2021湖南卷高考数学理试题高考真题下载

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2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(原卷版)

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题目：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 2（z+�）+3(z-�)=4+6i，则 z=( ).
A.1-2i
B.1+2i
C.1+i
D.1-i
2.已知集合 S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则 S∩T=( )
（1）写出⊙C 的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点 F（4,1）作⊙C 的两条切线, 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 23.[选修 4 一 5：不等式选讲]（10 分）已知函数 f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥6 的解集；（2）若 f（x）≥ —a ,求 a 的取值范围.
祝福语祝你马到成功，万事顺意!
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为�和�，样本方差分别记为 s12 和 s22
（1）求�，�， s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
�-�≥2 �12+2�22，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 18.(12 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，且 PB⊥AM，（1）求 BC；（2）求二面角 A-PM-B 的正弦值。
作答。（一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 备新设 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 备

2021年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)(解析版)

正视图侧视图俯视图图1普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理）试题解析本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分．参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高．（2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．)若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则 ( )A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 1. 解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,a =2．设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40 20 60 不爱好20 30 50 总计60 50 110 由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．2()P K k ≥0．050 0．010 0．001 k3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是( )A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C5．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)

2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)2021年普通高等学校招生全国统一考试全国三卷理科数学（word版附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0?B．?1?B?2? C．?1，1，2? D．?0，2．?1?i??2?i?? A．?3?iB．?3?iC．3?i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14．若sin??，则cos2??3A．5 B．7 9 C．?7 9 D．?8 92??5．?x2??的展开式中x4的系数为x??A．10 B．20 C．402 D．806．直线x?y?2?0分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则△ABP面积的取值范围是6? A．?2，8? B．?4，?C．??2，32??D．??22，32?7．函数y??x4?x2?2的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p? A．0.7C．0.4D．0.3a2?b2?c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若△ABC的面积为，则C?4ππππA． B． C． D．2346C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积10．设A，B，为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为 A．123B．183C．243D．543x2y2b?0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F211．设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 A．5B．2C．3D．212．设a?log0.20.3，b?log20.3，则A．a?b?ab?0B．ab?a?b?0C．a?b?0?ab D．ab?0?a?b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________．1?处的切线的斜率为?2，则a?________． 14．曲线y??ax?1?ex在点?0，π??π?的零点个数为________． 15．函数f?x??cos?3x??在?0，6??1?和抛物线C：y2?4x，过C的焦点且斜率为的直线与C交于A，B两16．已知点M??1，点．若∠AMB?90?，则k?________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）a5?4a3．等比数列?an?中，a1?1，（1）求?an?的通项公式；（2）记Sn为?an?的前项和．若Sm?63，求m． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：第一种生产方式第二种生产方式超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，P?K2≥k? 0.050 0.010 19．（12分）3.841 0.001 6.635 10.828 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）x2y2已知斜率为的直线与椭圆C：??1交于A，B两点，线段AB的中点为43M?1，m??m?0?．1（1）证明：k??；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）已知函数f?x???2?x?ax2?ln?1?x??2x．（1）若a?0，证明：当?1?x?0时，f?x??0；当x?0时，f?x??0；（2）若x?0是f?x?的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）?x?cos?，⊙O的参数方程为?在平面直角坐标系xOy中，（为参数），过点0，?2y?sin????且倾斜角为?的直线与⊙O交于A，B两点．（1）求?的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．选修4―5：不等式选讲]（10分）设函数f?x??2x?1?x?1．（1）画出y?f?x?的图像；???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值．（2）当x∈?0，参考答案：1 C2 D3 A4 B5 C6 A7 D8 B9 C 10 B 11 C 12 B感谢您的阅读，祝您生活愉快。

新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。

2021湖南高考数学试卷

2021湖南高考数学试卷选择题：1. 已知函数f(x) = 2x³ + 3x² - x + 1，求f'(x)的值是：A) 6x² + 6x - 1B) 6x² + 3x - 1C) 6x² + 6x + 1D) 4x³ + 3x² - x2. 若在一个等差数列中，前四项依次为2，5，8，11，则这个等差数列的公差为：A) 2B) 3C) 4D) 53. 若两个互为倒数的数的和是1，那么这两个数是：A) 1和2B) 2和-2C) 0.5和1D) -3和34. 若f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的最小值是：A) -4B) 0C) 1D) 25. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B的元素是：A) {1, 2, 5, 6}B) {3, 4}C) {1, 2}D) {5, 6}填空题：1. 若f(x) = 3x - 1，求f(4)的值是（）。

2. 一条直线过点A(2, 1)和点B(1, -3)，求直线的斜率是（）。

3. 若a² + b² = 25，且ab = 12，则a和b的和是（）。

4. 求集合A={x|x∈N, 2 ≤ x ≤ 7}的元素个数是（）。

5. 若sin²θ + cos²θ = 1，则tan²θ的值是（）。

应用题：1. 一个等差数列的第一项是3，公差是4，若前n项的和为68，请求这个等差数列的第n项是多少。

2. 若直角三角形斜边长为10，其中一个锐角的正弦值是0.6，求另一个锐角的余弦值。

3. 一个球从20米高的楼顶落下，每次弹跳的高度是原高度的一半，求第三次弹起时球的高度是多少米。

4. 小明和小张两人一起修地铁，小明1天可以修5米，小张1天可以修3米，若他们一起工作，一共修了120米，求他们共同工作了多少天。

2021年全国高考乙卷数学(理)试题(含解析)

设正方体棱长为 2，则 BC1 = 2
2, PC1
=
1 2
D1B1
=
2，
sin ÐPBC1
=
PC1 BC1
=
1 2
，所以 ÐPBC1
=
p 6
.
故选：D 6．C 【分析】
先确定有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5 名志愿者中任选 2
5
2021 年全国高考乙卷数学（理）试题
1．C
参考答案及解析
【分析】
设 z = a + bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 a 、 b 的等式，解出这两个未知数的值，
即可得出复数 z .
( ) ( ) 设 z = a + bi ，则 z = a - bi ，则 2 z + z + 3 z - z = 4a + 6bi = 4 + 6i ，
ì4a = 4 所以， íî6b = 6 ，解得 a = b = 1，因此， z = 1+ i .
故选：C. 2．C 【分析】
分析可得 T Í S ，由此可得出结论.
任取 t ÎT ，则 t = 4n +1 = 2 × (2n ) +1 ，其中 n Î Z ，所以， t Î S ，故 T Í S ，
的图象，
根据已知得到了函数
y
=
sin
æ çè
x
-
p 4
ö ÷ø 的图象，所以
f
é êë2
æ çè
x

2021年湖南省高考数学精彩试题及问题详解理科解析汇报版

2021年湖南省高考数学精彩试题及问题详解理科解析汇报版实用文档2021年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共10小题每小题5分共50分湖南）已知=1+i（i为虚数单位）则复数?2021z=（）1．（5分）（A1+iB1﹣iC﹣1+iD﹣1﹣i．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位）∴z===﹣1﹣i故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用属于基础题．分201湖南）是两个集合则B=”是”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断专集合；简易逻辑分析直接利用两个集合的交集判断两个集合的关系判断充要条件即可解答：解：A、B是两个集合则“A∩B=A”可得“A?B”“A?B”可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合则“A∩B=A”是“A?B”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用集合的交集的求法基本知识的应用．3．（5分）（2021?湖南）执行如图所示的程序框图如果输入n=3则输出的S=（）实用文档DACB．．．．程序框图．考点：的数值满足判断框的条件即可结束循环．S 分析：列出循环过程中与in=3s=0i=1解答：解：判断前第1次循环S=i=2i=3第2次循环S=S=i=4第3次循环满足判断框的条件结束循环输出结果：n此时i＞S===B故选：点评：本题考查循环框图的应用注意判断框的条件的应用考查计算能力的最小值为、xy满足约束条件则z=3x﹣y2021（4．5分）（?湖南）若变量）（21D1﹣A7B﹣C．．．．：考点简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域由图得到最优解求出最优解的坐标数形结合得答案．实用文档解答：解：由约束条件作出可行域如图A由图可知最优解为由）．由解得A（﹣21联立解得C（0﹣1）1）解得B（17．y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣∴z=3x﹣A．故选：易错本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法是中档题点评是图形中点）是=l1+）l分201湖南）设函x）上是减函数01．奇函数且在（01）上是增函数B．奇函数且在（A1）上是减函数1）上是增函数D．偶函数且在（0偶函数且在（C．0利用导数研究函数的单调性导数的综合应用求出好的定义域判断函数的奇偶性以及函数的单调性推出结果即可析函数的定义域为（1+解：函=l）lx所以x）x）﹣ln（1﹣）]=﹣f（[ln1+_______=lnf函数（﹣x答：）（1﹣）﹣ln（）=﹣（1+x 函数是奇函数．）B只需判断特殊值的大小即可推出选项x=0时f （0AC排除D正确结果在=0；函数是增函（）＜0f）（显然＞）1ln1+=ln（时x=f）（）﹣（﹣=ln31fAB数所以错误正确．A故选：．实用文档点本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用考查计算能力．评：5）（的项的系数为30则）﹣（6．（5分）2021?湖南）已知（的展开式中含xa=BA6DC6﹣﹣．．．．二项式定理的应用．考点：专题：二项式定理．令分析：整理成最简形式项根据所给的二项式利用二项展开式的通项公式写出第r+1再代入系数求出结果．求得rx的指数为解：根据所给的二项式写出展开式的通项解答：=；T=r+130展开式中含x的项的系数为∴解ar=并且D．故选：在这种本题考查二项式定理的应用本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项点评：题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．(曲个点则落入阴影部分湖南）在如图所示的正方形中随机投掷100005分）（2021?（7．）01）的密度曲线）的点的个数的估计值为（（线C为正态分布N2则N=（μa）附“若_﹣=0.6826+σ）．P（μ﹣σ＜_≤μ=0.9544．_2σ＜≤μ+2σ）p（μ﹣4772D2718C3413BA2386．．．．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．考点：计算题；概率与统计．：专题实用文档分析：×0.6826=0.3413即可得出结论．_≤1）=求出P（0＜解答：1）=×0.6826=0.3413P解：由题意（0＜_≤∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413．故选：C本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义考查正态分布中两个量μ和σ点评：的应用考查曲线的对称性属于基础题．22的坐标为PBC若点C在圆x+y=1上运动且AB⊥．8（5分）（2021?湖南）已知AB的最大值为（20）则|）|（9C8DBA67．．．．圆的切线方程．：考点计算题；直线与圆．专题：分析：）时1由题意AC为直径所以|0+|=|4+|．B为（﹣|=|27即可得出结论．|4+|≤解答：A为直径所|=|4解：由题意|=|2|4+）时B所以．为（﹣107|≤．所以||的最大值为7．故选：B本题考查向量知识的运用考查学生分析解决问题的能力比较基础．点评：）个单位后=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜?分）（2021湖南）将函数f（x）9．（5=x|x的x、有|x﹣x）的图象．若对满足则得到函数g（x|f（x）﹣g（）|=2min121122）φ=（DBAC．．．．x+φ）的图象变换．：考点函数y=Asin（ω专题：三角函数的图像与性质．分析：的值然后判断选项即可．利用三角函数的最值求出自变量xx21解答：）的周期为π函数的图象向右平移φ（0＜φ＜x解：因为将函数f（）=sin2x的可知两个）（）﹣x|fxg个单位后得到函数（）的图象．若对满足（gx|=221实用文档|=函数的最大值与最小值的差为2有|x﹣xmin12×（=x）在x2φ）﹣2=取得最小值sin即x不妨=x=g（221=此时φ不合题意﹣1=12φ）2=xx=取得最大值sin）在即g（_______=（×﹣212满足题意．=此时φ．故选：D本题考查三角函数的图象平移函数的最值以及函数的周期的应用考查分析问点评：题解决问题的能力是好题题目新颖．有一定难度选择题可以回代验证的方法快速解答．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削加工成一个湖南）2021?分）10．（5（则原工件材料体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内））的利用率为（材料利用率=（DABC．．．．简单空间图形的三视图．：考点专题：创新题型；空间位置关系与距离；概率与统计．1分析：根据三视图可判断其为圆锥底面半径为高为2求解体积．xn 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为的正方形高为求解体积式子利用（利用轴截面的图形可判断得出n=1＜x＜）﹣02导数求解即可最后利用几何概率求解即．实用文档解：根据三视图可判断其为圆锥解答：1高为2∵底面半径为×2=∴V=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件∴此长方体底面边长为n的正方形高为x∴根据轴截面图得出：=）0﹣＜x＜2（解得；n=122﹣（1∴长方体的体积Ω=2Ω′）x=x﹣4x+2x=∵Ω4x+2=x=∴可判断（0）单调递增2）单调递减（2（=21﹣）×=Ω最大值×∴原工件材料的利用率为==A故选：本题很是新颖知识点融合的很好把立体几何导数概率都相应的考查了点评：综合性强属于难题．分55二、填空题共小题每小题分共25﹣（?2021湖南）x1）dx=0．（5．11（分）：考点定积分．导数的概念及应用．专题：分析：求出被积函数的原函数代入上限和下限求值．解答：(dx=）﹣x（解：1﹣|）x=0；实用文档0．故答案为：本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．点评：名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶35（2021?湖南）在一次马拉松比赛中12．（5分）人71﹣35号再用系统抽样方法从中抽取图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为上的运动员人数是则其中成绩在区间[139151]．4茎叶图．考点：专题：概率与统计．根据茎叶图中的数据结合系统抽样方法的特征即可求出正确的结论．分析：解答：解：根据茎叶图中的数据得；151]上的运动员人数是20成绩在区间[139人35人中抽取7用系统抽样方法从上的运动员应抽取[139151]成绩在区间．×=4（人）7．故答案为：4本题考查了茎叶图的应用问题也考查了系统抽样方法的应用问题是基础题目．点评：使PC上存在点C：﹣=1的一个焦点．若．（5分）（2021?湖南）设F是双曲线13．PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为线段双曲线的简单性质考圆锥曲线的定义、性质与方程专n=2即mP的中点分析的坐标代入双曲线方程结合离心率公式计算即可得到将中解答解：P的中点n=2即m）代入双曲线方程可得将点（2b ﹣=12可得e==5e=解得．．故答案为：实用文档同时考查中点主要考查双曲线的离心率的求法本题考查双曲线的方程和性质点评：坐标公式的运用属于中档题．成等S且3S2S=1S为等比数列{a}的前n项和若a分）14．（5（2021?湖南）设3n21n11n﹣．差数列则a=3n 等差数列与等比数列的综合．考点：等差数列与等比数列．专题：利用已知条件列出方程求出公比然后求解等比数列的通项公式．分析：解答：2S=1且3S{a}的前n项和若a为等比数列解：设等比数列的公比为qS2n1n1成等差数列S3a=1可得4S=S+3S12132．+3q=34（1+q）=1+q+q即1﹣n．a=3∴n1﹣n．故答案为：3本题考查等差数列以及等比数列的应用基本知识的考查．点评：=fx）b使函数g（）2021?湖南）已知函数f（x=若存在实数分）15．（5（1}．或a＞的取值范围是b有两个零点则a{a|a＜0（x）﹣函数的零点计算题；创新题型；函数的性质及应用y=）=有两个零点y==）有两个零点可的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可析范有两个零点）解：=y=的图象有两个交点）=有两个零点y=答x=1可得x==①时函）的图象如图所示此时存满足题意足题意实用文档上单调递增故不符合题意Rf（x）在定义域②当a=1时由于函数）单调递增故不符合题意f（x1③当0＜a＜时函数）单调递增故不符合题a=时y=y=））的图象如图所示此时存时函⑤y=使得有两个交点1＜0或＞aa综上可得1}0{a|a故答案为：＜或＞a实用文档分类讨论的数学思想．渗透了转化思想数形结合、点本题考察了函数的零点问题评：为选修题任选两小题作答如果全做则1817、75分16、三、简答题共1小题共4-1：几何证明选讲按前两题计分选修NCD的中点分别是M2021?湖南）如图在⊙O中相较于点E的两弦AB16．（6分）（F证明：MO与直线CD相较于点直线NOM=180°）∠MEN+∠（1FO．?FN=FM?（2）FE相似三角形的判定．考点：选作题；推理和证明．：专题°MEN+∠NOM=180MEN四点共圆即可证明∠分析：（1）证明O．?FOFN=FM∽△FON即可证明FE?（2）证明△FEM的中点为CD证明：（1）∵N解答：CO的中点AAO=18°ONE=9+9在四边OME中∴OME四点共圆NOM=18∴MEN°FMEFNO=9FO中F）在FE与FE∽FO∴△=∴．?FO∴FE?FN=FM考查学生分析解决问题的能本题考查垂径定理考查三角形相似的判定与应用点评：力比较基础．4-4：坐标系与方程选修x．以坐标原点为极点（t为参数）（2021?湖南）已知直线l：分）17．（6θ．的坐标方程为ρ=2cos轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线CC的极坐标方程化为直坐标方程；（1）将曲线的值．?求的交点为与曲线直线的直角坐标为（）设点（2M5）lCAB|MA||MB|实用文档参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．考点：选作题；坐标系和参数方程．专题：2分析：θ根据极坐标和直角坐标的互化公式得cos）曲线的极坐标方程即ρ=2ρ（122即得它的直角坐标方程；x+y=2x的方程化为普通方程利用切割线定理可得结论．）直线l（2222解答：x故它的直角坐标方程为（+y=2x=2ρcosθ∴x解：（1）∵ρ=2cosθ∴ρ22；﹣1）+y=1）（5（2）直线l：（t为参数）普通方程为在直线l上22﹣=（51）+3﹣1=18过点M作圆的切线切点为T则|MT|2．由切割线定理可得|MT|=|MA|?|MB|=18本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法属于基础题．点评：：不等式选讲选修4-5b＞0且a+b=+．证明：（18．2021?湖南）设a＞0（ⅰ）a+b≥2；22不可能同时成立．+b＜2（ⅱ）a+a ＜2与不等式的证明考不等式的解法及应用专ab=再由基本不等式即可得证（ⅰ）分析结合条件可++可能同时成立．结合条（ⅱ）运用反证法证明．假矛盾即这ab=以及二次不等式的解法可得证（ⅰ）解答证明：则a+b=+=ab=1由于a+b＞0则即有a+b≥2=2取得等号．当且仅当a=b；则a+b≥2222可能同时成立．+b（ⅱ）假设a+a＜2与b＜200可得＜a＜1a+a由a＜2及＞21b02由b+b＜及b＞可得0＜＜矛盾．这与ab=122不可能同时成立．＜b2+aa＜与+b2本题考查不等式的证明主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法点评：属于中档题．实用文档19．（2021?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、ca=btanA且B为钝角．A=；（Ⅰ）证明：B﹣（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA由角的范围和诱导公式可得；(Ⅱ）由题意可得A∈（0）可得0＜sinA＜化简可得sinA+sinC=2﹣2（sinA﹣）+由二次函数区间的最值可得．解答：解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==即sinB=sin（）+A∴sinB=cosAπ）+A又B为钝角∴∈（+A∴B；﹣A=∴B=(Ⅱ）由（Ⅰ）知﹣+A）=2A＞0C=π﹣（A+B）=π﹣（A+∴A∈（02A﹣））∴sinA+sinC=sinA+sin（2=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sinA2﹣）+=﹣2（sinAsinA＜）∴0＜∵A∈（02∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）+≤]∴sinA+sinC的取值范围为（点评：本题考查正弦定理和三角函数公式的应用涉及二次函数区间的最值属基础题．20．（2021?湖南）某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖；若没有红球则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2）若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为_求_的分布列和数学期望．实用文档离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．考点：概率与统计．专题：分析：从乙箱中摸出一个球是={}）记事件A={从甲箱中摸出一个球是红球事件A（121}事件A={顾客抽奖1次获二等奖红球}事件B={顾客抽奖1次获一等奖}21BA相互独立互斥A事件C={顾客抽奖1次能获奖}利用112互斥然后求出所求概率即可．B2．求出概率_～B顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验判断（2）_的分布列然后求解期望．得到解答：从乙箱中摸出一个A={解：（1）记事件A={从甲箱中摸出一个球是红球}事件21}顾客抽奖1次获一等奖}事件A={1次获二等奖球是红球}事件B={顾客抽奖21互斥顾客抽奖1次能获奖}由题意AA相互独立事件C={21=P（A=互斥且B=AAB+）P（A）C=B+B因为BB1222111221=（A））+P（））（B=P=（A）P（=P（B）=P 所以P2121+====）C故所求概率为：P（）=P（B．+B=P（B）+P （）1次获一1）可知顾客抽奖1次可视为2）顾客抽奖13次独立重复试验由（（）．于是P（～所以．等奖的概率为：_B_=0 ）_=2=）=P（_=1=P（=(P_=3=．===）的分布列为：故_3_021P=3_E（）×=．期望是概率论和数理统计的重要概念之一是反映随机变量取值分布的特征数点评：学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫它在市场预测经济统计风险与决策等领域有着广泛的应用为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．的正的上、下底面分别是边长为DCB﹣湖南）如图已知四棱台2021．21（?ABCDA63和1111P点上．AADDQAA、分别在棱、BCABCD⊥底面且=6方形111（1AB的中点证明：PQ是P）若DD⊥；11实用文档的余弦值为求四面体ADPQ的体积．﹣QD﹣A（2）若PQ∥平面ABBA二面角P11考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）首先以A为原点ABADAA所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐1标系求出一些点的坐标Q在棱BC上从而可设Q （6y0）只需求1即可；(2）设P（0yz）根据P在棱DD上从而由即可得到z=12﹣2221与平2y从而表示点P坐标为P（0y12﹣2y）．由PQ∥平面ABBA便知道1222AB的法向量垂直从而得=从点坐标变设平21121面PQD的法向量为根据即可表示平面AQD的一个法向量为从而由即可求出y从而得出P点坐标从而求出三棱锥P﹣AQD2的高而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积从而求出四面体的体积．解答：解：根据已知条件知ABADAA三直线两两垂直所以分别以这三直线为xy1z轴建立如图所示空间直角坐标系则：A（000）B（600）D（060）A（006）B（306）D（011136）；Q在棱BC上设Q（6y0）0≤y≤6；11∴（1）证明：若P是DD 的中点则P；1；∴；∴实用文档；∴；∴AB⊥PQ1上；P在棱DDz∈[06]）设（2P（0yz）y12222≤λ≤1；∴0）；λ（0﹣36∴（0y﹣6z）=22；∴2y∴z=12﹣；2212﹣2y）；∴P（0y22；∴平面ABBA的一个法向量为；11A；∵PQ∥平面ABB11；）=0﹣∴=6（yy21=y；∴y21；y0）∴Q（62PQD的法向量为则：设平面；则取z=1；∴；AQD又平面的一个法向量为；的余弦值为﹣又二面角PQD﹣A；∴解得y=4；（舍去）或y=822；40P∴（4）且的高为﹣∴三棱锥PADQ4；==V．V∴ADQ三棱锥ADPQ四面体P﹣实用文档考查建立空间直角坐标系利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法点评：共线向量基本定理直线和平面平行时直线和平面法向量的关系平面法向量的概念以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系三棱锥的体积公式．2b＞+=1（：：x=4y的焦点F也是椭圆Ca22．分）（13（2021?湖南）已知抛物线C212．C与C的公共弦长为＞0）的一个焦点．21（Ⅰ）求C的方程；2同向．D两点且与、B两点与C 相交于C、C（Ⅱ）过点F的直线l与相交于A21的斜率；（ⅰ）若|AC|=|BD|求直线l总是钝F旋转时△MFD证明：直线处的切线与x轴的交点为Ml绕点（ⅱ）设C在点A1角三角形．直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程考创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题专2分析：的公共弦长为2=1再根据C 与Ca（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同得到﹣b21=1解得即可求出；得到22x+x）﹣4_______x+x）﹣4x=（x（（Ⅱ）设出点的坐标（ⅰ）根据向量的关系得kC构成方程组利用韦达定理分别代入得到关于设直线l的方程分别与C21方程解得即可；的坐标利用向量A处的切线方程求出点M在点（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1的乘积∠AFM是锐角问题得以证明．2解答：的一个焦C1）因为F也是椭圆x解：（Ⅰ）抛物线C：=4y的焦点F的坐标为（021点22=1①∴a﹣b2=4y轴对称且C的方程为xC又C与的公共弦长为2的都关于C与Cy12211的公共点的坐标为（±C与C）由此易知21②=1所以22=8a联立①②得=9b实用文档．故C的方程为+=12xy）C（xy）A（（Ⅱ）设A（xy）B （xy）同向且|AC|=|BD|（ⅰ）因为与所以=即x﹣x=x﹣x于是从而x ﹣x=x﹣x4213231422x③+x）﹣4x）（x+x﹣4_______=（y=kx+1则l的方程为设直线的斜率为k2x是这个方程的两根﹣由得x4kx﹣4=0而x214④+x所以x=4k_______=﹣211222）x+16kx﹣64=0而xx是这个方程的两根得（由9+8k43⑤_______=﹣x所以+x=4433将④⑤代入③1+2=（k+1）即1622×所以（9+8k）=169．解得k=±2得yx′=x（ⅱ）由=4yx﹣在点所以CA处的切线方程为yy=（xx）﹣11112_______即y=x﹣11x=x得令y=01）0xM（1=所以（1﹣x）1实用文档﹣1）而=（xy1122＞0=于是?x﹣y+1=x+1111AFM是钝角是锐角从而∠MFD=180°﹣∠因此∠AFMMFD总是钝角三角形．绕点F旋转时△故直线l本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系关键是联立方程构造方程利用韦达点评：的方程计算量大属于难题．定理以及向量的关系得到关于kax）（x[0∈+∞]）．记x为f202123．（13分）（?湖南）已知a＞0函数f（x）=esinx（xn_N）个极值点．证明：的从小到大的第n（n∈}是等比数列；（Ⅰ）数列{f（x）n_＜x|f（x）|恒成立．（Ⅱ）若a≥则对一切n∈Nnn考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．的根讨论根附近的导0（Ⅰ）求出导数运用两角和的正弦公式化简求出导数为分析：数的符号相反即可得到极值点求得极值运用等比数列的定义即可得证；_π﹣φ＜|f（恒成立．即为nx）|（Ⅱ）由sinφ=可得对一切n∈Nx＜nn π﹣φ）a（n求出=（te＞0）①设恒成立?＜g（t）导数求得最小值由恒成立思想即可得证．解答：axaxx+φ）′（x）=e （asinx+cosx）=?esin（证明：（Ⅰ）fφ=0＜φ＜tan_N∈≥0x+φ=mπ即x=mπ﹣φm′（令fx）=0由x）π﹣2k+2）π﹣φ＜）π＜x+φ＜（2k+2）π即（2k+1x＜（若（对k∈N2k+1φ）符mπ﹣φmπ）上f′（x﹣f则′（x）＜0因此在（（m1）πmπ﹣φ）和（号总相反．__N xn∈Nf（）取得极值所以x=nπ﹣φn∈x=n于是当π﹣φnπ﹣φ）aa（nπ﹣φ）n+1（nφ1）esin（﹣（）此时f（x=esinnπ﹣φ）=nπa是）≠f易知（x0而e==﹣n常数πa（π﹣φ）a故数列）e（f是首项为）}x{f（xsin=eφ公比为﹣的等比数列；1n实用文档_）|恒成立．x＜|f（x可得对一切（Ⅱ）由sinφ=n∈Nnnπ﹣φ）a（n恒成立?即为nπ﹣φ＜e＜①）=）=（t＞0）g′（t （设gt）递增．g′（t）＞0g（ttg当0＜t＜1时′（t）＜0g （）递减当t＞1时t=1时g（t）取得最小值且为e．=eg（1）因此要使①恒成立只需＜且0＜φ＜＞当a=tanφ==a只需π﹣φ2nn＜＜φ＜可得于是π﹣φ＜且当≥2时π﹣φ≥＞＞=e）a即因此an故①亦恒成立．_恒成立．|）x（|f＜x≥综上可得若a∈n则对一切Nnn本题考查导数的运用：求极值和单调区间主要考查三角函数的导数和求值同时考点评：查等比数列的定义和通项公式的运用考查不等式恒成立问题的证明属于难题．实用文档2021年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题共10小题每小题5分共50分湖南）已知=1+i（i为虚数单位）则复数z=（分）（2021?）1．（5A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．（5分）（2021?湖南）设A、B是两个集合则“A∩B=A”是“A?B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）（2021?湖南）执行如图所示的程序框图如果输入n=3则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）（2021?湖南）若变量x、y满足约束条件则z=3x ﹣y的最小值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．25．（5分）（2021?湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）则f（x）是（）A．奇函数且在（01）上是增函数B．奇函数且在（01）上是减函数C．偶函数且在（01）上是增函数D．偶函数且在（01）上是减函数实用文档5的项的系数为30则a=（（﹣）的展开式中含）x湖南）6．（5分）（2021?已知A．B．C．6D．﹣6﹣7．（5分）（2021?湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（01）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）2）则﹣N=（μa附“若_=0.6826．≤μ+σ）P（μ﹣σ＜_=0.9544．≤μ+2σ）p（μ﹣2σ＜_B．2718C．3413D．A．23864772228．（5分）（2021?湖南）已知ABC在圆x+y=1上运动且AB⊥BC若点P的坐标为（20）则||的最大值为（）B．7C．8．A6D．99．（5分）（2021?湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后则得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x）﹣g（x）|=2的x、x有|x﹣x|=min221211φ=（）A．B．C．D．10．（5分）（2021?湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削加工成一个体积尽可能大的长方体新工件并使新工件的一个面落在原工件的一个面内则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）实用文档D．C．A．B．分共25分5二、填空题共小题每小题5．）dx=11．（5分）（2021湖南）（x﹣1名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶35?湖南）在一次马拉松比赛中（5分）（202112．人735号再用系统抽样方法从中抽取图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣上的运动员人数151][139则其中成绩在区间．是使上存在点P=1的一个焦点．若C?湖南）设F是双曲线：﹣C 分）13．（5（2021．PF的中点恰为其虚轴的一个端点则C的离心率为线段成等S且=13S2S}2021（?湖南）设S为等比数列{a的前n项和若a（14．5分）321n1n．差数列则a=n=f）g使函数（x=f（分）2021?湖南）已知函数（x）若存在实数b5．15（．abx（）﹣有两个零点则的取值范围是实用文档三、简答题共1小题共75分16、17、18为选修题任选两小题作答如果全做则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2021?湖南）如图在⊙O中相较于点E的两弦ABCD的中点分别是MN直线MO与直线CD相较于点F证明：(1）∠MEN+∠NOM=180°(2）FE?FN=FM?FO．选修4-4：坐标系与方程：（t为参数）．以坐标原点为极点2021?湖南）已知直线lx17．（6分）（轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．(1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；）直线l与曲线C的交点为A5B求|MA|?|MB|的值．（2）设点M的直角坐标为（选修4-5：不等式选讲+．证明：且a+b=a＞0b＞0．18（2021?湖南）设（ⅰ）a+b≥2；222不可能同时成立．+b＜2与b＜（ⅱ）a+aBa=btanA且为钝角．aC的对边分别为、b、cBABC（19．2021?湖南）设△的内角A、、A=；（Ⅰ）证明：B﹣（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．（2021?湖南）某商场举行有奖促销活动顾客购买一定金额商品后即可抽奖每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球在摸出的2个球中若都是红球则获一等奖若只有1个红球则获二等奖；若没有红球则不获奖．(1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；实用文档(2）若某顾客有3次抽奖机会记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为_求_的分布列和数学期望．21．（2021?湖南）如图已知四棱台ABCD﹣ABCD的上、下底面分别是边长为3和6的正1111方形AA=6且AA⊥底面ABCD点P、Q分别在棱DD、BC上．111（1）若P是DD的中点证明：AB⊥PQ；11的余弦值为求四面体ADPQ的体积．﹣A二面角P﹣QDA （2）若PQ∥平面ABB112+=1（C：a＞b（2021?湖南）已知抛物线C：x=4y的焦点F 也是椭圆分）22．（13212＞0）的一个焦点．C与C的公共弦长为．21（Ⅰ）求C的方程；2与同向．、D两点且相交于A、B两点与C相交于CC（Ⅱ）过点F的直线l与21求直线l的斜率；（ⅰ）若|AC|=|BD|（ⅱ）设C在点A处的切线与x轴的交点为M 证明：直线l绕点F旋转时△MFD总是钝1角三角形．ax）（_______为f）x∈[0+∞]．记（x0?1323．（分）（2021湖南）已知a＞函数f（）=esinxn_）个极值点．证明：n∈N的从小到大的第n（}）是等比数列；（Ⅰ）数列{f（xn_|）（＜xNn则对一切∈a（Ⅱ）若≥|fx恒成立．nn。

2021年全国高考乙卷数学(理)试题(解析版)

设正方体棱长为2，则，
，所以 .
故选：D
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故 .
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故 .【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
8.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．

2021年高考真题：数学(理科)(全国甲卷)【含答案及解析】

2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（甲卷）理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ìü=<<=££íýîþ，则M N =I （）A.103x x ìü<£íýîþ B.143x x ìü£<íýîþC.{}45x x £< D.{}05x x <£2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A .312i --B.312i -+ C.32i -+ D.32i --4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259»）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.65.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF Ð=°=，则C 的离心率为（）A.2B.2C.D.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C ¢¢¢满足45A C B Ð¢¢¢=°，60A B C ¢¢Ð¢=°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ¢与CC ¢的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A B C ¢¢¢的高度差AA CC ¢¢-约为1.732»）（）A.346B.373C.446D.4739.若cos 0,,tan 222sin p a a a a æöÎ=ç÷-èø，则tan a =（）A.15B.C.3D.310.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.4511.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ^==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.12 B.12C.4D.412.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x Î时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f æö=ç÷èø（）A.94-B.32-C.74D.52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+r r r r r ．若a c ^r r ，则k =________．15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．16.已知函数()2cos()f x x w j =+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为________．三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ^（1）证明：BF DE ^；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．21.已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r q =．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =u u u ru u u r，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +³，求a 的取值范围．答案及解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}104,53M x x N xx ìü=<<=££íýîþ，则M N =I （）A.103x x ìü<£íýîþB.143x x ìü£<íýîþC.{}45x x £< D.{}05x x <£【答案】B 【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=££，所以1|43M N x x ìüÇ=£<íýîþ,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C 【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+´==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++´==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68´+´+´+´+´+´+´+´+´+´+´+´=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于´频率组距组距.3.已知2(1)32i z i -=+，则z =（）A.312i --B.312i -+C.32i -+ D.32i --【答案】B 【解析】【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++×-+====-+--×.故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259»）A. 1.5 B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C 【解析】【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解.【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-，则10.11010100.8V --===».故选：C .5.已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF Ð=°=，则C 的离心率为（）A.2 B.2C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF Ð=°,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-´××°，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---L 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C ¢¢¢满足45A C B Ð¢¢¢=°，60A B C ¢¢Ð¢=°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ¢与CC ¢的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A B C ¢¢¢的高度差AA CC ¢¢-约为1.732»）（）A.346B.373C.446D.473【答案】B 【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ^，过B 作'BD AA ^，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH Ð=°，所以100''tan15CH C B ==°在'''A B C V 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===°°°°°，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 304°=°-°=°°-°°=，所以1004''1)273A B ´´==+»，所以''''100373AA CC A B -=+»．故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9.若cos 0,,tan 222sin p a a a a æöÎ=ç÷-èø，则tan a =（）A.15B.5C.3 D.3【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin a a a a a a ==-，再结合已知可求得1sin 4a =，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin aa a=-Q 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin a a a aa a a a\===--，0,2p a æöÎç÷èøQ ，cos 0a \¹，22sin 112sin 2sin a a a \=--，解得1sin 4a =，cos 4a \==，sin tan cos 15a a a \==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin a .10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23 D.45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.11.已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ^==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.12 B.12C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】由题可得ABC V 为等腰直角三角形，得出ABC V 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ^==Q ，ABC \V 为等腰直角三角形，AB \=，则ABC V 外接圆的半径为2，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d ==，所以11111332212O ABC ABC V S d -=×=´´´´=V .故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x Î时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f æö=ç÷èø（）A.94-B.32-C.74D.52【答案】D 【解析】【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=Þ=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-Þ=Þ=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f æöæöæöæö=+=-+=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø1335112222f f f f æöæöæöæö-=-+=-+=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø511322=2222f f f f æöæöæöæö-=-+=--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø所以935222f f æöæö=-=ç÷ç÷èøèø．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f æöæöæö==-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++¢，所以1|5x y =-=¢．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+r r r r r ．若a c ^r r ，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c r的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==\=+=+r r r r Q r,(),33110a c a c k ^\=++´=Q n r r r r ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==r r垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.15.已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PF PF ^，设12||,||PF m PF n ==，利用勾股定理结合8m n +=，求出mn ，四边形12PFQF 面积等于mn ，即可求解.【详解】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.16.已知函数()2cos()f x x w j =+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f p p æöæöæöæö--->ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),(43f f p 4p-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T p p p =-=，即2T pp w==，所以2w =；由五点法可得232p p j ´+=，即6p j =-；所以()2cos 26f x x p æö=-ç÷èø.因为7()2cos 143f p 11p æö-=-=ç÷èø，()2cos 032f 4p 5p æö==ç÷èø；所以由74(()())(()(043f x f f x f p p--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f p p p æöæö=-<-=ç÷ç÷èøèø，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x p æö-<ç÷èø，解得,36k x k k p 5p p +<<p +ÎZ ，令0k =，可得536x <<pp ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f p æö=-<ç÷èø，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解w ，根据特殊点求解j .三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ³0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K ´-´==>>´´´,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ³时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n -=+=所以是等差数列.选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ³时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ³时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ^（1）证明：BF DE ^；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）见解析；（2）112B D =【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ^底面ABC ，所以1BB AB ^因为11//A B AB ，11BF A B ^，所以BF AB ^，又1BB BF B Ç=，所以AB ^平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2B A C B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ££）．（1）因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--uu u v u uu v，所以()()0121120BF DE a ×=´-+´+´-=uu u v uu u v，所以BF DE ^．（2）设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =u r，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--uu u v u u u v，所以00m EF m DE ì×=í×=îu u u v v u u u v v ，即()0120x y z a x y z -++=ìí-+-=î．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-v因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =u u u r，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为q ，则cos m BA m BA q ×===×u u u v v u u u v v ．当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos q3=．所以()minsin 3q ==，此时112B D =．【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出(),0,2D a （02a ££），在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步．20.抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点()2,0M ，且M e 与l 相切．（1）求C ，M e 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M e 相切．判断直线23A A 与M e 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M e 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ^，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +×与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ^\×=-=-=\=uu u r uu u r Q ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M e 与1x =相切，所以半径为1，所以M e 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为(3)3y x -=-，又1313313131,03A A y y k y x x y y -====\=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A Q 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-×=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|y -+=221==，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +×与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.21.已知0a >且1a ¹，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2æùçúèû上单调递增；2,ln2éö+¥÷êëø上单调递减；（2）()()1,,e e È+¥.【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x a x a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ¢--===n n n ,令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x ¢>,当2ln 2x >时，()0f x ¢<,∴函数()f x 在20,ln2æùçúèû上单调递增；2,ln2éö+¥÷êëø上单调递减；（2）()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==Û=Û=Û=,设函数()ln x g x x =,则()21ln xg x x-¢=,令()0g x ¢=，得x e =,在()0,e 内()0g x ¢>,()g x 单调递增；在(),e +¥上()0g x ¢<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e\==,又()10g =，当x 趋近于+¥时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<,所以a 的取值范围是()()1,,e e È+¥.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为r q =．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =u u u r u u u r，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y -+=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y qqì=-+ïí=ïî（q 为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos r q =，将cos ,sin x y r q r q ==代入可得；（2）设(),P x y ，设)Mq q +，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程r q =可得2cos r q =，将cos ,sin x y r q r q ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）设(),P x y ，设)Mq qQAP =u u u r u u u r ，())()1,22cos x y q q q q \-=+-=+，则122cos 2sin x y q q ì-=+ïí=ïî，即32cos 2sin x y qq ì=+ïí=ïî，故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y qq ì=+ïí=ïî（q 为参数）Q曲线C 的圆心为)，曲线1C 的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<-Q ，\两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M 的参数坐标，利用向量关系求解.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +³，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ³【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A æöç÷èø时a的值可求.【详解】（1）可得2,2 ()22,2x xf x xx x-<ì=-=í-³î，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg x x x x xxì-<-ïïï=+--=+-£<íïï³ïî，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a+=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f xg x图像，()y f x a=+是()y f x=平移了a个单位得到，则要使()()f x ag x+³，需将()y f x=向左平移，即0a>，当()y f x a =+过1,42A æöç÷èø时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a \³.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。

2021年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(含详细解析)

2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。

2021年一般高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，无答案）(1)

2021年一般高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分．在每一个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．知足(z i i i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i -- 2．对一个容量为N 的整体抽取容量为n 的样本，被选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方式抽取样本时，整体中每一个个体被抽中的概率别离是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p ==3．已知(),()f x g x 别离是概念在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++ (1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④6．执行如图1所示的程序框图，若是输入的[2,2]t ∈-，那么输出的S 属于A ．[6,2]--B ．[5,1]--C ．[4,5]-D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，那么能取得的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值持续两年持续增加，第一年的增加率为p ，第二年的增加率为q ，那么该市这两年生产总值的年平均增加率为A ．2p q +B ．(1)(1)12p q ++- C pq D (1)(1)1p q ++ 9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且那么函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π= 10．已知函数221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，那么a 的取值范围是A ．(e -∞B ．()e -∞C ．()e eD ．(,)e e- 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，若是全做，那么按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，那么AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，那么直线l 的极坐标方程是12．如图3，已知,AB BC 是O的两条弦，,AO BC AB BC ⊥==则O 的半径等于13．假设关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，那么a = （二）必做题（14－16题）14．假设变量,x y 知足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，那么k =15．如图4，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长别离为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>通过,b C F a=两点，则 16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0),A B C -动点D 知足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（本小题总分值12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率别离为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发彼此独立．（I ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（II ）假设新产品A 研发成功，估量企业可获利润120万元；假设新产品B 研发成功，估量企业可获利润100万元．求该企业可获利润的散布列和数学期望．18．（本小题总分值12分）如图5，在平面四边形ABCD中，12AD CD AC ＝，＝，（I ）求cos CAD ∠的值；（II ）若cos ,sin ,146BAD CBA ∠=-∠=求BC 的长． 19．（本小题总分值12分）如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O ==四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．（I ）证明：1;O O ABCD ⊥底面（II ）若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值．20．（本小题总分值13分）已知数列{n a }知足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（I ）假设{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值；（II ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 21．（本小题总分值13分）如图7，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右核心别离为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右核心别离为34,F F ，离心率为2e ．已知122e e =且24|| 1.F F = （I ）求12,C C 的方程；（II ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22．（本小题总分值13分）已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数（I ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（II ）若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围．。

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-湖南卷

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数31()i i-等于A.8B.－8C.8iD.－8i (D)2．“|x －1|＜2成立”是“x （x －3）＜0成立”的A ．充分而不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（B ）3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x+y 的最大值是A.2B.5C.6D.8(C)4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c =A.1B.2C.3D.4(B)5.设有直线m 、n 和平面α、β。

下列四个命题中，正确的是A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α（D ）6.函数f (x )=sin 2xcos x x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A.1B.12C.32(C)7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =2,AF FB = 则AD BE CF ++与BCA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A)8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)(B)9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2, AD AA 1=1, 则顶点A 、B 间的球面距离是B.C.2D.4(C)10.设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1），对于给定的n ∈N *,定义[][]2(1)(1)(1)(1)n n n n x C x x x x --+=--+，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数2n C 的值域是A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦(D)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。