第五章 惟一分解整环

定义
对于 K 中的单位 ε， aε 叫做 a 的相伴元，也称为做 a 的
平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子.
K 中元素的相伴关系是一个等价关系。即 a, b 在 K 中相伴
⇔ a, b 互相整除。
例 4 因为整数环 Z 的单位仅有 1 与 -1, 故任一非零元 a 有 2 个相伴元: a 与
例 1 整数环是一个欧氏环。 其欧氏映射为: ϕ x） | x |, x ∈ Z . （ = 例 2 一个域 F 上的一元多项式环 F[x]是一个欧氏 环。
（ = 其欧氏映射为： ϕ f ( x)） ∂ ( f ( x)), f ( x) ∈ F [ x] .
二
主要结论
定理 任何欧氏环 K 一定是一个主理想环，因而一定是一个
惟一分解环。
逆命题不成立：主理想整环未必是欧氏环。
欧氏环 ⊂ 主理想整环 ⊂ 惟一分解环 ⊂ 有单位元素的环 。
作业
P240-241，习题 5.4
1，2，3
§5.5* 惟一分解整环的多Байду номын сангаас式扩张
一 基本内容
定义 个推广。 惟一分解环 K 上的多项式环 K[x]就是 K 的一个扩张。 如果环 R 是环 S 的一个子环，则称 S 是环 R 的一
−a .
例 5 Z [i ] 有 4 个单位, 1, -1,
,
.
任一非零元 a + bi (a, b ∈ Z ) 有 4 个相伴元: ± (a + bi ), ± (b − ai ) . 例 6 设 a, b ∈ K . 证明: a ∼ b 当且仅当 ( a ) = (b) . 例7 求 Gauss 整环的所有单位以及整数 5 在 Z[i]中的所有真因子。
Note 环 K 中，零元素和单位不可以惟一分解。
问题：如何判断 K 中一个元素的惟一分解性呢？没有一 般的解决方案，对于特殊的环中的特殊元素可以作出判断。
例8
证明 9 在有单位元素的整环
Z [ 5i] = {a + b 5i | a, b ∈ Z } .
三 素元素
环 K 中的不可约元素 p 与任何单位的乘积永远是 K 中的 不可约元素，即不可约元素的相伴元素仍为不可约元 素。 定义 整环 K 的一个元 p 叫做一个素元，假如 p 既不是 零元，也不是单位，并且 p 只有平凡因子。
作业
P239
习题 5.3
1，3
§5.4 欧氏环
一 欧氏环定义和例子
定义 一个有单位元素的整环 K 叫做一个欧氏环，假如： （i）有一个从 K 的非零元无所作成的集合到所有非负整数 集合的映射 ϕ 存在。 （ii）给定了 K 的一个不等于零的元 b，K 的任何元 a 都可 以写成
a = bq + r , r = 0或者ϕ (r ) < ϕ (b)
推论 一个唯一分解环有以下性质： 若一个素元 p 能够整除 ab，那么 p 能够整除 a 或 b。
定理 2
具有以下性质的整环 K 一定是一个唯一分解环.
(i)K 的每一个即不是零也不是单位的元 a 都可以分解成 不可约元素的乘积； (ii)K 的不可约元素均为 K 的素元素。
二 惟一分解整环中的最大公因子
第五章 惟一分解整环
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
相伴元和不可约元 唯一分解整环的定义 主理想整环 欧氏环
§5.1 相伴元和不可约元
一 整除，相伴，真因子
定义 1 我们说，整环 K 的一个元 a 可以被 K 的元 b 整数，
假如在 K 里找得出元 c，使：a=bc 假如 a 能被 b 整除，我们说 b 是 a 的因子，并且用符号 b|a 来表 示，否则 b † a 来表示。
u ( x), v( x) ∈ Z [ x]2 , 使得
( f ( x ), g ( x )) = u ( x ) f ( x ) + v ( x) g ( x)
有结果： 引理 1 （Gauss 引理）两个本原多相式的乘积仍为本原 的。
设 F 是惟一分解环 K 的分式域。有结果： 引理 2 K[x]中两个本原多项式在 K[x]中相伴当且仅当在 F[x]中相伴。 定理 1 K[x]中本原多项式在 K[x]中可约当且仅当它在 F[x] 中可约。 定理 2 若是 K是惟一分解环，那么 K[x]也是惟一分解环。
解 5 的全部真因子共 8 个：
1 ± 2i, −1 ± 2i, 2 ± i, −2 ± i
而 5 的不相伴真因子只有两个：1 ± 2i 。
二 不可约元素
定义 2 设 a ∈ K \ {0}, a 不是单位。如果 a 只有平凡 因子，则称 a 为环 K 的不可约元素；否则称为环 K 的 可约元素。 定理 1 环 K 中的不可约元素 p 与任何单位的乘积
整数环中的最大公因子推广: 定义 3 一个唯一分解环 K 中， c ∈ K ，如果 c 是每个元素
a1 , a2 ,…, an 的因子，则称 c 为 a1 , a2 ,…, an 的公因子。
若 d 为 a1 , a2 ,…, an 的公因子，且 a1 , a2 ,…, an 的任意一个公因子 c 均 为 d 的因子，则称 d 为 a1 , a2 ,…, an 的最大公因子。
定义 2 多项式环 K[x]的一个元 f(x)叫做一个本原多项 式，假如 f(x)的系数的最大公因子是单位。
一般多项式理论可以推广到惟一分解环上的多项式环 中，例如带余除法、最大公因式等概念。 例 1 设 f ( x) = x 3 + x 2 + 1, g ( x) = x 2 + x + 1∈ Z [ x]2 , 求
如以下条件能被满足： (i) a = p1
pt , p1 , , pt 在K中不可约 ；
(ii) 若同时 a = q1
qs , q1 ,
, qs 在K中不可约
那么 r = s ，且可把不可约元素的次序适当调换，使得
pi = qi ε i , ε i为K中单位(i = 1,… , t ) 。
则称 a 在 K 上可以惟一分解。
永远是 K 中的不可约元素，即不可约元素的相伴元素 仍为不可约元素。
定理 2
a ∈ K \{0} ，则 a 有真因子的充分必要条件是，存
在 K 中的非单位元素 b, c ，使得 a = bc 。
推论
假定 a≠0，并且 a 有真因子，a=bc，那么 c 也是 a 的
真因子。
定义 3
我们说，一个整环 K 的一个元 a 在 K 里有唯一分解，假
定理 3
整环 K 中的素元素一定是不可约元素。
推论 素元素的相伴元素仍为素元素。 例子：P229-230 例 8 在 Z 中, 任一素数 p 既是素元又是不可 约元. 例 9 在 Z [ −3] 中, 证明: 1 + −3 是不可约元, 但不是素元.
P230 习题 5.1 ，3，4
§5.2 唯一分解整环的定义
定义 1 一个整环 K 叫做一个唯一分解环，假如 K 的每个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。 整数环和域上的多项式环均为惟一分解整环，但 是 Z [ 5i] = {a + b 5i | a, b ∈ Z } 不是惟一分解整环。
例 1 证明: 在
Z [ −3] 中,
4 没有唯一分解.
素元素一定是不可约元素，但是不可约元素则未必 是素元素。 整数环和域上的多项式环来说，二者是一致的。 更一般的，有 定理 1 设 K 是任意一个唯一分解整环，则 p 为 K 的素元素当且仅当 p 为 K 的不可约元素。
推论 若 K 是惟一分解环，那么 K [ x1 , x2 环
, xn ] 也是惟一分解
作业
P264-265：习题 5.5 7，10
b | a 当且仅当 (a) ⊂ (b) .
Note: 1. 环中的可逆元素称为单位。 2. 两个单位 ε 和 ε′的乘积 εε′也是一个单位，单位 ε 的逆 ε-1 也是一个单位。 3. ±1永远是 K 的单位。 4. 域上的非零元素均为单位。 5. 域 上的 多项式 环中 的全体 零次 多项式 是它 的单 位。
二
主要结论的证明
引理 1 假定 K 是一个主理想环，若在序列
a1 , a2 ,…, ai ,… (ai ∈ K )
里每一个元均是前面一个元素的真因子，那么这个序列一定是一个有限 序列。 引理 2 假定 K 是一个主理想环，那么 K 的一个不可约元素 p 生成一
个极大理想。
定理 2 主理想环 K 是一个惟一分解整环。
作业 P235 习题 5.2
3, 4
§5.3 主理想整环
一 主理想整环的定义
定义 一个整环 K 叫做一个主理想整环，假如 K 的每一个理想 都是一个主理想。 Note 整数环和域上的多项式环均为主理想整环。但是 Z [ x ] 不 是主理想整环，因为其中的理想 < 2, x > 不是主理想。
定理 1 Gauss 整环 Z [i ] 是主理想整环。
整除有下列常用的性质: (1) a | b, a | c ⇒ a | b + c (2) a | b, b | c ⇒ a | c 例 1 在 Z 中, 3 |18, 而 3 † 7. 在 Q[ x] 中, x − 1| x 2 − 1, 而 x − 1 † x 2 + 1. 例 2 在 Z [ x] 中, 证明: 2 + i | 5, 2 + i † 3 + i . 例 3 设 D 为整环, a, b ∈ D , 则
定理 3 一个惟一分解环 K 的任意两个元 a 和 b，在 K 里一定有 最大公因子，a 和 b 的两个最大公因子 d 和 d′只能差一个单位因 子。 推论 一个唯一分解环 K 的 n 个元 a1 , a2 ,…, an 在 K 里一定有最 大公因子， a1 , a2 ,…, an 的两个最大公因子只能差一个单位因子。 例 2 证明: 在 Z [ −3] 中, 2(1 + −3) 与 4 无最高公因子.