数字信号处理第6章 有限长单位脉冲响应(FIR)
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有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法-第一节
在通信系统中的应用
信号调制与解调
频分复用
FIR滤波器在通信系统的信号调制与解 调过程中起到关键作用，能够实现信 号的频谱搬移。
FIR滤波器可以实现频分复用，将多个 信号调制到不同的频段上，实现多路 信号同时传输。
信道均衡
在通信过程中，信号经过信道时会受 到各种干扰和失真，FIR滤波器可以用 于信道均衡，减小信号失真。
特点
稳定性好、易于实现、无递归结 构、相位线性等。
FIR滤波器的应用领域
01
02
03
信号处理
FIR滤波器广泛应用于信 号去噪、滤波、增强等处 理。
图像处理
在图像处理中，FIR滤波 器用于图像平滑、锐化等 操作。
通信系统
FIR滤波器用于通信系统 的调制、解调、信道均衡 等。
FIR滤波器与IIR滤波器的比较
群时延
群时延
群时延是描述滤波器对信号延迟影响 的参数。在通信和音频处理中，群时 延的稳定性非常重要，在设计FIR 滤波器时考虑使用特定的窗函数或优 化算法，以减小信号通过滤波器时的 延迟。
幅度响应
幅度响应
幅度响应描述了滤波器对不同频率信号的衰减程度。理想的幅度响应应该是对 所有频率成分具有相同的衰减，但在实际中很难实现。
VS
总结词：计算量较小，需要较高的存 储空间和通信开销，适用于大规模数 据和分布式系统。
05
FIR滤波器的应用实例
在音频处理中的应用
音频信号降噪
FIR滤波器能够有效地去除 音频信号中的噪声，提高 音频质量。
音频压缩
通过FIR滤波器对音频信号 进行压缩，可以减小音频 文件的大小，便于存储和 传输。
最优化方法
最优化方法是一种基于数学优化的FIR滤波器设计方法， 其基本思想是通过优化算法来求解FIR滤波器的系数，
fir 有限冲激响应
fir 有限冲激响应有限冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）是一种常见的数字滤波器结构。
在数字信号处理领域，滤波器用于对信号进行处理，提取感兴趣的频率成分或去除不需要的频率成分。
而FIR滤波器是一种线性相位滤波器，其特点是具有有限长度的冲激响应。
FIR滤波器的核心思想是通过一系列的加权和延时操作对输入信号进行处理。
这些加权系数决定了滤波器的频率响应特性。
而冲激响应则是指当输入信号为一个单位冲激函数时，滤波器的输出响应。
FIR滤波器的冲激响应可以通过离散时间线性系统的卷积运算得到。
假设FIR滤波器的长度为N，那么其冲激响应可以表示为一个长度为N的序列。
具体计算方法是将单位冲激函数输入到FIR滤波器中，得到的输出序列就是滤波器的冲激响应。
由于FIR滤波器的冲激响应是有限长度的，因此其具有一些优点。
首先，由于冲激响应是有限的，滤波器的输出只与有限个过去的输入有关，使得FIR滤波器的实现相对简单。
其次，有限冲激响应意味着滤波器的频率响应具有线性相位特性，不会引入信号的相位失真。
FIR滤波器的性能主要由其冲激响应的系数决定。
通常情况下，设计一个满足特定要求的FIR滤波器需要确定其冲激响应的系数。
常见的设计方法有窗函数法、频率采样法和最小均方误差法等。
窗函数法是一种简单直观的设计方法，通过选择合适的窗函数来确定滤波器的冲激响应。
常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗和哈密顿窗等。
频率采样法则是通过在频域上对滤波器的频率响应进行采样，然后通过反傅里叶变换得到滤波器的冲激响应。
最小均方误差法则是通过最小化滤波器的输出与期望输出之间的均方误差来确定滤波器的冲激响应。
FIR滤波器在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理中，FIR滤波器常用于音频均衡器、陷波器和低通滤波器等；在图像处理中，FIR滤波器可用于图像增强、边缘检测和图像去噪等。
FIR有限冲激响应是一种常见的数字滤波器结构，具有有限长度的冲激响应。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法-第三节
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器 的设计方法-第三节
目录
• FIR滤波器的基本概念 • FIR滤波器的设计方法 • FIR滤波器的实现 • FIR滤波器的性能评估 • FIR滤波器的应用实例
01 FIR滤波器的基本概念
定义与特性
定义
FIR滤波器，即有限长单位脉冲响 应滤波器，是指系统在单位阶跃 信号作用下，输出为有限长脉冲 响应序列的数字滤波器。
群延迟
群延迟是滤波器对信号中 不同频率成分的延迟时间， 反映了滤波器对信号的时 延效应。
重要性
群延迟特性对于实时信号 处理和通信系统中的同步 非常重要。
设计准则
为了减小群延迟，FIR滤波 器应具有较小的阶数和较 宽的过渡带。
频率响应特性
频率响应
FIR滤波器的频率响应决定了其 对不同频率成分的增益和相位响
频率采样法
01
频率采样法是一种基于频率域的FIR滤波器设计方法，其基本思想是在频域内对 给定的理想滤波器的频率响应进行采样，然后通过逆变换得到滤波器的系数。
02
频率采样法的主要步骤包括确定采样点、计算滤波器系数和验证滤波器性能。
03
频率采样法的优点是能够准确地设计具有特定频率响应的滤波器，适用于高通 和带通滤波器的设计。
特性
其特点是系统函数在有限时间内 为零，即系统的阶跃响应不随时 间无限延续。
FIR滤波器的优势
01
02
03
稳定性
由于FIR滤波器的系统函 数在有限时间内为零，因 此其系统是稳定的。
无递归运算
FIR滤波器的计算只涉及 加法、乘法和延时运算， 不涉及递归运算，因此计 算相对简单。
线性相位
FIR滤波器具有严格的线 性相位特性，能够保证信 号在处理过程中不发生失 真或变形。
目录
• FIR滤波器的基本概念 • FIR滤波器的设计方法 • FIR滤波器的实现 • FIR滤波器的性能评估 • FIR滤波器的应用实例
01 FIR滤波器的基本概念
定义与特性
定义
FIR滤波器，即有限长单位脉冲响 应滤波器，是指系统在单位阶跃 信号作用下，输出为有限长脉冲 响应序列的数字滤波器。
群延迟
群延迟是滤波器对信号中 不同频率成分的延迟时间， 反映了滤波器对信号的时 延效应。
重要性
群延迟特性对于实时信号 处理和通信系统中的同步 非常重要。
设计准则
为了减小群延迟，FIR滤波 器应具有较小的阶数和较 宽的过渡带。
频率响应特性
频率响应
FIR滤波器的频率响应决定了其 对不同频率成分的增益和相位响
频率采样法
01
频率采样法是一种基于频率域的FIR滤波器设计方法，其基本思想是在频域内对 给定的理想滤波器的频率响应进行采样，然后通过逆变换得到滤波器的系数。
02
频率采样法的主要步骤包括确定采样点、计算滤波器系数和验证滤波器性能。
03
频率采样法的优点是能够准确地设计具有特定频率响应的滤波器，适用于高通 和带通滤波器的设计。
特性
其特点是系统函数在有限时间内 为零，即系统的阶跃响应不随时 间无限延续。
FIR滤波器的优势
01
02
03
稳定性
由于FIR滤波器的系统函 数在有限时间内为零，因 此其系统是稳定的。
无递归运算
FIR滤波器的计算只涉及 加法、乘法和延时运算， 不涉及递归运算，因此计 算相对简单。
线性相位
FIR滤波器具有严格的线 性相位特性，能够保证信 号在处理过程中不发生失 真或变形。
单位脉冲响应是一个有限长序列
数字滤波器
也可看作是“模仿”模拟滤波。因此第一种方法用得较为普遍， 如IIR滤波器的设计。但随着计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用逐渐增多。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计 1.FIR数字滤波器的差分方程描述
① 对应的系统函数为
② 因为它是一种线性时不变系统，也可用卷积和形式 表示
FIR系统和IIR系统
1.1 FIR系统和IIR系统的定义
1.2 FIR系统和IIR系统在滤波器中的应用
FIR系统和IIR系统
FIR系统：
单位脉冲响应是一个有限长序列，这种系统称为“有限 长单位脉冲响应系统”，简写为FIR系统。
IIR系统：
单位脉冲响应是一个无限长序列，这种系统称为“无限 长单位脉冲响应系统”， 简写为IIR系统。
2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR
3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻
设计步骤：
1) 按照实际需要确定滤波器的性能要求； 2）用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性 能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和FIR。
数字滤波器
传递函数的设计就是确定系数 、 或零、极点 、 以使滤波器满足给定的性能要求。
③ 比较①、③得：
设计任务是求h(i)。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
线性相位FIR数字滤波器的特性 1）线性相位特性 线性相位条件：
即如果单位脉冲响应h(n)为实数，且具有偶对称或奇对称性， 则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。 证明： 1. 当h(n)=h(N-1-n)时，可实现线性相位。 2. 当h(n)=-h(N-1-n)时，可实现线性相位。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)
h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)
由于
x(n)*δ(n)=x(n)
1
x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)
2
故
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 1 2
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，
要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)=
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第6章有限长单位脉冲响应
第6章 有限长单位脉冲响应 可表示为
( N 1) / 2 n 0
H ( )
式中:
a(n) cos(n)
（6-15）
N 1 a (0) h 2
N 1 a ( n ) 2h n 2
（6-16a）
n=1,2,3,…,(N-1)/2 （6-16b）
出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。
再看h(n)奇对称的情况:
h(n)=-h(N-1-n) 0≤n≤N-1 （6-9）
第6章 有限长单位脉冲响应 其系统函数为
H ( z ) h(n ) z
n 0 N 1 n 0
N 1
n
h( N 1 n ) z n h(m) z
第6章 有限长单位脉冲响应
N 1 N 1 sin ( N 1 n ) sin n 2 2 N 1 sin n 2
因此，在Σ中第n项和第(N-1-n)项是相等的，将这两两相等的项 合并，共合并为(N-1)/2， 即
m 0 N 1 N 1 ( N 1 m )
z ( N 1) h ( m ) z m
m 0
因此
H(z)=-z-(N-1)H(z-1)
（6-10）
第6章 有限长单位脉冲响应 同样可以改写成
1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] 2 1 N -1 h ( n ) z n z ( N 1) z n 2 n 0
N 1 H ( ) h(n ) sin n n 0 2
N 1
（6-13）
N 1 ( ) 2 2
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
数字信号处理习题答案西安电子第7章
求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相 位，
解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为
N 1
H (z) h(n)Z n
1
(1 0.9z 1 2.1z 2
0.9z 3 z 4 )
n0
10
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
所以其单位脉冲响应为
h(n) 1 1, 0, 9, 2.1, 0.9, 1
所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：
() π N 1 π 3
2
2
2
由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对
称。
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
2． 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度 为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为：
H2 (e j )
H (e j(0 ) )
2
H (e j(0 ) )
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ， 且H2(ejω)为 H(ejω)左右平移ω0， 所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计 带通滤波器的方法。
10
由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N－1－n) N=5
所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函 数H(ejω)为
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
N 1
H (e j ) H g ()e j () h(n)e jm n0 1 [1 0.9ej 2.1ej2 0.9ej3 ej4 ] 10
1 2π
解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为
N 1
H (z) h(n)Z n
1
(1 0.9z 1 2.1z 2
0.9z 3 z 4 )
n0
10
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
所以其单位脉冲响应为
h(n) 1 1, 0, 9, 2.1, 0.9, 1
所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：
() π N 1 π 3
2
2
2
由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对
称。
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
2． 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度 为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为：
H2 (e j )
H (e j(0 ) )
2
H (e j(0 ) )
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ， 且H2(ejω)为 H(ejω)左右平移ω0， 所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计 带通滤波器的方法。
10
由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N－1－n) N=5
所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函 数H(ejω)为
第６章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计
N 1
H (e j ) H g ()e j () h(n)e jm n0 1 [1 0.9ej 2.1ej2 0.9ej3 ej4 ] 10
1 2π
有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计
j e H d (e j ) 0 表示其群时延
| | c
c | |
2.冲激响应序列
1 j jn hd ( n) H ( e ) e d d 2 1 c j jn e e d c 2 sin[(n ) c ] (n ) c sin[(n ) c ] c (n )
有必要讨论加窗前后两个序列的频率响应或频谱函数间的差别。由上面 公式可知
H ( e j )
矩形窗的频谱为
1 H d (e j ) WR (e j ) 2
WR (e j ) e jn
n 0
N 1
sin N / 2 e sin / 2
N 1 j 2
• H (0) 0 ,
0,2 奇对称,关于 偶对称. • H () 关于
可用于设计:
•高通滤波器 •带通滤波器 4种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在FIR滤 波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类FIR滤波 器。
h(n) 偶对称,N为奇数
6.1.3 线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点
两式相加
1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] 2 1 N 1 h( n )[ z n z ( N 1) z n ] 2 n 0 z
1 ( N2 ) 1 1 n ( N21 ) n ( N2 ) h ( n )( [ z z ]) 2 n 0
2 2
N 1 2
结论：具有 奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位
6.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点
当 h(n) 为偶对称和奇对称时,滤波器幅度函数有两种特性 而当N的取值为偶数和奇数时,滤波器幅度特性也不同.因而共有 4种不同的幅度特性. 1. h(n) 偶对称,N为奇数
| | c
c | |
2.冲激响应序列
1 j jn hd ( n) H ( e ) e d d 2 1 c j jn e e d c 2 sin[(n ) c ] (n ) c sin[(n ) c ] c (n )
有必要讨论加窗前后两个序列的频率响应或频谱函数间的差别。由上面 公式可知
H ( e j )
矩形窗的频谱为
1 H d (e j ) WR (e j ) 2
WR (e j ) e jn
n 0
N 1
sin N / 2 e sin / 2
N 1 j 2
• H (0) 0 ,
0,2 奇对称,关于 偶对称. • H () 关于
可用于设计:
•高通滤波器 •带通滤波器 4种不同的幅度特性中，以第一种幅度特性最好，因而在FIR滤 波器的设计中，通常都采用第一种幅度特性。称第一类FIR滤波 器。
h(n) 偶对称,N为奇数
6.1.3 线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点
两式相加
1 H ( z ) [ H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 )] 2 1 N 1 h( n )[ z n z ( N 1) z n ] 2 n 0 z
1 ( N2 ) 1 1 n ( N21 ) n ( N2 ) h ( n )( [ z z ]) 2 n 0
2 2
N 1 2
结论：具有 奇对称形式冲激响应的系统也具有线性相位
6.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点
当 h(n) 为偶对称和奇对称时,滤波器幅度函数有两种特性 而当N的取值为偶数和奇数时,滤波器幅度特性也不同.因而共有 4种不同的幅度特性. 1. h(n) 偶对称,N为奇数
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
H（） 1 2 cos
( )
该系统的振幅、相位图如下。
3 2 1 0
|H(ej )|
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
/pi
4 2
()
0 -2 -4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
/pi
6.3
一数字滤波器的脉冲响应为 h( n) ，当 n 0 ， n N 时， h( n) 0 ，且 h( n) 为实数，
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
0, , 2 偶对称，故 H d (e jw ) 可扩展为： e j ( ) , c c H d (e ) 0 , 0 c , c 2
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
( )
H ( z ) 1 z 4 H (e j ) 1 e j 4 2 sin 2e
故系统的振幅 H (e
j j 2 j
数字信号处理(西电版) 第六章 有限长单位脉冲响应 复习
n
因此Σ中第n项和第(N-1-n)项相等，可将其合并
H
(
)
(
N 3) n0
/
2
2h(n)
sin
N
2
1
n
令 n N 1 m ，上式改写为
2
H
( )
(
N 1) / 2 m1
2h
N 2
1
m
sin(m)
cos
N 2
1
n
cos
N 1 2
n
将Σ内相等项合并，即 n=0 项与n=N-1项，n=1 项与n=N-2 项等
第6章 有限长单位脉冲响应
h(n)偶对称的幅度函数式
H
(
)
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
h(n)的系统函数为
N 1
N 1
H (z) h(n)zn h(N 1 n)zn
n0
n0
将m=N-1-n代入上式，进行整理
N 1
N 1
H (z) h(m)z(N 1m) z(N 1) h(m)zm z(N 1) H (z1)
m0
m0
h(n)是实数序列，且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-1-n)
• 满足第二个公式的条件为： FIR滤波器单位脉冲响应 h(n)是实数序列，且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-1-n)
第6章 有限长单位脉冲响应 6.1.1 线性相位特性
数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计
1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp
2 2
fs fp
2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
2019/10/17
数字信号处理
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
数字信号处理
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
第6章有限长单位脉冲响应(FIR DF)的设计
e0j0
2
4e
j2
5
71
n
类即似H((2))，在合 并0后,2可处2得为零。即NH1 (z)在z 1处有一零点。
H ()对 0，2处呈H奇(对)称，2对2h(N呈1偶对n)称sin。[(n 1)]
（2）此类型不能用于设计低通n、1 带阻2滤波器，适合高通2、带通。
N 1
H()
即 H () 2 d(n)sin[( n 1)]
n0
2
2
e
j(
N 1) 2
2
N 1
h(n)sin[(n
N
1)]
n0
2
H ()e j ()
令：H
()
N 1
h(n) sin [(n
N
1) ]
n0
2
二、线性相位FIR滤波器幅度特性的特点
（1）h(n) h(N 1 n)，N为奇数 - -情况1
N 1
h(n)
2
N 1
H () h(n)
N 2
1
n ，n
1
0
结论：
(1)由于cos n对 0、 、 2 这些点偶对称，因此H () 关于 0、 、 2 偶对称。
(2)适合设计各种类型的滤波器(低通、高通、带通、带阻)。
（2）h(n) h(N 1 n)，N为偶数 - -情况2 h(n) N1
结论：
（1）当
H
(时)，coNns[0(1nh(n12))co]s[(n0，即NH2(1))]0,
由式（6-2）和（6-7）得到：
H (z) z (N1) H (z -1) H (z-1) z (N1) H (z)
若H(zi ) 0，则 H (zi 1 ) zi N1 H (zi ) 0
dsp实验报告-有限脉冲响应滤波器(FIR)实验
实验四．数字信号处理算法实验实验4.1 ：有限脉冲响应滤波器（FIR ）算法实验一．实验目的1．掌握窗函数法设计FIR 滤波器的Matlab 实现，为CCS 提供滤波系数。
2．掌握采用C 语言在VC5509开发板上实现混频信号的FIR 滤波。
二．实验设备计算机，ICETEK-VC5509-A 实验箱及电源。
三．实验原理1. 窗函数法设计FIR 滤波器（详细理论请看《数字信号处理》原理书籍） 本实验要求：设计一个低通滤波器，通带截止频率fp=10kHz ，阻带截止频率fs1=22kHz ，阻带衰减ap=75dB ，采样频率fs=50kHz,计算出滤波系数fHn,并对混频信号（高频+低频正弦波）fIn 进行滤波,得输出波形fOut 。
解：过渡带宽度=fs1-fp=12kHz ；截止频率：f1=fp+(过渡带宽度)/2=16kHz f1对应的数字频率：Ω1=2πf1/fs=0.64π(rad) -理想低通滤波器单位脉冲响应：hd[n]=sin(0.64π(n-a))/(π(n-a)) 其中a=(N-1)/2 (n=0~N-1)-根据阻带衰减要求选择布莱克曼窗，窗函数长度N 为： N=5.98fs/过渡带宽度≈25则窗函数为：w[n]=0.42-0.5cos(2πn/24)+0.08cos(4πn/24) 滤波器脉冲响应为：h[n]=hd[n]w[n] (n=0~N-1) <1>-根据上面各式计算出h[n]。
2. FIR 滤波FIR 滤波器的差分方程为：1()()N i i y n h x n i -==-∑ <2>其中，h i ----滤波器系数；x(n)---滤波器的输入；y(n)--- 滤波输出。
根据公式<1><2>，得本例对应FIR 滤波器的差分方程为： y[n]=-0.001x[n-2]-0.002x[n-3]-0.002x[n-4]+0.01x[n-5]-0.009x[n-6]-0.018x[n-7]-0.049x[n-8]-0.02x[n-9] +0.11x[n-10]+0.28x[n-11]+0.64x[n-12] +0.28x[n-13]-0.11x[n-14]-0.02x[n-15]+0.049x[n-16]-0.018x[n-17]-0.009x[n-18]+0.01x[n-19] -0.002x[n-20]-0.002x[n-21]+0.001x[n-22] (n=0,1,2,...)采用线性缓冲区法（原理见备课笔记）解此差分方程，得FIR 滤波结果y(n)。
有限脉冲响应-FIR
有限脉冲响应-FIR在数字信号处理系统中，有限脉冲响应(finite impulse response，FIR)数字滤波器是一个非常重要的基本单元。
近年来，由于FPGA具有高速度、高集成度和高可靠性的特点而得到快速发展。
随着现代数字通信系统对于高精度、高处理速度的需求，越来越多的研究转向采用FPGA来实现FIR滤波器。
而对于FIR滤波器要充分考虑其资源与运行速度的合理优化，各种不同的FIR滤波结构各具优缺点，在了解各种结构优缺点后才能更好地选择合适结构来实现FIR滤波。
1 FIR数字滤波器FIR数字滤波器由有限个采样值组成，设计中在满足幅值特性时，还能保证精确、严格的相位特性，因此在信号处理等领域得到广泛的应用。
对于FIR滤波器，其输出y(n)表示为如下形式：式中：N为滤波器的阶数(或抽头数)；x(i)表示第i时刻的输入样本；h(i)为FIR滤波器的第i级抽头系数。
由于FIR滤波器的冲击响应为一个有限序列，其系统函数可表示为：FIR滤波器的基本结构如图1所示。
FIR滤波器只在原点处存在极点，所以这使得FIR滤波器具有全局稳定性。
同时FIR滤波器满足线性相位条件，其冲击响应序列为实数且满足奇对称或偶对称条件，即：2 实现方法运用FPGA来实现FIR数字滤波器的结构多种多样，但是主要有以下几类：串行结构、并行结构、转置型结构、基于FFT算法结构、分布式结构。
其他类型的FIR滤波器结构都可以由以上几种结构衍生而来。
2．1 串行结构由表达式(1)可知，FIR滤波器实质是做一个乘累加运算，其滤波器的阶数决定了一次乘累加的次数，其串行结构如图2所示。
串行结构的FIR滤波器结构简单，硬件资源占用少，只需要复用1个乘法器和1个加法器，所以成本较低。
但是，这种结构的FIR滤波器要经过多个时钟周期才有输出，同时，内部时钟周期还受到乘法器运算速度的影响，所以该结构的FIR滤波器处理速度慢，只适用于滤波阶数较低且处理速度要求低的系统。
有限长单位冲激响应FIR
即可以以(N 1) / 2为中心，把两两相等的项进行合并，
由于N是奇数，故余下中间项n (N 1) / 2.
即其中cos(
N 1 2
n)w
cos(n
N
2
1)w
cos[
N 1 2
(N
1
n)]w
合并后，可得：
H (w) h( N 1） (N 3) / 2 2h(n) cos（[ N 1 n)w]
远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突
出的优点。
三、为何要设计FIR滤波器
（1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线 性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相 位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位， 而且同时可以具有任意的幅度特性。
（2)另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限 长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定 的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的 有限序列。
（3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。
四、本章讨论的内容
具有线性相位FIR滤波器，设计方法有： • 窗口设计法 • 频率采样设计法 • 计算机辅助设计法
五、FIR DF 设计思路
FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有 很大不同。FIR DF设计的含义是：
根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或 H(z)：
第六章 有限长单位冲激响应 FIR数字滤波器的设
计方法
第一节 引言
一、IIR滤波器的优缺点
IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设 计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可 查，方便简单。
IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起 频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网 络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本 也高。
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图6-1 ±h(N-1-n)图形
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-3） （6-4）
6.1.1 线性相位特性
图6-2 h(n)偶对称时线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-11）
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.2 窗口法
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
窗口法的基本思想 理论分析 几种常用窗函数 设计方法小结
6.2.1 窗口法的基本思想
图6-9 理想低通数字滤波器的频率响应
6.2.2 理论分析
(1) 过渡带。 (2) 肩峰及波动。
6.2.2 理论分析
6.2.2 理论分析
图6-10 矩形窗的频谱
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对， 如图6-4a所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时 零点是一组共轭对，如图6-4b所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分,故零点对 如图6-4c所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，或位于 z=1，或位于z=-1，如图6-4d、e所示。
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-13 零阶贝塞尔函数
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-14 凯塞窗函数依β而变化
5.凯塞(Kaiser)窗
表6-1 五种窗函数的主要性能
窗函数 矩形窗 汉宁窗 海明窗 布莱克曼窗 凯塞窗 （β=7．865）
旁瓣峰值衰减/dB -13 -31 -41 -57 -57
例6-6
例6-6 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器 (1) 设计N为奇数时的h(n)。 (2) 设计N为偶数时的h(n)。 (3) 若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。
例6-6
图6-15 非因果理想滤波器脉冲响应的移位
例6-6
例6-6
解 根据该线性相位带通滤波器的相位θ(ω)=-ωα=-ωN-1/2可知该滤波器只 能是=h(N-1-n)即h(n)偶对称的情况，h(n)偶对称时，可为第一类和第二类 滤波器，其频率响应H(ejω)=H(ω)e-jωN-1/2。 (1) 当N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ejω)为第一类线性相位滤波器， 关于ω=0,π,2π有偶对称结构。 (2) 当N为偶数时，H(ejω)为第二类线性相位滤波器，H(ω)关于ω=0呈偶对 称。 (3)若改用海明窗
(2) 肩峰及波动。
1) 主瓣宽度尽量小，从而使过渡带尽量陡； 2) 旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。
6.2.3 几种常用窗函数
1.矩形窗 2.升余弦窗——汉宁(Hanning)窗 3.改进的升余弦窗——海明(Hamming)窗 4.二阶升余弦窗——布莱克曼(Blackman)窗 5.凯塞(Kaiser)窗
(1) 第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数。
(2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。
(2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。
(2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
图6-8 例6-4系统的频率响应
例6-5
一个FIR线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数 的，且n<0和n>6时h(n)=0。如果h(0)=1且系统函 数在z=0.5ejπ/3和z=3各有一个零点，求H(z)的表 达式 解 因为n<0和n>6时h(n)=0，且h(n)是实值，所 以当H(z)在z=0.5ejπ/3有一个复零点时，则在它的 共轭位置z=0.5e-jπ/3处一定有另一个零点。这个 零点共轭对产生如下的二阶因子为
图6-3 h(n)奇对称时线性相位特性
6.1.2 幅度响应特性
(1) 第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数。 (2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。 (3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。 (4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(1) 第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数。
第6章 有限长单位脉冲响应(FIR)
6.1 线性相位FIR滤波器的特点 6.2 窗口法 6.3 频率采样法 6.4 IIR与FIR滤波器的比较
6.1 线性相位FIR滤波器的特点
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
线性相位特性 幅度响应特性 线性相位FIR滤波器的零点位置 举例
6.1 线性相位FIR滤波器的特点
阻带最小衰减/dB -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100
6.2.4 设计方法小结
6.2.2节所作的分析，虽然是针对矩形窗的，但 其基本原则和得出的结论对于采用其他窗时也 完全适合。只是所涉及的序列都是以n=0为对称 中心的，也就是都是非因果的，但在实际中， 所要求的滤波器都应是因果的，也就是要求h(n) 为因果序列。下面就来讲述如何得到因果FIR滤 波器的h(n)。
过渡带/Δω 4π/N 8π/N 8π/N 12π/N 10π/N
阻带最小衰减/dB -21 -44 -53 -74 -80源自5.凯塞(Kaiser)窗
表6-2 凯塞窗在不同β值时的特点
β 2．120 3．384 4．538 5．658 6．764 7．865 8．960 10．056
过渡带/Δω 3．00π/N 4．46π/N 5．86π/N 7．24π/N 8．64π/N 10．0π/N 11．4π/N 12．8π/N
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
图6-4 线性相位FIR滤波器的零点位置图
6.1.4 举例
例6-1 例6-2 例6-3 例6-4 例6-5
例6-1
例6-2
例6-2
图6-5 例6-1系统的频率响应
例6-2
图6-6 例6-2系统的频率响应
例6-4
图6-7 例6-3系统的频率响应
例6-4
6.2.2 理论分析
图6-11 由-
6.2.2 理论分析
图6-12 加矩形窗后的频率响应与 理想频率响应的比较
(1) 过渡带。
正、负肩峰之间为过渡带，由上面的分析可知， 其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽度。对于矩形 窗频谱WR(ejω)，此宽度为4π/N。因此，过渡带 宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数， 增大N可使过渡带变陡。
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-3） （6-4）
6.1.1 线性相位特性
图6-2 h(n)偶对称时线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
（6-11）
6.1.1 线性相位特性
6.1.1 线性相位特性
6.2 窗口法
6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
窗口法的基本思想 理论分析 几种常用窗函数 设计方法小结
6.2.1 窗口法的基本思想
图6-9 理想低通数字滤波器的频率响应
6.2.2 理论分析
(1) 过渡带。 (2) 肩峰及波动。
6.2.2 理论分析
6.2.2 理论分析
图6-10 矩形窗的频谱
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
(1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对， 如图6-4a所示。 (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时 零点是一组共轭对，如图6-4b所示。 (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分,故零点对 如图6-4c所示。 (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，或位于 z=1，或位于z=-1，如图6-4d、e所示。
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-13 零阶贝塞尔函数
5.凯塞(Kaiser)窗
图6-14 凯塞窗函数依β而变化
5.凯塞(Kaiser)窗
表6-1 五种窗函数的主要性能
窗函数 矩形窗 汉宁窗 海明窗 布莱克曼窗 凯塞窗 （β=7．865）
旁瓣峰值衰减/dB -13 -31 -41 -57 -57
例6-6
例6-6 用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器 (1) 设计N为奇数时的h(n)。 (2) 设计N为偶数时的h(n)。 (3) 若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。
例6-6
图6-15 非因果理想滤波器脉冲响应的移位
例6-6
例6-6
解 根据该线性相位带通滤波器的相位θ(ω)=-ωα=-ωN-1/2可知该滤波器只 能是=h(N-1-n)即h(n)偶对称的情况，h(n)偶对称时，可为第一类和第二类 滤波器，其频率响应H(ejω)=H(ω)e-jωN-1/2。 (1) 当N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ejω)为第一类线性相位滤波器， 关于ω=0,π,2π有偶对称结构。 (2) 当N为偶数时，H(ejω)为第二类线性相位滤波器，H(ω)关于ω=0呈偶对 称。 (3)若改用海明窗
(2) 肩峰及波动。
1) 主瓣宽度尽量小，从而使过渡带尽量陡； 2) 旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减小。
6.2.3 几种常用窗函数
1.矩形窗 2.升余弦窗——汉宁(Hanning)窗 3.改进的升余弦窗——海明(Hamming)窗 4.二阶升余弦窗——布莱克曼(Blackman)窗 5.凯塞(Kaiser)窗
(1) 第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数。
(2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。
(2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。
(2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
(3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。
图6-8 例6-4系统的频率响应
例6-5
一个FIR线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数 的，且n<0和n>6时h(n)=0。如果h(0)=1且系统函 数在z=0.5ejπ/3和z=3各有一个零点，求H(z)的表 达式 解 因为n<0和n>6时h(n)=0，且h(n)是实值，所 以当H(z)在z=0.5ejπ/3有一个复零点时，则在它的 共轭位置z=0.5e-jπ/3处一定有另一个零点。这个 零点共轭对产生如下的二阶因子为
图6-3 h(n)奇对称时线性相位特性
6.1.2 幅度响应特性
(1) 第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数。 (2) 第二种类型：h(n)为偶对称，N为偶数。 (3) 第三种类型：h(n)为奇对称，N为奇数。 (4)第四种类型：h(n)为奇对称，N为偶数。
(1) 第一种类型：h(n)为偶对称，N为奇数。
第6章 有限长单位脉冲响应(FIR)
6.1 线性相位FIR滤波器的特点 6.2 窗口法 6.3 频率采样法 6.4 IIR与FIR滤波器的比较
6.1 线性相位FIR滤波器的特点
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
线性相位特性 幅度响应特性 线性相位FIR滤波器的零点位置 举例
6.1 线性相位FIR滤波器的特点
阻带最小衰减/dB -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100
6.2.4 设计方法小结
6.2.2节所作的分析，虽然是针对矩形窗的，但 其基本原则和得出的结论对于采用其他窗时也 完全适合。只是所涉及的序列都是以n=0为对称 中心的，也就是都是非因果的，但在实际中， 所要求的滤波器都应是因果的，也就是要求h(n) 为因果序列。下面就来讲述如何得到因果FIR滤 波器的h(n)。
过渡带/Δω 4π/N 8π/N 8π/N 12π/N 10π/N
阻带最小衰减/dB -21 -44 -53 -74 -80源自5.凯塞(Kaiser)窗
表6-2 凯塞窗在不同β值时的特点
β 2．120 3．384 4．538 5．658 6．764 7．865 8．960 10．056
过渡带/Δω 3．00π/N 4．46π/N 5．86π/N 7．24π/N 8．64π/N 10．0π/N 11．4π/N 12．8π/N
6.1.3 线性相位FIR滤波器的零点位置
图6-4 线性相位FIR滤波器的零点位置图
6.1.4 举例
例6-1 例6-2 例6-3 例6-4 例6-5
例6-1
例6-2
例6-2
图6-5 例6-1系统的频率响应
例6-2
图6-6 例6-2系统的频率响应
例6-4
图6-7 例6-3系统的频率响应
例6-4
6.2.2 理论分析
图6-11 由-
6.2.2 理论分析
图6-12 加矩形窗后的频率响应与 理想频率响应的比较
(1) 过渡带。
正、负肩峰之间为过渡带，由上面的分析可知， 其宽度等于窗函数频谱的主瓣宽度。对于矩形 窗频谱WR(ejω)，此宽度为4π/N。因此，过渡带 宽度与所选窗函数有关，而对于一定的窗函数， 增大N可使过渡带变陡。