金属塑性变形的力学基础

全应力 S2 Sx2Sy2Sz2
3）斜面上的正应力
SxlSymSzn
x l2 y m 2 z n 2 2 (xlym ym z z n n x )l
斜面上的切应力为 2 S 2 2 （13-8）
注：已知过一点9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分 面上的应力，即这9个应力分量可以确定该点的应力状态。
max
1
3
2
（13-19）
主切应力平面上的正应力值和主切应力值
12
1
2
2
；
23
2
3
2
；
31
3
1
2
；
12 23 31
1 2 3
2
2
3
2
1
2
（13-20）
主切应力的性质：
• 若1=2=3=，即变形体处于三向等拉或三向等压
的应力状态（即球应力状态）时，主切应力为零： 12=23=31=0
分量； zx zy z
作用在z 面上
一般情况下，共作 作有用 用方 方 9个向 向为 为应zy 力分量完整地描述一点的应力状态。
作用方向为x
图14-3 直角坐标系中单元体的应力分量
1）应力分量的符号带有两个下角标： 前一个角标表示该应力分量所在的坐标面（用该面的法
线命名）；
第二个角标表示应力所指的坐标方向；
量为
1 0 0 i j 0 20 （ 1 4 - 1 4 ）
0 0 3
主轴坐标系中斜面上的应力：
三、主切应力和最大切应力
主切应力平面：使切应力达到极大值的平面称为主切应力平 面；
主切应力：主切应力平面上所作用的切应力称为主切应力。 在主轴空间中，垂直于一个主平面而与另两个主平面交角为 45的平面就是主切应力平面。
2）应力分量有正、负之分：
外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为 负面；
在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向 相反方向的取负号；
负面上的应力分量则相反。按此规定，拉应力为正， 压应力为负。
• 任意斜面上的力：
已知变形体中一点的九个应力分量，由静力平衡条件，可求 得过该点的任意斜面上的应力。
0
m
0
0 0 m
或
ijijijm
（13-21）
若取主坐标系，则
1 00 1 m 0
0 1 00 m 00
i j0 2 0 0 2 m 0 0 2 0 0 m 0
00
3
0
0
3 m 00
3 0 0
m
其中，m为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静 水压力），即
1
1
1
m (123 )(xyz)J 1
3
3
3
应力球张量： ij m 表示球应力状态，也称静水应力状态， 称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同， 均为平均应力。
特点：在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产 生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑 性变形。
应力偏张量： ij 称为应力偏张量，是由原应力张量分解 出应力球张量后得到的。
2
2
2
主切应力平面上的主切应力为
12 23 31
1 2 2
23 2
31 2
（13-18）
主切应力角标表示与主切应力平面呈45相交的两主 平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交。
最大切应力：
主切应力中绝对值最大的一个称为最大切应力，用max 表示。
设三个主应力的关系为 123 ，则
五、等效应力
等效应力：把复杂应力状态的应力值折合成单向应力状 态的应力值 在主轴坐标系中
1 2(12 )2 (23 )2 (31 )23 J 2 （13-24）
在任意坐标系中
1 2(x y ) 2 (y z ) 2 (z x ) 2 6 (x 2 yy 2 zz2 ) x （13-25）
第三节 主应力和主切应力
一、主应力 二、应力张量不变量 三、主切应力和最大切应力 四、应力偏张量和应力球张量 五、等效应力
一、主应力
主平面：切应力为零的平面称为主平面； 主应力：主平面上的正应力叫做主应力； 主方向：主平面的法线方向，亦即主应力的方向称为主方 向或应力主轴。
主平面上全应力在三个坐标轴上的投影为
金属塑性变形的力学基础
塑性理论： 研究金属在塑性状态的力学行为称为塑性理论或塑
性力学，是连续介质力学的一个分支。 塑性理论假设： （1）变形体是连续的； （2）变形体是均质和各向同性的； （3）在变形的任一瞬间，力的作用是平衡的； （4）在一般情况下，忽略体积力的影响。
在塑性理论中，分析问题的方法：
ii11 22 33 xyz
si iljj i1l1i2l2i3l3ix liy m izn
i,i xii x1 1 x2 2 x3 3
i,jj
iji1i2i30 xj x1 x2 x3
二、张量的基本概念
张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量 组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢 量，即9个分量才能完整地表示。
如可用xi即（x1，x2，x3）表示一点的坐标；如应力 分量xx，xy，xz，，可简记为ij（i,j=x,y,z）等。
一般地，如果一个坐标系有m个角标，每个角标取n 个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如ij（i,j=x,y,z） （ m=2，n=3）就包含有9个元素。
导数记号：导数记为f,j，表示f(xi)对xj的导数，逗号后 边的下标表示对相应坐标的求导
ui, j
ui x j
克氏符号：ij称为克罗内克（Kronecker）符号，ij 定义为
ij
1 0
ij i j
求和约定： 在一项中，没有重复出现的角标叫自由标，表示该项的个数。 在一项中，同一角标出现二次，则对该角标自1到n的所有元素
求和，这种角标在求和之后不再出现，称之为哑标，这一运算称 之为求和约定。
y)2
(y
z)2
(z
x)2
6(2xy2yz2zx)]
J3 xyz 2xyyz zx(x2yzy2zxz2xy)
（13-22）
对于主轴坐标系
J10
JJ32 161[(21 3 2)2(23)2（1( 3-233）1)2]
应力偏张量用来表示不同的变形类型。如J1=0，J2与 屈服准则有关，J3决定了应变的类型：J3>0属伸长应变， J3=0属平面应变，J3<0属压缩应变。
二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 。 以主轴为坐标轴，两个下角标不同的分量均为零，只留下两个
下角标相同的三个分量，叫作主值。
第二节 外力、应力和点的应力状态
一、外力和应力 二、直角坐标系中一点的应力状态
一、外力和应力 外力：塑性加工时，由外部施 加于物体的作用力叫外力。可 以分为两类：面力或接触力和 体积力 面力：作用于物体表面的力， 也叫接触力，如作用于物体表 面的分布载荷，正压力和摩擦 力都是面力。 体积力：作用在物体每个质点 上的力，如重力、磁力和惯性 力等。
Fμ
F
F
注：对于一般的塑性成 形过程，体积力可以忽 略不计。但在高速成形 时，惯性力不能忽略。
应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作 用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力，可采用截 面法进行分析。
设Q点处一无限小的面积ΔF上内力的合力为ΔP ，则定义
S l P d P im F 0 F d F
正应力分量的两个下角标相同，两个下角标不同的是切 应力分量。
切应力互等定理
x xy xz
；； yx xy yx yz zy zx xz zx
y zy
yz
z

9个应力分量中只有6个 是互相独立的，它们组 成对称的应力张量。
作用在x 面上 作用在y 面上 作用在z 面上
作用方向为z 作用方向为y 作用方向为x
应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应 力主轴等都与原应力张量相同。
特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生 体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。
应力偏张量不变量
J1 x y z (x m)(y m)(z m)0
J2 (xy yz zx)2xy2yz2zx
16[( x
它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一 定的线性关系来换算。
描述张量分量的个数用阶表示。在三维空间中，其张 量分量的个数为3n ，如应力、应变是二阶张量，有32 =9 个分量。
不同坐标系中的应力分量之间的转换关系
k l i l k l j l ( i , i j j 1 , 2 , 3 ; k , l 1 , 2 , 3 )
主要内容
第一节 张量的基本知识 第二节 外力、应力和点的应力状态 第三节 主应力和主切应力 第四节 应力平衡微分方程 第五节 应力莫尔圆
第一节 张量的基本知识
一、角标符号和求和约定 二、张量的基本概念 三、张量的基本性质
一、角标符号和求和约定
角标符号:成组的符号和数组可以用一个带下角标的符 号表示，这种符号叫角标符号。
为截面F上Q点的全应力，可以分解成两个分
量：垂直于截面的正应力和平行于截面的
切应力，有
S2 22
注：过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上， Q点的应力不同。
二、在yxx直三角个xyy 互坐 xyzz相标垂系直作 作中用 用 的在 在 一微xy面 面 点分上 上的面上应有力三状个态正应力分量和六个切应力
它有一组唯一的实根，即三个主应力
二、应力张量不变量
尽管应力张量的各分量随坐标而变，但按式（13-12）组成 的函数值是不变的，所以J1、J2、J3称为应力张量第一、第二 、第三不变量。
应力张量的三个不变量表示了一个确定的应力状态其应力分 量之间的确定关系。
在主轴坐标系中，一点的应力状态只有三个主应力，应力张
• 静力学：根据静力学平衡条件导出应力分量之间的关系
式——平衡微分方程。
• 几何学：根据变形体的连续性和均匀性，导出应变与位移
分量之间的关系式——几何方程。
• 物理学：根据实验与假设导出应变与应力分量之间的关系
式——物理方程或本构方程。
• 此外，建立变形体在塑性状态下应力分量与材料性能之间
的关系——屈服准则或塑性条件。
已知Q点三个互相垂直坐标 面上的应力分量ij，过Q点任 一 斜 面ABC（面积为 dF）的 法线N与三个坐标轴的方向余 弦为l，m，n，
l=cos(N,x)
m=cos(N,y)
n=cos(N,z)
分析：
1）斜面在三个坐标面的投影面积分别为
dFx=ldF；dFy=mdF； dFz=ndF
2）设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向上的分量
图14-6 主切应力平面图
a ） l 0a ,m2） n2 l 1 b 0 ）, l m 0,2 m nn 2 1 2 1 c ）mb 0） ,l l n 0 12, m d ） n n 0,l m 1 12 c ） m
1
1
1 2
m n c ） m 0 , l n d ） n 0 , l m
• 若三个主应力同时增加或减少一个相同的值时，主切
应力值将保持不变。
四、应力偏张量和应力球张量
x xyx z xm
i jyx y y z yx
zx zy z zx
xy
ym
zy
z x yz m z y z xx xx z yy yx y z z z 0 0 m
Sx l
Sy
m
Sz
n
与式（13-6）合并整理得
其中，l，m，n为未知数，其解为应力主轴方向
由几何关系
则
(x ) xy xz
yx (y )
yz
zx zy 0 (z )
展开行列式，整理得应力状态特征方程
3 J 1 2 J 2 J 3 0 （ 1 4 - 1 3 ）
其中
(13-12)
为Sx、Sy、Sz，由静力平衡条件，Px 0 得：
S x d F x d F xyd F xyzd x F 0 z
整理得 用角标符号简记为
S x
xl
yxm
zx
n
Sy Sz
xyl xzl
ym yzm
zzynn(应（力1边3-界6）条件)
S ijilji i， j x ， y ， z
其中，lki，llj为新坐标系的坐标轴关于 原坐标系的方向余弦。
表示点应力状态的九个应力分量构成二 阶张量，称为应力张量。
三、张量的基本性质
• 张量不变量： 二阶张量存在三个独立的不变量。
• 张量可以叠加和分解： 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量，
张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。 任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量，