模式识别-贝叶斯决策理论和应用
模式识别-第2讲-贝叶斯决策理论1
随机变量：随机事件的数量表示； 离散随机变量：取值为离散的随机变量 ；
连续随机变量：取值为连续的随机变量 ；
9
频率和概率
频率：试验在相同的条件下重复N次，其 中M次事件A发生，则A发生的频率为： fN(A) = M / N；
概率：当N很大时，频率会趋向一个稳定 值，称为A的概率：
P A lim f N A
j 1 2
得到的条件概率P ωi | x 称为状态的后验概率。 20
似然 先验 后验(分布或密度) 全概率
类条件概率密度=似然 21
基于后验分布的判别规则
存在一个观察值x(特征) 如果P(1 | x) > P(2 | x) 如果P(1 | x) < P(2 | x) 类别状态= 1 类别状态 = 2
全概率公式
互不相容事件：如果试验时，若干个随机 事件中任何两个事件都不可能同时发生， 则称它们是互不相容的。 全概率公式：若事件只能与两两不相容的 事件A1, A2,…, AN之一同时发生，则有：
P B P Ai P B Ai
i 1
N
15
贝叶斯公式
离散形式：A, B为离散随机变量：
j 1 c
观察值 x 是随机向量，不同的观察值 x ，采取 决策i时，其条件风险的大小是不同的。所以， 究竟采取哪一种决策将随x的取值而定。 决策 看成随机向量 x 的函数，因此，它也是 一个随机变量。条件风险R(i|x)反映给定的观 察值 x ，采取决策 i时，所有类别状态下带来 风险的平均值。 34
问该细胞属于正常细胞还是异常细胞。
解：先计算后验概率： P( x 1 ) P(1 ) 0.2 0.9 P(1 x) 2 0.818 0.2 0.9 0.4 0.1 P ( x ) P ( ) j j
《模式识别》实验报告-贝叶斯分类
《模式识别》实验报告---最小错误率贝叶斯决策分类一、实验原理对于具有多个特征参数的样本（如本实验的iris 数据样本有4d =个参数），其正态分布的概率密度函数可定义为112211()exp ()()2(2)T d p π-⎧⎫=--∑-⎨⎬⎩⎭∑x x μx μ 式中，12,,,d x x x ⎡⎤⎣⎦=x 是d 维行向量，12,,,d μμμ⎡⎤⎣⎦=μ是d 维行向量，∑是d d ⨯维协方差矩阵，1-∑是∑的逆矩阵，∑是∑的行列式。
本实验我们采用最小错误率的贝叶斯决策，使用如下的函数作为判别函数()(|)(),1,2,3i i i g p P i ωω==x x （3个类别）其中()i P ω为类别i ω发生的先验概率，(|)i p ωx 为类别i ω的类条件概率密度函数。
由其判决规则，如果使()()i j g g >x x 对一切j i ≠成立，则将x 归为i ω类。
我们根据假设：类别i ω，i=1,2,……,N 的类条件概率密度函数(|)i p ωx ，i=1,2,……,N 服从正态分布，即有(|)i p ωx ~(,)i i N ∑μ，那么上式就可以写为1122()1()exp ()(),1,2,32(2)T i i dP g i ωπ-⎧⎫=-∑=⎨⎬⎩⎭∑x x -μx -μ对上式右端取对数，可得111()()()ln ()ln ln(2)222T i i i i dg P ωπ-=-∑+-∑-i i x x -μx -μ上式中的第二项与样本所属类别无关，将其从判别函数中消去，不会改变分类结果。
则判别函数()i g x 可简化为以下形式111()()()ln ()ln 22T i i i i g P ω-=-∑+-∑i i x x -μx -μ二、实验步骤（1）从Iris.txt 文件中读取估计参数用的样本，每一类样本抽出前40个，分别求其均值，公式如下11,2,3ii iii N ωωω∈==∑x μxclear% 原始数据导入iris = load('C:\MATLAB7\work\模式识别\iris.txt'); N=40;%每组取N=40个样本%求第一类样本均值 for i = 1:N for j = 1:4w1(i,j) = iris(i,j+1); end endsumx1 = sum(w1,1); for i=1:4meanx1(1,i)=sumx1(1,i)/N; end%求第二类样本均值 for i = 1:N for j = 1:4 w2(i,j) = iris(i+50,j+1);end endsumx2 = sum(w2,1); for i=1:4meanx2(1,i)=sumx2(1,i)/N; end%求第三类样本均值 for i = 1:N for j = 1:4w3(i,j) = iris(i+100,j+1); end endsumx3 = sum(w3,1); for i=1:4meanx3(1,i)=sumx3(1,i)/N; end（2）求每一类样本的协方差矩阵、逆矩阵1i -∑以及协方差矩阵的行列式i ∑， 协方差矩阵计算公式如下11()(),1,2,3,41i ii N i jklj j lk k l i x x j k N ωωσμμ==--=-∑其中lj x 代表i ω类的第l 个样本，第j 个特征值；ij ωμ代表i ω类的i N 个样品第j 个特征的平均值lk x 代表i ω类的第l 个样品，第k 个特征值；iw k μ代表i ω类的i N 个样品第k 个特征的平均值。
贝叶斯推理技术在模式识别中的应用研究
贝叶斯推理技术在模式识别中的应用研究贝叶斯推理技术是基于贝叶斯定理的一种推理方法，通过引入先验知识和观测数据，来更新和评估已有的假设。
贝叶斯推理在模式识别中有广泛的应用，可以用于解决模式识别中的分类、回归、聚类等问题。
本文将重点介绍贝叶斯推理技术在模式识别中的应用研究。
首先，贝叶斯推理在模式识别中的一个重要应用是分类问题。
分类问题是模式识别中的一个基本任务，即将样本分为不同的类别。
贝叶斯分类器是一种经典的分类方法，基于贝叶斯定理计算后验概率，从而确定样本所属的类别。
贝叶斯分类器在文本分类、图像分类等领域都有广泛的应用。
例如，在垃圾邮件过滤中，可以使用贝叶斯分类器根据邮件的特征信息来判断其属于垃圾邮件还是正常邮件。
其次，贝叶斯推理还可以用于回归问题。
回归问题是模式识别中的另一个重要任务，旨在寻找变量之间的函数关系。
贝叶斯回归是一种灵活的回归方法，它可以通过引入先验分布来约束回归模型的参数，从而降低过拟合风险。
贝叶斯回归在金融风险预测、销售预测等领域具有广泛的应用。
例如，在金融领域中，可以使用贝叶斯回归来预测股票的价格变动。
此外，贝叶斯推理还可以用于聚类问题。
聚类问题是模式识别中的一个重要任务，旨在将样本分组为具有类似特征的簇。
贝叶斯聚类是一种基于概率模型的聚类方法，通过引入先验知识和观测数据，来估计每个样本属于每个聚类的概率，从而确定每个样本所属的簇。
贝叶斯聚类在图像分割、用户行为分析等领域都有应用。
例如，在图像分割中，可以使用贝叶斯聚类来将图像中的像素分为不同的区域。
此外，贝叶斯推理还可以用于模式识别中的特征选择和特征提取。
特征选择是从原始数据中选择最具有代表性的特征，而特征提取是通过其中一种变换方法将原始数据映射到一个更加有区分性的特征空间。
贝叶斯推理可以结合先验知识和观测数据，来对特征进行选择和提取。
例如，在图像识别中，可以使用贝叶斯推理来选择最能区分不同类别的图像特征。
总结来说，贝叶斯推理技术在模式识别中有广泛的应用。
贝叶斯的原理和应用
贝叶斯的原理和应用1. 贝叶斯原理介绍贝叶斯原理是基于概率论的一种推理方法，它被广泛地应用于统计学、人工智能和机器学习等领域。
其核心思想是通过已有的先验知识和新的观察数据来更新我们对于某个事件的信念。
2. 贝叶斯公式贝叶斯公式是贝叶斯原理的数学表达方式，它可以用来计算在观察到一些新的证据后，更新对于某个事件的概率。
贝叶斯公式的表达如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示在观察到事件B之后，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的前提下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的先验概率。
3. 贝叶斯分类器贝叶斯分类器是基于贝叶斯原理的一种分类算法。
它利用已有的训练数据来估计不同特征值条件下的类别概率，然后根据贝叶斯公式计算得到新样本属于不同类别的概率，从而进行分类。
贝叶斯分类器的主要步骤包括：•学习阶段：通过已有的训练数据计算得到类别的先验概率和特征条件概率。
•预测阶段：对于给定的新样本，计算得到其属于不同类别的概率，并选择概率最大的类别作为分类结果。
贝叶斯分类器的优点在于对于数据集的要求较低，并且能够处理高维特征数据。
但是，贝叶斯分类器的缺点是假设特征之间相互独立，这在实际应用中可能不符合实际情况。
4. 贝叶斯网络贝叶斯网络是一种用有向无环图来表示变量之间条件依赖关系的概率图模型。
它可以用来描述变量之间的因果关系，并通过贝叶斯推理来进行推断。
贝叶斯网络的节点表示随机变量，边表示变量之间的条件概率关系。
通过学习已有的数据，可以构建贝叶斯网络模型，然后利用贝叶斯推理来计算给定一些观察值的情况下，其他变量的概率分布。
贝叶斯网络在人工智能、决策分析和医学诊断等领域有广泛的应用。
它可以通过概率推断来进行决策支持，帮助人们进行风险评估和决策分析。
5. 贝叶斯优化贝叶斯优化是一种用来进行参数优化的方法。
在参数优化问题中，我们需要找到使得某个性能指标最好的参数组合。
贝叶斯网络在模式识别方面的应用研究
贝叶斯网络在模式识别方面的应用研究随着人工智能和数据科学领域的不断发展，贝叶斯网络在模式识别方面的应用也越来越广泛。
贝叶斯网络是一种用于建立概率图的工具，可以用于建立复杂的关系模型，并进行推理和预测。
本文将介绍贝叶斯网络的基本原理和在模式识别中的应用。
一、贝叶斯网络的基本原理贝叶斯网络是由一组节点和边构成的有向无环图，其中节点表示变量，边代表变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络利用概率图模型表示的条件概率分布，通过对概率图的边界条件进行设定，可以进行推理和预测。
在贝叶斯网络中，每个节点表示一个随机变量，节点的状态可以是离散的也可以是连续的。
节点之间通过有向边相连，边代表变量之间的依赖关系。
每个节点的状态取决于其父节点的状态。
对于节点X和其父节点集合Pa(X)，其概率分布可以表示为P(X|Pa(X))。
这个条件概率可以通过计算来得到，其中Pa(X)是节点X的父节点集合。
贝叶斯网络通过联合分布的建立，可以进行推理和预测。
例如，给定部分节点的值，可以通过贝叶斯网络计算其他变量的概率分布。
或者，如果我们知道某些变量的值，可以通过贝叶斯网络来预测其他变量的分布。
二、贝叶斯网络在模式识别中的应用贝叶斯网络在模式识别中的应用很广泛，包括语音识别、图像识别、文本分类等。
本节将以图像识别为例，介绍贝叶斯网络在模式识别中的应用。
1. 图像分类图像分类是计算机视觉领域的一个重要课题，其目的是将图像分为预定义的一些类别。
与传统的机器学习算法相比，贝叶斯网络的优势在于可以考虑到输入数据之间的相关性。
在图像识别中，我们使用贝叶斯网络来建立一个模型，表示输入图像和类别之间的关系。
对于给定的图像，我们可以利用贝叶斯网络来计算其属于每个类别的概率分布，从而进行分类。
2. 物体检测物体检测是计算机视觉领域的另一个重要课题，其目的是在图像中找到特定的目标。
贝叶斯网络可以用于建立一个物体检测模型，在这个模型中，我们可以把物体的位置和大小作为随机变量，使用贝叶斯网络来建立物体位置和大小与输入图像之间的关系。
贝叶斯网络在模式识别中的应用
贝叶斯网络在模式识别中的应用随着科技不断发展，模式识别技术已经成为人工智能领域的一个重要分支，广泛应用于自然语言处理、图像识别、信号处理等方面。
模式识别的目的是通过对数据的学习和分析，寻找出数据中的规律和潜在关系，为后续的预测和决策提供有力支持。
其中，贝叶斯网络作为一种强大的工具，正在被越来越多的研究者所关注和采用。
一、了解贝叶斯网络的原理贝叶斯网络是一种基于概率模型的图结构，用于描述变量之间的概率关系。
其中，每个节点表示一个变量，边表示变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络可以被看作是一种特殊的有向无环图（DAG），在这个图中，每个节点的状态都是由其父节点状态的概率分布决定的。
一个贝叶斯网络可以由两部分组成：结构部分和参数部分。
结构部分是由节点和边组成的网络拓扑结构，用来表示变量的依赖关系。
而参数部分则是对每个节点的条件概率分布进行估计，通过一个已知的数据样本来得到。
二、作为一种概率推理模型，贝叶斯网络在模式识别中有着广泛的应用。
一方面，它可以被用来对新的样本进行分类，另一方面，它也可以用来进行特征选择和模型构建。
例如，在图像识别中，可以利用贝叶斯网络对图像进行分类。
假设现在要对一个图像进行分类，那么首先需要确定图像中的特征。
这些特征可以是像素的明暗度、色彩、纹理等等。
然后，基于已知数据，可以通过贝叶斯网络建立一个分类模型。
对于任何新的图像，可以利用这个模型对其进行分类，实现自动化的图像识别。
此外，贝叶斯网络也可以被应用于信号处理领域中的故障诊断。
例如，在汽车工业中，可以利用贝叶斯网络对车辆发生的故障进行诊断。
将车辆的各种传感器数据输入给贝叶斯网络模型，该模型可以自动地检测故障，并给出相应的诊断结果。
这种方法不仅降低了人工的诊断成本，而且也提高了诊断结果的准确率。
三、贝叶斯网络的优势和局限性贝叶斯网络作为一种强大的工具，在模式识别中具有很多优势。
首先，它可以帮助我们理解复杂模型中各变量之间的关系。
其次，它可以有效地处理不完整或噪声数据，从而提高模型的精度和鲁棒性。
模式识别-3-贝叶斯决策理论
通过对细胞的再观察，就可以把先验概率转化为后验概率， 利用后验概率可对未知细胞x进行识别 。
若P(1 x) P(2 x), 则x 1 若P(1 x) P(2 x), 则x 2
P( i x)
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
P(1 x) P(2 x)
设N个样本分为两类ω1，ω2。每个样本抽出n 个特征， x =（x1， x2， x3，…， xn）T 判别函数： g ( x) g1 ( x) g 2 ( x)
x
对x再观察：有细胞光密度特征 ,有类条件概率密度: P(x/ωi) i=1,2,…，如右上图所示。 利用贝叶斯公式 ：
P(i x) P( x i ) P(i )
P( x ) P( )，（也称为后验概率）
j 1 j j
2
通过 对细胞的再观察，就可以把先验概率转化为后验概 率，利用后验概率可对未知细胞x进行识别。
随机特征向量 在现实世界中，对于许多客观现象的发生，就 每一次观察和测量来说，即使在基本条件保持 不变的情况下也具有不确定性。 只有在大量重复的观察下，其结果才能呈现出 某种规律性，即对它们观察到的特征具有统计 特性。 此时，特征向量不再是一个确定的向量，而是 一个随机向量。 因此，只能利用模式集的统计特性来分类，以 使分类器发生错误的概率最小。
P(x 1) P(2) (4)g(x) ln ln , (取对数方法) P(x 2) P(1)
1 2.决策规则：(1)P(1 x) P(2 x) x 2
1 (2)P(x 1)P(1) P(x 2)P(2) x 2 1 P(2) P(x 1) (3) x P(x 2) P(1) 2 1 P(x 1) P(2) (4)g(x) ln ln x 2 P(x 2) P(1)
模式识别-贝叶斯决策理论和应用
模式识别理论及应用
Pattern Recognition - Methods and Application
第二章 贝叶斯决策理论
模式识别与神经网络
内容目录
第二章 贝叶斯决策理论
2.1 引言
2.2 基于判别函数的分类器设计
2.3 基于最小错误率的Bayes决策
2.4 基于最小风险的Bayes决策
1,2, ,i ,c
第二章 Bayes决策理论
4
决策
引言
把x分到哪一类最合理？理论基础 之一是统计决策理论
决策：是从样本空间S，到决策空 间Θ的一个映射，表示为 D: S --> Θ
第二章 Bayes决策理论
5
决策准则
引言
评价决策有多种标准，对于同一个问题，采 用不同的标准会得到不同意义下“最优”的 决策。
第二章 Bayes决策理论
20
决策的错误率（4）
最小错误率 决策
设t为两类的分界面，则在特征向量x是一维 时，t为x轴上的一点。两个决策区域: R1~(-∞，t)和R2~(t，+∞)
P(e) P(x R1,2 ) P(x R2,1) P(2 )P(x R1 | 2 ) P(1)P(x R2 | 1)
0.2 0.1 0.4
0.818
j 1
P(2 | x)
P(2 ) p(x | 2 )
2
P( j ) p(x | j
)
0.2
0.4 0.9
0.1 0.4
0.1
0.182
j 1
j argmax P(i | x) 1
模式识别课件 第二章 贝叶斯决策论
• 2.3 最小误差率分类
• 当损失函数简化到所谓的“对称损失”或“0-1损失” 函数
i, j 1,2,c
0 ( i | j ) 1
i j i j
• 这个损失函数将0损失赋给一个正确的判决，而将一 个单位损失赋给任何一种错误判决，因此所有误判都是 等价的。与这个损失函数对应的风险就是平均误差概率。
i ;
b
左图说明，如果 引入一个0-1损失 或分类损失，那么 判别边界将由阈值 a 决定；而如果 损失函数将模式 2 判为 1 的惩罚大于 反过来情况，将得 到较大的阈值 使 b 得R1变小
2.3.1 极小极大化准则（先验概率未知情形） • 有时我们需要设计在整个先验概率范围内都能很好操作的 分类器。一种合理的设计方法就是使先验概率取任何一种
2
？
通常： (2,1 1,1 ) 0 (1,2 2,2 ) 0
结合贝叶斯公式，用先验概率与条件密度来表示 后验概率，等价规则为 如果 (2,1 1,1 ) P( x | 1 ) P(1 ) (1, 2 2,2 ) P( x | 2 ) P(2 )
p( x | i ) P(i ) p( x | j ) P( j )
j
g i ( x) P(i | x)
gi ( x) ln p( x | i ) ln P(i )
• 尽管判别函数可写成各种不同的形式，但是判决规则是相同的。 每种判决规则都是将特征空间划分c个判决区域， R1 , Rc 如果对于所有的 j i ，有 gi ( x) g j ( x) 那么x属于 Ri 。 要求我 们将x分给 i 。此区域由判决边界来分割，其判决边界即判决
注 : 假定的类条件概率密度函数图,显示了模式处于类别 i 时观察某 个特定特征值 x 的概率密度.如果 x 代表了鱼的长度,那么这两条曲线可 描述两种鱼的长度区别.概率函数已归一化,因此每条曲线下的面积为1
统计贝叶斯方法在决策分析中的应用
统计贝叶斯方法在决策分析中的应用统计贝叶斯方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，它在决策分析中具有广泛的应用。
贝叶斯方法的核心理念是将先验信息与观测数据相结合，通过不断迭代更新概率分布，得出对未知参数或未来事件的后验概率分布。
本文将探讨统计贝叶斯方法在决策分析中的应用，并讨论其优势和局限性。
一、贝叶斯决策分析简介贝叶斯决策分析是一种以概率为基础的决策分析方法。
它允许决策者在不确定的环境中，通过将概率模型与决策模型相结合，做出最优的决策。
贝叶斯决策分析通常包括以下几个步骤：1. 收集信息：获取相关的数据和先验知识。
2. 确定决策模型：定义决策变量和目标函数，建立决策模型。
3. 建立概率模型：根据先验知识和观测数据，建立贝叶斯概率模型。
4. 更新概率分布：通过贝叶斯定理，将先验概率分布与新观测数据相结合，得到后验概率分布。
5. 做出决策：根据目标函数，选取后验概率最大的决策。
二、统计贝叶斯方法在决策分析中的应用1. 模式识别：统计贝叶斯方法在模式识别领域被广泛应用。
通过将先验概率和观测数据结合，可以有效地进行图像识别、语音识别等任务。
例如，在人脸识别中，贝叶斯方法可以通过学习先验概率和观测数据，对人脸进行准确的识别和分类。
2. 健康风险评估：统计贝叶斯方法在健康风险评估中非常有用。
通过将患病先验概率和医学检测结果相结合，可以准确地评估一个人的患病风险。
例如，在乳腺癌检测中，贝叶斯方法可以根据乳腺癌的先验概率和乳腺摄影检查结果，对患者的乳腺癌风险进行评估。
3. 金融风险管理：统计贝叶斯方法在金融风险管理领域有着重要的应用。
通过将市场数据和经济指标与先验概率相结合，可以对金融市场的风险进行准确的评估和预测。
例如，在股票市场中，贝叶斯方法可以根据股票的历史数据和市场因素，对未来股票价格的涨跌进行预测。
4. 市场营销决策：统计贝叶斯方法在市场营销决策中的应用也非常广泛。
通过将市场调研数据和消费者行为数据与先验概率相结合，可以对消费者的偏好和购买行为进行准确的分析和预测。
模式识别课件-第二章 贝叶斯决策理论
立，则将x归于 类。
几种常见的决策规则
判别函数
相对应于贝叶斯决策的判别函数
(1) = |
(2) = (│ )( )
(3) = ln + ln ( )
= , =
= , =
几种常见的决策规则
基于最小风险的贝叶斯决策
利用贝叶斯公式，分别计算后验概率
(│ )( )
=
σ= (│ )( )
. ∗ .
=
= .
. ∗ . + . 4 ∗ . 1
且对应于各类别的 i 出现的先验概率 P(i )
及类条件概率密度 p ( x | i )已知
如果在特征空间已经观察到某一个向量x, 应
该把x分到哪一类？
引言
基本符号与定义
例：医生要根据病人血液中白细胞的浓度来
判断病人是否患血液病。（两分类问题）
根据以往医生的经验知道：
患病的人，白细胞的浓度与正常人不同
正态分布函数定义及性质
概率密度函数应满足下面关系：
≥ 0 −∞ < < +∞
+∞
න
−∞
() = 1
正态分布时的统计决策
正态分布函数定义及性质
多元正态分布
1
−1
−1
=
exp{
(
−
)
Σ ( − )}
/2
1/2
2
(2) |Σ|
其中
= [ , , … , ] 是d维列向量，
= [ , , … , ] 是d维均值向量，
哈工大模式识别课件—第2章_贝叶斯决策理论
模式识别 – 贝叶斯分类器
正态分布的判别函数
• 贝叶斯判别函数可以写成对数形式：
g ix l n p xi l n P i
• 类条件概率密度函数为正态分布时：
g ix 1 2 x μ itΣ i 1 x μ i d 2 l n 2 1 2 l n Σ i l n P i
模式识别 – 贝叶斯分类器
贝叶斯分类器的错误率估计
p 2 x
p 1 x
c
Perror1pi xdx i1Ri
模式识别 – 贝叶斯分类器
例2.1
• ω对2一类大代批表人正进常行人癌。症已普知查先，验设概ω率1：类代表患癌症，
P 1 0 . 0 0 5 ,P 2 0 . 9 9 5
以一个化验结果作为特征x: {阳性，阴性}，患癌症 的人和正常人化验结果为阳性的概率分别为：
模式识别 – 贝叶斯分类器
线性分类器
• 两类问题，1维特征，先验概率不同时：
模式识别 – 贝叶斯分类器
线性分类器
• 两类问题，高维特征，先验概率不同时：
模式识别 – 贝叶斯分类器
情况三： Σ i 任意
• 判别函数可以写成：
g ix 1 2 x tΣ i 1 x μ t iΣ i 1 x 1 2 μ i tΣ i 1 μ i 1 2 ln Σ i ln P i
•将未知模式x判别为ωj类的平均风险为：
c
j x ijP i x i1
模式识别 – 贝叶斯分类器
最小平均风险判别准则
• 利用Bayes公式，构造判别函数：
gj xj x
c
jxijPxiPi i1
模式识别 – 贝叶斯分类器
贝叶斯分类器
行动（分类）
代价
决策管理-模式识别之贝叶斯决策
②变型1（消去相同的分母）
如果
P(i
| x)
max j 1,2
P
(
j
| x),
则
x i
P(i | x)
p(x | i )P(i )
c
p(x | j )P( j )
j 1
如果
p(x | i )P(i )
max j 1,2
p(x | j )P( j ),
①已知决策分类的类别数为c，各类别的状态为：
i , i 1, ..., c
②已知各类别总体的概率分布（各个类别出现 的先验概率和类条件概率密度函数）
P(i ), p(x | i ), i 1, ..., c
Bayes决策理论欲解决的问题
如果在特征空间中观察到某一个（随机） 向量 x = ( x1 , x2 ,…, xd )T
2
p( x | j )P( j
)
0.2
0.2 0.9 0.9 0.4
0.1
0.818
j1
P(2 | x) 1 P(1 | x) 0.182
属于正常细胞，注意：先验概率起主导作用
如果先验概率相等，则属于异常细胞
正确分类与错误分类
• 正确分类：将样本归属到样本本身所属的 类别
红＋黄
绿
只有当 t 取两类后验概率相等的点时，错误率才是最 小的（黄颜色区域变成零）
P(e) P(2 ) 1 p( x | 2 )dx P(1 ) 2 p( x | 1 )dx
P(2 )P2 (e) P(1 )P1 (e)
2.2.2 基于最小风险的Bayes决策
• 错误分类：将样本归属到非样本本身所属
万能的贝叶斯决策——应用总结
万能的贝叶斯决策——应用总结学完《模式识别》一课之后，收获颇多。
说实话，这门课要想学好不简单，但是老师教会我们要掌握方法，不要拘泥于大堆的公式。
方法的思想掌握了，遇到问题以后就可以开阔思路，直接拿来用了。
课上主要讲了四大块，Beyes 决策，概率密度函数估计，线性判别以及聚类和Fuzzy 模式识别。
下面就其中的Beyes 判别一项做一下应用方面的总结，所选材料均来自学校图书馆CNKI 中国学术期刊全文总库。
众所周知，Beyes 公式是统计学里一个非常重要的公式，而Beyes 决策理论方法则是统计模式识别中的一个基本方法。
根据Beyes 决策设计的分类器理论上性能最优，经常被用来作为衡量其他分类器优劣的标准。
当然，要想使用Beyes 理论进行决策，还必须满足几个条件：（1）对象的所有特征观察量，我们设为d 维特征空间，记为],,,[21d x x x d =；（2）要决策分类的类别数，我们设为c 类，用i ω来表示，},,,{21c ωωωω =Ω∈；（3）各类别总体的概率分布，即i ω出现的先验概率)(i p ω；（4）类条件概率密度)|(i x p ω。
知道以上几个条件以后，给定一个观测值x ，我们就可以根据需要利用相应的Beyes 决策规则把它分到相应的类去。
几种决策规则包括：基于最小错误率的Beyes 决策、基于最小风险的Beyes 决策、最小最大决策以及序贯分类方法等。
Beyes 决策理论是模式识别中的一个比较基础的决策方法，应用十分广泛，几乎涉及到了方方面面。
1.医学方面Beyes 决策在医学方面有非常重要的地位，主要应用在医疗诊断中。
比如我们模式识别经典课本中所例举的癌细胞判别的例子。
在医疗诊断中，许多疾病的症状比较相似，即使同一种病，病情的严重程度不同，症状更复杂（如：阑尾炎是慢性，急性还是穿孔；胃癌的早期，中期与晚期等），这就给医生的诊断带来了一定的困难。
利用Beyes 统计决策就可以很好的解决这一问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•7
•8
决策规则(decision rule)
•规则表达1 •规则表达2
•9
分类器设计
•判别 函数
分类器是某种由硬件或软件组成的“机器”：
•最小风 险
决策
基于最小错误率的Bayes决策可作为最 小风险Bayes决策的一种特殊情形。
只需要定义损失为：
•决策正确时，损失为0 决策错误时，损失为1
•31
2.5 正态分布的最小错误率Bayes决策
Bayes决策中，类条件概率密度的选择要求 ：
• 模型合理性 • 计算可行性
常用概率密度模型：正态分布
条件错误率为：
•19
决策的错误率（3）
•最小错误 率决策
Bayes最小错误率决策使得每个观 测值下的条件错误率最小因而保 证了（平均）错误率最小。
Bayes决策是一致最优决策。
•20
决策的错误率（4）
•最小错误 率决策
设t为两类的分界面，则在特征向量x是一维 时，t为x轴上的一点。两个决策区域: R1~(-∞，t)和R2~(t，+∞)
以后验概率为判决函数： 决策规则：
即选择P(ω1|x)，P(ω2|x)中最大值对应的类作 为决策结果
该决策使得在观测值x下的条件错误率P(e|x) 最小。 Bayes决策理论是最优的
•11
后验概率P (ωi| x)的计算
•最小错误 率决策
Bayes公式： 假设已知先验概率P(ωi)和观测 值的类条件分布p(x|ωi)，i=1,2
• 观测值通常是很多种因素共同作用的结果，根 据中心极限定理，服从正态分布。
• 计算、分析最为简单的模型。
•32
一元正态分布
一元正态分布及其两个重要参数：
• 均值（中心） • 方差（分散度）
•正态分布 Bayes决策
•33
多元正态分布
•正态分布 Bayes决策
观测向量：实际应用中，可以同时观测多个 值，用向量表示。多元正态分布：
• P(3100|ω1) = 2.1785e-004
• P(3100|ω2) = 5.7123e-005
• P(ω1|3100)=1.9%
• P(ω2|3100)=98.1%
医生的判断：正常
•44
2.6 讨论
基于Bayes决策的最优分类器 Bayes决策的三个前提：
• 类别数确定
• 各类的先验概率P(ωi)已知
模式识别-贝叶斯决策理 论和应用
2020年7月18日星期六
•I
•模式识别与神经网络
PL内容目录
•第二章 贝叶斯决策理论
• 2.1 引言
• 2.2 基于判别函数的分类器设计
•2.3 基于最小错误率的Bayes决策
•2.4 基于最小风险的Bayes决策
•2.5 正态分布的最小错误率Bayes决策
•2.6 讨论
• 各类的条件概率密度函数
p(x|ωi)已知
问题的转换：
• 基于样本估计概率密度 • 基于样本直接确定判别函数
•45
1) 类别的先验分布： P(ω1) = 0.5% P(ω2) = 99.5% 先验分布：没有获得观测数据（病人白细胞浓 度）之前类别的分布
•43
正态分布的Bayes决策例解
•正态分布 Bayes决策
2) 观测数据白细胞浓度分别在两种情况下的类条 件分布： P(x|ω1) ~ N(2000,1000) P(x|ω2) ~ N(7000,3000)
• 一般人群中，患病的人数比例为0.5%。
• 一个人的白细胞浓度是3100，医生应该做出怎 样的判断？
•42
正态分布的Bayes决策例解
•正态分布 Bayes决策
数学表示：用Ω表示“类别”这一随机变量 ，ω1表示患病， ω2表示不患病；x表示“ 白细胞浓度”这个随机变量。
例子中，医生掌握的知识非常充分，他知 道：
某些特殊问题，存在简单的解析表达式 。
•27
两类问题最小风险Bayes决策
•最小风 险
决策
用Bayes公式展开，最小风险Bayes决 策得到：
•28
Bayes最小风险决策例解
•最小风 险
决策
两类细胞识别问题：正常(ω1)和异常(ω2) 根据已有知识和经验，两类的先验概率为：
• 正常(ω1)： P(ω1)=0.9 • 异常(ω2)： P(ω2)=0.1 • 对某一样本观察值x，通过计算或查表得到：
损失的定义：(N类问题) 做出决策D (x)=ωi，但实际上 x ∈ωj，受到的损失定义为：
•损失矩阵 或决策表 ：
•24
期望条件风险与期望风险
•最小风 险
决策
期望条件风险：获得观测值x后，决策D(x) 造成的损失对x实际所属类别的各种可能的 平均，称为条件风险R(D(x)|x)
期望风险：条件风险对观测值x的数学期望
•41
正态分布的Bayes决策例解
•正态分布 Bayes决策
两类的识别问题：医生要根据病人血液中白 细胞的浓度来判断病人是否患血液病。
根据医学知识和以往的经验，医生知道：
• 患病的人，白细胞的浓度服从均值2000，方差 1000的正态分布；未患病的人，白细胞的浓度 服从均值7000，方差3000的正态分布；
•25
基于最小风险的Bayes决策
•最小风 险
决策
基于最小风险的Bayes决策：决策带来的损 失的（平均）风险最小
Bayes最小风险决策通过保证每个观测值下 的条件风险最小，使得它的期望风险最小， 是一致最优决策。
•决策规则 ：
•26
最小风险决策的计算
•最小风 险
决策
给定损失矩阵，算出每个决策的条件风 险，取最小的。
•正态分布 Bayes决策
两类问题正态模型的决策面：
• 决策面方程：g1(x)=g2(x) • 两类的协方差矩阵相等，决策面是超平面。
• 两类的协方差矩阵不等，决策面是超二次曲面 。
•39
正态模型的Bayes决策面
•正态分布 Bayes决策
•40
正态分布下的几种决策面的形式
•正态分布 Bayes决策
•16
图解
•最小错误 率决策
•p(x|ω1) •p(x|ω2)
•p(ω1|x) •p(ω2|x)
•类条件概率密度函数
•后验概率
•17
决策的错误率
条件错误率 ：
（平均）错误率：
•最小错误 率决策
•（平均）错误率是条件错误率的数学期 望
•18
决策的错误率（2）
•最小错误 率决策
条件错误率P(e|x)的计算: 以两类问题为例，当获得观测值x后， 有两种决策可能：判定 x∈ω1 ，或者 x∈ω2。
• 正常(ω1)： P(ω1)=0.9 • 异常(ω2)： P(ω2)=0.1 • 对某一样本观察值x，通过计算或查表得到：
p(x|ω1)=0.2， p(x|ω2)=0.4
如何对细胞x进行分类？
•15
Bayes最小错误率决策例解（2）
•最小错误 率决策
利用贝叶斯公式计算两类的后验概率：
•决策结果
•36
最小距离分类器与线性分类器
第一种特例：
判别函数的简化计算：
•正态分布 Bayes决策
•最小距离分类 器
•线性分类器
•37
最小距离分类器与线性分类器
第二种特例：
判别函数的简化计算：
•正态分布 Bayes决策
•Mahalanobis 距离
•线性分类 器
•38
正态模型的Bayes决策面
• 计算c个判别函数gi(x) • 最大值选择
•x1
•g1
•x2
•. •. •.
•xn
•g2
•. •. •.
•gc
•MAX
多类识别问题的Bayes最小错误率决策：gi(x) = P (ωi |x)
•a(x)
•10
2.3 Bayes最小错误率决策
以两类分类问题为例：已知先验分布P(ωi)和 观测值的类条件分布p(x|ωi)，i=1,2 问题：对某个样本x，x∈ ω1? x∈ ω2？
D: S --> Θ
•5
决策准则
•引
言
评价决策有多种标准，对于同一个问题，采 用不同的标准会得到不同意义下“最优”的决 策。
Bayes决策常用的准则：
• 最小错误率准则
• 最小风险准则
• 在限定一类错误率条件下使另一类错误率 为最小的准则
• 最小最大决策准则
•6
2.2 基于判别函数的分类器设计 判别函数 (discriminant function)：
•12
公式简化
比较大小不需要计算p(x)：
•最小错误 率决策
•13
公式简化
对数域中计算，变乘为加：
•最小错误 率决策
•判别函数中与类别i无关的项，对
于类别的决策没有影响，可以忽略
•14
Bayes最小错误率决策例解
•最小错误 率决策
两类细胞识别问题：正常(ω1)和异常(ω2) 根据已有知识和经验，两类的先验概率为：
•34
多元正态分布的性质
参数μ和Σ完全决定分布 不相关性等价于独立性 边缘分布和条件分布的正态性 线性变换的正态性 线性组合的正态性
•正态分布 Bayes决策
•35
正态分布的最小错误率Bayes决策
观测向量的类条件分 布服从正态分布：
判别函数的计算：
•正态分布 Bayes决策