');endX1k=fft(x1,L); %对x1进行L点FFT计算X2k=fft(x2,L); %对x2进行L点FFT计算Yk=X1k.*X2k; %频域相乘y=ifft(Yk); %反变换得卷积结果if (all(imag(x1)==0))&(all(imag(x2)==0))y=real(y);end函数chongdie（）：方案1：function[y]=chongdie(x,h,N)Lenx=length(x); %取x(n)的长度M=length(h); %取h(n)的长度L=N+M-1; %计算圆周卷积的周期L使其不发生混叠x=[x,zeros(1,N-1)]; %填充序列使得循环中对序列的索引不会超出围K=floor(Lenx/N);y=zeros(1,Lenx+L-1); %确定分段数Kfor i=0:1:Kix=i*N;x_seg=x(ix+1:ix+N); %将x(n)分段y_seg=juanji(x_seg,h,L); %调用函数juanji()计算圆周卷积y(ix+1:ix+L)=y(ix+1:ix+L)+y_seg(1:L); %各段重叠相加endy=y(1:Lenx+M-1); %取出实际的输出序列方案2：function[y]=chongdie(x,h,L)Lenx=length(x); %取x(n)的长度M=length(h); %取h(n)的长度N=L-M+1; %计算分段大小Nx=[x,zeros(1,N-1)]; %填充序列使得循环中对序列的索引不会超出围K=floor(Lenx/N); %确定分段数Ky=zeros(1,Lenx+L-1);for i=0:1:Kix=i*N;x_seg=x(ix+1:ix+N); %将x(n)分段y_seg=juanji(x_seg,h,L); %调用函数juanji()计算圆周卷积y(ix+1:ix+L)=y(ix+1:ix+L)+y_seg(1:L); %各段重叠相加endy=y(1:Lenx+M); %取出实际的输出序列5 程序运行结果与分析输入序列和周期Lx1=[1,2,3,4,5,5,4,3,2,1];x2=[1,0,1];L=8;运算结果：1 2 4 6 8 9 9 8 6 4 2 1由程序运行结果与线性卷积结果比较可以知道程序计算结果正确的。