三角函数常用公式表

1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； （2）、与α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|αββ}（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

（2）、度数与弧度数的换算：π=180弧度，1弧度)180( =π（3）、弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数）扇形面积：2||2121r lr S α===3、三角函数 （1）、定义：（如图） （2）yry x r x xrx y r y ======ααααααcsc cot cos sec tan sin 4、同角三角函数基本关系式（１）平方关系： （２）商数关系： （３）倒数关系：1cos sin 22=+αα αααcos sin tan = 1cot tan =αα αα22sec tan 1=+ αααsin cos cot =1csc sin =αα αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”） ①、αα22cos 1sin-=， αα2cos 1sin -±=；αα22sin 1cos -=， αα2sin 1cos -±=；②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， |cos sin |2sin 1ααα±=±xy+ + __O xy++__ Oαtanxy+ +__O=r αsecαsinαtan αcotcsc5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）公式一： ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=︒⋅+=︒⋅+=︒⋅+k k k公式二： 公式三： 公式四： 公式五：ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-︒-=-︒=-︒ ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+︒-=+︒-=+︒ ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-︒=-︒-=-︒ 补充：ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(=-=-=- ααπααπααπcot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(-=+-=+=+ ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+6、两角和与差的正弦、余弦、正切 7 .辅角公式 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a xb x a cos sin cos sin 222222 )sin()sin cos cos (sin 2222ϕϕϕ+⋅+=⋅+⋅+=x b a x x b a（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点),(b a ，ab =ϕtan ） （多用于研究性质） 8、二倍角公式：（1）、α2S ： αααcos sin 22sin = （2）、降次公式：（多用于研究性质） α2C ： ααα22sin cos 2cos -= ααα2sin 21cos sin =1cos 2sin 2122-=-=αα 212cos 2122cos 1sin 2+-=-=αααα2T ： ααα2tan 1tan 22tan -= 212cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα （3）、二倍角公式的常用变形：①、|sin |22cos 1αα=-， |cos |22cos 1αα=+；②、|sin |2cos 2121αα=-， |cos |2cos 2121αα=+③22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+； ααα2cos sin cos 44=-；④半角：2cos 12sin αα-±=，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan +-±=ααααcos 1sin sin cos 1+=-=9、三角函数的图象性质 （1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值时，都有：f （x +T ）= f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；②、如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。

（2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ， 都有：f （-x ）= - f （x ），则称f （x ）是奇函数，f （-x ）= f （x ），则称f （x ）是偶函数②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； ③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；x y sin =图象的五个关键点：（0，0），（2，1），（π，0），（2，-1），（π2，0）；π，0），（π，-1），（3π，0），（π2，1）；x y sin =的对称中心为（0,πk ）；对称轴是直线2ππ+=k x ； )sin(ϕω+=x A y 的周期ωπ2=T ；x y cos =的对称中心为（0,2ππ+k ）；对称轴是直线πk x =； )cos(ϕω+=x A y 的周期ωπ2=T ； x y tan =的对称中心为点（0,πk ）和点（0,2ππ+k ）； )tan(ϕω+=x A y 的周期ωπ=T ； (4)、函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的相关概念：)sin(ϕω+=x A y 的图象与x y sin =的关系：①、振幅变换：x y sin = x A y sin =②、周期变换：x y sin = x y ωsin =③、相位变换：x y sin = )sin(ϕ+=x y④、平移变换：x A y ωsin = )sin(ϕω+=x A y 常叙述成： ①、把x y sin =上的所有点向左（0>ϕ时）或向右（0<ϕ时）平移|ϕ|个单位得到)sin(ϕ+=x y ； ②、再把)sin(ϕ+=x y 的所有点的横坐标缩短（1>ω）或伸长（<01<ω）到原来的ω1倍（纵坐标不变）得到)sin(ϕω+=x y ；③、再把)sin(ϕω+=x y 的所有点的纵坐标伸长（1>A ）或缩短（<01<A ）到原来的A 倍（横坐标不变）得到)sin(ϕω+=x A y 的图象。

先平移后伸缩的叙述方向：)sin(ϕω+=x A y当A 1>时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍当<0A 1<时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的A 倍 当1>ω时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的ω1倍 当<01<ω时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的ω1倍当0>ϕ时，图象上的各点向左平移ϕ个单位倍当0<ϕ时，图象上的各点向右平移||ϕ个单位倍当0>ϕ时，图象上的各点向左平移ωϕ个单位倍 当0<ϕ时，图象上的各点向右平移||ωϕ个单位倍先平移后伸缩的叙述方向： )](sin[)sin(ωϕωϕω+=+=x A x A y 10、三角函数求值域（1）一次函数型：B x A y +=sin ，例：5)123sin(2+--=πx y ，x x y cos sin =用辅助角公式化为：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a ，例：x x y cos 3sin 4-=（2）二次函数型：①、二倍角公式的应用：x x y 2cos sin += ②、代数代换：x x x x y cos sin cos sin ++=第五章、平面向量1、空间向量：（1）、定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。

（2）、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作；零向量的方向是任意的。

（3）、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量平行的单位向量：||a =；（4）、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//；规定与任何向量平行； （5）、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

2、向量的运算：（1）、向量的加减法：（2）、实数与向量的积：①、定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λ； ②：它的长度：||||||⋅=λλ；③：它的方向：当0>λ，λ与向量的方向相同；当0<λ，λ与向量的方向相反；当0=λ时，λ=；3、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=；不共线的向量21,e e 叫这个平面内所有向量的一组基向量，{21,e e }叫基底。

4、平面向量的坐标运算：（１）、运算性质：()()a a a cb ac b a a b b a =+=+++=+++=+00,, （２）、坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则()2121,y y x x b a ±±=±→→设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则()1212,y y x x AB --=→. （3）、实数与向量的积的运算律: 设()y x a ,=→，则λ()()y x y x a λλλ,,==→，（4）、平面向量的数量积：①、 定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≠≠⋅=⋅→→→→→→→→001800,0,0cos θθb a b a b a ， 00=⋅→→a . ①、平面向量的数量积的几何意义：向量的长度||与在的方向上的投影||θcos 的乘积； ③、坐标运算:设()()2211,,,y x b y x a ==→→,则2121y y x x b a +=⋅→→ ；向量的模||：a a a ⋅=2||22y x +=；模||22y x +=④、设θ是向量()()2211,,,y x b y x a ==→→的夹角，则222221212121cos y x y x y y x x +++=θ， ⊥0=⋅⇔5、重要结论：（1）、两个向量平行的充要条件： →→→→=⇔b a b a λ// )(R ∈λ设()()2211,,,y x b y x a ==→→，则⇔→→b a // 01221=-y x y x （2）、两个非零向量垂直的充要条件：0=⋅⇔⊥→→→→b a b a设 ()()2211,,,y x b y x a ==→→，则 02121=+⇔⊥→→y y x x b a （3）、两点()()2211,,,y x B y x A 的距离：221221)()(||y y x x -+-=（4）、P 分线段P 1P 2的：设P （x ，y ） ，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且→→=21PP P P λ ，（即||21PP =λ）则定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ， 中点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x（5）、平移公式：如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→平移至P ′（x ′，y ′），则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,''k y y h x x。