序列的卷积和快速卷积运算的编程实现

课程设计任务书

学生姓名：韩新颖专业班级：电信1203班

指导教师：阙大顺王虹工作单位：信息工程学院

题目: 序列的卷积和快速卷积运算的编程实现

初始条件：

1.Matlab6.5以上版本软件；

2.课程设计辅导资料：“Matlab语言基础及使用入门”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab及在电

子信息课程中的应用”等；

3.先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）

1.课程设计时间：1周（课内实践）；

2.课程设计内容：序列的卷积和快速卷积运算的编程实现，具体包括：直接卷积及应用、快速卷积方

法及实现、两者的比较分析等；

3.本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设

计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结；

4.课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括：

①目录；

②与设计题目相关的理论分析、归纳和总结；

③与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析；

④程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结；

⑤课程设计的心得体会（至少500字）；

⑥参考文献；

⑦其它必要内容等。

指导教师签名：年月日

系主任（或责任教师）签名：年月日

摘要

卷积在数字信号处理中有着重要的作用。然而直接计算卷积的运算量非常大，它与序列长度的平方成反比，因此制约了卷积的应用。快速卷积是实现卷积的一种快速算法，减少了运算量，节约了时间。通过分析我们可在MATLAB里编程实现。

关键词：卷积；快速卷积；MATLAB。

目录

1、直接卷积及应用 (1)

1.1卷积的定义 (1)

1.2、卷积的运用 (1)

2、快速卷积方法及实现 (2)

2.1快速卷积运算原理 (2)

2.2实现方法 (3)

2.2.1重叠相加法 (3)

2.2.2重叠保留法 (3)

3、直接卷积和快速卷积的分析比较 (4)

4、程序设计及仿真结果分析 (4)

5、心得体会 (11)

6、参考文献 (12)

1、直接卷积及应用

1.1卷积的定义

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。1.2、卷积的运用

卷积是数字信号处理中最常见，也是最重要的运算之一，利用卷积可以实现相关计算和FIR滤波等等，正因为卷积如此重要，所以半个世纪以来，学者们提出了多种不同卷积实现结构。

设输入信号为x（t）,其频谱函数为X（jΩ）该信号通过滤波器h（t）后，其输出信号y（t）的频谱函数Y（jΩ）是频谱函数x（jΩ）与滤波器的频谱函数H（jΩ）的乘积，即：

Y（jΩ）=X（jΩ）H（jΩ）

而在时域，输出信号y(t)实际是输入信号x(t)与滤波器h(t)的卷积，就是说频谱函数的乘积相当于时间函数的卷积，反之亦然，即：

y(t)=x(t)*h(t)

在数字信号处理系统中，无论在时域还是频域都离不开卷积运算和快速傅里叶运算，Matlab具有强大的矩阵运算能力。方便实用的绘图功能和语言的高度集成性。在DSP开发中，使用Matlab可以快速对系统进行仿真运算。

2、快速卷积方法及实现

2.1快速卷积运算原理

在信号处理中，许多具体的应用是以线性卷积为基础的。当满足一定条件时，可以用圆周卷积来计算线性卷积。由圆周卷积定理知道，圆周卷积可以借助DFT来运算，因此DFT的快速算法FFT就可以用来计算线性卷积。

设x1（n）与x2（n）分别是长度为N与M的有限长序列，它们的线性卷积为y l（n），L点的圆周卷积为y c（n），它们的关系为

y c（n）=∑y l(n+rL)R l(n)

由上式可知圆周卷积是线性卷积以L为周期进行延拓后，再取主值序列的结果。当满足L>M+N-1时，周期延拓不发生混叠，就可以用圆周卷积来计算线性卷积。由圆周卷积定义可知，可以用FFT分别求出x1（n）与x2（n）的L点DFT X1（k）与X2（k），即

X1（k）=DFT[ x1(n）],

X2（k）=DFT[ x2(n) ],

再用IFFT计算X1(k）X2(k)的L点IDFT得y c（n），也就是x1（n）与x2（n）的线性卷积为y l(n),即

y l(n)=y c(n)=IDFT[X1(k)·X2（k）]

下图为上述过程的示意图

x1

(n)

y c(n）=y l(n)

x2(n)

2.2实现方法

在实际应用中，常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需补很多的零点，这样就需要大的存储量，运算时间也会变长。常用的解决方法有两种，一是重叠相加法，另一种是重叠保留法。

2.2.1重叠相加法

设序列x1（n）为无限长序列，序列x2（n）是长度为M的序列，由x1(n)构成长度为N的有限长序列

x1k(n)= x1(n), kN

= 0 其他（式2.1）

因此

x1k(n)= ∑x1k(n) （式2.2）

将式子代入卷积公式有

Y(n)=x1(n)*x2(n)=x2(n)* ∑x1k(n)

=∑x1k(n)*x2(n)= ∑y k(n) （式2.3）

式中，

y k(n)=x2(n)*x k(n)= ∑x2(m)x k(n-m) （式2.4）

式（2.3）表示，计算x1(n)与x2（n）的线性卷积y(n)时，可以先分段计算y k(n),然后再叠加起来即可。因为y k(n)的长度为M+N-1，因此y k（n）的后N-1个值与y k+1(n)的前N-1个值重叠，因此必须把y k(n)的后N-1个值与y k+1（n）前的N-1个值相加，因为称为重叠相加法。

2.2.2重叠保留法

为了克服重叠相加法中分段卷积后任然需要相加的缺点，人们提出了重叠保留法。与重叠相加法不同的是，在对无限长序列x1(n)的后M-1个抽样值与后一段x k+1(n)的前M-1个抽样值相同，且分段的长度选圆周卷积的长度L，这样形成的分段序列为