质点系的牛顿运动定律

质点系的牛顿运动定律 The manuscript was revised on the evening of 2021

质点系的牛顿运动定律

两个或两个以上相关联的质点组成物体系统，称为质点系．高中物理又常称之为连接体。对于质点系，同样可以运用牛顿运动定律求解。

解答连接体问题的基本方法

解答连接体问题的基本技巧和方法主要有整体法和隔离法。 一整体法:将相对位置不变的物体系作为一个整体来研究的方法. 二隔离法:将研究对象与周围物体分隔开来研究的方法.

例1、用质量为m 、长度为L 的绳沿着光滑水平面拉动质量为M 的物体，在绳的一端所施加的水平拉力为F ， 如图1所示，求：

(1)物体与绳的加速度； (2)绳中各处张力的大小(假定绳的质量分布均匀，下垂度可忽略不计。)

分析与解：(1)以物体和绳整体为研究对象，根据牛顿第二

定律可得：

F=（M+m ）a,解得a=F/(M+m).

(2)以物体和靠近物体x 长的绳为研究对象，如图2所示。根据牛

顿第二定律可得：F x =(M+mx/L)a=(M+x L m )m

M F

+ .

由此式可以看出：绳中各处张力的大小是不同的，当x=0时，绳施于物体M 的力的大小为

F m

M M

+。

连接体问题的类型

连接体问题的类型有两类： 一是连接体中各物体加速度相同； 二是连接体中各物体加速度不同。

如果连接体中各物体加速度相同，可以把系统中的物体看成一个整体，先用整体法求出连接体的共同加速度. 若加速度不同，一般采用隔离法. 如果要求连接体中各物体之间的相互作用力，则可采用整体法和隔离法联合使用

.

图1

M 图2

M

例2.两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图所示，滑块A、B质量分别为m1、m2，A与斜面间的动摩擦因数为

μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静

止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦

力（）.

A.等于零

B.方向沿斜面向上

C.大小等于μ1m2gcosθ

D.大于等于μ2m2gcosθ

【解析】把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加

速度为a，由牛顿第二定律

（m1 +m2）gsinθ-μ1（m 1 +m 2）gcosθ=（m1 +m 2）a，

得： a=g（sinθ-μ1 cosθ）.

由于a

由牛顿第二定律：

m 2 gsinθ-F B =m 2 a，

得：F B =m 2 gsinθ-m 2 a

=m 2 gsinθ-m 2 g（sinθ-μ1 cosθ）

=μ1 m2 gcosθ.

【答案】 C

例3．如图所示，质量为M 的木板放在倾角为θ的光滑斜面上，质量为m 的人在木板上跑，假如脚与板接触处不打滑。

（1）要保持木板相对斜面静止，人应以多大的加速度朝什么方向跑动？

（2）要保持人相对于斜面的位置不变，人在原地跑而使木板以多大的加速度朝什么方向运动？

解：（1）对板，沿坐标x 轴的受力和运动情况如图所示，视为质点，由牛顿第二定律可得：f 1-Mgsin θ=0

对人，由牛顿第三定律知f 1/与f 1等大反向，所以沿x 正方向受mgsin θ和f 1/的作用。由牛顿第二定律可得： f 1+mgsin θ=ma 由以上二方程联立求解得m

g m M a θ

sin )(+=

，方向沿斜面向下。

（2）对人，沿x 轴方向受力和运动情况如图所示。视人为质点，根据牛顿第二定律得：mgsin θ-f 2=0

对板，由牛顿第三定律知f 2/

和f 2等值反向。所以板沿x 正方向受Mgsin θ和f 2/的作用。据牛顿第二定律得：

f 2+Mgsin θ=Ma

由上述二式解得M

g M m a θ

sin )(+=，方向沿斜面向下。

连接体的临界问题

在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、

f 2

“刚好”等词语时，往往会有临界现象.此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。

例4、如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A 的顶端P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度a= 向左运动时，小球对滑块的压力等于零；当滑块以a=2g 的加速度向左运动时，线中拉力T= 。

分析与解：当滑块具有向左的加速度a 时，小球受重力mg 、绳的拉力T 和斜面的支持力N 作用，如图所示。

在水平方向有：Tcos450-Ncos450=ma; 在竖直方向有：Tsin450-Nsin450-mg=0. 由上述两式可解出：

45

cos 2)

(,45

sin 2)

(a g m T a g m N +=

-=

由此两式可看出，当加速度a 增大时，球受支持力N 减小，绳拉力T 增加。当a=g 时，N=0，此时小球虽与斜面有接触但无压力，处于临界状态。这时绳的拉力T=mg/cos450=mg 2.

当滑块加速度a>g 时，则小球将“飘”离斜面，只受两力作用，如图所示，此时细线与水平方向间的夹角α<450

.由牛顿第二定律得：

Tcos α=ma, Tsin α=mg,

解得mg g a m T 522=+=。

【例5】一弹簧秤放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量m 1 =10.5kg，Q的质量m 2 =1.5kg，弹簧的质量不计，

个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已

知在前时间内，F为变力，以后，F为恒力.求力F的最大值与最

小值.（取g=10m/s 2）.

【分析】（1）P做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力.

P受到的外力共有3个:重力、向上的力F及Q对P的支持力N ，其中重力m1g 为恒力，N 为变力，题目说以后F为恒力，说明t=的时刻，正是P与Q开始脱离接触的时刻，即临界点.

（2）t=的时刻，是Q对P的作用力N 恰好减为零的时刻，此时刻P与Q 具有相同的速度及加速度.因此，此时刻弹簧并未恢复原长，即不能认为此时刻弹簧的弹力为零.

（3）当t=0时刻，应是力F最小的时刻，此时刻F小 =（m1 +m 2）a

（a为它们的加速度）.

随后，由于弹簧弹力逐渐变小，而P与Q受到的合力保持不变，因此力F逐渐变大，至t=时刻，F增至最大，此时刻F大 =m1（g+a）.

以上三点中第（2）点是解决此问题的关键所在，只有明确了P与Q脱离接触的瞬间情况，才能确定这时间内物体的位移，从而求出加速度a，其余问题也就迎刃而解了.

【解】设开始时弹簧压缩量为x1，t=时弹簧的压缩量为x 2，物体P的加速

度为a，则有

kx 1 =（m 1 +m 2 ）g. ① kx 2 -m 2 g=m 2 a. ②

x 1 -x 2 =2

1

at 2 . ③

由①式，15.0)(211=+=k g

m m x

解②③式，a=6m/s 2 ，则

N a m m F 72)(21=+=小 N a g m F 168)(1=+=大

系统的牛顿第二定律

内容：若系统内有几个物体，这几个物体的质量分别为m 1、m 2、m 3 … ，加速度分别为a 1、a 2 、a 3 … ，这个系统受到的合外力为F 合，则这个系统的牛顿第二定律的表达式为：

F 合 = m 1 a 1+ m 2 a 2 + … + m n a n 其正交表达式为：

F x 合 = m 1 a 1x + m 2 a 2x + … + m n a n x F y 合 = m 1 a 1y + m 2 a 2y + … + m n a n y

若一个系统内各物体的加速度不相同，而又不需要求系统内物体间的相互作用力时，利用此公式对系统列式较简捷．因为对系统分析外力，可减少未知的内力，使列式方便，大大简化了数学运算．

例6．如图所示，静止于粗糙的水平面上的斜劈Ｍ的斜面上，一物体ｍ沿斜面向上匀减速运动，那么，斜劈受到的水平面给的静摩擦力的方向怎样？

分析与解：把Ｍ和ｍ看作一个系统，这个系统在竖直方向受到向下的重力和竖直向上的支持力；在水平方向受到摩擦力ｆ的方向待定．

斜劈Ｍ的加速度ａ１＝０，物体ｍ的加速度ａ２沿斜面向下．将 分解成水平分量和竖直分量，对整体的水平方向运用牛顿第二定律：

F x 合 = Ｍ a 1x + m a 2x 得：x ma f 2= ．

因为f 与x a 2同方向，所以Ｍ受到的摩擦力水平向左．

例7．如图所示，质量分别为m A 、m B 的两个物体A 、B ，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A 置于倾角为θ的斜面上，B 悬空．设A 与斜面、斜面与水平地面间均是光滑

的，A 在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁的水平方向作用力和地面对斜面体的支持力的大小．

【解析】设绳中张力为F T ，A 、B 运动的加速度的大小为a ， 对A 在沿斜面方向由牛顿第二定律有：m A g sin θ-F T = m A a

对B 在竖直方向由牛顿第二定律有：F T -m B g = m B a

联立上两式得：a = (m A sin θ-m B )g

m A

+m B

，

F T =

m A m B (1+sin θ)g

m A +m B

此时A 对斜面的压力为F N1 = m A g cos θ，斜面体的受力如图所示

在水平方向有：F +F T cos θ = F N1sin θ

在竖直方向有：N

N T T F F F F Mg =+++θθcos sin 1

F N

得：F =

m A (m A sin θ-m B )g

m A +m B

cos θ.

B

A A

B B A N m m g

m m g m m M F +--

++=2)sin ()(θ 解法二．设绳中张力为F T ，A 、B 运动的加速度的大小为a ， 对A 在沿斜面方向由牛顿第二定律有：m A g sin θ-F T = m A a

对B 在竖直方向由牛顿第二定律有：F T -m B g = m B a

联立上两式得：a = (m A sin θ-m B )g

m A +m B

对系统由牛顿第二定律：

水平方向：F = Ｍa 1x + m A a 2x +m B a 3x = 0+m A acos +0 = m A (m A sin θ-m B )g

m A +m B cos θ 竖直方向：取向下为正方向，

a

m a m a m a m Ma F g m g m Mg B A y

B y A y N B A -+=++=-++θsin 0321

所以：B

A A

B B A N m m g

m m g m m M F +--++=2)sin ()(θ

练习

1．雨滴在下落过程中，由于水汽的凝聚，雨滴质量将逐渐增大，同时由于下落速度逐渐增大，所受阻力也将越来越大，最后雨滴将以某一速度匀速下降，在雨滴下降的过程中，下列说法中正确的是 （ C ）

A ．雨滴受到的重力逐渐增大，重力产生的加速度也逐渐增大

B ．雨滴质量逐渐增大，重力产生的加速度逐渐减小

C ．由于雨滴受空气阻力逐渐增大，雨滴下落的加速度将逐渐减小

D ．雨滴所受重力逐渐增大，雨滴下落的加速度不变

2．如图所示，质量相同的木块A、B，用轻质弹簧连接处于静止状态，现用水平恒力推木块A，则弹簧在第一次压缩到最短的

过程中（）

A．A、B速度相同时，加速度a A = a B

B．A、B速度相同时，加速度a A>a B

C．A、B加速度相同时，速度υA<υB

D．A、B加速度相同时，速度υA>υB

3、如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。从t＝0开始计时，则：（）

A．Ａ物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；

B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动；

C．t＝时,Ａ物体的速度为零；

D．t＞后,ＡＢ的加速度方向相反。

4．如图所示，在质量为m

B

=30kg的车厢B内紧靠右

壁，放一质量m A=20kg的小物体A（可视为质点），对车

厢B施加一水平向右的恒力F，且F=120N，使之从静止

开始运动。测得车厢B在最初t=内移动s=5.0m,且这段

时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞。车厢与地面间的摩擦忽略不计。

（1）计算B在的加速度。

（2）求t=末A的速度大小。

F A

B

（3）求t=内A在B上滑动的距离。

5．如图所示，质量M = 8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平恒力F，F = 8N，当小车向右运动的速度达到

1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为

m = 2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ = ，小车足够长．求从小物块放上小车开始，经过t = 小物块通过的位移大小为多少（取g = 10m/s2）．

6．如图所示，物体B放在物体A的水平表面上，已知A的质量为M，B的质量为m，物体B通过劲度系数为k的弹簧跟A的右侧相连

当A在外力作用下以加速度a0向右做匀加速运动时，弹

簧C恰能保持原长l0不变，增大加速度时，弹簧将出现形

变．求：

（1）当A的加速度由a0增大到a时，物体B随A一起前进，此时弹簧的伸长量x多大?

（2）若地面光滑，使A、B一起做匀加速运动的外力F多大

答案

1．C 4. 2.5m/s2, 4.5m/s,0.5m

5.2.1m

6.（1）x=m（a-a0）/k （2）F=（M+m）a0