离散系统的稳定性
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
3.1 离散系统的稳定性分析
在Z 平面上，当δ为某个定值时z=eTs随ω 由-∞ 变到∞的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为 z=eTs ，而圆心角是随线性增大的。 当δ=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平 面上的是以原点为圆心的单位圆。 当δ<0时，|z|<1，即S平面的左半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的内部。 当δ>0时，|z|>1，即S平面的右半面映射到Z平 面上的是以原点为圆心单位圆的外部。
k 0.158kz G( z ) s( s 4) ( z 1)(z 0.368) 该系统的闭环Z传递函数为：
W ( z) G( z ) 0.158kz 1 G( z ) ( z 1)(z 0.368) 0.158kz
求得该系统的闭环Z特征方程为：
例3.1 某离散系统的闭环Z传递函数为
3.16z 1 w( z ) 1 1.792z 1 0.368z 1
解：根据已知条件w(z)的极点为 ：z1=0.237， z2=1.556 由于| z2 |=1.556＞1，故该系统是不稳定 的。
3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用
S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示
jω [S] jIm j [Z]
-1 0
1
0 -j Re
δ
图3.1
S平面与Z平面的映射关系
于是得到下面结论：
1．S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。 在S平面上，ω每变化一个ωs时，则对应在Z平面上重 复画出一个单位圆，在S平面中-ωs/2～ωs/2
的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多 个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称
面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小 于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的 闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平 面中的单位圆内时，系统是稳定的。
7-5离散系统的稳定性和稳态误差
(T − 1 + e − T ) z + (1 − e − T − Te − T ) = K ( z − 1)( z − e −T )
T =1
=
0.368 K ( z + 0.718 ) ( z − 1)( z − 0.368 )
Φ( z ) =
G( z ) 0.368 K ( z + 0.718 ) = 2 1 + G ( z ) z + ( 0.368 K − 1.368 ) z + ( 0.264 K + 0.368 )
例.设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求： 设有零阶保持器的离散系统如下图所示，试求： 1)当采样周期 分别为1s 0.5s时 1s和 1)当采样周期 T 分别为1s和0.5s时，系统的临界开环增益 K c 2)当 2)当 r (t ) = 1( t ) ，K = 1 ，T 分别为 0.1s,1s,2 s,4 s 时，系 统的输出响应 c (kT ) 。
1 = (1 − z ) K ⋅ Z 2 s ( s + 1) ( z − 1) K 1 1 1 ( z − 1) K = ⋅ Z 2 − + = z s s + 1 z s
−1
Tz z z ⋅ − + ( z − 1) 2 z − 1 z − e −T
1 ( z − 1)( z − 0.368) Φ e ( z) = = 2 1 + G ( z ) z − 0.736 z + 0.368
z1 = 0.368 + j 0.482 z2 = 0.368 − j 0.382
系统稳定，应用终值定理 系统稳定， 求稳态误差
第七节 离散系统的稳定性分析
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所 以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。 对采样系统稳定性分析主要建立在Z变换的 基础上。
连续系统的稳定性
连续系统稳定
所有特征根均具有负实部
方法：劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
在分析采样系统时，可以利用Z变换与拉氏变 换数学上的关系，找到Z平面与S平面之间的周 期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
离散时间系统稳定的充要条件
离散时间系统稳定的充要条件离散时间系统是指系统的输入和输出在时间上是离散的情况下进行的系统分析和设计。
而离散时间系统的稳定性是一个重要的性质，它决定了系统是否能够在一定范围内保持稳定的输出。
本文将介绍离散时间系统稳定性的充要条件。
一、离散时间系统的稳定性概念稳定性是指系统在有限时间内是否能够保持有限的幅值，而不会出现无限增长或发散的情况。
对于离散时间系统而言，其稳定性可以分为两类：绝对稳定和相对稳定。
绝对稳定是指系统的输出在有限时间内始终保持有限的幅值，不会发散或无限增长。
相对稳定是指系统的输出在有限时间内保持有限的幅值，但可能会在无穷时间后发散或无限增长。
二、离散时间系统的稳定性充要条件1. 线性时不变系统对于线性时不变系统而言，其稳定性充要条件是系统的传递函数的极点都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有极点的模长都小于1。
2. 有限冲激响应系统对于有限冲激响应系统而言，其稳定性充要条件是系统的冲激响应是绝对可和的。
也就是说，系统的冲激响应的绝对和是有限的。
3. 时变系统对于时变系统而言，其稳定性充要条件是系统的输入和输出序列都是绝对可和的，并且系统的输入和输出序列的绝对和都是有界的。
4. 有限差分方程系统对于有限差分方程系统而言，其稳定性充要条件是系统的差分方程的根都位于单位圆内。
也就是说，系统的所有根的模长都小于1。
5. 正态系统对于正态系统而言，其稳定性充要条件是系统的所有特征值的实部都小于等于零。
6. 离散时间系统的Lyapunov稳定性对于离散时间系统而言，其稳定性充要条件是系统的状态方程存在一个正定矩阵，使得系统的状态的Lyapunov函数是递减的。
三、离散时间系统的稳定性判定方法除了以上充要条件外，还可以通过以下方法判断离散时间系统的稳定性：1. 构造系统的Lyapunov函数。
通过构造系统的Lyapunov函数来判断系统的稳定性。
如果系统的状态的Lyapunov函数是递减的，则系统是稳定的。
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
2-d 连续-离散系统的稳定性、可控性与可观测性判据
一、稳定性
连续离散系统稳定性是指系统状态值不断变化，但随着时间的推移，系统的解不会离开某一区域或范围，满足系统的平衡。
可以用Lyapunov准则来判断一个系统的稳定性，即找出一个函数V，系统的长期行为是满足V的进行，且由此可以确定系统的长期行为的变化趋势。
此外，系统稳定性还可以通过极点分析方法来判断，即系统极值处被定义为极点，并从中探索该系统在极点上是否稳定，以及该极点处系统解是否存在漂移和消失。
二、可控性
可控性是指系统的响应是通过控制器实现的，系统可以通过增加输入电压或输出力量来改变系统的输出响应，从而达到预期的解决方案。
可控性分析要求系统具有足够的响应能力，可以通过增加输入电压来改变系统的行为，但它的响应有限制，不能随意增加，而且可能受外界环境约束。
三、可观测性
可观测性是指系统的特性是可以通过测量来获取的，即可以观察系统的特性，推断出它是如何变化的，并且根据以往所观察到的特征来推测它在将来的变化趋势。
可观测性分析可以使用状态空间方程，用于获得关于系统的当前及未来设计状态的量化描述，从而确定系统的特征及其变化趋势。
离散系统的稳定性条件和瞬态响应课件
非线性离散系统的稳定性条件
局部稳定性
对于非线性离散系统，局部稳定性是其重要的稳定性条件。 这意味着在系统的小扰动下，其状态轨迹应能逐渐恢复到原 始状态。
全局稳定性
全局稳定性是指无论系统受到多大的扰动，其状态轨迹都能 逐渐恢复到原始状态。对于非线性离散系统，全局稳定性的 条件通常更为严格。
稳定性条件的分析和计算方法
控制器优化
在满足稳定性条件的前提下，通 过优化控制算法，提高控制器的
性能和效率。
仿真实验
通过仿真实验，验证基于稳定性 条件和瞬态响应的综合控制方案
的有效性和优越性。
06
总结与展望
研究成果与贡献
建立了离散系统稳定性判据，证明了系统稳定的充分必要条件，为离散系统稳定性 分析提供了新的理论依据。
针对离散系统的瞬态响应问题，提出了新的优化算法，有效提高了系统的瞬态性能 ，为离散系统优化设计提供了新的思路。
稳定性的性质
稳定性具有等价性、传递性和不变性三个基本性质。
稳定性在离散系统中的重要性
01
02
03
保证系统正常运行
在离散系统中，稳定性是 保证系统正常运行的基础 ，只有稳定的系统才能避 免出现故障或崩溃。
优化系统性能
稳定性是优化系统性能的 前提，只有稳定的系统才 能发挥出其最佳性能。
保障安全
稳定性也是保障系统安全 的重要因素，不稳定的系 统容易遭受攻击或崩溃。
基于模型的方法
一种常用的协同优化方法是基于模型的方法。该方法通过 建立离散系统的数学模型，并采用优化算法来同时满足稳 定性和瞬态响应的约束条件。
实验设计法
另一种协同优化方法是实验设计法。该方法通过实验来探 索离散系统在不同参数下的稳定性和瞬态响应性能，并据 此选择合适的参数以实现协同优化。
7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
7-5 离散系统的稳定性与稳态误差2.离散系统稳定的充分必要条件 离散系统稳定 若离散系统在有界输入序列作用下，其输出 序列也是有界的 (1)时域中离散系统稳定的充分必要条件n m 线性定常差分方程 c( k ) = − ∑ ai c( k − i ) + ∑ b j r ( k − j ) i =1 j =0 n 齐次差分方程 c( k ) + ∑ ai c( k − i ) = 0 i =1特征方程α n + a1α n − 1 + a 2α n − 2 + ... + an = 0 特征根 α α ..., α 1, 2 n(1)时域中离散系统稳定的充分必要条件 线性定常差分方程 齐次差分方程 特征方程 特征根c( k ) =n c( k ) + ∑ a i c( k − i ) = 0 i =12.离散系统稳定的充分必要条件n m − ∑ ai c( k − i ) + ∑ b j r ( k − i =1 j =0j)α n + a1α n − 1 + a 2α n − 2 + ... + an = 0 α 1,α 2 ..., α n差分方程通解 n k k k k c( k ) = A1α 1 + A2α 2 + ... + Anα n = ∑ Aiα i 当|αi|<1时，必有k →∞lim c( k ) = 0i =1稳定的充要条件 特征根的模|αi|<17-5 离散系统的稳定性与稳态误差1.s域到z域的映射s = σ + jωz = e (σ + jω )T = eσT e jωTjz=esTz的幅值和相角?| z |= eσT∠ z = ωTjeσ 1Te −σ 2T−σ2σ11(2)Z域中离散系统稳定的充分必要条件 特征方程 D( z ) = 1 + GH ( z ) = 0 特征根 z1,z2,…,znjr(t) e(t) e*(t) E(z)c*(t) C(z)G(s) H(s)c(t)j1 稳定充要条件 特征根模小于1， 即|zi|<1例7-27 设离散系统如图，其中G(s)=10/s(s+1), c*(t) H(s)=1 ,T=1。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
离散控制系统的稳定性与鲁棒性分析
离散控制系统的稳定性与鲁棒性分析离散控制系统是现代控制工程中的重要研究领域之一。
稳定性与鲁棒性是离散控制系统设计与分析中需要关注的重要问题。
本文将对离散控制系统的稳定性与鲁棒性进行分析，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、离散控制系统的稳定性分析稳定性是离散控制系统设计中最基本的性能指标之一。
一个离散控制系统是稳定的，当且仅当系统的输出在有限时间内得到有界的响应。
稳定性分析的目标是确定离散系统在不同条件下是否稳定，并为系统设计提供理论依据。
离散控制系统的稳定性分析常见的方法是通过判据法进行。
常用的稳定性判据包括：1) Routh-Hurwitz判据；2) Nyquist判据；3) 极点位置法等。
这些判据通过检查系统的特征方程的根来判断系统的稳定性。
当然，要进行稳定性分析还需要考虑系统的输入，例如周期性输入、随机输入等。
对于周期性输入，可以应用周期函数的性质来分析系统的稳定性。
对于随机输入，可以采用功率谱等方法来进行稳定性分析。
二、离散控制系统的鲁棒性分析离散控制系统的鲁棒性是指系统对外界扰动或参数变化的适应能力。
鲁棒性分析的目标是确定系统在面对各种不确定性时的性能表现。
鲁棒性分析常应用于系统的设计和控制中，特别是当系统参数受到变化或不确定性时。
它可以通过敏感性函数、稳定裕度等指标来评价系统的鲁棒性。
常见的鲁棒性分析方法包括：1) 级数展开法；2) 小摄动法；3) 鲁棒优化等。
这些方法能够在系统参数扰动的情况下，分析系统的性能表现，从而确定系统的鲁棒性。
离散控制系统的鲁棒性分析在实际应用中具有重要意义。
在现实工程中，系统参数常常受到环境、温度等因素的影响，因此需要考虑系统的鲁棒性。
鲁棒性分析能够帮助工程师评估和改善系统的性能，提高系统的可靠性和稳定性。
三、稳定性与鲁棒性的关系稳定性和鲁棒性是离散控制系统分析中密切相关的概念。
稳定性是判断系统在给定输入情况下是否能保持有限输出的能力，而鲁棒性则是判断系统在面对外界扰动和参数变化时的适应能力。
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析
离散控制系统中的稳定性与鲁棒性分析离散控制系统是指由离散时间运行的控制系统，它采样输入和输出信号来完成控制功能。
稳定性和鲁棒性是离散控制系统设计中非常关键的问题，本文将对离散控制系统中的稳定性与鲁棒性进行详细分析。
一、稳定性分析稳定性是指在系统的输入和输出之间存在一种平衡状态，系统能够对输入信号作出适当的响应而不发生不可控制或不可预测的震荡或发散。
稳定性分析主要有零极点分布、Nyquist稳定判据和位置根判据等方法。
1. 零极点分析离散系统的稳定性与其极点的位置有关。
通常采用单位脉冲响应函数H(z)的零极点分布来分析系统的稳定性。
对于一阶离散系统而言，它的极点位置应满足|z|<1的条件才能保证系统的稳定性。
对于高阶系统，可以通过复平面法或者根轨迹法来分析系统的稳定性。
2. Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过绘制Nyquist图来判断系统的稳定性。
根据Nyquist稳定判据，如果系统的传输函数H(z)的极点都位于单位圆内，那么系统是稳定的。
否则，系统将会出现振荡或发散的现象。
3. 位置根判据位置根判据是通过对系统的传输函数进行倒数操作，然后判断所得到的新系统的极点位置来评估系统的稳定性。
位置根判据的基本思想是，如果倒数系统的极点位于单位圆外，那么原系统是稳定的。
二、鲁棒性分析鲁棒性是指系统具有对参数变化、环境变化或非线性因素的强鲁棒性，即保持系统的性能特性不因外界因素变化而发生较大改变。
在离散控制系统中，鲁棒性分析主要有灵敏度函数法、小增益界定理和鲁棒优化等方法。
1. 灵敏度函数法灵敏度函数法是通过构造灵敏度函数来分析系统的鲁棒性。
灵敏度函数可以用来评估系统对参数变化的敏感性。
如果灵敏度函数的幅值比较小，说明系统对参数变化不敏感，具有较好的鲁棒性。
2. 小增益界定理小增益界定理是一种常用的鲁棒性分析方法。
它基于系统的复值矩阵进行分析，通过确定复值矩阵的边界来评估系统的鲁棒性。
离散控制系统的稳定性分析与设计方法
离散控制系统的稳定性分析与设计方法离散控制系统的稳定性是控制工程中一个非常重要的概念，它涉及到系统的可靠性和性能。
本文将介绍离散控制系统的稳定性分析与设计方法，并讨论如何确保系统的稳定性。
一、稳定性分析离散控制系统的稳定性分析是通过对系统传递函数进行分析来确定系统是否稳定。
常用的稳定性判据有两种：时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的时域响应来确定系统的稳定性。
具体方法有零极点判据和步响应法。
零极点判据是通过确定系统传递函数的零点和极点位置来判断系统的稳定性。
一般来说，当系统的所有极点都位于单位圆内部时，系统是稳定的。
步响应法通过观察系统的步响应图来判断系统的稳定性。
当系统的步响应图趋于稳定状态并在有限时间内收敛到稳定值时，系统是稳定的。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率特性来确定系统的稳定性。
常用的频域方法有Nyquist判据和Bode图法。
Nyquist判据是通过绘制系统的Nyquist图来判断系统的稳定性。
当系统的Nyquist图不通过虚轴右半平面时，系统是稳定的。
Bode图法是通过绘制系统的Bode图来判断系统的稳定性。
当系统的幅频特性曲线和相频特性曲线满足一定条件时，系统是稳定的。
二、稳定性设计稳定性设计是通过设计控制器的参数来确保系统的稳定性。
通常有两种常见的设计方法：根轨迹法和PID控制器。
1. 根轨迹法根轨迹法是通过绘制根轨迹图来设计控制器的参数。
根轨迹图可以直观地显示系统的稳定性和性能。
设计过程中，可以根据系统的要求来调整控制器的参数，使得系统的根轨迹满足要求。
2. PID控制器PID控制器是一种常用的控制器，它包括比例、积分和微分三个部分。
PID控制器的设计可以根据系统的特性和需求来确定各个参数的取值。
比例部分可以控制系统的静态误差，积分部分可以消除系统的稳态误差，微分部分可以提高系统的动态响应。
通过合理地调整PID控制器的参数，可以实现系统的快速响应和稳定性。
离散控制系统的稳定性分析
离散控制系统的稳定性分析离散控制系统是一种由离散时间事件驱动的系统，它在控制工程中起着重要的作用。
稳定性分析是离散控制系统设计中的关键步骤，它可以帮助我们确定系统是否能够保持在稳定状态，并达到预期的控制效果。
本文将讨论离散控制系统的稳定性分析方法和应用。
1. 离散控制系统概述离散控制系统是一种以时序离散的方式进行操作和控制的系统。
它由输入、输出和状态三个主要部分组成。
其中，输入是指系统接收来自外部的信号或信息，输出是指系统作为响应产生的结果，状态是指系统在运行过程中的内在特征。
2. 稳定性的概念和分类稳定性是指系统在输入变化或干扰下是否能够保持有限范围内的响应。
离散控制系统的稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性两种情况。
绝对稳定性：系统在任何情况下都能保持有限范围内的响应，不会出现不受控制或不可预测的振荡或失控现象。
相对稳定性：系统在特定条件下能够保持有限范围内的响应，但可能受到输入变化或干扰的影响而出现逐渐增大的响应。
3. 稳定性分析方法离散控制系统的稳定性分析可以使用多种方法，以下是几种常用的方法：3.1 传递函数法传递函数是离散控制系统中描述输入输出关系的数学模型。
通过将系统表示为传递函数的形式，可以使用极点、零点、阶跃响应等特征来分析系统的稳定性。
例如，当系统的所有极点都位于单位圆内时，系统是稳定的。
3.2 极坐标法极坐标法是一种绘制离散控制系统零极点的图形方法。
通过绘制零极点在单位圆上的位置，可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于单位圆内，系统是稳定的。
3.3 稳定性判据法稳定性判据法是一种通过计算系统的稳定性判据来判断系统的稳定性的方法。
常用的稳定性判据包括李雅普诺夫稳定性判据、M行列稳定性判据等。
这些判据可以通过计算系统的特征值或特征向量来得到。
4. 稳定性分析的应用稳定性分析在离散控制系统设计和调试过程中有着广泛的应用。
它可以帮助工程师确定系统参数，设计合适的控制策略，并提供有效的故障诊断方法。
《离散系统的稳定性》课件
总结
离散系统稳定性评价的重要性
深入理解离散系统稳定性评价的意义和重要性，以 便于在实际工作中能够应用这些知识。
稳定性综合方案的选择
掌握稳定性综合方案的选择方法，了解如何根据不 同的需求和情况应用不同的方法。
离散系统的稳定性
探索离散系统的稳定性，学习稳定性分析方法、判据和综合方案。深入了解 离散系统的控制和评价，拓展你的知识领域。
概述
基本概念
了解离散系统的简介和基本概念，深化你对这个领域的理解。
稳定性的定义
明确什么是稳定性并学习如何评价离散系统的稳定性。
稳定性分析方法
零极点分布法
深入了解离散系统的零极点分布 法，以及使用该方法进行稳定性 分析的技巧。
根轨迹法
学习使用根轨迹法进行稳定性分 析，了解如何在Байду номын сангаас际中应用该方 法。
Nyquist准则
掌握Nyquist准则的基本知识，学 会使用该方法分析离散系统的稳 定性问题。
稳定性判据
1
判据一：零极点位置判定法
详细介绍零极点位置判定法，学习如何使用该方法确定离散系统的稳定性。
2
判据二：Hurwitz判据
PID控制器设计
深入了解如何使用PID控制器 进行离散系统的稳定性综合， 掌握该方法灵活性的优势。
应用案例
1
离散系统的控制案例分析
通过案例分析掌握离散系统的控制方法和技巧，了解在实际中如何设计稳定的离 散系统。
2
稳定性评价实例
详细介绍如何使用稳定性判据进行离散系统稳定性评价，学习如何在实际中应用 这些知识。
掌握Hurwitz判据的基本原理，了解如何使用它进行离散系统的稳定性分析。
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离散力学系统的稳定性判定与优化
离散力学系统的稳定性判定与优化离散力学系统是一类重要的力学系统，它由一系列离散的质点或刚体组成，通过相互作用力而产生运动。
在实际应用中，我们常常需要对离散力学系统进行稳定性判定和优化，以确保系统的可靠性和效率。
一、稳定性判定在离散力学系统中，稳定性判定是指系统在给定条件下是否能保持平衡或者稳定运动的能力。
稳定性判定的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过线性化系统方程来进行判断。
线性化是一种常用的数学方法，它将非线性系统方程在某一点附近进行近似，得到线性化的系统方程。
通过求解线性化系统方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
特征值的实部大于零，则系统不稳定；特征值的实部小于零，则系统稳定；特征值的实部等于零，则需要进一步分析。
除了线性化方法外，还有一些其他的稳定性判定方法，如李雅普诺夫稳定性判据和拉普拉斯变换法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题选择适合的方法进行稳定性判定。
二、优化方法离散力学系统的优化是指通过调整系统的参数或结构，使得系统在给定的性能指标下达到最优状态。
离散力学系统的优化问题可以分为单目标优化和多目标优化两种情况。
在单目标优化中，我们需要确定一个性能指标，如系统的能量消耗最小或者系统的振动幅度最小等。
通过建立数学模型，可以利用数值优化方法，如梯度下降法和遗传算法等，求解优化问题的最优解。
而在多目标优化中，我们需要考虑多个性能指标的综合效果。
多目标优化问题的解决方法有很多种，如加权和法、Pareto最优解法等。
这些方法可以帮助我们找到系统在多个性能指标下的最优解。
除了数值优化方法外，还有一些启发式算法，如模拟退火算法和粒子群算法等，可以用于求解离散力学系统的优化问题。
这些算法通过模拟自然界的某些行为，如退火过程和鸟群飞行等，来搜索最优解。
综上所述，离散力学系统的稳定性判定和优化是一个重要的研究领域。
通过合适的稳定性判定方法，可以判断系统的稳定性，并采取相应的措施进行修正。
而通过优化方法，可以使系统在给定的性能指标下达到最优状态。
离散系统稳定性判据
§ 5、4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1、 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L (5、17)称=e Ax 0的e x 为(5、17)的平衡状态(点)、 当A 奇异时, 有无数个平衡状态、 2、 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定:∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有-<≥e x k x k (),0ε;(2)渐近稳定:∃>0δ,使当-<e x x 0δ时,有→∞-=e k x k x lim ()0;(3)全局渐近稳定:任意∈nx 0R ,都有→∞-=e k x k x lim ()0;(4)不稳定:∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使->e x k x 10()ε对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定、 3、稳定性判别对定常系统(1)()x k Ax k +=若0e x =稳定(渐近稳定),则其它e x 也稳定(渐近稳定);若0e x =渐近稳定,则e x 必为一致全局渐近稳定; 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5、17)的解==kx k A x k 0(),0,1,2,L则渐近稳定⇔→∞→∞-==kk k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),⇔→∞=k k A lim 0⇔-→∞=k k TJ T1lim 0⇔→∞=kk J lim 0⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、其中J为A的若当形、如11......k kkkr r J JJJ J⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且再如11221111001000000k k kkk kk k kkkC CJ Cλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⇔A的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、 例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλL , 则T , 使⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦kkk kk n n A T T T T 112-1-12λλλλλλOO由此可得→∞<=⇔==ki i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλL L→∞⇔=kk A lim 0、定理5、12 系统为(5、17)的稳定性判定如下: (i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块就是一阶的; (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1、 对一般非线性系统+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,L (5、18)在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有定理5、13 对(5、18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足(i) V x k (())为正定;(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定; (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((())、 则=e x 0全局渐近稳定的、 若无(iii), 则=e x 0就是渐近稳定的;再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅就是稳定的、 定理用于定常系统(5、17), 即得定理5、14 线性定常离散(5、17)的=e x 0为渐近稳定⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程-=-TA PA P Q有唯一正定解P 证只证充分性,即已有对∀Q > 0, -=-TA PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k kk V x x Px (), 则有+++=-=-T T k k k k k kk V x V x V x x Px x Px 111()()()∆=-=-T TT kk kk x A PA P x x Qx (),显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定、例5、6 设⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦a x k x kb 0(1)()0 试分析稳定的条件、解 选Q = I , 则有-=-TA PA P I , 即 -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211122122212200100001 整理且比较, 得,1)1(,0)1(,1)1(22212211=-=-=-b p ab p a p要P 为正定, 需满足<<a b ||1,||1, (5、19)解出===--p p p ab1112222211,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定、实质上:<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1、。
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
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用MATLAB画bode图
G(z) 0.393 , T 0.5s (z 0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w);
周期重复，只画主频带 -22
用MATLAB画bode图 G(z) 0.393 , T 0.5s
例：系统开环脉冲传递函数如下
D(z) 0.368(z 0.722) (z 1)(z 0.368)
T 1s
试绘制开环幅相特性曲线
解： 频率特性
D(e
jT
)
0.368(e jT (e jT 1)(e jT
0.722) 0.368)
用MATLAB画Nyquist曲线
Nyqusit曲线程序S5 w=[pi/6:0.01:pi]; z=[-.722];p=[1,0.368]; k=0.368; sys=zpk(z,p,k,1)； Nyquist(sys,w);
（1）离散系统频率特性定义
连续系统
sint
Asin(t )
G(s)
频率特性 G( j) G(s) s j G() G()
离散系统
sinkT
Asin(kT )
G(z)
频率特性
G(e jT ) G(z) zejT G() G()
G(e jT )不是的有理函数
jω S平面
Im Z平面
0
σ
0
Re
离散系统频率特性：
(z 0.606)
画bode图程序S6
nz1=[0,0.369]; dz1=[1,-0.606]; ts=0.5; w=[0:0.01:6*pi]; dbode(nz1,dz1,ts,w); [mz1,gz1]=dbode(nz1, dz1,ts,w); subplot(2,1,1); plot(w,mz1); subplot(2,1,2); plot(w,gz1);
(z 0.606)
解：频率特性
G(e jT )
0.393 (e jT 0.606)
(cosT
0.393 0.606
j sinT )
G(e jT )
0.393
[cos(0.5) 0.606]2 sin2(0.5)
G(e jT ) tan1 sin(0.5) cos(0.5) 0.607
ts 6T
3.6.2 极点位置与动态响应的关系(定性分析）
（1） 极点位置位于实轴
G(z)
ci
z
z pi
R(z) 1 脉冲响应 c(k ) Z 1[G(z)R(z)] ci pik
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1 ④ -1<pi<0 ⑤ pi=-1 ⑥ pi<-1
（2）极点为复数
3.7 离散系统根轨迹法和频域法
3.7.1 根轨迹法 根轨迹的画法（与连续系统相同）
G(z) K
z 0.5
(z 0.7)( z 0.9)
%画根轨迹程序S4 z=tf('z',-1); g=(z+0.5)/((z-0.7)*(z-0.9)); axis('square'); rlocus(g),grid
注意1： 闭环零点位置与动态响应的关系
(z z2 ) (z2 a1 z a2 )
假设：复数极点位于=0.5的等阻尼线上，与正实轴 夹角=18
▪ 闭环零点使超调量增加。 ▪ 闭环零点越靠近＋1，超调量越大。 ▪ 闭环极点角度越大，受零点影响越大。
注意2： 非主导极点与动态响应的关系
1 b0 z 2 b1z b2
1 z 2 a1z a2
如何确定主导极点和非主导极点？
距离原点最远的极点——主导极点； 模≤(主导极点的模)5——非主导极点可忽略； 非主导极点位于实轴——超调减小
Z1.2 = 0.523? 0.63导极点为复数极点
主导极点
考虑非主导极点
考虑非主导极点
3.7.2 离散系统频率特性
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Real Axis
（3）幅频特性、相频特性
A() G(e jT ) () G(e jT )
例5： G(z) 0.393 , T 0.5s 画幅频曲线和相频曲线。
（2） 由时域响应计算动态性能
(z)
z2
1.264z 0.104z
0.368
输入
R(
z)
1
1 z
1
C(z) (z) R(z)
1.264z1 1.396z2 0.945z3 0.851z4 1.008z5
1.05z6 1.008z7 0.976z8 L
进入5%的误差带
最大超调点
％ 40％
（1）Z沿单位圆变化；
（2）重复性； 主频区 s s
2
2
(3) G(e jT ) 是ω的偶函数，G(e jT )是的奇函数
（2）幅相特性（Nyquist)曲线
G(e jT ) G(z) zejT G() G()
Im
Im
Z平面
0
Re -1
0
G()
Re
G()
Nyquist稳定性判据：Z=P+N Z——闭环不稳定的极点数； P——开环不稳定的极点数： N——Nyquist顺时针包围-1的圈数；
G(z) ci1z ci z z pi z pi1
pi,i1 pi e ji ci,i1 ci e ji
脉冲响应:
c(k) Z 1[G(z)R(z)] ci
p (e e ) k j(ki i ) i
j (ki i )
2 ci pi k cos(ki i ) 2 ci pi k cos(ikT i )
幅值 2 ci pi k
振荡角频率 i
T
① pi>1 ② pi=1 ③ 0<pi<1
i
i
T
例9：在z平面上有4对共扼复数， 试分析他们的脉冲响应。
极点位置与动态响应的关系（稳定状态）
▪ 极点位于单位园内正实轴上 单调衰减 极点离原点越近 衰减越快 极点位于原点衰减最快
▪ 复数极点位于单位园内 振荡衰减 极点与正实轴的角度越大振荡频率越高 极点位于负实轴上振荡频率最高
例1：连续控制系统 G(s) 1 s(s 1)
超前校正 D(s) 70 s 2
s 10
分析采样周期与系统的性能。
例2：伺服控制系统。 PID控制器，参数为：K=5, Ti=0.003,Td=0.0008。 选择采样周期T。