离散系统的稳定性

Imaginary Axis
Nyquist Diagram 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
（3）幅频特性、相频特性
A() G(e jT ) () G(e jT )
例5： G(z) 0.393 , T 0.5s 画幅频曲线和相频曲线。
例1：连续控制系统 G(s) 1 s(s 1)
超前校正 D(s) 70 s 2
s 10
分析采样周期与系统的性能。
例2：伺服控制系统。 PID控制器，参数为：K=5, Ti=0.003,Td=0.0008。 选择采样周期T。
（1）Z沿单位圆变化；
（2）重复性； 主频区 s s
2
2
(3) G(e jT ) 是ω的偶函数，G(e jT )是的奇函数
（2）幅相特性（Nyquist)曲线
G(e jT ) G(z) zejT G() G()
Im
Im
Z平面
0
Re -1
0
G()
Re
G()
Nyquist稳定性判据：Z=P+N Z——闭环不稳定的极点数； P——开环不稳定的极点数： N——Nyquist顺时针包围-1的圈数；
（2） 由时域响应计算动态性能
(z)
z2
1.264z 0.104z
0.368
输入
R(
z)
1
1 z
1
C(z) (z) R(z)
1.264z1 1.396z2 0.945z3 0.851z4 1.008z5
1.05z6 1.008z7 0.976z8 L
进入5%的误差带
最大超调点
％ 40％
3.7 离散系统根轨迹法和频域法
3.7.1 根轨迹法 根轨迹的画法（与连续系统相同）
G(z) K
z 0.5
(z 0.7)( z 0.9)
%画根轨迹程序S4 z=tf('z',-1); g=(z+0.5)/((z-0.7)*(z-0.9)); axis('square'); rlocus(g),grid
1 z 2 a1z a2
如何确定主导极点和非主导极点？
距离原点最远的极点——主导极点； 模≤(主导极点的模)5——非主导极点可忽略； 非主导极点位于实轴——超调减小
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Z1.2 = 0.523? 0.636i
串联
0.8 Z- 0.2
非主导极点为复数极点
主导极点
考虑非主导极点
考虑非主导极点
3.7.2 离散系统频率特性
ts 6T
3.6.2 极点位置与动态响应的关系(定性分析）
（1） 极点位置位于实轴
G(z)
ci
z
z pi
R(z) 1 脉冲响应 c(k ) Z 1[G(z)R(z)] ci pik
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1 ④ -1<pi<0 ⑤ pi=-1 ⑥ pi<-1
（2）极点为复数
G(z) ci1z ci z z pi z pi1
pi,i1 pi e ji ci,i1 ci e ji
脉冲响应:
c(k) Z 1[G(z)R(z)] ci
p (e e ) k j(ki i ) i
j (ki i )
2 ci pi k cos(ki i ) 2 ci pi k cos(ikT i )
例：系统开环脉冲传递函数如下
D(z) 0.368(z 0.722) (z 1)(z 0.368)
T 1s
试绘制开环幅相特性曲线
解： 频率特性
D(e
jT
)
0.368(e jT (e jT 1)(e jT
0.722) 0.368)
用MATLAB画Nyquist曲线
Nyqusit曲线程序S5 w=[pi/6:0.01:pi]; z=[-.722];p=[1,0.368]; k=0.368; sys=zpk(z,p,k,1)； Nyquist(sys,w);
用MATLAB画bode图
G(z) 0.393 , T 0.5s (z 0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w);
周期重复，只画主频带 -22
用MATLAB画bode图 G(z) 0.393 , T 0.5s
(z 0.606)
解：频率特性
G(e jT )
0.393 (e jT 0.606)
(cosT
0.393 0.606
j sinT )
G(e jT )
0.393
[cos(0.5) 0.606]2 sin2(0.5)
G(e jT ) tan1 sin(0.5) cos(0.5) 0.607
（1）离散系统频率特性定义
连续系统
sint
Asin(t )
G(s)
频率特性 G( j) G(s) s j G() G()
离散系统
sinkT
Asin(kT )
G(z)
频率特性
G(e jT ) G(z) zejT G() G()
G(e jT )不是的有理函数
jω S平面
Im Z平面
0
σ
0
Re
离散系统频率特性：
(z 0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w); [mz1,gz1]=dbode(nz1, dz1,ts,w); subplot(2,1,1); plot(w,mz1); subplot(2,1,2); plot(w,gz1);
注意1： 闭环零点位置与动态响应的关系
(z z2 ) (z2 a1 z a2 )
假设：复数极点位于=0.5的等阻尼线上，与正实轴 夹角=18
▪ 闭环零点使超调量增加。 ▪ 闭环零点越靠近＋1，超调量越大。 ▪ 闭环极点角度越大，受零点影响越大。
注意2： 非主导极点与动态响应的关系
1 b0 z 2 b1z b2
幅值 2 ci pi k
振荡角频率 i
T
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1
i
i
T
例9：在z平面上有4对共扼复数， 试分析他们的脉冲响应。
极点位置与动态响应的关系（稳定状态）
▪ 极点位于单位园内正实轴上 单调衰减 极点离原点越近 衰减越快 极点位于原点衰减最快
▪ 复数极点位于单位园内 振荡衰减 极点与正实轴的角度越大振荡频率越高 极点位于负实轴上振荡频率最高