质点系的牛顿运动定律
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
质点系的牛顿运动定律
n
n
i1 Fi m1a1 m2 a2 m a 质点系的牛i顿1运动定i 律i
质点系的牛顿第二定律
例1：如图，质量为M、倾角为α的 斜面静止在粗糙的水平面上，质量 为m的滑块沿M粗糙的斜面以加速度 a下滑，求： （1）物体M受到地面的摩擦力大小 和方向。 （2）物体M受到地面的支持力大小
质点系的牛顿运动定律
F
1 2
质点系的牛顿运动定律
Fi
质点系各质点受系统以外力 F1、F2、…Fi…
mi
F1i Fi1
m1
F1
F31
F13
质点1
F3
m3
F1 F21 F31 Fi1 m1a1
各质点
… F21
F12
m2
F2 F12 F32 Fi2 m2a2
F2
Fi F1i F2i Fni miai
作用在质点系中的合外力，等于质点系的总质量和质心加 速度的乘积。
推论：
（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用下，
则它的质心始终不动。
（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用下，
则它的质心将以原来的速度做匀速直线运动。
（3）如果一个质点系在恒定合外力作用下，且质心的初速度为零
y
y
y
A
A
A
y A
x B
O
y A
B
B
O
O
A
B
B
B
O
O
C
D
质点系的牛顿运动定律
质心的应用
例2：在光滑水平面上，直立一 长度为l的均质杆AB，在如图所 示的坐标系中，(2)求杆从竖直 位置开始无初速倒下到触地的 过程中，端点A的轨迹方程。
质点运动定律及力学中守恒定律.pptx
一、质点系的动量定理
（theorem of mometum of a system of particles
）tt11tt22 ((FF21
F12 )dt F21 )dt
m1v1 m2v2
m1v10 m2 v 20
F1
因为内力 F F 0 ，故：
12
21
F2
F12
m1
F21
m2
牛顿是英国伟大的物理学家、数学家、天文 学家。
恩格斯说： “ 牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行 光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科 学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。”
1
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牛顿在自然科学领域里作了奠基的贡献，堪称科学巨匠。 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭。 1661年考上剑桥大学特里尼蒂学校， 1665年毕业。 这年正赶上鼠疫，牛顿回家避疫两年。在这期间他几乎考虑了一生中所研 究的各个方面，特别是他一生中的几个重要贡献： 万有引力定律、经典力学、微积分和光学。
（物体间相互作用规律）
明确： 力的作用是相互的 (同时存在，同时消失)
T＇ T
m P P＇
m
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地球
8
二、牛顿运动定律的应用
1、牛顿运动定律的适用范围
1）牛顿运动定律仅适用于惯性系；
2）牛顿运动定律仅适用于速度比光速低得 多的物体；
3）牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体。
4）牛顿第二定律只适用于质点或可看作质 点的物体；
质点系总动量的增量等于作用于该 系统合外力的冲量
强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。
质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
1.2大学物理(上)——质点动力学
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
牛顿运动定律 惯性力
矢量式运动函数直角坐标系极坐标系自然坐标系d s R d v Rd t d tθω===t dv a R dtα==22n v a RR==ω2.1 牛顿运动定律惯性力实用的惯性系：地面系：坐标轴固定在地面上—赤道处自转加速度a ~0.034 m/s2。
是一个较好的惯性系。
地心系：地心为原点，坐标轴指向恒星—绕太阳公转的向心加速度～6×10-3m/s2（g的10－3）。
是个更好的惯性系太阳系：太阳中心为原点，坐标轴指向恒星—绕银河中心的向心加速度～1.8×10-10m/s2。
是一个更加好的惯性系FK4系：是以选定的1535颗恒星平均静止位形作为基准的参考系。
目前最好的惯性系。
牛顿定律应用举例两类问题：已知力求运动；已知运动求力。
解题思路：确定研究对象；受力分析；建立坐标系分析运动情况；列方程求解；检验结果（量纲？特例？等）；2−GTθcos=GTcos=−θm1g-T=m1a1fμ-m2g=m2a2=m2(a1-a)m 1g-T=m 1a 1f μ-m 2g=m 2a 2=m 2(a 1-a)T= f μ212211)(m m a m g m m a ++−=211212)(m m a m g m m a +−−=2121)2(m m m m a g f T −==µN’>mg称超重N’<mg称失重由于地球的自转，地面参考系是一个转动参考系，在地面参考系中就能观察到科里奥利现象强热带风暴旋涡傅科摆摆面的旋转1851年傅科在巴黎（北半球）的一个大厅里悬挂摆长67 米的摆。
发现摆动平面每小时沿顺时针方向转过11ο15’角度。
北西东南离心力抵消, 也出现完全失重状态。
* 潮汐现象潮汐是海水的周期性涨落现象，一天两次涨潮。
“昼涨称潮，夜涨称汐”。
潮汐是月亮、太阳对海水的引力以及地球公转和自转的结果。
根据定量计算（略），月亮引潮力是太阳的2 倍多。
所以，潮汐主要是由月球引力引起！引潮力不仅作用在流体上，它对固体也有作用，使固体发生微小的形变。
牛顿运动定律及三大守恒定律总结
牛顿运动定律及三大守恒定律小结一、牛顿运动定律1.牛顿第一运动定律2.牛顿第二定律：dtv m d dt p d F )( == 在低速运动的条件下，a m dtvd m F == 在平面直角坐标系中，其投影式为：22dt x d m dt dv m ma F x x x ===，22dt yd m dt dv m ma F y y y === 在自然坐标系中，其投影式为dt dv m ma F ==ττ，ρ2v m ma F n n ==4.牛顿第三定律：2112f f-=二、动量守恒2.质点的动量定理：1212v m v m p p I-=-=在直角坐标系中的投影式为：x x t t x x mv mv dt f I 1221-==⎰，y y t t y y mv mv dt f I 1221-==⎰3.质点系的动量定理：P d dt F =，式中，∑=ii F F 为系统所受合外力，∑=ii P P为系统的总动量。
4.动量守恒定律，如果系统受合外力为零，即0==∑ii F F ，常矢量===∑∑ii i ii v m P P动量守恒定律的分量式：如果系统在某个方向上受合外力为零，如0==∑iixx FF ，则系统在该方向上的动量保持不变,常量===∑∑iixi iix x vm P P .5.碰撞，碰撞前后系统总动量保持不变的碰撞称为弹性碰撞，两物体碰撞后连成一体，具有相同速度的碰撞称为完全非弹性碰撞。
三、机械能守恒1.功：r d F dA ⋅=，⎰⋅=b ar d F A，功率 v F p ⋅=2.质点的动能定理：ka kb E E A -= 质点系动能定理，ka kb E E A -=+内外A3.作用力与反作用力的功: ⎰⋅=bar d f A 21214.保守力，作功与路径无关的力称为保守力。
⎰=⋅0r d f保守5.势能。
P E A ∆-=保重力势能 m g h E P =重；万有引力势能 r GmM E P 1-=引；弹性势能 221kx E P =弹 6.系统的功能原理：a b E E A A -=+非保内外7.机械能守恒定律：如果0=+非保内外A A ，则常量=+=P K E E E 四、角动量守恒1.质点的角动量：p r v m r L⨯=⨯=质点组的角动量：i i ii i i ip r v m r L⨯=⨯=∑∑2.质点所受的力矩：F r M⨯=质点系所受的力矩：外外i i iF r M⨯=∑3. 角动量定理质点的角动量定理： dt Ld M =质点系的角动量定理：dtLd M=外4.角动量守恒定律质点的角动量守恒定律：如果0=M ，则0=dtLd，亦即常量=L 质点系的角动量守恒定律：如果0=外M ，则0=dtLd，亦即常量=⨯=⨯=∑∑i i ii i i ip r v m r L。
第3讲 牛顿运动定律 转动定律
第3讲 牛顿运动定律 转动定律一、质心力学（牛二定律）：C F ma =质心运动定律：质点系质心运动的加速度与质点系所受全部外力的合力成正比，与质点系各质点的总质量成反比，这一定律称质心运动定律．C F ma =，C a为质点系质心运动的加速度．该定理表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此时应有的运动．运动关联：绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，称为约束．每个约束条件可用一个运动方程描写，称为约束方程．可用小量分析方法（微元法）确定它们的大小关系：设想物系各部分从静止开始匀加速运动极短时间t ∆，由()212x a t ∆=∆可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关物体在同时间内的位移比，便确定了两者加速度的大小关系． 加速度关联举例：（1）如图a 所示A 和B 的加速度的关系：a B =a A cot α．（2）如图b 所示A 、B 、C 间的加速度关系：a C =21(a A +a B ) ． （3）如图c 所示的加速度关系：当A 不动时，a B =a C ，方向向上；当C 不动时，a B =21a A ，方向向下． 则B 的加速度是A 和C 的叠加，即a B =c a a a -2．1．质量为M 的不光滑三角形木块ABC ，放在粗糙的地面上，如图所示，已知角度θ1和θ2，在AB 和BC 上分别有质量为m 1和m 2的两个滑块，它们分别以加速度a 1和a 2滑下，而三角形木块保持静止不动．试求：地面对三角形木块的支持力和摩擦力．2．如图所示，用一细绳跨过光滑的定滑轮，而在绳的两端各悬质量为m 1和m 2的物体，且有m 1＞m 2，求它们的加速度以及绳子两端的张力F 1和F 2．M3．如图所示的系统中滑轮与细绳质量均可忽略不计，细绳不可伸长，且它与滑轮间无摩擦．图中三个物体A 、B 、C 的质量分别为m 1、m 2、m 3，它们的加速度方向按图示设取，试求这三个加速度量的大小．4．如图，质量为M ，倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有质量为m 的小物块沿斜面下滑．试求：斜面在水平桌面上运动的加速度的大小．二、刚体力学（转动定律）：M I α=转动定律：刚体在合外力矩M 作用下，所获得的角加速度α与合外力矩M 大小成正比，与转动惯量I 成反比，即M I α=（转动的牛二定律）．转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量i m 与该质点到转轴的距离i r 的平方的乘积的总和，即21lim n i i n i I m r →∞=≡∑．从转动惯量的定义式可知，刚体的转动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况．在中学数学层面上，我们可以用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量．在此，我们先由类比法引入转动惯量I ．M5．如图所示，考虑到滑轮是有质量（滑轮的半径R ，质量M ，且质量只分布在圆的边缘）且是粗糙的．现用一细绳跨过定滑轮，而在绳的两端各悬质量为m 1和m 2的物体，且有m 1＞m 2，求它们的加速度以及绳子两端的张力F 1和F 2．假设细绳不可伸长，质量可忽略，它与滑轮之间没有相对滑动．6．一质量为m 半径为R 的均质圆筒，沿倾角为θ的粗糙斜面自静止无滑下滚，求静摩擦力、质心加速度，以及保证圆筒作无滑滚动所需最小摩擦系数？三、惯性力与惯性力矩牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立，简称惯性系．实验证明，地面已经是一个相当接近惯性系的参照系．一般情况下，相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以看作惯性系．牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动．为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，必须引入一个惯性力-F ma 惯．如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a ，那么可以假想非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma 、方向与a 的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用．例如，一物块A 放在倾角为θ 的光滑斜面B 上，问斜面B 必须以多大的加速度运动，才能保持A 、B 相对静止？可取B 作为参考系，A 在这个参照系中应静止．因为B 是相对地面有加速度的非惯性系，所以要加上一个惯性力F 惯=ma ，方向水平向右，a 的大小等于B 相对地面的加速度．由受力分析图可知：ma =mgtan θ , ∴a =gtan θ如在非惯性参考系中考虑物体的转动趋势，则应考虑惯性力的力矩——惯性力矩．7．在铅垂平面内有半径为R 的光滑圆环，另有小环m 套在大圆环上，可自由滑动，当大圆环以角速度ω绕过O 的竖直轴旋转时，求小环的平衡位置θ=？8．水平木板上有高度为H 的台阶，均质圆柱体放在面板上，自由地靠在台阶上，圆柱体的半径R ＞H ，木板在水平方向上以加速度a 向右运动，试问木板可能的最大加速度a max 为多大时，圆柱体尚未离开木板底座？（摩擦不计）9．如图所示，质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面惯上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m′和m，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度．。
质点动力学 牛顿运动定律
M
N1
aM N 2 Mg
N2
mg
amM
am amM aM
M： m： amM cos aM
x aM
y
0
amM sin
N 2 sin Ma M N 1 N 2 cos Mg 0
N 2 sin m(amM cos aM ) N 2 cos mg ma mM sin
解：（1）
mg F ma
dv dv 2lsg 1 xsg 2 sl 2lsv dt dx
A B x o
x
1 x vdv (1 ) gdx 2l v x 1 x 0 vdv 0 (1 2l ) gdx
2 1 2 1 x x 1 gx v (x ) g 0 v 2 gx 2l 2 2l
x
1-37 一根长为L、质量均匀的软绳，挂在一 半径根小的光沿木钉上，如图。开始时，BC =b. 试证：当BC = 2L/3时，绳的加速度为 a=g/3，速度为: 2 g 2 v ( L2 bL b 2 ) L 9 B 证明：设在任意时刻 t L-x AB L x, BC x
A
v N mg sin m R
2
N
dv dvds dv v dt dsdt Rd
mg
vdv Rg cos d
vdv
0
v
0
Rg cos d
A
1 2 v Rg sin 2
N
y
v 2 Rg sin
v N mg sin m R
fr
m
大学物理-质点动力学学(2024版)
在同一直线上。
(2) 分别作用于两个物体上，不能抵消。
F F
(3) 属于同一种性质的力。 (4) 物体静止或运动均适用。
四、牛顿定律的应用 例2-1. 质量为m的物体被竖直上抛，初
解题步骤： (1) 确定研究对象。隔离
速度为v0，物体受到的空气阻力数值与 其速率成正比，即f = kv，k为常数，求
曲线下面的面积表示。
F
A F dx
O xa
xb x
力 位移曲线下的面积表示力F 所作的功的大小。
一、功
元功
dA F dr
dA F dr
Fxdx Fydy Fzdz
例2-1、一质点做圆周运动 ，有一力 F F0 xi yj
作用于质点，在 质点由原点至P(0， 2R)点过程中，F 力做的功为多少？
惯性质量:物体惯性大小的量度。 引力质量: 物体间相互作用的“能 力”大小的量度。 思考：什么情况下惯性质量与引 力质量相等？
2. 牛顿第一定律(惯性定律)
任何物体都保持静止
或匀速直线运动态，直至
其它物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。
3. 力的数学描述： 大小、方向、作用
点—矢量
二、牛顿第二定律
L2
路 径 绕 行 一 周 ， 这 些
力所做的功恒为零，
a 若 A
F dr 0,
具有这种特性的力统
L
称为保守力。
若
A
F dr 0,
没有这种特性的力，
L
F 为保守力。 F 为非保守力。
统称为非保守力 或耗
保守力：重力、弹性力、万有引力、
散力。
静电力。
非保守力：摩擦力、爆炸力
五、势能
质点运动基本定律
研究对象：质点、质点系研究内容：质点运动状态变化的原因及遵循规律研究基础：以牛顿三定律为基础的经典力学理论提出提出定义了dt公式是瞬时关系，公式中的运动量定义1式在相对论力学中仍然有效，定义2公式定义的质量F=12二力同时存在、同时消失、相互依存；分别作用在两个物体上，不是平衡力；作用力和反作用力具有相同性质。
=G这里定义的物体质量反映了引力性质，称为引力质量重力是地球对其表面物体的引力引起的，有弹性力、张力、压力、摩擦力等都是原子、分子之间电磁力的宏观表现。
（1）弹簧中的弹性力弹性力可由虎克定律（Hooke law）确定。
即=−F kx（2）正压力接触是产生正压力的前提，挤压发生形变是产生正压力的关键。
（3）绳中的张力一般说来绳中各处的张力不一定相同，与绳子各处的形变、绳子的质量分布及运动状态有关。
（4）摩擦力是一种接触力，当两相互接触的物体之间有相对运动（或运动趋势）时，在接触面处产生一种切向力，其方向总是与相对运动（或运动趋势）的方向相反。
万有引力和电磁力都是长程力（与距离平方成反比），在宏观现象中起着重要作用。
3.强力存在于基本粒子之间的一种相互作用，力程短，作用范围在10-15米至10-16米。
强度大。
4.弱力粒子之间的另一种作用力，力程更短、强度很弱。
电弱相互作用已经统一，正在努力建立4种二、牛顿定律的适用范围1.牛顿定律只适用于惯性系牛顿定律成立的参照系叫做惯性系。
牛顿定律不成立参照系叫做非惯性系。
2.牛顿定律只适用于低速宏观平动物体低速：物体速度远低于光速.宏观：物体尺寸远大于原子的尺度.三、利用牛顿定律解题步骤选惯性系，取隔离体。
受力分析，列矢量方程。
建立坐标，写投影方程。
求解分析。
ROt F f nF N分析受力，列出矢量方程：选地面参照系和隔离体：选择坐标求解分析：ROt F f nF N经典时空观综述：θiF mgTF引入平均冲力动量定理由牛顿第二定律导出，它适用于惯性在应用中一般采用分量形式：F 12F21m2F 1 F 2m10()0n n n t i i i i i t i 1i 1i 1F dt m m υυ====−∑∑∑∫∫−==tt 0P P dt F I或可写为2.动量守恒定律当满足:0F i=∑由动量定理得i i m υ=∑恒矢量对n 个质点构成系统有作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
质点运动的基本定律
r r r b r r F dr = ∫ ( F1 + F2 + L) dr
a
v v d A F d r v r (4)功率 (4)功率 P = = = Fυ dt dt
= ∑ Ai
21
r r [ e .g 2 4 ]已知: m = 2 kg , F = 12 t i , υ 0 = 0 已知: (1 内变力的功; 求: )前 2 s 内变力的功; (2)第1s末和第 2 s 末的功率. 末的功率. xb b r tb r A 解: = ∫ F dr = ∫ Fx dx = ∫ 12 t υ d t
2 0
2
2 0
= 140( N.S)
I = mυ mυ0
∴υ = 24(, F = t i ( sI ),当t = 0 时 已知: m r r 且通过坐标原点, υ0 = 2 j m / s,且通过坐标原点, r r υ 求: ( t ) = ? r ( t ) = ? r
υ
υ =
1+
υ0 υ0
R
6
t
第二节 力学相对性原理和非惯性系
一,伽利略相对性原理
结论1: 结论1:在相对于惯性系做匀速直线运动 1:在相对于惯性系做匀速直线运动 的参照系中所总结的力学规律与 惯性系中相同. 惯性系中相同. 结论2: 2:相对于惯性系作匀速直线运动的 结论2:相对于惯性系作匀速直线运动的 一切参照系都是惯性系. 一切参照系都是惯性系.
5
v m P22——[ P22——[例2-1] f R 已知: 已知:m ,R , ,υ 0 o N 求:υ(t),s(t) 2 υ 解: N = m R dυ fr = N = m dt t = 1 1 2 dυ υ R υ υ0 m = m
第2章_质点动力学
重点掌握变力的问题!
11
例：一根长为L，质量为M的柔软的链条，开始时链条 静止，长为L－l 的一段放在光滑的桌面上,长为l 的一段 铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度；(2)求 链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。 M dv dv dx dv xg 解： F xg Ma , a v L dt dt dx L dx
（1） F合 ma （2） a a a0
在加速平动参照系中： F惯 ma0 此时，F F惯 ma （4）
（4）式就在形式上与牛顿第二定律保持一致。
18
在加速平动参照系中：F惯 ma0
惯性力大小： 运动质点的质量m与非惯性系加速度 a的乘积。
*2.1.4 非惯性系 惯性力 非惯性系：相对于惯性系做加速运动的参考系。
在非惯性系内牛顿定律不成立。 1.平动加速系
设有一质点质量为m，相对于某一惯性系S，根据 牛顿第二定律，有： （1） F ma
合
设有另一参照系S/，相对于惯性系S以加速度
动，在S/参照系中，质点的加速度为
由运动的相对性，有：a a a0
2
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加 速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成 反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
数学形式：F ma 或 F m dv dt
在直角坐标系Oxyz中： 在自然坐标系中 ：
Fix max Fiy ma y Fiz maz
在匀角速转动参考系中应用牛顿定律， 必须设想物体又受到另外一个与拉力大小相 等但方向相反的惯性力的作用，
2 Fi mω r
质心系中质点组的运动定律【精选】
质心系中质点组的运动定律宁国强1. 引言众所周知，牛顿运动定律是在惯性系中低速情况下才成立的规律。
所以，以牛顿运动定律为基础而推导出来的一些运动定律当然也都只能在惯性系中才成立[1~4]。
在研究和解决力学问题时通常选用惯性参考系，但在许多情况下选用非惯性参考系可能会使问题简单化[5~8]。
在非惯性系中引入惯性力以后，牛顿运动定律可以沿用，但其推导出的运动定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表达式又如何呢？本文将导出质心坐标系（质心坐标系既可以是惯性系，也可以是非惯性系）中质点组的运动定律，并以此为基础讨论质心坐标系中的碰撞与散射现象。
2. 质心参考系以质点组的质心为原点，坐标轴与静止惯性参考系平行，这种参考系称为质心参考系或质心系。
根据质心和质心参考系的定义，可以知道质心参考系的特征。
由质心定义可知，在质心参考系中，质心的位置矢量为.（2-1）0='='∑∑ii i c m r m r将对时间取一阶导数，得c r '.(2-2)0i i c im v v m ''==∑∑由上式知.(2-3)0i i m v '=∑公式（2—3）说明了质点组对质心的总动量为零，这个结论是质心参考系定义的直接结果，与质点组整个系统的运动无关系，它反映出了质心参考系的特征。
因此，我们称质心参考系为零动量参考系。
正是由于有了这一特征，才能使得质心参考系成为讨论质点组运动的重要参考系[9~11]。
质心参考系既可以是惯性系，也可以是非惯性系。
由质心运动定理 可知，我们所研究的系统，如果所∑==dtv d m r m F cci 01受的合外力为零，则质心C 在静止惯性参考系中以恒定速度作惯性运动，此c V时质心参考系也是惯性参考系。
如果所受合外力不为零，则质心相对于静止惯性系作加速运动，这样，质心参考系就不再是惯性参考系，而是非惯性参考系。
3. 质心系中质点组的运动定律3.1 质心系中质点组的动量定理和动量守恒定律若在非惯性系中引入惯性力，则可以导出适用于非惯性系的动量定理，推导如下：设有一质心系(以下简称系)相对另一惯性系（以下简称C x y z '''-k 'O xyz -系）作加速运动，系原点在系中的加速度用表示，现有个质点组成k k 'k c an 的质点系相对系作加速运动，表示各质点相对系原点的位矢，k n r r r ''',,,21k '表示各质点相对于系运动的速度。
力学第三章动量&牛顿运动定律&动量守恒定理2
由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。
火箭运动
嫦娥二号
动画演示
例题
[例题] 一质量均匀分布的柔软细绳开始时盘绕在水平桌面上。 （1）现以一恒定的加速度a竖直向上提绳，当提起的高度为h时， 作用于绳端的力为多少？ （2）若以一恒定的速度v竖直向上提绳，当提起的高度仍为h时， 作用于绳端的力又为多少？
例题
[例题]如图表示一战车，置于摩擦很小的铁轨上，
m1 ，炮弹质量为 m2 ，炮筒与水平面夹角 θ 角。 v v v 炮弹以相对于炮口的速度为 2 射出，求炮身后坐速率 v1 。
车身质量为 y
x
例题
[解] 本题铅直方向动量不守恒。水平方向动量守恒 炮弹相对于地面的速度 由图得
v v v v = v1 + v2
火箭运动
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 合并前的速度为 u，根据动量定理有：
v v v v v Fdt = ( m + dm)(v + dv ) − ( mv + dmu )
(3)系统内力为冲力，外力大小有限时，往往可忽略外力， 系统动量守恒。 例如：爆炸过程中，可忽略爆炸物的重力。
从而改变系统内的动量分配；
动量守恒定律
(4)动量守恒定律是自然界中最重要的基本规律之一。 当质点运动速率与光速相比不可忽略时，有
m=
m0 1 − (v c )
2
当v << c 时，m = m0
质点系的动量矩定理
质点系的动量矩定理
动量矩定理是牛顿运动定律的一种推广形式，它描述了质点系的运动状态变化和外力作用之间的关系。
动量矩定理的表述是：质点系受外力作用的时间变化率等于外力对该系统的动量矩。
具体地，若一个质点系受到外力作用，它的动量矩为系统中每个质点动量的矢量和与相应位置矢量的矢量积之和。
当系统受到外力作用时，外力对系统的动量矩的时间变化率等于系统内每个质点所受的所有力矢量的动量矩之和。
动量矩定理是运动定律的一种推广形式，它适用于质点系和刚体系等各种物理体系。
它描述了物体的运动状态变化和外力作用之间的关系，具有重要的理论和实际意义。
在应用动量矩定理时，需要注意一些问题。
首先，需要正确地计算质点系内各个质点的动量和动量矩，确定外力的作用方式和方向。
其次，需要综合考虑系统的运动状态和外力作用的变化规律，进而推导出动量矩定理的具体表达式。
总之，动量矩定理是物理学中的一项重要理论，它描述了物体的运动状态变化和外力作用之间的关系。
在实际应用中，能够正确地应用动量矩定理，可以为我们解决许多有关物体运动的问题提供有效的理论依据。
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质点系的牛顿运动定律 The manuscript was revised on the evening of 2021质点系的牛顿运动定律两个或两个以上相关联的质点组成物体系统，称为质点系．高中物理又常称之为连接体。
对于质点系，同样可以运用牛顿运动定律求解。
解答连接体问题的基本方法解答连接体问题的基本技巧和方法主要有整体法和隔离法。
一整体法:将相对位置不变的物体系作为一个整体来研究的方法. 二隔离法:将研究对象与周围物体分隔开来研究的方法.例1、用质量为m 、长度为L 的绳沿着光滑水平面拉动质量为M 的物体，在绳的一端所施加的水平拉力为F ， 如图1所示，求：(1)物体与绳的加速度； (2)绳中各处张力的大小(假定绳的质量分布均匀，下垂度可忽略不计。
)分析与解：(1)以物体和绳整体为研究对象，根据牛顿第二定律可得：F=（M+m ）a,解得a=F/(M+m).(2)以物体和靠近物体x 长的绳为研究对象，如图2所示。
根据牛顿第二定律可得：F x =(M+mx/L)a=(M+x L m )mM F+ .由此式可以看出：绳中各处张力的大小是不同的，当x=0时，绳施于物体M 的力的大小为F mM M+。
连接体问题的类型连接体问题的类型有两类： 一是连接体中各物体加速度相同； 二是连接体中各物体加速度不同。
如果连接体中各物体加速度相同，可以把系统中的物体看成一个整体，先用整体法求出连接体的共同加速度. 若加速度不同，一般采用隔离法. 如果要求连接体中各物体之间的相互作用力，则可采用整体法和隔离法联合使用.图1M 图2M例2.两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块A、B质量分别为m1、m2，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力（）.A.等于零B.方向沿斜面向上C.大小等于μ1m2gcosθD.大于等于μ2m2gcosθ【解析】把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加速度为a，由牛顿第二定律（m1 +m2）gsinθ-μ1（m 1 +m 2）gcosθ=（m1 +m 2）a，得： a=g（sinθ-μ1 cosθ）.由于a<gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必须受到A 对它沿斜面向上的静摩擦力，设摩擦力为F B（如图所示）.由牛顿第二定律：m 2 gsinθ-F B =m 2 a，得：F B =m 2 gsinθ-m 2 a=m 2 gsinθ-m 2 g（sinθ-μ1 cosθ）=μ1 m2 gcosθ.【答案】 C例3．如图所示，质量为M 的木板放在倾角为θ的光滑斜面上，质量为m 的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑。
（1）要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什么方向跑动？（2）要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向运动？解：（1）对板，沿坐标x 轴的受力和运动情况如图所示，视为质点，由牛顿第二定律可得：f 1-Mgsin θ=0对人，由牛顿第三定律知f 1/与f 1等大反向，所以沿x 正方向受mgsin θ和f 1/的作用。
由牛顿第二定律可得： f 1+mgsin θ=ma 由以上二方程联立求解得mg m M a θsin )(+=，方向沿斜面向下。
（2）对人，沿x 轴方向受力和运动情况如图所示。
视人为质点，根据牛顿第二定律得：mgsin θ-f 2=0对板，由牛顿第三定律知f 2/和f 2等值反向。
所以板沿x 正方向受Mgsin θ和f 2/的作用。
据牛顿第二定律得：f 2+Mgsin θ=Ma由上述二式解得Mg M m a θsin )(+=，方向沿斜面向下。
连接体的临界问题在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、f 2“刚好”等词语时，往往会有临界现象.此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
例4、如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。
当滑块至少以加速度a= 向左运动时，小球对滑块的压力等于零；当滑块以a=2g 的加速度向左运动时，线中拉力T= 。
分析与解：当滑块具有向左的加速度a 时，小球受重力mg 、绳的拉力T 和斜面的支持力N 作用，如图所示。
在水平方向有：Tcos450-Ncos450=ma; 在竖直方向有：Tsin450-Nsin450-mg=0. 由上述两式可解出：45cos 2)(,45sin 2)(a g m T a g m N +=-=由此两式可看出，当加速度a 增大时，球受支持力N 减小，绳拉力T 增加。
当a=g 时，N=0，此时小球虽与斜面有接触但无压力，处于临界状态。
这时绳的拉力T=mg/cos450=mg 2.当滑块加速度a>g 时，则小球将“飘”离斜面，只受两力作用，如图所示，此时细线与水平方向间的夹角α<450.由牛顿第二定律得：Tcos α=ma, Tsin α=mg,解得mg g a m T 522=+=。
【例5】一弹簧秤放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量m 1 =10.5kg，Q的质量m 2 =1.5kg，弹簧的质量不计，个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前时间内，F为变力，以后，F为恒力.求力F的最大值与最小值.（取g=10m/s 2）.【分析】（1）P做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力.P受到的外力共有3个:重力、向上的力F及Q对P的支持力N ，其中重力m1g 为恒力，N 为变力，题目说以后F为恒力，说明t=的时刻，正是P与Q开始脱离接触的时刻，即临界点.（2）t=的时刻，是Q对P的作用力N 恰好减为零的时刻，此时刻P与Q 具有相同的速度及加速度.因此，此时刻弹簧并未恢复原长，即不能认为此时刻弹簧的弹力为零.（3）当t=0时刻，应是力F最小的时刻，此时刻F小 =（m1 +m 2）a（a为它们的加速度）.随后，由于弹簧弹力逐渐变小，而P与Q受到的合力保持不变，因此力F逐渐变大，至t=时刻，F增至最大，此时刻F大 =m1（g+a）.以上三点中第（2）点是解决此问题的关键所在，只有明确了P与Q脱离接触的瞬间情况，才能确定这时间内物体的位移，从而求出加速度a，其余问题也就迎刃而解了.【解】设开始时弹簧压缩量为x1，t=时弹簧的压缩量为x 2，物体P的加速度为a，则有kx 1 =（m 1 +m 2 ）g. ① kx 2 -m 2 g=m 2 a. ②x 1 -x 2 =21at 2 . ③由①式，15.0)(211=+=k gm m x解②③式，a=6m/s 2 ，则N a m m F 72)(21=+=小 N a g m F 168)(1=+=大系统的牛顿第二定律内容：若系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为m 1、m 2、m 3 … ，加速度分别为a 1、a 2 、a 3 … ，这个系统受到的合外力为F 合，则这个系统的牛顿第二定律的表达式为：F 合 = m 1 a 1+ m 2 a 2 + … + m n a n 其正交表达式为：F x 合 = m 1 a 1x + m 2 a 2x + … + m n a n x F y 合 = m 1 a 1y + m 2 a 2y + … + m n a n y若一个系统内各物体的加速度不相同，而又不需要求系统内物体间的相互作用力时，利用此公式对系统列式较简捷．因为对系统分析外力，可减少未知的内力，使列式方便，大大简化了数学运算．例6．如图所示，静止于粗糙的水平面上的斜劈Ｍ的斜面上，一物体ｍ沿斜面向上匀减速运动，那么，斜劈受到的水平面给的静摩擦力的方向怎样？分析与解：把Ｍ和ｍ看作一个系统，这个系统在竖直方向受到向下的重力和竖直向上的支持力；在水平方向受到摩擦力ｆ的方向待定．斜劈Ｍ的加速度ａ１＝０，物体ｍ的加速度ａ２沿斜面向下．将 分解成水平分量和竖直分量，对整体的水平方向运用牛顿第二定律：F x 合 = Ｍ a 1x + m a 2x 得：x ma f 2= ．因为f 与x a 2同方向，所以Ｍ受到的摩擦力水平向左．例7．如图所示，质量分别为m A 、m B 的两个物体A 、B ，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A 置于倾角为θ的斜面上，B 悬空．设A 与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A 在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力和地面对斜面体的支持力的大小．【解析】设绳中张力为F T ，A 、B 运动的加速度的大小为a ， 对A 在沿斜面方向由牛顿第二定律有：m A g sin θ-F T = m A a对B 在竖直方向由牛顿第二定律有：F T -m B g = m B a联立上两式得：a = (m A sin θ-m B )gm A+m B，F T =m A m B (1+sin θ)gm A +m B此时A 对斜面的压力为F N1 = m A g cos θ，斜面体的受力如图所示在水平方向有：F +F T cos θ = F N1sin θ在竖直方向有：NN T T F F F F Mg =+++θθcos sin 1F N得：F =m A (m A sin θ-m B )gm A +m Bcos θ.BA AB B A N m m gm m g m m M F +--++=2)sin ()(θ 解法二．设绳中张力为F T ，A 、B 运动的加速度的大小为a ， 对A 在沿斜面方向由牛顿第二定律有：m A g sin θ-F T = m A a对B 在竖直方向由牛顿第二定律有：F T -m B g = m B a联立上两式得：a = (m A sin θ-m B )gm A +m B对系统由牛顿第二定律：水平方向：F = Ｍa 1x + m A a 2x +m B a 3x = 0+m A acos +0 = m A (m A sin θ-m B )gm A +m B cos θ 竖直方向：取向下为正方向，am a m a m a m Ma F g m g m Mg B A yB y A y N B A -+=++=-++θsin 0321所以：BA AB B A N m m gm m g m m M F +--++=2)sin ()(θ练习1．雨滴在下落过程中，由于水汽的凝聚，雨滴质量将逐渐增大，同时由于下落速度逐渐增大，所受阻力也将越来越大，最后雨滴将以某一速度匀速下降，在雨滴下降的过程中，下列说法中正确的是 （ C ）A ．雨滴受到的重力逐渐增大，重力产生的加速度也逐渐增大B ．雨滴质量逐渐增大，重力产生的加速度逐渐减小C ．由于雨滴受空气阻力逐渐增大，雨滴下落的加速度将逐渐减小D ．雨滴所受重力逐渐增大，雨滴下落的加速度不变2．如图所示，质量相同的木块A、B，用轻质弹簧连接处于静止状态，现用水平恒力推木块A，则弹簧在第一次压缩到最短的过程中（）A．A、B速度相同时，加速度a A = a BB．A、B速度相同时，加速度a A>a BC．A、B加速度相同时，速度υA<υBD．A、B加速度相同时，速度υA>υB3、如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。