分式的运算与分式方程
分式加减与分式方程的联系与区别
分式的加减法及分式方程 与分式方程2
221414x x x -=-存在 对分式 的具体区别与联系，以及解题时会出现的易错点解析。
【知识要点】
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
一般步骤：当分子分母是多项式时，先进行因式分解，再约去公因式。
注意：结果必须为最贱分式或整式，负号要放在分式前面。
3．分式的乘方法那么
分式的乘方，就是把分子、分母分别乘方，用式子表示：〔a b 〕n =a n
b n (n 为正整数)
4、乘除法的考前须知：
⑴分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，应先分解因式，能约分的应先约分，然后再相乘。
⑵整式和分式相乘，可以直接把整式和分式的分子相乘作为分子，分母不变。
⑶运算时，乘除运算时同级运算 2221414x x x ---
⑷在进行分式的乘方运算时，要将分子、分母整体各自乘方
⑸计算的结果必须是最简分式，负号放在最前面
5、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
6、分式方程的解法：
一般步骤：去分母
解方程〔去括号，移项，合并同类项，系数化1〕
验根
解方程产生增根的原因是去分母造成的，两边同时乘以一个代数式，但我们并不知道这个代数式的值是否为0，这就是方程要验根的原因。
分式的运算及分式方程专题辅导
八年级数学辅导资料二分式的运算及分式方程专题辅导第一部分：分式的运算一、选择题1.下列分式是最简分式的是（ ）A 、11m m --；B 、3xy y xy-； C 、22x y x y -+； D 、6132m m -； 2.对于分式11-x ，永远成立的是（ ） A ．1211+=-x x B. 11112-+=-x x x C. 2)1(111--=-x x x D. 3111--=-x x 3.下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）A ．x 31与26x a 最简公分母是26x B. 3231b a 与cb a 3231最简公分母是c b a 323 C.n m +1与n m -1的最简公分母是22n m - D.)(1)(1x y b y x a --与是简公分母是))((x y y x ab -- 4.如果把分式2x x y+的x 和y 都扩大k 倍，那么分式的值应 ( ) A ．扩大k 倍 B ．不变 C ．扩大k 2倍 D ．缩小k 倍5.在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为V 1(km/h)下坡时的速度为V 2，（km/h),则他在这段路上、下坡的平均速度为（ ）A.221v v +B.2121v v v v ++C. 21212v v v v + D. 无法确定 6.若y x 23=，则2232yx 等于（ ） (A)、94 （B ）、827 (C)、278 (D)、49 7.大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖机的工作效率是小拖机的工作效率( )倍 A.b a B.m n C. bm an D. mnab 8.分式212x x m -+，若不论x 取何值总有意义，则m 的取值范围是（ ）. A m ≥1 B m>1 C m ≤1 D m<1二、填空题1.若分式11x x -+的值为零，则x 的值为2.若分式44422++-m m m 的值为0，则=m 。
初二数学分式计算
初二数学分式计算初二数学(下): 分式的运算及分式方程一、基本运算1.计算 $17x^2y-9ab^3\div\frac{222x-6x+9x+2xy}{51xy}$，化简得 $\frac{17x^2y-9ab^3}{222x+2xy}$。
2.计算 $\frac{2}{x-4}-\frac{x}{x-3}\div(-x)$，化简得$\frac{2x-7}{(x-4)(x-3)}$。
3.计算 $\frac{-y}{xz}\div\frac{-x}{yz}$，化简得$\frac{y^2}{x^2}$。
4.计算 $\frac{24}{a-bab-a^2}\div\frac{22}{4a+abab-a}$，化简得 $\frac{12}{a+b}$。
5.计算 $\frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y}\div(4x^2-y^2)$，化简得 $\frac{1}{2x+y}$。
6.计算 $\frac{2x-y}{x+3y}\div\frac{2x-3y}{2-x}$，化简得$\frac{2-x}{3y}$。
7.计算 $\frac{2xy}{xy+a}+\frac{6}{a}-\frac{a}{a+3}-\frac{3}{a}$，化简得 $\frac{8xy+6a}{a(a+3)(xy+a)}$。
8.计算 $\frac{2}{2x+y}-\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}-\frac{y}{x}$，化简得$\frac{2x^2-xy-2y^2}{(2x+y)(x-y)(x+y)}$。
9.计算 $\frac{2}{x+y}-\frac{2}{x-y}+\frac{a}{x+y}-\frac{3a}{a-3}$，化简得$\frac{-2x+2y+4a}{(x+y)(x-y)(a-3)}$。
10.计算$\frac{x^2a^2+3a+12b^2}{1+12a-b}-(x-1)\div(a-1)$，化简得$\frac{x^2a^2+15a+12b^2-12bx+12b}{(1+12a-b)(a-1)}$。
分式与分式方程
分式与分式方程------- 分式的乘除一、学习准备1、分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。
2、分式乘除法运算步骤和运算顺序：（1）步骤：对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。
当分解因式完成以后，要进行____________，直到分子、分母没有______________时再进行乘除。
（2）顺序：分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。
()222244229164311y x x y y xy x y x x y y x +-∙+--∙２ ） 计算：（例4、计算：（1）222c a b ab c ⋅ （2）223425n m m n-⋅ （3）2222412144a a a a a a --⋅-+++（4）285y xy x -÷ (5) 27y x x ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭(6) 269(3)2y y y y -+÷-+5、计算：)22(22)1(11)1(1)1(22222ab ab b a a b ab ab a x x x x -÷-÷+--+∙-÷--） （模块三 提升1、计算：（1）231x y x y ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ （2）2510321b bc ac a ⎛⎫÷- ⎪⎝⎭ （3）222432a b ab ab a b-⋅-（4）x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 （5）22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-2、计算： (1))6(4382642z y x y x y x -÷⋅- (2)9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a(3)229612316244y y y y y y --÷+⋅-+- (4)xyy xy y x xy x xy x -÷+÷-+222)(模块四 小结分式的乘除法法则（与分数的乘除法法则类似）：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的 ，把分母相乘的积作为积的 ；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式 。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程知识点总结分式是一种特殊的代数表达式，有分子和分母组成，通常用斜杠“/”或者横线“-”表示分数线。
分式可以表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。
分式的乘法和除法的法则：1.分式乘法法则：分式的乘法可以简化为分子相乘，分母相乘的运算。
即(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)。
2.分式除法法则：将除法转化为乘法后，取除数的倒数，然后按照分式乘法法则进行运算。
即(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)。
分式的加法和减法的法则：1.分式加法法则：要进行分式的加法，需要先找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行加法运算。
即a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)。
2.分式减法法则：和分式加法法则类似，需要找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行减法运算。
即a/b-c/d=(a*d-b*c)/(b*d)。
分式的化简：将分式化简为最简形式的步骤如下：1. 如果分子和分母有相同的公因子，可以约分掉。
即a/b =(a/gcd(a,b)) / (b/gcd(a,b))。
2.如果分数的分子和分母都是整数，并且分子能整除分母，可以化简为整数。
即a/b=a/b，其中a能整除b。
3.如果分式的分子和分母都是多项式，并且可以进行因式分解，可以使用因式分解后的形式来化简分式。
分式方程是包含一个或多个分式的方程。
求解分式方程的一般步骤如下：1.将方程两边的分式通过相乘分母的方法，化简为有理式。
2.对于有理式的方程，可以通过解方程的方法求出x的值。
3.检验所求得的x的值是否满足原方程，如果满足，即为解；如果不满足，则该方程无解。
在求解分式方程时，需要注意以下几个问题：1.分母不能为0，需要排除分母为0的解。
2.对于含有分式的方程，需要注意去除分式的分母后方程是否成立，避免出现无意义的解。
3.可能出现分母为0的情况，需要排除该解，以免引起除法运算错误。
分式的四则运算与分式方程小结复习
练习小结
1、同分母分式加减法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
2、学会用转化的思想将异分母的分式的加减转化成同分母分 式的加减法． 3、以后，不再犯像小明那样不找最简公分母的错误． 课后作业:
习题3.4
1、2、3、4
习题分析： 1、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）系数：各分母系数的最小公倍数； （2）字母：凡各分母中出现的不同字母 都要取到；（即所有字母都要取到） （3）字母的指数：相同因式取指数最高的。 2、试确定下列分式的最简公分母：（分母中 虽然有的因式是多项式，但仍然是积的形式） 1 y x ——— ， ——— ， (x+y)(x-y) ———— 2 x(x+y) y(x-y)
解： （2）最简公分母是 ( x 5)(x 5)
3x 2x （2） x5 与 x 5
2 x 10x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
3 x 15x 3x 3 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
检验: 当 x = 2 时，
x－2 = 2－2 = 0 所以，x=2 是原方程的增根 原方程无解
在这里，x = 2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的 分母为零，我们称它为原方程的 增根 。
产生增根的原因是，我们在方程两边同乘了一个可能 使分母为零的整式。
复习
1.分式的基本性质
尹巷中学徐效忠
自主学习（3） 1.例题3 化简下列 .思考 分式： x 2 1 分子、分母都是单 a 2 bc
(1) ab ;
⑵
x 2x 1
2
.
a 2 bc ab ac ac 解 ：) (1 ab ab
八年级第8讲：分式的运算与分式方程
初二数学：分式的运算（2）【要点梳理】1. 同分母的分式相加减，分母 ，把分子相 。
2. 异分母的分式相加减，先 ，化为 ，然后再按 进行计算。
3. 分式乘分式，用分子的 做积的分子，分母的积做 。
即cd a b ⨯= 4. 分式除以分式，把除式的分子、分母 后,与被除式相 。
即c d a b ÷= 5. 分式的乘、除混合运算，要按从 的顺序进行。
6. 分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先 ，后 。
如有括号，先进行 的运算。
【问题探究】知识点1. 同分母分式的加减运算法则：例1． 计算：()a 3a 11+ 1321a 2)2(+--+-a a a知识点2. 通分：确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母.例2．通分：（1）x y 2，23y x ，xy 41 （2）y x -5,2)(3x y -知识点3. 异分母分式的加减运算法则例3．()25x 21x - ()11112+---+a a a a 【变式】 112---a a a知识点4. 分式乘除法法则的应用：例4．计算：（1）b a 22a 84-·6312-a ab （2） 24b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+c知识点5 . 分式乘除法的计算:①当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式时，约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．注：分式运算的结果通常要化成最简分式或整式。
例5．计算：（1）x y 62÷231x （2）2244196aa a a +++-÷12412+-a a知识点6. 分式混合运算法则的运用例6．先化简，再求值：2222222222)(2)(.b a c b a b a ab c b a ab a ac ab a ---÷++----+。
分式与分式方程
（3）列出方程
（4）解方程并检验，一是检验所列方程是否有根，二是 看根是否符合实际情况。 （5）写出答案。
例题讲解
1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行 12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他
步行40千米用多少小时?
例题讲解
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地， 大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30 分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆 汽车各自的速度.
第五章 分式与分式方程
三、分式的加减
1、同分母分式加减法法则：
同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减。
b c bc 用式子表示为： a a a
例题讲解
m y c (1) x x x
y x (2) x y x y
2
x 4 2 ) . （( 3 ） x2 x2
例题讲解
4、小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾
高速公路，全程约84km，返回时经过跨海大桥，全程
45km．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍， 所用时间却比返回时多20min．求小丽所乘汽车返回时的 平均速度．
例题讲解
5、文具商店从批发部门购进甲、乙两种型号的笔记本进
行销售．若每本甲种笔记本的进价比每本乙种笔记本的进
三、分式的加减
1、通分： 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式
2、最简公分母:
（1）各分母系数的最小公倍数
（2）各分母所有因式最高次幂的乘积
例题讲解
计算：
5 2 3 2 2 6a b 3ab 4abc
先找出最简公分母，再 正确通分，转化为同分 母的分式相加减。
分式通分、乘、除_.加、减法_及分式方程
复习： 1、如何进行分式的约分？请举例说明。 2、如何进行分式的通分？请举例说明。 3、请将下列各分式进行约分：
4a b (1) 2 6ab
2
3a b( x y ) (2) 3 9ab ( y x)
2
a 3 (3) 2 a 6a 9
a 4 (4) 2 a 4a 4
2
4、完成下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
A A M A A M , （ 其中M是不等于零的整式）。 B BM B B M
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
16 x y (1) 4 20 xy
x ( 4) 2 x 2x
2
3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
x xy (3) 2 x
1 1 （2）求分式 的最简公分母。 2 与 2 4x 2x x 4
4 x 2 x 2 x ( 2 x ) 2 x( x 2)
2
x 4 ( x 2)( x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2 x( x 2)( x 2)就是这两个分式的最简公分母。
答：成立
a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
分式的乘除法运算法则：
这里abcd 都是整式， bcd都不 为零
你会用语言叙 述一下吗？
分式乘分式，用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠 倒位置后，与被除式相乘。
2
2 2
3
x y yx 3m n 4mn （7 ） ；（ 8 ） 。 3 2 yx x y 2mn 9m n
分式及分式方程
分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，B≠0那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。
分式是不同于整式的另一类式子。
定义：形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
如是分式，还有也是分式例如；：要使分式有意义，则y不等于0。
（注意）掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：（1）分式的分母中必须含有字母。
（2）分母的值不能为零。
若分母的值为零，则分式无意义。
（由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
）整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式。
常见题型：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
基本性质：1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：，（A,B,C为整式，且B、C≠0）。
2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。
3.分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
5.根据分式的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点分式是数学中的一个重要概念，它是由两个整数的比构成的表达式。
在分数中，分子表示被分割的数量，分母表示将整体划分的份数。
掌握好分式的相关知识，对于解决各种实际问题以及在后续数学学习中起到至关重要的作用。
1. 分式的基本运算在进行分式的基本运算时，需要掌握分式的相加、相减、相乘和相除四种基本运算法则。
首先，当分式的分母相同的时候，可以直接将分子相加或相减。
例如，分式 1/4 + 2/4 = 3/4；分式 5/7 - 3/7 = 2/7。
其次，当分式的分母不同但可以化为相同分母的时候，可以通过找到最小公倍数，将分数化为相同的分母之后再进行运算。
例如，分式 1/2 + 1/3 可以通过最小公倍数为6，将分式转化为 3/6 + 2/6 = 5/6。
另外，分式的相乘和相除运算需要分别将分子与分母相乘或相除。
例如，分式 2/3 * 4/5 = 8/15；分式 3/7 ÷ 1/4 = 12/7。
2. 分式方程的解分式方程是由分式构成的方程，它的未知数通常出现在分数的分子或分母中。
解分式方程的关键在于消除分母，使方程转化为一般方程，从而求解未知数。
解分式方程的基本步骤如下：(1) 消去分母。
通过将方程两边同乘以分母的最小公倍数，可以将方程中的分母消除，形成原方程的等效方程。
例如，对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，可以将方程两边同乘以2x(x+1)，得到 2(x+1) + 2x = x(x+1)。
(2) 解一元方程。
将经过一次化简后的方程转化为一般的方程形式，并进行进一步的求解。
对于上述的等效方程，按照一般方程的解法进行处理，得到 x = 2。
(3) 验证解的可行性。
将得到的解代入原方程进行验证，确保解的可行性。
对于分式方程 1/x + 1/(x+1) = 1/2，将 x = 2 代入方程左侧得到 1/2 +1/3 = 1/2，等式成立。
因此， x = 2 是原方程的解。
分式的运算与分式方程
分式的运算与分式方程一、分式的运算1、分式的乘除分式乘法法则：分式乘分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即DB CA D CB A ⋅⋅=⋅分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即C BD A C D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷分式的乘方：b ab a n nn=）（ ，此公式不仅要会正用，有时根据题目需要还要会逆用。
2、分式的加减运算的次序：（1）同级运算，应从左到右按顺序算。
（2）进行乘除与乘方的混合运算时，应先乘方后乘除。
（3）分式混合运算，先算乘除，再算加减。
例1、（1）化简：1112421222-÷+--⋅--a a a a a a （2）化简：2324324422222+⋅--+÷++-+x x x x x x x x （3）化简：()a b bba ab a -÷-⋅+222 （4）化简：()）（）（y x x y x xyyx-⋅+÷-2223例2、计算：（1）81385---+m m m （2）s s -++1312 （3）11122---x x x（4）969392222++-+++x xx x x x x （5）111+-+x x （6）242++-a a例3、（1）2121442-÷++-x x x ）（（2）x x x x x x x x 44412222-÷+----+）（（3）12111222+-÷--+x xx x x例4、有这样一道题：“计算：xxx x x x x -+-÷-+-2221112的值，其中2007=x ”，某同学把2007=x 错抄成2008=x ，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？例5、已知aba abb b a ab b ab a --⋅+÷-+2222的值为正整数，试求所有符合条件的a 的整数值.例6、已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22aa a a --的值.例7、求待定字母的值（1）若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. （2）已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.例8、若.1111的值，求++++++++=c ca cb bc b a ab a abc二、整数指数幂两个规定：（1）当100=≠a a 时，；（2）当aa a nn 1,0=≠-时.由此我们可以将正整数数幂推广到全体整数。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
分式运算分式方程组的求解
分式运算分式方程组的求解分式运算是数学中常见的一种运算方式，而分式方程组就是由多个分式方程组成的一组方程。
本文将介绍如何求解分式方程组。
一、分式运算基本概念分式运算是指对两个或多个分式进行加、减、乘、除的运算。
分式由分子和分母组成，分子表示被除数或被乘数，分母表示除数或乘数。
下面以加法为例进行说明：设有两个分式a/b和c/d，其中a、b、c、d是已知的数。
分式a/b与c/d的和的计算公式为：(a/b) + (c/d) = (ad + bc) / bd二、分式方程组的定义分式方程组是由多个分式方程组成的一组方程，通常形式如下：{A/B = C/D{E/F = G/H{I/J = K/L其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L都是已知数。
三、求解分式方程组的方法首先，我们来看一个具体的例子，以说明求解分式方程组的方法：例1：{2/x + 3/y = 4{1/x - 1/y = 1/2解：为了求解以上分式方程组，我们可以采用以下步骤：步骤1：观察方程组，如果发现方程中存在分母相同的情况，可以通过消去分母的方式来简化方程。
在例1中，我们可以将第二个方程两边乘以2，得到：2/x - 2/y = 1步骤2：将简化后的方程两个方程相加，得到：5/x = 5步骤3：解方程，得到：x = 1步骤4：将得到的x值代入原方程中，解出y值：2/1 + 3/y = 43/y = 2y = 3/2步骤5：验证解是否满足原方程组，将x = 1和y = 3/2代入原方程组中，得到：{2/1 + 3/(3/2) = 4{1/1 - 1/(3/2) = 1/2经过计算可以得出两个方程成立，所以x = 1和y = 3/2是方程组的解。
通过以上步骤，我们可以得出求解分式方程组的方法：1.观察方程组，消去分母或简化方程。
2.将简化后的方程相加或相减，得到一个只含有一个变量的方程。
3.解方程，求得该变量的值。
4.将求得的变量值代入原方程组中，求解其他变量的值。
分式知识点总结与分式方程的应用
知识点1、分式概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为0的条件 分式的概念：形如B A ，其中分母B 中含有字母，分数是整式而不是分式. (1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当B=0时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1) 对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：AB=MB M A ⨯⨯，AB=M B M A ÷÷.(其中M 是不等于零的整式)分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的步骤：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。
这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。
易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。
分式和分式方程知识点总结大全
分式和分式方程知识点总结大全分式：分式是指含有变量的有理数表达式，通常以a/b的形式表示，其中a和b是整数，而b不等于0。
基本概念：1.分子和分母：分数中的a称为分子，b称为分母。
2.真分数和假分数：如果分子小于分母，则分式称为真分数；如果分子大于或等于分母，则分式称为假分数。
3.约分：对于一个分式a/b，如果a和b有公约数，则可以将a和b同时除以它们的最大公约数，得到分式的最简形式。
4.相等分式：两个分子和分母比值相等的分式称为相等分式。
例如，2/3和4/6是相等的分式。
分式的运算：1.加法和减法：对于两个分式a/b和c/d来说，只有当b和d相等时，才能进行加法和减法运算。
运算结果的分母保持不变，并将分子相加或相减。
2.乘法：两个分式a/b和c/d相乘，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
结果要简化。
3.除法：两个分式a/b和c/d相除，将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
结果要简化。
分式方程：分式方程是指含有分式的方程。
解分式方程的步骤：1.清除分母：将分式方程的两边同乘以分母的最小公倍数，从而消除分母。
2.化简方程：将方程中的分式进行化简，得到方程的最简形式。
3.解方程：根据方程的形式，进行求解。
常见的方法包括合并同类项、配方、移项等等。
常见的分式方程类型：1.一次分式方程：方程中只含有一次分式的方程。
例如，(x+1)/2=32.二次分式方程：方程中含有二次分式的方程。
例如，(x^2+1)/(x+2)=43.多次分式方程：方程中含有多次分式的方程。
例如，(x^3+1)/(x^2+2)=5应用场景：分式和分式方程在数学中的应用非常广泛，尤其在代数、几何、经济学等领域中有着重要的应用。
例如，在解决实际问题中，经常会用到比例关系，而分式可以很好地描述比例关系。
在几何学中，分式用于解决一些面积、体积等问题。
在经济学中，分式用于解决利润、成本等相关问题。
初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)
初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩， 解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二 分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】 设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】 【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简： 【解析】 原式 【答案】255x x+【例4】 化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】 由已知可知 ，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，， 故 【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-， 故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】 若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】 左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。
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分式的运算与分式方程 Revised as of 23 November 2020
一、二课时：分式的运算与分式方程
（1）分式的乘除与乘方练习
一、选择题 1. （福州中考）下列运算正确的是（ ）
A. a?a 2＝a 3
B. （a 2）3＝a 5
C. 2
2()a a b b
= D. a 3÷a 3＝a 2. （包头中考）化简22164244244
a a a a a a a --+÷⋅++++其结果是（ ） A. －2 B. 2 C. 22(2)a -+ D.
2
2(2)a + 3. 下列计算过程中，正确的是（ ） A. 222225555xy xy xy xy y ÷=⋅= B. 11a b a a b ÷⋅=÷= C. 3532322255y y x y x x
⋅=⋅= D. 222233133x y x y xy ax y y a a ax a
÷⋅=⋅⋅= 二、填空题 4. 化简：2222222a b a b a ab b a b
--÷+++＝_______。
5. 先将代数式1
1)(2+⨯+x x x 化简，再从－1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值，则代数式的值等于_________。
（2）分式的加减及混合运算练习
一、选择题
1. 化简x y x-y (-)y x x
÷的结果是（ ） A. 1y
B. x+y y
C. x-y y
D. y 2. 化简（2a a -－2
a a +）·24a a -的结果是（ ） A. －4 B. 4 C. 2a D. －2a
3. 化简211(1-)(-1)1-a a
的结果为（ ） A. 1a a +- B. 1a a - C. 1a a - D. 11a a +- 4. 化简22x -42-x x (+)x -4x+4x+2x-2
÷，其结果是（ ） A. 82x -- B. 82x - C. 82x -+ D. 82
x +
二、填空题
5. 已知，a b ＝－1，a ＋b ＝2，则式子b a a b
+＝ ________ 。
6. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：111u v f
+=。
若f ＝6厘米，v ＝8厘米，则物距u ＝_______厘米。
三、解答题
7. 计算221()a b a b a b b a
-÷-+- 8. 先化简，再求值： a
a a a a a 2)1)(2()21(22+-+÷-+ ，其中042=-a 。
（3）分式运算中的陷阱
一、选择题
1. 化简211x x x x
+--的结果是（ ） A. x ＋1 B. x －1 C. －x D. x
2. 计算2()x y y y x x
÷-⋅的结果是（ ） A. －y B. 2x y - C. x y
D. 2x y 3. 若n 为整数，则能使11
n n +-也为整数的n 的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
4. 化简x
y x x y y x -÷-)(的结果是________。
5. 化简1
)11121(22-÷+-++--x x x x x x x 的结果是_______。
三、解答题
6. 化简：2422()22a a a a a
--÷-，并指出a 的取值范围。
（4）分式运算中的常用技巧
一、选择题
1. 已知111a b a b -=+，则b a a b
-的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 12 D. 1
2. 化简（a?2
b a
） a a b
-的结果是（ ）
A. a －b
B. a ＋b
C. 1a b -
D. 1a b
+ 二、填空题 3. 化简2
11
a a a ---＝__________。
4.已知345a
b
c ==，则23323a b c a b c
+--+＝_________。
5. 如果x 2＋3x ＋1＝0，那么分式x ＋1x
的值是_______。
三、解答题
6. 先化简，后求值：211()(3)31
a a a a +-⋅---，其中a 1。
7. 计算3
22441124b b a b a b a b a b
----++-。
（5）分式方程的解法练习
一、选择题
1. 将分式方程1
3)1(251+=++-x x x x 去分母整理后得（ ） A. 018=+x B. 038=-x
C. 0272=+-x x
D. 0272=--x x
2. （宿迁中考）方程21111
x x x =+--的解是（ ） A. x=－1 B. x=0
C. x=1
D. x=2
3. 对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b=1b －1a。
若2⊕（2x －1）=1，则x=（ ） A. 56 B. 54 C. 32 D. 16
- 4. 如果分式方程1
132-=-x m x x 有增根，则m 的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 3 D. －3
5. 关于x 的方程4
332=-+x a ax 的解为1=x ，则a 的值是（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －3
二、填空题
6. 方程13=x x+2
的解是______。
7. 若关于x 的方程1mx x +=8的解为x=14
，则m ＝ __ 。
8. 关于x 的分式方程1m x -＋31x -＝1的解为正数，则m 的取值范围是_________。
三、解答题
9. 解下列分式方程：
（1）12x -=12x x --－3； （2）28124
x x x -=--。
10. 如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是－3和12x x
--，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值。
（6）分式方程的实际应用练习
一、选择题
1. 甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作。
甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成。
那么乙队单独完成总量需要（ ）
A. 6天
B. 4天
C. 3天
D. 2天
2. （四川内江中考）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米。
设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是（ ） A. 304015x x =- B. 304015x x =- C. 304015
x x =+ D. 304015x x
=+ 二、解答题
３. 为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树。
由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树
４. 某超市购进A 、B 两种糖果，A 种糖果用了480元，B 种糖果用了1260元，A 、B 两种糖果的重量比是1：3，A 种糖果每千克的进价比B 种糖果每千克的进价多2元。
A 、
B 两种糖果各购进多少千克
５. 某文化用品商店用1 000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1
500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的54
倍，所购数量比第一批多100套。
（1）求第一批套尺购进时单价是多少
（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元。