数字谜之竖式谜(一)

A12标准奥数教程

数字谜之竖式谜

【知识点与基本方法】

跟横式数字谜一样也是一种猜数的游戏。解竖式谜旧的根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数、数的整除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断

解答竖式数字谜是应注意的问题：

（1）空格中只能填写0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，而且最高位不能为0；

（2）进位要留意，不能漏掉

（3）答案有时候不唯一

（4）两数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2，

（5）两个数字相乘，最大进位为8

（6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数字，不同的字母（汉字或符号）代表不同的数字

加(7)一个问题，读取整数型，并计算所有各位上数字的总和，直到该和降至一位数。

例如：数字是1256

sum=1+2+5+6=14;

sum=1+4=5;

【例题精讲】

求100~999一共900个三位数的各位数字之和

也就是2700个数的和

只需计算处各个数字出现的次数便可

0出现的次数这样算

0在个位上出现次数100~990共90次

0在十位上出现次数a00~a09，a为1~9，共10*9=90次

即数字0共出现了180次

而数字1~9出现的次数相同

为（2700-180）/9=280次

所以所求数等于280*（1+2+……+9）=280*45=12600

【例题精讲】

例1.下面的算式中，只有5个数字已写出，请补充其他的数字

6

□7

+ □ 2 □

□□ 1 5

分析：在5个方格中，要个填写一个数字，是运算式成立，先填哪一个？那就要我们找问题的突破口了从百位来看，和的千位数字只能是1.从市委相加来看，进位到百位，也只能进1，因此□ 2 □的百位是九，和的百位是0.通过上面的分析就找到了问题的突破口了，15-7-6=2 11-2-1=8

就得到算式的结果

6

□7

+ □ 2 □

□□ 1 5

例3.图中，有四个小纸片各盖住了一个数字，问：被盖住的四个数字综合是多少？

□□

+ □□

1 4 9

分析：先看个位，因为两个数字相加，最大为9+9=18，所以两个数的和不能是19.从而两个被盖住的个位数字之和等

于9.由于个位数字相加不向十位进位，所以两个被盖住的十位数字的和14.因此被盖主的四个数字的总和是

14+9=23

例4.在下面的方框中填上何时得数字

□7 6

×□□

18 □□

□□□□

3 1 □□ 0

分析：由于积的各位舒适0，乘数的个位数是5，由此我们可以得到被乘得数与5相乘的1880，被乘数的百位数字是3，最后因为被乘数是376，积是31□□0，所以乘数的十位数字是8

解： 3 7 6

× 8 5

1 8 8 0

3 0 0 8

3 1 8 6 0

例5.下面每个汉字个代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，问：这些汉字个代表什么数字？

北京

北京市

+ 爱北京市

1 9 9 9

分析：首先，我们立即得到“爱”表示=1，所以百位数字相加不进位，“北”小于 5.又因为三个数字相加小于100+100+100=300

所以“北”+“北”大于6，从而“北”=4，知道“爱”和“北”个代表什么数字问题就很好解决了

解：爱=1，北”=4 “京”=7 “市”=6

例6.在图6-1算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。

分析：首先根据十位上8+5得到4可知，个位有一个进位，所以，个位的空格中必定是9；再根据百位上两个数相加，再加一个进位后得到9，并有进位可知，百位两个空格中都是9；结果中的千位只能是1，于是得到：

例7.如图6-2，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少？

分析：首先，结果中的千位为1；第二，百位上第一个数至少是7，最多是9；如为7，那么，结果中的百位为0，并十位要有进位；由此第一个数的十位可以填6，第二个数的个位填9；如为9，显然不行。所以，结果只能是：

【课后练习题】

6.在如图6-3所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少？

7.在图6-6所示的算式中，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？

8.将1到9这9个数码分别填入图6-8的9个空格中，要求先填1，再在与1相邻(即左、右或上、下)的格中填2，再在与2相邻的空格中填3，依次类推，……，最后填9，使得加法算式成立。

二加法与减法中数字和的变化

在数字和的问题上，有许多有趣的、富于思考的问题。

首先，计算两个数相加，数字和会怎样变化，我们分开不进位加和进位加这两种情况进行讨论。先看546＋453与546＋435两题，这两题每题两个加数的各位上的数字的和是5＋4＋6＋4＋5＋3=5＋4＋6＋4＋3＋5=27，而546＋453=999，加的过程没有进位，所得的和999各位上的数字的和9＋9＋9=27；546＋435=981，两个加数的数字和是27，加的过程个位上满10向十位进1，有一次进位，所得的和981各位上的数字和9＋8＋1=18，比没有进位时，和的数字和少9；再计算546＋534，两个加数各位上的数字的和也是27，546＋534=1080，加的过程中，个位和百位分别都满10，各向前一位进1，有两次进位，所得的和1080各位上的数字的和1＋0＋8＋0=9，比没有进位时少了18，即少了2个9。由此我们可以得到这样的规律：计算加法，没有进位时，加得的和的数字和等于加数的数字和；有进位时，每进位一次，加得的和的数字和就减少1个9。

同样，我们也可以归纳出减法中数字和的变化规律：计算减法，没有退位时，减得的差的数字和等于被减数的数字和减去减数的数字和的差；有退位时，每退位一次，减得的差的数字和就增加1个9。

下面，我们用上面的规律来解答几个问题。

例1：有A、B两个整数，A的各位数字的和是35，B的各位数字的和是29，如果A和B相加时有三次进位，那么把A＋B 所得的和的各位数字相加，和是多少？