导数中的任意性与存在性问题探究

函数中任意性和存在性问题探究

高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高

考试题对此类问题进行归纳探究

一、相关结论：

结论1：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]min[g(x)]max；【如图一】结论2：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]max[g(x)]min；【如图二】结论3：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]min[g(x)]min；【如图三】

结论4：x1[a,b], x

2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]max[g(x)]max；【如图四】

结论5：x [a,b], x [c,d],f(x)g(x )f(x)的值域和

g(x)的值域交集不为空；

1 2 1 2

【如图五】

例题1：已知两个函数f(x)8x216x k,g(x)2x35x24x,x[3,3],k R;

(1) 若对x [ 3,3],都有f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围；

(2)

若x [ 3,3], f(x)g(x)

成立，求实数k的取值范围；

使

得

(3) 若对x1,x2[3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围；

解：（1）设h(x)g(x) f(x)2x33x212xk,（1）中的问题可转化为：x[3,3] 时，h(x) 0恒成立，即[h(x)]min0。

h'(x) 6x26x 12 6(x 2)(x1)；

当x变化时，h(x),h'(x)的变化情况列表如下：

x-3 (-3,-

1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3

h(x)+ 0 －0 +

h(x) k-45 增函

数极大值减函数极小值增函数k-9

因为h( 1) k 7,h(2) k20,所以，由上表可知[h(x)]min k 45，故k-45≥0，得

1

k ≥45,即k ∈[45,+∞).

小结：①对于闭区间 I ，不等式f(x)

立 [f(x)]maxk 对x ∈I 时恒成立[f(x)] min>k,x ∈I.

②此题常见的错误解法：由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条 件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等

价

. （2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)=g(x)－

f(x)

≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0.

由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k ∈[-7,+∞). (3)根据题意可知，（3）中的问题等价于 [f(x)]max ≤[g(x)]min ，x ∈[-3,3].

由二次函数的图像和性质可得 ,x ∈[-3,3]时,[f(x)]max =120－k.

仿照（1），利用导数的方法可求

得

x ∈[-3,3]时,[g(x)]min =－21.

由 120－k ≥－21得k ≥141,即k ∈[141,+∞).

说明：这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答过程可以看

出 ,对于一个不等式一定要看清是对 “ x ”恒成立，还

是“x ”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量 ,然后再

根 据不同的情况采取不同的等价条

件

,千万不要稀里糊涂的去猜.. 例题2：(2010年山东理科22) 已知函数f(x)lnxax 1a

1(a

R);

x

1

(1)当a 时，讨论f(x)的单调性；

2 （2）设 2 1

g(x) x 2bx

4 时，若对 x 1 (0,2) x 2 [1,2] ,使 ，当a ，

4

f(x 1) g(x 2)，求实数b 的取值范围；

解：（1）（解答过程略去，只给出结

论）

当a ≤0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在

（ 1，+∞）上单调递增； 当a=1

时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；

2 1

时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在

1

1

当0

1, )上 2 a a 单调递

减；

（2）函数的定义域为（ 0，+∞），

f （x ）= 1－a+a1

=－ ax 2

x1 a ，a=1

时，由f （x ）=0可得x1=1,x2=3.

x

x 2

x 2

4

因为a= 1

∈（0,1

），x 2=3 （0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（ 1,2

） 4 2

上单调递增，所以

f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)=－1

. 2

由于“对 x 1∈（0,2），x 2∈[1,2],使f(x 1) ≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不

大 于f(x)在（0,2）上的最小

f(1)=

－1

”

（※）又g(x)=(x －b)2+4－b 2

,x ∈[1,2],所以