线性代数课程总结

线性代数课程总结第一章行列式

§1.1二阶、三阶行列式

（一）二阶行列式

（二）三阶行列式

§1.2 阶行列式

（二）阶行列式的定义

定义1.2用个元素组成的记号

称为阶行列式。

注意：

（1）、一阶行列式就是

（2）、行列式有时简记为。

第二章矩阵及其运算

§2.1 矩阵的概念

定义2.1 由个数排列成的一个行列的矩形表，称为一个矩阵,记作

其中称为矩阵第行第列的元素。

定义2.2如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵与矩阵相等，记为。即如果且

，则。

§2.2 矩阵的运算

（—）矩阵的加法和数乘矩阵

定义2.3 两个行列矩阵对应位置元素相加得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和，记。

定义2.4 以数乘矩阵的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作。

由上面定义的矩阵加法、数与矩阵的乘法，不难得到下面的运算律。

设都是矩阵，是数，则

(1)

(3)

(5)

(7)

（二）矩阵的乘法

定义2.5 设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则由元素

构成的行列矩阵

称为矩阵与矩阵的积，记为或。

可看出：

1、两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

2、矩阵不满足交换律。

3、一般矩阵用大写字母表示，但1行列或行1列矩阵，有时也用小写字母表示。

矩阵的乘法有下列性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

（三）矩阵的转置

定义2.6将矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记为或。

转置矩阵有下列性质：

(1)

(2)

(3)

(4)

§2.3逆矩阵

定义2.7 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得

那么矩阵称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵。

如果可逆，的逆矩阵是唯一的。

逆矩阵的性质：

（1）可逆矩阵的逆矩阵是可逆矩阵，且。

（2）两个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵，且。

（3）可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，且

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

§3.1 矩阵的初等变换

定义3.1 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。

（1）交换矩阵的两行（列）；

（2）以一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；

（3）把矩阵的某一行（列）的倍加于另一行（列）上。

定义3.2 对单位矩阵施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

定理3.1设

（1）对的行施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的阶初等矩阵左乘。

（2）对的列施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的阶初等矩阵右乘。

定理3.2 任意一个矩阵经过若干次初等变换，可以化为下面形式的矩阵。

定理3.3阶矩阵为可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。

§3.2矩阵的秩

定义3.3设是矩阵，从中任取行列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的阶行列式，称为矩阵的一个阶子式，称为矩阵的一个阶子式。

定义3.4设为矩阵。如果中不为零的子式最高阶数为，即存在阶子式不为零，而任何阶子式皆为零，则称为矩阵的秩，记作

秩或。

当时，规定。

显然：

很明显，

当时，称矩阵为满秩矩阵。

定理3.4矩阵经初等变换后，其秩不变。

第四章向量组的线性相关性

§4.1 向量间的线性关系

（一）线性组合

线性方程组(3.1)写成常数列向量与系数列向量如下的线性关系

称为方程组(3.1)的向量形式。

于是，线性方程组(3.1)是否有解，就相当于是否存在一组数：使线性关系式

成立。

定义4.1对于给定的向量如果存在一组数使关系式

成立，则称向量β是向量组的线性组合或称向量β可以由向量组

线性表示。

定理4.1 向量

可由向量组可由向量组线性表示的充分必要条件

是以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩。（二）线性相关与线性无关

定义4.2 对于向量组如果存在一组不全为零

的数使关系式

成立，则称向量组线性相关；如果上式当且仅当成立，则称向量组线性无关；

（三）关于线性组合与线性相关的定理

定理4.2 向量组线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量是其余个向量的线性组合。

定理4.3如果向量组线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一。

（四）向量组的秩

定义4.3如果维向量组中的一个线性无关的部分组

已达到最大可能，即如果r个向量以外向量组中还有向量，那么任

意个向量构成的部分组均线性相关，则称为向量组的一个极大线性无关部分组，简称极大无关组。

定理4.4 如果是的线性无关部分组，它是极大无关组的充分必要条件是：中每一个向量都可由线性表示。

定义4.4向量组的极大无关组所含向量的个数,称为向量组的秩,记为

§4.2 线性方程组解的结构

(一) 齐次线性方程组解的结构

方程的解有下列性质:

1、如果是齐次线性方程组的两个解,则也是它的解。

2、如果是齐次线性方程组的解,则也是它的解（是常数）。

3、如果都是齐次线性方程组的解,则其线性组合

也是它的解。其中都是任意常数。

定义4.5如果是齐次线性方程组的解向量组的一个极大无关组,则称是方程组的一个基础解系。

定理4.5 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩数，则方程组的基础解系存在,且每个基础解系中,恰含有个解。

(二) 非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组可以表示为，取，得到的齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组的导出组。

非齐次线性方程组的解与它的导出组的解之间有下列性质：

1、如果是非齐次线性方程组（3.1）的一个解，是其导出组的一个解，则

也是方程组（3.1）的一个解。

2、如果是非齐次线性方程组的两个解，则是其导出组的解。

定理4.6如果是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的全部解，则

也是方程组的全部解。

§4.3 维向量空间