结构化学第一章课后习题答案

6.626 ×10−34 = = 8.95 × 10−10 m p 7.40 × 10−25
13. 在电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为 1000 V，电子运动速度的不确定量Δυ为υ的 10%，
判断电子的波动性对荧光屏上成像有无影响？ 解：根据不确定关系： Δx Δpx ≥ h Δx • m • Δυ x ≥ h ∴Δx = h h = m Δυ x m υ x 10%
l
px = ∫
0
2 nπ x ˆx sin p l l
2 nπ x dx sin l l 2 nπ x sin dx = 0 l l
=∫
0
l
2 nπ x ih d sin (− ) 2π dx l l h2 d 2 4π 2 dx 2
ˆ x2 = − pˆ x源自2ψ n ( x) = − ph2 d 2 h2 d 2 = − ψ ( ) x n 4π 2 dx 2 4π 2 dx 2
n πy n πx nπz 8 sin x sin y sin z 3 a a a a
8 2π x πy πz sin sin sin 3 a a a a πy 2 πz 2 8 2π x 2 * ∫ψ 211 ( x, y, z )ψ 211 ( x, y, z)dτ = a3 ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) 2π z ⎤ 8 ⎡ Δx a 4π ( x + Δx) a 4π x ⎤ ⎡ Δy a 2π ( y + Δy ) a 2π y ⎤ ⎡ Δz a 2π ( z + Δz ) a = 3⎢ − + − + − + sin sin sin sin sin sin ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a ⎥ 8π 4π 4π a ⎣ 2 8π a a ⎦ ⎣ 2 4π a a ⎦ ⎣ 2 4π a ⎦ 8 πx πy 2π z ψ 112 ( x, y, z ) = 3 sin sin sin a a a a πx 2 πy 2 8 2π z 2 * ∫ψ 112 ( x, y, z)ψ 112 ( x, y, z )dτ = a3 ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) ∫ (sin a ) 4π z ⎤ 8 ⎡ Δx a 2π ( x + Δx) a 2π x ⎤ ⎡ Δy a 2π ( y + Δy ) a 2π y ⎤ ⎡ Δz a 4π ( z + Δz ) a = 3⎢ − + − + − + sin sin sin sin sin sin ⎢ ⎢ ⎥ a ⎥ π π π π 4π 2 4 4 2 8 8 a ⎣ 2 4π a a ⎥ a a a ⎦ ⎦⎣ ⎦⎣
所以前两者是该算符的本征函数，本征值分别为-m2和-1。后两者不是该算符的本征函数。
注意：在本证值的表达形式中，不能带有虚数 i
15.
ψ = xe− ax 是算符 ⎜
2
⎛ d2 ⎞ − 4a 2 x 2 ⎟ 的本征函数，求本征值。 2 ⎝ dx ⎠
解：应用到的数学知识
d (uv) = udv + vdu de − kx = −2kxe − kx dx dx n = nx n −1dx de ax = ae ax dx
T=
1 mυ 2 = hv − hv0 2 p = mυ = 2mT = 2mh(v − v0 ) 3.0 ×108 − 5.464 × 1014 ) 300 ×10−9
= 2 × 9.109 × 10−31 × 6.626 × 10−34 × ( = 7.40 × 10−25 J S m −1
λ= h
1 2 2 2 x sin ax + 2 x cos ax − 3 sin ax + C a a a
x =∫
0 l
l
2 nπ x ˆ sin x l l
2 nπ x sin dx l l
=
1 2nπ x 1 l2 l − = × = = 100 pm (1 cos ) x dx l∫ l l 2 2 0
2 ⎞ 2 2 ⎤ 2 ⎛ d 2 − ax2 d ⎡ d − 4a 2 x 2 xe − ax ⎟ = ⎢ x e− ax + e− ax ⎥ − 4a 2 x 2 xe − ax ⎜ 2 xe ⎦ ⎝ dx ⎠ dx ⎣ dx 2 2 2 d ⎡ = x (−2ax) e − ax + e − ax ⎤ − 4a 2 x 3e− ax ⎣ ⎦ dx 2 2 2 2 2 2 d ⎡ = (1 − 2ax 2 ) e − ax ⎤ − 4a 2 x 3e− ax = e− ax (−4ax) − 2axe− ax + 4a 2 x 3e− ax − 4a 2 x 3e− ax ⎣ ⎦ dx
ψ n n n ( x, y , z ) =
x y z
n πy n πx n πz 8 sin x sin y sin z abc a b c
（1） 试证明波函数已归一化； （2） 在a=b=c=100 pm的条件下， 试求坐标为x=20 pm， y=30 pm， z=50 pm处边长为Δx=Δy=Δz=0.1 pm 微体积元中发现电子分别处于ψ211与ψ112时的概率。 （3） 在立方势箱中试求能量最低的前 5 个能量值，计算每个能级的简并度。
λ
∴λ =
hc 6.626 × 10−34 × 3.0 ×108 = = 4.40 × 10−8 m −18 4.52 ×10 ΔE = 2.27 × 107 m −1
ν% =
1
λ
ψ=
（2）
2 nπ x sin l l
l
x2 = ∫
0 l
2 nπ x 2 2 nπ x 2 nπ x 2 ˆ sin x sin dx = ∫ sin x l l l l l l 0
ψ 211 ( x, y, z ) =
代入具体数值计算即可。
（3） E =
h2 ( nx 2 + n y 2 + nz 2 ) 2 8ma h2 为单位） ： 8ma 2
能量最低的前五个能量依次为（以
E111 = 3 E112 = E121 = E211 = 6 E122 = E221 = E212 = 9 E113 = E131 = E311 = 11 E222 = 12
2 nπ x sin l l
n2 h2 = 2 ψ n ( x) 4l n 2 h 2 32 × (6.626 × 10−34 ) 2 ∴ px 2 = 2 = = 2.47 × 10−47 J 2 S 2 m −2 4l 4 × (2 ×10−10 ) 2
18. 三维势箱中运动的电子，其薛定谔方程的解为：
d2 2 14. 下列函数，哪个是算符 dx 的本征函数？若是，求出相应的本征值。 eimx
sin x
x2 + y 2
( a − x )e − x
解：
d 2 imx d e = imeimx = − m 2eimx dx 2 dx 2 d d sin x = cos x = − sin x 2 dx dx 2 d d2 2 d2 2 d2 2 2 2 + = + = + ( ) 2 x y x y y dx 2 dx 2 dx 2 dx 2 d2 a − x ) e− x = ( a − x + 2 ) e− x 2 ( dx
∫ ∫ ∫ψ
0 0 0
a b c
nx n y n z
( x, y , z ) ψ nx ny nz * ( x, y, z )dτ
= ∫∫∫
0 0 0
a b c
n yπ y 2 n πx n πz 8 sin( x ) 2 sin( ) sin( z ) 2 dxdydz abc a b c n xπ y ⎞ ⎛ ⎜ 1 − cos 2 a ⎟ ⎜ ⎟dy ∫ 2 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠
l
2 nπ x sin dx l l
=
1 2 nπ x 1 l3 3 l 2 (2 ×10−4 ) 2 x dx − = × − ≈ = = 1.33 × 10−8 m 2 (1 cos 2 ) ( ) 2 2 π l∫ l l n 3 2 3 3 0
此处应用到的积分公式为：
∫x
2
cos axdx =
b
解： （1）
nxπ x ⎞ ⎛ a 1 − cos 2 8 ⎜ a ⎟dx = ⎜ ⎟ ∫ abc 0 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 8 a b c = × × × =1 abc 2 2 2
nxπ z ⎞ ⎛ ⎜ 1 − cos 2 a ⎟ ⎜ ⎟dz ∫ 2 0⎜ ⎟ ⎝ ⎠
c
（2） a=b=c 此时，方程变为ψ nx ny nz ( x, y, z ) =
4. 对一运动速度 v<<c 的自由电子，有人作了如下推导：
mυ = p =
h
λ
=
hν
λν
=
E
υ
=
1 mυ 2
结果是 1=1/2，错在何处，请说明理由。 解：正确过程应为：
mυ = p =
h
λ
=
hν
λν
=
E u
第一处错误：
u 是微粒的传播速度，它既不等于光速 c，也不等于微粒的运动速度υ，所以在公式推导中此处应用 u
能级的简并度 1，3，3，3，1
1 Q mυ 2 = eU 2 ∴υ = 2eU / m
Δx = h
10% × 2eUm
=
6.626 ×10−34 10% × 2 × 1.60 × 10−19 × 1000 × 9.109 × 10−31
= 3.88 × 10−10 m 这坐标不确定度对于电视机于荧光屏的大小(电子的运动范围)来说 ，完全可以忽略。人的眼睛分辨不 出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。