2019年北京市普通高中学业水平合格性考试数学试卷(整理含答案)
2019北京市普通高中第二次合格性考试数学含答案
2019北京市普通高中第二次合格性考试数学一、单项选择题：认真审题，仔细想一想，选出唯一正确答案。
（每小题3分，共81分）1．（3分）已知集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，那么M∩N等于（）A．∅B．{1} C．{2} D．{3}2．（3分）已知向量＝（2，1），＝（0，﹣2），那么+等于（）A．（2，3）B．（2，1）C．（2，0）D．（2，﹣1）3．（3分）2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）圆心为A（2，﹣3），半径等于5的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+3）2＝5 B．（x+2）2+（y﹣3）2＝5C．（x﹣2）2+（y+3）2＝25 D．（x+2）2+（y﹣3）2＝255．（3分）已知向量＝（﹣2，1），＝（1，m），且⊥，那么m等于（）A．0 B．1 C．2 D．36．（3分）直线x+y﹣3＝0与直线x﹣y+1＝0的交点坐标是（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣1，3）D．（1，2）7．（3分）已知平面向量，满足||＝||＝1，且与夹角为60°，那么•等于（）A．B．C．D．18．（3分）函数f（x）＝lg（x﹣1）的定义域为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）9．（3分）已知点A（﹣1，1），B（2，4），那么直线AB的斜率为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某学院欲从A，B两个专业共600名学生中，采用分层抽样的方法抽取120人组成国庆宣传团队，已知A专业有200名学生，那么在该专业抽取的学生人数为（）A．20 B．30 C．40 D．5011．（3分）cos（α﹣β）等于（）A．cosαcosβ+sinαsinβB．cosαcosβ﹣sinαsinβC．sinαcosβ+cosαsinβD．sinαcosβ﹣cosαsinβ12．（3分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2，那么f（1）的值为（）A．0 B．C．1 D．213．（3分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，如果AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（）A．2 B．3 C．4 D．614．（3分）的值为（）A．B．C．D．15．（3分）函数f（x）＝x3﹣x的零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．316．（3分）要得到函数的图象，只需要将函数y＝2sin x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位17．（3分）直线l经过点A（1，1），且与直线2x﹣y﹣3＝0平行，则l的方程为（）A．y＝2x+1 B．C．D．y＝2x﹣118．（3分）如果函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（4，2），那么a的值为（）A．B．C．2 D．419．（3分）已知a＝20.3，b＝23，c＝2﹣1，那么a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a20．（3分）函数f（x）＝sin x cos x的最小正周期为（）A．1 B．2 C．πD．2π21．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝30°，B＝45°，b＝2，那么a等于（）A．B．C．D．322．（3分）已知，，那么cos（π﹣α）等于（）A．B．C．D．23．（3分）已知圆C：x2+y2﹣6x＝0与直线l：x﹣y+1＝0，那么圆心C到直线l的距离为（）A．B．C．D．124．（3分）已知幂函数f（x）＝x n，它的图象过点（2，8），那么的值为（）A．B．C．D．125．（3分）生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域PM2.5主要来自工业和民用污染，其中冬季民用污染占比超过50%，最主要的源头是散煤燃烧．因此，推进煤改清洁能源成为三地协同治理大气污染的重要举措．2018年是北京市压减燃煤收官年，450个平原村完成了煤改清洁能源，全市集中供热清洁化比例达到99%以上，平原地区基本实现“无煤化”，为了解“煤改气”后居民在采暖季里每月用气量的情况，现从某村随机抽取100户居民进行调查，发现每户的用气量都在150立方米到450立方米之间，得到如图所示的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间[300，350）的户数为（）A．5 B．15 C．20 D．2526．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积，那么a等于（）A．B．7 C．D．1727．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n；②如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果α⊥β，m⊂α，那么m⊥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④二、解答题（共19分）28．（5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数，且．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为，所以．因为，所以．（Ⅱ）因为，所以．令，则．画出函数y＝2sin t在上的图象，由图象可知，当，即时，函数f（x）的最大值为f（x）max＝2．下表列出了某些数学知识：，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式正切函数在区间上的性质29．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，点D，E，F分别为PC，AB，AC的中点．（Ⅰ）求证：BC∥平面DEF；（Ⅱ）求证：DF⊥BC．阅读下面给出的解答过程及思路分析．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以①．因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以BC∥平面DEF．（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以②．因为D，F分别为PC，AC的中点，所以DF∥PA．所以DF⊥BC．思路分析：第（Ⅰ）问是先证③，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证④，再证⑤，最后证“线线垂直”．以上证明过程及思路分析中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了三个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置．30．（5分）某同学解答一道解析几何题：“已知直线l：y＝2x+4与x轴的交点为A，圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A．（Ⅰ）求r的值；（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求|AB|．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）令y＝0，即2x+4＝0，解得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0）．因为圆O：x2+y2＝r2（r＞0）经过点A，所以r＝2．（Ⅱ）因为AB⊥l．所以直线AB的斜率为﹣2．所以直线AB的方程为y﹣0＝﹣2（x+2），即y＝﹣2x﹣4．代入x2+y2＝4消去y整理得5x2+16x+12＝0，解得x1＝﹣2，．当时，．所以点B的坐标为．所以．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．31．（4分）土壤重金属污染已经成为快速工业化和经济高速增长地区的一个严重问题，污染土壤中的某些重金属易被农作物吸收，并转入食物链影响大众健康．A，B两种重金属作为潜在的致癌物质，应引起特别关注．某中学科技小组对由A，B两种重金属组成的1000克混合物进行研究，测得其体积为100立方厘米（不考虑物理及化学变化），已知重金属A的密度大于11g/cm3，小于12g/cm3，重金属B的密度为8.65g/cm3．试计算此混合物中重金属A的克数的范围．2019北京市普通高中第二次合格性考试数学参考答案一、选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∩N＝{2}．故选：C．2．【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可．【解答】解：向量＝（2，1），＝（0，﹣2），则+＝（2+0，1﹣2）＝（2，﹣1）．故选：D．3．【分析】设事件A表示“四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆”，计算出基本事件的总数和事件A包含的基本事件个数，即可得到事件A的概率．【解答】解：设事件A表示“四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆”，则基本事件的总数为＝4个，事件A包含1个基本事件，所以P（A）＝，故选：B．4．【分析】直接利用圆的标准方程求解即可．【解答】解：圆心为A（2，﹣3），半径等于5的圆的方程：（x﹣2）2+（y+3）2＝25．故选：C．5．【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积的定义，列方程求出m的值．【解答】解：向量＝（﹣2，1），＝（1，m），当⊥时，•＝0，即﹣2×1+1×m＝0，解得m＝2．故选：C．6．【分析】求两条直线的交点，可联立两直线方程，所得方程组的解即为两个函数的交点坐标．【解答】解：联立两直线有：，解得：x＝1，y＝2，直线x+y﹣3＝0与直线x﹣y+1＝0的交点坐标是（1，2）．故选：D．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键正确解出联立方程组的解．7．【分析】利用平面向量的数量积公式求解即可．【解答】解：平面向量，满足||＝||＝1，且与夹角为60°，那么•＝||||cos＝＝．故选：C．8．【分析】由函数的解析式可得x﹣1＞0，解得x＞1，从而得到函数的定义域．【解答】解：由函数f（x）＝lg（x﹣1）可得x﹣1＞0，解得x＞1，故函数f（x）＝lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞），故选：C．9．【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得结果．【解答】解：∵已知点A（﹣1，1），B（2，4），那么直线AB的斜率为＝1，故选：A．10．【分析】根据分层抽样原理计算抽取的学生人数．【解答】解：由题意知，从A专业抽取的学生人数为120×＝40（人）．故选：C．11．【分析】直接利用两角差的余弦函数，写出公式即可．【解答】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．故选：A．12．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（1）＝﹣f（﹣1），即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（﹣1）＝﹣2，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝2；故选：D．13．【分析】由已知求出直棱柱的底面积，再由棱柱体积公式求解．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝1，∴，又AA1⊥平面ABC，且AA1＝2，∴．故选：B．14．【分析】利用诱导公式直接求解．【解答】解：＝sin＝．故选：A．15．【分析】函数f（x）＝0，求出方程解，即可得到函数的零点的个数．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）＝0，解得x＝0或x＝1，或x＝﹣1；函数f（x）＝x3﹣x的零点的个数是3个，故选：D．16．【分析】利用y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝2sin x的图象向左平移个单位，可得函数的图象，故选：A．17．【分析】由题意利用两条直线平行的性质，用待定系数法求直线l的方程．【解答】解：∵直线l经过点A（1，1），且与直线2x﹣y﹣3＝0平行，则l的方程为2x﹣y+c＝0，把点A（1，1）代入，可得2﹣1+c＝0，求得c＝﹣1，故l的方程为2x﹣y﹣1＝0，故选：D．18．【分析】根据f（x）的图象经过点（4，2）即可得出log a4＝2，再根据a＞0即可得出a的值．【解答】解：∵f（x）的图象经过点（4，2），∴log a4＝2，∴a2＝4，且a＞0，∴a＝2．故选：C．19．【分析】由题意利用指数函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数y＝2x在R上单调递增，3＞0.3＞﹣1，a＝20.3 ，b＝23 ，c＝2﹣1，∴b＞a＞c，故选：B．20．【分析】根据二倍角的正弦公式化简函数解析式，再由周期公式求出函数的周期即可．【解答】解：由题意得，f（x）＝sin x cos x＝×2sin x cos x＝sin2x，所以函数的最小正周期为＝π，故选：C．21．【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝30°，B＝45°，b＝2，由正弦定理可得：a＝＝＝．故选：A．22．【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【解答】解：，，那么cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣＝．故选：B．23．【分析】求出圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆C：x2+y2﹣6x＝0化为：（x﹣3）2+y2＝9的圆心（3，0），圆心C到直线l：x﹣y+1＝0的距离为：d＝＝2．故选：B．24．【分析】根据幂函数的图象过点（2，8），求出函数解析式，再求的值．【解答】解：幂函数f（x）＝x n的图象过点（2，8），则2n＝8，n＝3，∴f（x）＝x3，∴＝＝．故选：A．25．【分析】根据频率分布直方图求出用气量在区间[300，350）的频率，用样本容量与频率相乘即可得到用气量在区间[300，350）的户数．【解答】解：依题意，由频率分布直方图可知，用气量在[300，350）的频率为：0.005×50＝0.25，所以100户居民中用气量在区间[300，350）的户数为：100×0.25＝25．故选：D．26．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求c，进而根据余弦定理可求a的值．【解答】解：∵A＝60°，b＝3，△ABC的面积＝bc sin A＝，∴c＝2，∴由余弦定理可得a＝＝＝．故选：A．27．【分析】利用空间线面平行垂直的判定与性质即可判断出正误．【解答】解：①如果m∥α，n⊂α，那么m∥n或为异面直线，因此不正确；②如果m⊥α，n⊥α，那么m∥n，正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，正确；④如果α⊥β，m⊂α，那么m不一定垂直β．其中正确的命题是②③．故选：B．二、解答题（共19分）28．【分析】根据该同学的解题过程，写出用到了此表中的数学知识即可．【解答】解：该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有；①任意角的概念，弧度制的概念，任意角的正弦的定义；②函数y＝sin x的图象，三角函数的周期性；③正弦函数在区间[0，2π]上的性质；④参数A，ω，φ对函数y＝A sin（ωx+φ）图象变化的影响．29．【分析】第（Ⅰ）问是先证线线平行，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证线线垂直，再证线线平行，最后证“线线垂直”．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC．因为BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以BC∥平面DEF．（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为D，F分别为PC，AC的中点，所以DF∥PA．所以DF⊥BC．思路分析：第（Ⅰ）问是先证线线平行，再证“线面平行”；第（Ⅱ）问是先证线线垂直，再证线线平行，最后证“线线垂直”．故答案为：①A；②B；③C；④A；⑤B．（每空（1分），共5分）30．【分析】（Ⅰ）没有问题；（Ⅱ）两直线垂直，斜率之积为﹣1，所以直线AB的解率应为﹣．斜率不对，导致后面计算出错．【解答】解：（Ⅱ）中，直线AB的斜率为﹣2不对．因为AB⊥l，所以直线AB的解率为﹣．所以直线AB的方程为，即x＝﹣2y﹣2．代入x2+y2＝4消去x整理得5y2+8y＝0，解得y1＝0，．当时，．所以B的坐标为．所以．31．【分析】设重金属A的密度为xg/cm3，此混合物中含重金属A为y克．解得．然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设重金属A的密度为xg/cm3，此混合物中含重金属A为y克．由题意可知，重金属B为（1000﹣y）克，且．解得．因为，所以当x＞8.65时，y随x的增大而减小，因为11＜x＜12，所以．解得．故此混合物中重金属A的克数的范围是大于克，小于克．感谢您的下载，希望能对您有帮助。
2019年北京合格考试及答案
2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试化学试卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共8页，分为两个部分。
第一部分为选择题，25个小题（共50分）；第二部分为非选择题，9个小题（共50分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
可能用到的相对原子质量：C 12 N 14 O 16 Cl 35.5K39Fe 56第一部分选择题（共50分）在下列各题的4个选项中，只有1个选项符合题意。
（每小题2分，共50分）1．即将投入使用的北京大兴国际机场用到多种材料。
下列所示部分材料中，其主要成分属于有机化合物的是A．钢架——铁B．铝制蜂窝板——铝C．橡胶缓冲垫——橡胶D．光导纤维——二氧化硅2．下列物质中，属于电解质的是A．Cu B．K2SO4 C．MgCl2溶液D．NaOH溶液3．下列物质中，通常不用．．电解法冶炼的是A．Na B．Al C．Mg D．Fe4．当光束通过下列分散系时，能观察到丁达尔效应的是A．KCl溶液B．蔗糖溶液C．Fe(OH)3胶体D．NaOH溶液5．下列分子中，含碳碳双键的是A．C2H4B．C2H6C．C2H5Br D．C2H6O6．下列元素的原子半径最大的是化学试卷答案及评分参考第1页（共2页）A．Na B．Al C．Si D．Cl7．下列化合物中，含共价键的是A．CO2B．Na2O C．KCl D．MgCl2化学试卷第1页（共8页）8．下列关于物质分类的叙述中，不正确．．．的是A ．硝酸属于酸B．液氯属于纯净物C．碳酸钠属于碱D．二氧化硫属于氧化物9．下列关于化学反应与能量的说法中，不．正确．．的是A．化学反应必然伴随发生能量变化B．Na与H2O的反应属于放热反应C．Ba(OH)2·8H2O与NH4Cl的反应属于放热反应D．化学变化中的能量变化主要是由化学键变化引起的10．下列各组混合物中，能用分液漏斗进行分离的是A．水和酒精B．水和植物油C．碘和四氯化碳D．汽油和植物油11．2022年2月将举办中国历史上第一次冬季奥运会，滑雪是冬奥会的重点比赛项目。
2019北京市普通高中第二次合格性考试数学
A．5
B．15
C．20
D．25
26．（3 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，如果 A＝60°，b＝3，△ABC 的面积
，
那么 a 等于（ ）
A．
B．7
C．
D．17
27．（3 分）设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果 m∥α，n⊂α，那么 m∥n；②如果 m⊥α，n⊥α，那么 m∥n；
A．0
B．
C．1
D．2
13．（3 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，如果 AB＝3，AC＝1，AA1＝2，那么直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为（ ）
A．2 14．（3 分）
B．3 的值为（ ）
C．4
D．6
A．
B．
C．
D．
15．（3 分）函数 f（x）＝x3﹣x 的零点的个数是（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50
11．（3 分）cos（α﹣β）等于（ ）
A．cosαcosβ+sinαsinβ
B．cosαcosβ﹣sinαsinβ
C．sinαcosβ+cosαsinβ
D．sinαcosβ﹣cosαsinβ
12．（3 分）已知函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，且 f（﹣1）＝﹣2，那么 f（1）的值为（ ）
20．（3 分）函数 f（x）＝sinxcosx 的最小正周期为（ ）
A．1
B．2
C．π
D．2π
21．（3 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，如果 A＝30°，B＝45°，b＝2，那么 a 等于 （）
2019年北京市普通高中学业水平合格性考试数学试卷(整理含答案)
2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>， 所以 2ω=.（Ⅱ） 画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象 可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间(,)22ππ-上的性质 两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为 圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==， 所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-， 所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =， 所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以 线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共81分)第二部分 解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分 由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以 线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->， 所以 函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以 当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。
2019年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试卷三(含答案)
2019年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。
考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求)1.已知集合U={1,2，3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩C uA=9)A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1,6，7}2.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，...1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。
若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生3.等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.44.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.135.幂函数y=f(x)的图象经过点(8,22)，则f(x)的图象是()6.经过点A(8，-2)，斜率为.−12的直线方程为()A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2y+4=07.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-X-1.则当x<0时，f(x)=()A.e-X-1B.e-X+1C.-e-X-1D.-e-X+18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB =(1,-2)，AD =(2，1)，则AB ·AD =()A.5B.4C.3D.29.函数f(x)=1X—x3的图像关于()A.x轴对称B.y轴对称C.直线y=x对称D.坐标原点对称10.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.111.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是()A.若m⊥n，n//α，则m⊥αB.若m//β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β，n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β,β⊥α，则m⊥α12.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是()A.-2或12B.2或一12C.-2或-12D.2或1213.在区间[o，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤log1（x+12)≤1发生的概率为()2A.34B.23C.13D.1414.为了得到函数y=sin2x的图象，只要把函数y=sin x的图象上所有点()A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变15.已知{a n}是首项为1的等比数列，s n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列{1a n}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)16.函数y=7+6x−x2的定义域是。
【水印已去除】2019年北京市西城区高考数学合格试卷(二)
2019年北京市西城区高考数学合格试卷（二）一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．（3分）若集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N等于（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．（3分）已知向量，，则＝（）A．（8，1）B．（﹣8，1）C．（8，﹣1）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，则a＝（）A．B．C．10D．﹣104．（3分）下列函数中，偶函数为（）A．y＝x﹣2B．y＝|x﹣3|C．y＝x2，x∈（﹣1，1]D．5．（3分）函数y＝2x﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）6．（3分）一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号．为了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．分层抽样法B．抽签法C．随机数表法D．系统抽样法7．（3分）直线l经点（﹣2，2），且与直线y＝x+6在y轴上的截距相等，则直线l的方程为（）A．x+2y+6＝0B．x﹣2y+6＝0C．2x﹣y+6＝0D．2x﹣y﹣6＝0 8．（3分）在平行四边形ABCD中，++＝（）A．B．C．D．9．（3分）的值等于（）A．B．2C．D．210．（3分）函数y＝x﹣2在区间上[，2]的最大值是（）A．B．﹣1C．4D．﹣411．（3分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（）A．60%B．40%C．10%D．50%12．（3分）已知向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则2+•＝（）A．10B．C．7D．13．（3分）已知三角形的边长分别为，则它的最大内角的度数为（）A．B．C．D．14．（3分）若圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心到直线x﹣y+a＝0的距离为，则a的值为（）A．﹣2或2B．或C．2或0D．﹣2或015．（3分）面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（）A．πQ B．2πQ C．4πQ D．6πQ16．（3分）用二分法逐次计算函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个零点附近的函数值，参考数据如下：f（1）＝﹣2（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1.375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052那么方程f（x）＝0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.517．（3分）sin+cos的值为（）A．B．C．D．18．（3分）若函数y＝A sin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下列符合条件的函数解析式是（）A．y＝4sin（4x+）B．y＝2sin（2x+）+2C．y＝2sin（4x+）+2D．y＝2sin（4x+）+219．（3分）函数的最大值是（）A．3B．4C．5D．620．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β21．（3分）甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（）A．B．C．D．22．（3分）已知，，则＝（）A．B．C．D．23．（3分）在△ABC中，若a cos B＝b cos A，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形24．（3分）阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面P AC⊥平面BDE．证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以__________．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE．A．BD⊥平面PBC B．AC⊥平面PBD C．BD⊥平面P AC D．AC⊥平面BDE 25．（3分）某种植物蔓延的面积y（m2）与时间x（月）的关系满足y＝a x，其图象如图所示．给出如下五个结论：①a＝2；②第5个月植物蔓延的面积就会超过30m2；③植物蔓延从4m2到12m2需要经过1.5个月；④植物蔓延每个月增加的面积都相等；⑤若植物蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x3＝x1+x2．其中，正确结论的序号是（）A．①②B．①②⑤C．①②③④D．②③④⑤二、解答题（共4小题，满分25分）26．（6分）已知函数．（Ⅰ）f（π）＝；（Ⅱ）函数f（x）的最小正周期T＝；（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．27．（6分）如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E 是侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．28．（6分）已知直线l：x+my﹣3＝0，圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝9．（1）若直线l与圆相切，求m的值；（2）当m＝﹣2时，直线l与圆C交于点E、F，O为原点，求△EOF的面积．29．（7分）某影院共有1000个座位，票价不分等次．根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，影票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，售出影票将减少30张．为获得更好的收益，需确定一个合适的票价，确定票价的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出．用x（元）表示每张电影票的票价，用y（元）表示该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用支出后的收入）．（Ⅰ）票价最低为元；（Ⅱ）把y表示为x的函数，并求其定义域；（Ⅲ）票价确定为多少元时，才能使放映一场电影的净收入不低于8250元．2019年北京市西城区高考数学合格试卷（二）参考答案与试题解析一、在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．【解答】解：由集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，得到M∩N＝{0，1}．故选：A．2．【解答】解：．故选：B．3．【解答】解：∵经过点（3，a），（﹣2，0）的直线与直线x﹣2y+3＝0垂直，∴×＝﹣1，解得a＝﹣10．故选：D．4．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x﹣2，为一次函数，是非奇非偶函数，不符合题意，对于B，y＝|x﹣3|，是非奇非偶函数，不符合题意，对于C，y＝x2，x∈（﹣1，1]，其定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合题意，对于D，y＝﹣，为偶函数，符合题意，故选：D．5．【解答】解：∵任意的x∈（﹣∞，+∞）都满足函数y＝2x﹣1；∴函数y＝2x﹣1的定义域为（﹣∞，+∞）．故选：A．6．【解答】解：样本间隔相同，满足系统抽样的定义，故运用的是系统抽样的方法，故选：D．7．【解答】解：直线y＝x+6在y轴上的截距为b＝6，设直线l方程为y＝kx+6，∵l过点（﹣2，2），∴2＝﹣2k+6，得2k＝4，得k＝2，即l方程为y＝2x+6，即2x﹣y+6＝0，故选：C．8．【解答】解：画出图形，如图所示；++＝（+）+＝+＝+＝．故选：D．9．【解答】解：＝2÷＝．故选：C．10．【解答】解：∵函数y＝x﹣2在第一象限是减函数，∴函数y＝x﹣2在区间[，2]上的最大值是f（）＝．故选：C．11．【解答】解：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40%+p，∴p＝50%．故选：D．12．【解答】解：向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则2+•＝4+2×3×cos60°＝7．故选：C．13．【解答】解：由于三角形的边长分别是4、5、，再由大边对大角可得对的角为最大角，设为θ，由余弦定理可得cosθ＝＝﹣，由θ∈（0，π），可得：θ＝．故选：B．14．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0化为标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，所以圆心坐标为（1，2），∵圆心（1，2）到直线x﹣y+a＝0的距离为，∴，即|a﹣1|＝1，可化为a﹣1＝1或a﹣1＝﹣1，∴解得a＝2或0．故选：C．15．【解答】解：面积为Q的正方形，边长为：；绕其一边旋转一周，得到底面半径为：，高为的圆柱，底面周长2，几何体的侧面积：2×＝2πQ故选：B．16．【解答】解：根据题意，f（1.4375）＝0.165＞0，f（1.40625）＝﹣0.052＜0，则函数f（x）在（1.40625，1.4375）内存在零点，又1.4375﹣1.40625＜0.1，则方程f（x）＝0的一个近似根可以为1.4；故选：C．17．【解答】解：∵sin+cos＝（sin+cos）＝sin（+）＝sin ＝，∴sin+cos的值为．故选：A．18．【解答】解：函数y＝A sin（ωx+φ）+h的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，假设A＞0，ω＞0，φ＞0，h＞0，可得A+h＝4，﹣A+h＝0，解得A＝2，h＝2，且＝，可得ω＝4，由直线是其图象的一条对称轴，可得4×+φ＝kπ+，k∈Z，φ＝kπ﹣，k∈Z，由k＝1可得φ＝，则y＝2sin（4x+）+2．故选：D．19．【解答】解：函数的图象如下图所示：由图可得函数的最大值是4故选：B．20．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．21．【解答】解：甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁．甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙送丁．∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p＝．故选：A．22．【解答】解：∵，，∴sinα＝，则＝＝＝．故选：D．23．【解答】解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴，又由正弦定理可得，∴，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B＝0，故△ABC为等腰三角形，故选：D．24．【解答】证明：因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD．又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面P AC．又因为BD⊂平面BDE，所以平面P AC⊥平面BDE．故选：C．25．【解答】解：∵点（1，2）在函数图象上，∴2＝a1∴a＝2，故①正确；∴函数y＝2x在R上是增函数，且当x＝5时，y＝32，故②正确，4对应的x＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；如图所示，1﹣2月增加2m2，2﹣3月增加4m2，故④不正确．对⑤由于：2＝2，3＝2，6＝2，∴x1＝1，x2＝log23，x3＝log26，又因为1+log22＝log22+log23＝log26，∴若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为x1，x2，x3，则x1+x2＝x3成立，故⑤正确．故选：B．二、解答题（共4小题，满分25分）26．【解答】解：f（x）＝x，＝（1+cos2x）＝，（Ⅰ）f（π）＝＝﹣1；（Ⅱ）f（x）的周期T＝π；（Ⅲ）∵，∴由+2kπ（k∈Z），得+kπ（k∈Z），∴函数f（x）的单调递减区间为．27．【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC，（3分）所以AC⊥平面BDD1B1．（5分）（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，则OF∥BB1，且，又E是侧棱CC1的中点，，BB1∥CC1，BB1＝CC1，所以OF∥CC1，且，（7分）所以四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF，（9分）又AC∥平面B1DE，EF∥平面B1DE，（11分）所以AC∥平面B1DE．（13分）28．【解答】解圆C的圆心C（2，﹣3），r＝3．（1）＝3，∴m＝．（2）当m＝﹣2时，直线l：x﹣2y﹣3＝0，C到直线l的距离d＝＝，∴|EF|＝2＝4．O到直线l的距离为h＝．∴△EOF的面积为S＝×4×＝．29．【解答】解：（Ⅰ）令1000x﹣5750＞0，解得x＞5.75，由题意知票价最低应为6元；（Ⅱ）当票价不超过10元时，y＝1000x﹣5750（其中x＝6，7，8，9，10）；当票价高于10元时，y＝x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750＝﹣30x2+1300x﹣5750；由，解得；所以y关于x的函数为；（Ⅲ）对于y＝1000x﹣5750（其中x＝6，7，8，9，10），显然当x＝10，y取得最大值为4250；对于y＝﹣30x2+1300x﹣5750（其中11≤x≤38，x∈N），当x＝22时，y取得最大值为8330．当x＝23时，y＝8280；当x＝24时，y＝8170；当x＝21时，y＝8320；当x＝20时，y＝8250．综上，当票价x∈{20，21，22，23}时，净收入y≥8250．故答案为：（Ⅰ）6．。
2019年北京市春季普通高中会考数学试卷及解析
北京市春天一般高中会考数学试卷一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}2．（ 3 分）已知直线l 经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）A．﹣ 3 B．C．D．33．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）A．x2＞ 0 B．C．D．lgx＞04．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．65．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x|；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．610．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．3212．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．9114．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）15．（3 分）已知向量 知足，，，那么向量的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行 “生涯规划 ”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动， 那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（ 3 分）已知圆 M ：x 2+y 2 =2与圆：（ ﹣ ）2+（y ﹣ 2） 2，那么两圆的位N x1 =3置关系是（）A ．内切B ．订交C ．外切D ．外离19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（ ）A ．B ．C ．D ．20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．300022．（ 3 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中，出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．924．（3 分）为了促使经济构造不停优化， 2015 年中央财经领导小组重申“着力增强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升25．（ 3 分）已知函数 f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）26．（ 5 分）已知函数 f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（ 2）求函数f（ x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．．（分）已知数列n}是等比数列，且，公比 q=2．28 5{ a（ 1）数列 { a n } 的通项公式为 a n=；（ 2）数列 { b n} 知足 b n2n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．=log a29．（ 5分）已知圆 M ：2x2+2y2﹣6x+1=0．（ 1）圆 M 的圆心坐标为；（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．30．（ 5 分）同学们，你们能否注意到：在雨后的清早，沾满露水自然下垂的蜘蛛丝；空阔的野外上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的参观索道的电缆．这些现象中都有相像的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上经常被称为悬链线．悬链线的有关理论在工程、航海、光学等方面有宽泛的应用．下边我们来研究一类与悬链线有关的函数，这种函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当a=1，f （x）偶函数，b=；（ 2）假如f（x）R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（ 3）假如f（x）的最小2，求a+b 的最小．2018 年北京市春天一般高中会考数学试卷参照答案与试题分析一、在每题给出的四个备选答案中，只有一项为哪一项切合题目要求的. 1．（3 分）已知会合A={ 1，2，3} ， B={ 1， 2} ，那么A∩B 等于（）A．{ 3} B．{ 1，2}C．{ 1，3}D．{ 1，2，3}【解答】解：∵会合A={ 1，2，3} ，B={ 1，2} ，∴A∩B={ 1，2} ．应选： B．2．（ 3 分）已知直线A．﹣ 3 B．C．l 经过两点D．3P（1，2），Q（4，3），那么直线l 的斜率为（）【解答】解：直线l 的斜率k== ，应选： C．3．（3 分）对随意，以下不等式恒建立的是（）2A．x ＞ 0 B．C．D．lgx＞0【解答】解： A．x2≥ 0，所以不正确；B.≥0，所以不正确；C．∵＞0，∴+1＞ 1＞ 0，恒建立，正确；D.0＜x≤1 时， lgx≤ 0，所以不正确．应选： C．4．（3 分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：向量，，且，则 6x﹣3×4=0，解得x=2．应选：A．5．（3 分）给出以下四个函数①；②y=| x| ；③ y=lgx；④ y=x3+1，此中奇函数的序号是（A．① B．②【解答】解：①）C．③D．④知足 f（﹣ x）=﹣ f（x），为奇函数；②y=| x| 知足f（﹣ x）=f（ x），为偶函数；③ y=lgx 为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1 不知足 f （﹣ x）=﹣f （x），不为奇函数．应选 A．6．（3 分）要获得函数的图象，只要将函数y=sinx 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数 y=sinx 的图象向右平移个单位，可获得函数的图象，应选： B．7．（3 分）某程序框图如下图，那么履行该程序后输出S 的值是（）A．3B．6C．10D．15【解答】解：模拟程序的运转，可得i=1，S=0知足条件 i＜4，履行循环体， S=1， i=2知足条件 i＜4，履行循环体， S=3， i=3知足条件 i＜4，履行循环体， S=6， i=4不知足条件 i＜ 4，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．8．（3 分）设数列 { a n} 的前项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈ N*），那么 S1，S2， S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解： { a n} 的前 n 项和为 S n，假如 a1=1， a n+1=﹣ 2a n（ n∈N*），则数列 { a n} 为首项为 1，公比为﹣ 2 的等比数列，则 S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则此中最小值为S4．应选： D．9．（3 分）等于（）A．1B．2C．5D．6【解答】解：原式 ===2．应选： B．10．（ 3 分）假如α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵ α为锐角，，∴ cosα==，∴ sin2 α=2sin αcos×α=2=．应选： A．11．（ 3 分）已知 a＞0，b＞0，且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A．4B．8C．16D．32【解答】解： a＞0，b＞0，且 a+2b=8，则 ab= a?2b≤（）2=×16=8，当且仅当 a=2b=4，获得等号．则 ab 的最大值为8．应选： B．12．（ 3 分） cos12 °cos18 °﹣ sin12 sin18°的°值等于（）A．B．C．D．【解答】解： cos12°cos18°﹣sin12 °sin18 °=cos（ 12°+18°）=cos30°=，应选： D．13．（ 3 分）共享单车为人们供应了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年纪散布进行了统计，获得的数据如表所示：年纪12﹣20 岁20﹣30 岁30﹣40 岁40 岁及以上比率14%45.5%34.5%6%为检查共享单车使用满意率状况，线采纳分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行检查，那么应抽取20﹣30 岁的人数为（）A．12 B．28 C．69D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30 岁的人数为 200×45.5%=91人，应选： D14．（ 3 分）某几何体的三视图如下图，此中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4π B．5π C．6π D．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为 2 的圆柱，∴这个几何体的表面积：2S=2×πr+2πr×2=2π+4π =6．π应选： C．15．（3 分）已知向量知足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：依据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则 cosθ==，又由 0°≤θ≤ 180°，则θ=60；°应选： B．16．（3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为（）A．B．C．D．“生涯规【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的礼拜一至礼拜五进行划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本领件有 4 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），（礼拜三，礼拜四），（礼拜四，礼拜五），有一天是礼拜二包括的基本领件有 2 个，分别为：（礼拜一，礼拜二），（礼拜二，礼拜三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是礼拜二的概率为p=．应选： D．17．（ 3 分）函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：依据题意，关于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令 t= ，有 t≥0，则有 t 2﹣t ﹣2=0，解可得 t=2 或 t=﹣ 1（舍），若 t= =2，则 x=4，即方程 x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有 1 个零点；应选： B．18．（ 3 分）已知圆 M：x2+y2=2 与圆 N：（ x﹣1）2+（y﹣ 2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．订交C．外切D．外离【解答】解：圆 M ：x2+y2的圆心为1；=2M（ 0，0），半径为 r =圆 N：（ x﹣ 1）2+（y﹣2）2=3 的圆心为 N（ 1， 2），半径为 r2=；|MN|== ，且﹣＜＜+，∴两圆的地点关系是订交．应选： B．19．（ 3 分）如图，平面地区（暗影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．【解答】解：（2，0），（0，2）点的直方程+ =1，即x+y 2=0，（ 2，0），（ 0， 2）点的直方程=1，即x y 2=0，（ 1， 0），（0， 2）点的直方程 x+ =1，即 2x y+2=0，暗影部分在 x+y2=0 的下方，即不等式 x+y 2≤ 0暗影部分在 2x y+2=0，的下方，即不等式 2x y+2≥ 0 暗影部分在x y 2=0 的上方，即不等式 x y 2≤ 0，即不等式，故： A20．（ 3 分）在△ ABC中，，那么sinA 等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ ABC中，，：，解得：．故： B．21．（ 3 分）《九章算》的盈不足章第19 个中提到：“今有良与安，至．去安三千里．良初日行一百九十三里，日增一十三里．初日行九十七里，日减半里⋯”其粗心：“ 在有良和同从安出到去．已知安和的距离是3000 里．良第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．第一天行97 里，以后每日比前一天少行0.5 里⋯”前 4 天，良和共走的行程之和的里数（）A．1235B．1800C．2600D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000 里．良马第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里．驽马第一天行 97 里，以后每日比前一天少行0.5 里，∴前 4 天，良马和驽马共走过的行程之和的里数为：S4=（4×193+）+[ 4×] =1235．应选： A．22．（ 3 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个推测：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面 A1 C1B∥平面 ACD1④平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D此中正确的推测有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【解答】解：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中， A1C1与 AD1成 60°角，故①错误；在②中，∵ A1C1∥ AC，AC⊥BD，∴ A1C1⊥ BD，故②正确；在③中，∵ A1C1∥ AC，AD1∥ BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩ AD1=A，A1C1、BC1? 平面 A1C1B，AC、AD1? 平面 ACD1，∴平面 A1 C1B∥平面 ACD1，故③正确；在④中，∵ A1C1⊥ B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩ BB1=B1，∴平面 A1 C1B⊥平面 BB1D1D，故④正确．应选： C．23．（3 分）如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°，AB=3，D 在斜边 BC上，且 CD=2DB，那的值为（）A．3B．5C．6D．9【解答】解：∵=﹣，∠ BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴?=?（+）=?（ +）=?（+﹣）（+）=2+? =×9+0=6，= ?应选： C24．（3 分）为了促使经济构造不停优化，2015 年中央财经领导小组重申“着力加强供应侧构造性改革”.2017年国家统计局对外公布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供应侧构造性改革连续作用下，今年以往来产能收效更加突显，供求关系稳步改良”．如图为国家统计局公布的2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据对比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度对比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据对比较，比如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度对比较．依据上述信息，以下结论中错误的选项是（）A．2016 年第三季度和第四时度环比都有提升B．2017 年第一季度和第二季度环比都有提升C．2016 年第三季度和第四时度同比都有提升D．2017 年第一季度和第二季度同比都有提升【解答】解：由折线图知：在 A 中， 2016 年第三季度和第四时度环比都有提升，故 A 正确；在B 中， 2017 年第一季度和第二季度环比都有提升，故 B 正确；在 C中， 2016 年第三季度和第四时度同比都降落，故 C 错误；在 D 中，2017 年第一季度和第二季度同比都有提升，故 D 正确．应选： C．．（分）已知函数f（x）=| x2﹣ 2x﹣a|+ a 在区间 [ ﹣1，3] 上的最大值是 3，那25 3么实数 a 的取值范围是（）A．（﹣∞， 0] B．（﹣∞，﹣ 1]C．[ 0， +∞）D．【解答】解： f（x） =| x2﹣2x﹣a|+ a=| （x﹣1）2﹣ 1﹣ a| ，∵x∈[ ﹣1，3] ，∴x2﹣2x∈[ ﹣1，3] ，当 a＞3 时， x2﹣ 2x﹣a＜0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（ x﹣1）2+1﹣2a，当 x=1 时，取的最大值，即 1﹣2a=3，解得 a=﹣ 1，与题意不符；当 a≤﹣ 1 时， x2﹣2x﹣ a≥ 0，∴f（x）=| x2﹣2x﹣a|+ a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（ x﹣1）2﹣1，当 x=﹣1 或 3 时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述 a 的取值范围为（﹣∞，﹣ 1]应选： B．二、解答题（共 5 小题，满分 25 分）2（1）=；（ 2）求函数 f（ x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数 f （x） =1﹣2sin2 x=cos2x，（1）=cos（2×）= ；故答案为：；（ 2） x∈[ ﹣，] ，∴ 2x∈[ ﹣，] ，∴cos2x∈[ 0， 1] ，∴当 x=﹣时，f（x）获得最小值0，x=0 时， f （x）获得最大值1，∴函数 f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5 分）如图，在三棱锥P﹣ABC中， PB⊥ BC，AC⊥BC，点 E， F， G 分别为AB，BC， PC，的中点（1）求证： PB∥平面 EFG；（2）求证： BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点 F，G 分别为 BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB?平面 EFG，FG? 平面 EFG，∴ PB∥平面 EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点 E，F， G 分别为 AB，BC， PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴ EF⊥BC，GF⊥ BC，∵EF∩FG=F，∴ BC⊥平面 EFG，∵EG? 平面 EFG，∴ BC⊥ EG．28．（ 5 分）已知数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2．（1）数列 { a n } 的通项公式为 a n= 2n﹣4；（2）数列 { b n} 知足 b n=log2a n（n∈N*），求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的最小值．【解答】解：（1）数列 { a n} 是等比数列，且，公比q=2，可得 a n=?2n﹣1=2n﹣4；故答案为： 2n﹣4；（2） b n =log2a n =log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣ 3+n﹣ 4） = （ n2﹣7n）= [ （n﹣）2﹣] ，可得 n=3 或 4 时， S n获得最小值，且为﹣ 6．2229．（ 5 分）已知圆 M ：2x +2y ﹣6x+1=0．（2）设直线 l 过点 A（0， 2）且与 x 轴交于点 D．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．若 O 为坐标原点，且△ OAB 与△ OCD的面积相等，求直线 l 的斜率．【解答】解：（1）圆 M ：2x2 +2y2﹣6x+1=0．转变为：．则圆 M 的圆心坐标为：（）．（2）直线 l 过点 A（0，2）且与 x 轴交于点D．则：设直线的方程为： y=kx+2．与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B， C．且△ OAB与△ OCD的面积相等，则： AB=CD．即： AM=DM．设点 A（x，0）则：，整理得： x2﹣3x﹣4=0，解得： x=4 或﹣ 1（负值舍去）．则： A（4，0）因为点 A 在直线 y=kx+2 上，解得： k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（ 5 分）同学，你能否注意到：在雨后的清早，沾露水自然下垂的蜘蛛；空的野外上，两根杆之的；峡谷上空，横跨深的光索道的．些象中都有相像的曲形．事上，些曲在数学上经常被称．的有关理在工程、航海、光学等方面有宽泛的用．下边我来研究一与有关的函数，函数的表达式f（x）=ae x+be﹣x（此中a，b 是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．（ 1）当 a=1，f （x）偶函数， b= 1；（ 2）假如 f（x） R 上的函数，写出一切合条件的a，b；（3）假如 f（x）的最小 2，求 a+b 的最小．【解答】解：（1）当 a=1 ， f （x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴ f（ x）=f（x），即 e﹣x+be x=e x+be﹣x，b=1．（ 2）当 a=1 ， b= 1 ， f （x）=e x e﹣x，增函数．（ 3）当 ab≤0 ， f （x）函数，此函数没有最小，若 f（ x）有最小2，必有 a＞ 0， b＞ 0，此 f （x） =ae x+be﹣x≥ 2=2=2，即=1，即 ab=1，a+b≥2=2，即 a+b 的最小 2．故答案： 1。
1_2019北京市高中合格性考试数学
A. 2 2千米
B. 2 3千米
C. 2 6千米
D. (2+2 3)千米
17.已知角 a 的终边经过点 P(5,12)，那么 sina 的值是
A. 5
12
B. 12
5
C. 5
13
D. 12
13
18.已知直线 l：x+y+2=0 和圆 C：(x-1)2+(y+1)2= 1，那么圆心 C 到直线 l 的距离是
上的性质，参数 A, ω, φ对函数 y=Asin(ωx+φ)图象变化的图像.……5 分 29.
解答：（I）证明：在△AB1C 中， 因为 E，F 分别为 AB1，CB1 的中点 所以①
因为 EF 平面 ABC，AC⊂平面 ABC,
所以 EF∥平面 ABC
（II）证明：因为 AA1⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC, 所以②
D. x+y-4=0
14.函数零点的涵义是
A.一个点
B.函数图象与 x 轴的交点的横坐标
C.函数图象与 x 轴的交点
D.函数图象与 Y 轴的交点的纵坐标
15. 在函数 y=1x,y=x2,y=2x,y=log3x 中，奇函数是
A. y=1
x
B. y=x2
C. y=2x
D. y=log3x
16.在相距 4 千米的 A, B 两点分别观测目标点 C，如果∠CAB=75°， ∠CBA=60°，那么 A, C 两点间的距离是
A. 800
B. 900
C. 1000
D. 1100
9.化简 sin(α+π)为
A. –sinα
B. sinα
C. –cosα
北京市第一次普通高中2019_2020学年高二数学学业水平考试合格性考试试题含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由向量加法 平行四边形法则即可得结果.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得 ，
故选：A.
6. 在平面直角坐标系 中，角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的定义计算．
某同学的解答过程如下：
解答：因为圆 的圆心坐标为 ，且与 轴相切，
由直线垂直斜率乘积为 解方程可得答案．
【详解】因为直线 ， ，且 ，
所以 ， ．
故选：A
【点睛】方法点晴：斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为 ，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等．
9. 如图，正方体 的棱 ， ， ， 所在的直线中，与直线 成异面直线的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.
① ；② ；③ 平面 ；④ .
【答案】问题1：直线与直线平行；直线与平面平行；问题2： ； 平面 ； .
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判断定理，补全过程；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件.
25. 已知函数 如果 ，那么实数 的值是（ ）
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）（答案在最后）第一部分（选择题共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0A =--，{}1,1,2=-B ，则A B =（）A.{}1- B.{}2,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】由集合并集的定义即可得到答案.【详解】{}1,2,0,1,2A B =-- 故选：D2.函数()()ln 6f x x =+的定义域为（）A.()6,-+∞ B.()6,+∞ C.(),6-∞- D.(),6-∞【答案】A 【解析】【分析】由60x +>即可求解.【详解】由解析式可知，60x +>，及6x >-，所以定义域为()6,-+∞，故选：A3.在复平面内，复数23i z =-对应的点的坐标为（）A.()2,3 B.()2,3- C.()2,3-- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】复数i z a b =+对应的点为(),a b 即可求解.【详解】因为23i z =-，所以对应的点的坐标为()2,3-，故选：D4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,ABC D 是BC 的中点，则直线1DC （）A.与直线AC 相交B.与直线AC 平行C.与直线1AA 垂直D.与直线1AA 是异面直线【答案】D 【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由图易判断1DC 与AC 异面，AB 错误；因为11AA CC ∥,1DC 与1CC 相交但不垂直，所以1DC 与直线1AA 不垂直，C 错误；由图可判断1DC 与直线1AA 是异面直线，D 正确.故选：D5.如图，四边形ABCD 是正方形，则AC AB -=（）A.ABB.BCC.CDD.DA【答案】B 【解析】【分析】由三角形法则即可求解.【详解】AC AB -= BC.故选：B6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f +-=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()11f f -=-，即()()011f f +-=.故选：B.7.在下列各数中，满足不等式()()120x x -+<的是（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案.【详解】解不等式()()120x x -+<得2<<1x -.故选：B.8.命题“2,10x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A.2,10x x ∃∈+≥RB.2,10x x ∀∈+>RC.2,10x x ∃∈+<RD.2,10x x ∀∈+<R 【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,10x x ∀∈+≥R 的否定为：2,10x x ∃∈+<R .故选：C 9.22ππcos sin 66-=（）A.12B.33C.22D.2【答案】A【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】因为22πππ1cos sin cos 6632-==，故选：A.10.在下列各数中，与cos10︒相等的是（）A.sin80︒B.cos80︒C.sin170︒D.cos170︒【答案】A 【解析】【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；【详解】对于A ，()sin80sin 9010cos10°=°-°=°，故A 正确；对于B ，()cos80cos 9010sin10°=°-°=°，故B 错误；对于C ，()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，故C 错误；对于D ，()0c cos 1810co os170s10°=°-=-°，故D 错误；故选：A.11.在下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()3xf x = B.()2log f x x = C.()2f x x= D.()13log f xx =【答案】D 【解析】【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A ：()3xf x =在R 上单调递增，故A 错误；对B ：()2log f x x =在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对C ：()2f x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故C 错误；对D ：()13log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 正确.故选：D.12.已知x ∈R ，则“4x >”是1>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】判断两个命题的关系，当p q ⇒时，p 是q 充分条件；当p q ⇒/时，p 是q 不充分条件；当q p ⇒时，p 是q 必要条件；当q p ⇒/时，p 是q 不必要条件.【详解】当4x >21>=>，∴“4x >”是1>”充分条件；1>时，1x >，此时3x =满足要求，而34<，故4x >不一定成立，∴“4x >”是1>”不必要条件.故选：A.13.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 为始边，终边在y 轴上的角的集合为（）A.{}2π,k k αα=∈Z B.{}π,a k k α=∈Z C.ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】结合角的定义即可得解.【详解】当终边在y 轴非负半轴上时，有π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，当终边在y 轴非正半轴上时，有3π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故终边在y 轴上的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C.14.在ABC V 中，1,2,60a b C ==∠=︒，则c =（）A.B.C.D.3【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由22212cos 1421232c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A15.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为1x ，标准差为1s ；记这7天乙地每天最低气温的平均数为2x ，标准差为2s .根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.1212,x x s s <<B.1212,x x s s <> C.1212,x x s s >< D.1212,x x s s >>【答案】B 【解析】【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即12x x <；标准差时反应一组数据的波动强弱的量，由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即12s s >.故选：B16.函数()π2sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A.[]π,0- B.[]π,π- C.[]0,π D.[]0,2π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简()f x ，再结合cos x 的图象性质可得结果.【详解】()π2sin 2cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由cos x 的图象可知()f x 在[]π,0-，[]π,2π上单调递增，[]0,π上单调递减，故A 正确，BCD 均错误.故选：A.17.已知,a b c d >>，则下面不等式一定成立的是（）A.a d b c +>+B.a d b c +<+C.a d b c ->-D.a d b c-<-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取4,3,2,1a b c d ====，满足,a b c d >>，显然a d b c +>+和a d b c +<+，a dbc -<-都不成立；对于C ：由c d >可得d c ->-，故a d b c ->-成立.故选：C18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.19 B.29C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A 为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为24C 6=，A 中基本事件的个数为224⨯=，故()4263P A ==，故选：D.19.在区间[],5a 上，()2x f x =的最大值是其最小值的4倍，则实数a =（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用()2xf x =的单调性，得到3242a =⨯，即可求解.【详解】()2xf x =区间[],5a 上单调递增，又()2af a =，()55232f ==，所以3242a =⨯，即3282a ==，解得3a =，故选：C.20.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为,,A B C ，如图1所示，然后截去以ABC V 为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A.108B.162C.180D.189【答案】C 【解析】【分析】正方体的体积减掉8个以ABC V 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为V ，则3311868318032V V V =-=-⨯⨯⨯=正方体正三棱锥.故选：C.第二部分（非选择题共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21.66log 4log 9+=_________．【答案】2【解析】【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.【详解】66662log 4log log 949log 36⨯+===.故答案为：2.22.已知()22,0,2,0,x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩则()1f -=_________；()f x 的最大值为_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.【详解】由解析式可知：()11f -=，当0x <，易知()2f x <，当0x ≥，()222f x x =-+≤，当0x =时，取最大值2，所以()f x 的最大值为2，故答案为：1，223.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a =_________；⋅=a b _________.【答案】①.2②.2-【解析】【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.【详解】由图可知2a =，cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，其中cos ,b a b 为b 在a上的投影，由图可知投影长度为1，且方向与a相反，故()cos ,212a b a b a b ⋅=⋅=⨯-=-.故答案为：2；2-.24.某公司,,A B C 三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 部门 4.5567.59111213B 部门 3.54 5.579.510.511C 部门566.578.5从,,A B C 三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，B 部门员工运动时间存在比C 部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案.【详解】①A 部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工，∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12，故①正确；②A 、B 两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有8756⨯=种情况，其中运动时间相同的情况只有1种，∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156，故②正确；③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时，此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确.故答案为：①②三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程．25.已知函数()22f x x x b =-+的部分图象如图所示．（1）求()1f 的值；（2）求函数()()3g x f x =-的零点．【答案】（1）()11f =-（2）1-，3【解析】【分析】（1）根据图象可知()00f =，即可求解函数解析式，再代入求值；（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.【小问1详解】因为()()22,00f x x x b f =-+=，所以0b =．所以()22f x x x =-．所以()11f =-．【小问2详解】因为()22f x x x =-，所以()()()()232331g x f x x x x x =-=--=-+．令()0g x =，得121,3x x =-=．所以()g x 的零点为1-，3．26.已知电流i （单位：A ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为π5sin(100π),[0,)3i t t =+∈+∞．（1）当2t =时，求电流i ；（2）当t m =时，电流i 取得最大值，写出m 的一个值．【答案】（1）A 2；（2）1600（答案不唯一，1,N 60050k m k =+∈）.【解析】【分析】（1）把2t =代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.（2）利用正弦函数的性质求出m 的表达式即可得解.【小问1详解】函数π5sin(100π[0,)3i t t =+∈+∞，当2t =时，ππ5sin(200π)5sin A 332i =+==.【小问2详解】当t m =时，电流i 取得最大值，则ππ100π2π,N 32m k k +=+∈，解得1,N 60050k m k =+∈，所以m 的一个值为1600.27.如图，在三棱锥P ABC -中，,,,AC BC AB PA D E =⊥分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//PA 平面CDE ；（2）求证：AB CE ^.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为,AC BC D =是AB 的中点，所以①_________.因为AB PA ⊥，由（1）知，//PA DE ，所以②_________所以③_________.所以AB CE ^.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A ）AB CD ⊥（B ）AB CD =②（A ）AB DE ⊥（B ）//PA 平面CDE ③（A ）AB ⊥平面PBC （B ）AB ⊥平面CDE【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【小问1详解】在PAB 中，因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以//PA DE ，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .【小问2详解】①A ，②A ，③B.28.已知()f x 是定义在R 上的函数．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-，则称()f x 缓慢递增．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212110f x f x x x --<<-，则称()f x 缓慢递减．（1）已知函数()f x kx b =+缓慢递增，写出一组,k b 的值；（2）若()f x 缓慢递增且()12f =，直接写出()2024f 的取值范围；（3）设()()g x f x x =-，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：()f x 缓慢递增；条件②：()f x 单调递增．结论①：()g x 缓慢递减；结论②：()g x 单调递减．【答案】（1）1,02k b ==（2）()2,2025（3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析【解析】【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得01,k b <<为任意值，即可求解；（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得()2024f 的取值范围；（3）先确定条件条件①：()f x 缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 缓慢递减，根据条件条件①：()f x 缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 单调递减.若()f x 单调递增不妨设()3f x x =，代入()()212120f x f x x x -=>-，可得两结论都不满足.【小问1详解】已知()f x kx b =+是定义在R 上的缓慢递增，如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()2121212101f x f x kx b kx b x x x x ---+<=<--，则可得01,k b <<为任意值，所以可得1,02k b ==；【小问2详解】若()f x 缓慢递增且()12f =，根据定义可得()()120241020241f f -<-<，将已知代入化简可得()520242202f <<，所以()2024f 的取值范围为()2,2025【小问3详解】若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 缓慢递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121311g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()212110g x g x x x --<<-．所以()g x 在R 上缓慢递减．若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 单调递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121211g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()21210g x g x x x -<-．所以()g x 在R 上单调递减．而条件②：()f x 为单调递增函数，不妨设()3f x x =，则()()2g x f x x x =-=，根据题意代入()()212121212221g x g x x x x x x x --==>--，不满足新的定义，所以()f x 为单调递增函数不能推出()g x 缓慢递减；也不能推出()g x 单调递减.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。
2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析附后)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】因为 ，所以令 则有： 或 或 ，即零点有 个，
故选：D.
16．要得到函数 的图象．只需将函数 的图象（）
A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位
【答案】A
【解析】根据相位变换的左加右减有： 向左移动 个单位得到 ，
C．线线平行
⑤
A．线面平行
B．线线平行
C．线面垂直
30．某同学解答一道解析几何题：“已知直线l： 与x轴的交点为A，圆O： 经过点A．
（Ⅰ）求r的值；
（Ⅱ）若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求 ．”
该同学解答过程如下：
解答：（Ⅰ）令 ，即 ，解得 ，所以点A的坐标为 ．
因为圆O： 经过点A，所以 ．
故选：D.
13．如图，在直三棱柱 中， ，如果 ， ， ，那么直三棱柱 的体积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ；
所以 ，
故选：B.
14． 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
故选：A.
【方法指导】
本题考查诱导公式的运用，难度较易.注意诱导公式一： ， .
2019年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析附后）
一、单选题
1．已知集合 ， ，那么 等于（）
A. B. C. D.
2．已知向量 ， ，那么 等于（）
A. B. C. D.
3．2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含答案
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷考生须知1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共7页，分为两个部分，第一部分为选择题，27个小题（共81分）；第二部分为解答题，4个小题（共19分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{01}A =，，{11}B =-，，那么A B 等于A. {01}，B. {11}-，C. {0}D. {110}-，，2. 已知向量(11)=，a ，(12)=，b ，那么+a b 等于 A. (01)-， B. (12)，C. (23)，D. (32)，3. 过点(3,0)A 和(0,2)B 的直线的方程为 A. 2360x y --= B. 3240x y +-= C. 2+360x y -=D. 240x y +-=4. 函数=lg(+2)y x 的定义域是A. [)2+∞， B . ()2+∞， C. ()0+∞， D. ()2+∞-，5. 如果幂函数()=f x x α的图象经过点()4,2，那么α的值是A. 2-B. 2C. 12-D.126. 在空间直角坐标系O xyz -中，(111)A ---,,，(111)B ,,，那么AB 等于 A.2B.6 C. 22 D. 37. 2018年10月24日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上最长的跨海大桥，全长55千米，采用Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观，那么甲同学被选中的概率为A.13B.12C.23D. 18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》，我市提出：到2020年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上. 某学校现有小学和初中学生共2000人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本，其中被抽到的初中学生人数为180，那么这所学校的初中学生人数为A. 800B. 900C. 1000D. 11009. 化简sin()+πα为 A. sin -αB. sin αC. cos -αD. cos α10. 如果直线20x y -=与直线10x my +-=垂直，那么m 的值为 A. 2-B. 12-C.12D. 211. 已知向量(2,1)=-a ，(1,)m =b , 且2a =b ，那么m 的值为 A. 2-B. 21-C.12D. 212. 直线310x y -+=的倾斜角的度数是 A. 30B ．45C. 60D ．9013. 已知直线l 经过点(1,1)P ，且与直线20x y -+=平行，那么直线l 的方程为 A. 20x y --= B. 20x y +-=C. 0x y -=D. 40x y +-=14. 函数零点的涵义是 A. 一个点B. 函数图象与x 轴的交点的横坐标C. 函数图象与x 轴的交点D. 函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数1y x=，2y x =，2xy =，3log y x =中，奇函数是A. 1y x=B. 2y x =C. 2x y =D. 3log y x =16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果75CAB ︒∠=,60CBA ︒∠=,那么A ,C 两点间的距离是A. 22千米B. 23千米C. 26千米D. (2+23)千米17. 已知角α的终边经过点(5,12)P ，那么sin α的值是A.512B.125C.513D.121318.已知直线+20l x y +=：和圆22(1)(1)1C x y -++=：，那么圆心C 到直线l 的距离是A.12B. 1C.2 D. 219. 函数2()2sin f x x =的最小正周期是A.2π B. πC. 2πD. 4π20. 计算021+log 24⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果为 A. 3B.54C. 2D. 121.已知两条直线m ，n 和平面α，且m α⊥，要得到结论m n ∥，还需要添加一个已知条件，这个条件应是①n ⊥α，②n α∥，③n ⊂α，④n ⊄α中的A. ①B. ②C. ③D. ④22. 已知函数1,0()=2,0.x f x x x ⎧⎨-<⎩≥，如果()=4f m ，那么实数m 的值为A. 1B. 2-C. 8-D. 12-23. 将函数2sin y x =的图象向左平移6π个单位，所得图象的函数表达式是 A ．2sin()6y x π=+B. 2sin()6y x π=-C. sin(2)6y x π=-D. sin(2)6y x π=+24.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，如果1,3,30b c B ︒===，那么角A 的度数是 A. 30︒或60︒B. 45︒或60︒C. 30︒或90︒D. 45︒或120︒25.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为棱11,AB C D 上的动点，那么三棱锥F CDE -的体积为A. 16D 1C 1B 1A 1DCBAEF[ B. 13C. 12D.2326. 已知边长为3的正方形ABCD ，点E 满足2DE EC =，那么AE AC ⋅等于 A. 6B. 9C. 12D. 1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署. 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是A.10万人B. 12万人C. 14万人D. 16万人第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x的值．”该同学解答过程如下：解：（Ⅰ）1(0)2sin 2=162f π==⨯；因为 =||T ω2π=π，且0ω>， 所以 2ω=.（Ⅱ） 画出函数2sin(2)6y x π=+在[,]63ππ-上的图象，由图象 可知，当6x π=-时，函数()f x的最小值min ()1f x =-.下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 ,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间(,)22ππ-上的性质 两角差的余弦公式函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义两角差的正弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.1π3y x-1O2-π6π629. （本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”. 30. （本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O ：222(0)x y r r +=>与直线12l x =-：和22l x =：分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且AC BC ⊥, AC BC =,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下：1B 1A 1FECA解答：因为 圆O :222(0)x y r r +=>与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，所以 24 2.r r ==， 所以 22 4.x y +=由题意可设(2,),(2,)A m B n -，因为 AC BC ⊥，点C 的坐标为(1,0)-， 所以 0AC BC ⋅=，即3mn =-. ① 因为 ||||AC BC =， 所以 2219m n +=+. 化简得 228.m n -= ②由①②可得 824,mn =-223324,m n -= 所以 223830m mn n +-=. 因式分解得 ()()3+30,m n m n -= 所以 3,n m =或3.m n =-解得 3,1,m n =-⎧⎨=⎩或3,1,m n =⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标为(0,1)-或(0,1). 所以 线段AB 的中点不在圆O 上.请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程. 31. （本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa （≤≤）（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006af x x x=+200400x （≤≤）.问：当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (共81分)第二部分 解答题 (共19分)28.（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π．（Ⅰ）求(0)f 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最小值及相应x 的值．”该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.解答：弧度制的概念，三角函数的周期性，函数sin y x =的图象，正弦函数在区间［0，2π］上的性质，参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响. ……5分 29.（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.已知三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，,E F 分别为11,AB CB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求证：AB ⊥1A C ．解答：（Ⅰ）证明： 在1AB C ∆中，因为 ,E F 分别为11,AB CB 的中点， 所以 ① .因为 EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .（Ⅱ）证明：因为 1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以 ② . 因为90BAC ∠=︒，所以 AB AC ⊥. 又因为 1AC AA A =，所以 ③ .因为 1AC ⊂平面11AAC C ，所以 1AB AC ⊥. 上述证明过程中，第（Ⅰ）问的证明思路是先证“线线平行”，再证“线面平行”； 第（Ⅱ）问的证明思路是先证 ④ ，再证 ⑤ ，最后证“线线垂直”.解答：① EF AC ∥；② 1AA AB ⊥；③ AB ⊥平面11AAC C ；④ “线线垂直”； ⑤ “线面垂直”.（每空1分，共5分）30.（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知圆O :222(0x y r r +=>）与直线1:2l x =-和2:2l x =分别相切，点C 的坐标为(1,0)-.,A B 两点分别在直线1l 和2l 上，且,AC BC AC BC ⊥=,试推断线段AB 的中点是否在圆O 上.” 该同学解答过程如下：0AC BC ⋅=，即||||AC BC =，219m +=化简得 228.m n -=请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程.解答： 3mn =-不对. …………1分 由 0AC BC ⋅=，即 3mn =. ①因为 ||||AC BC =，点C 的坐标为(1,0)-,所以=化简得 228m n -=. ②由①②解得 3,1,m n =⎧⎨=⎩ 或3,1.m n =-⎧⎨=-⎩所以 线段AB 的中点坐标(0,2)或(0,2)-.所以 线段AB 的中点在圆O 上. …………5分31.（本小题满分4分）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四横”网络, “八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新的“国家名片”. 京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线，全长约1318km .某机构研究发现：高速列车在该线路上单程运行一次的总费用()f x （万元）与平均速度x （km/h ）及其它费用34aa ≤≤）（（万元）之间近似满足函数关系21318()0.0006a f x x x=+200400x ≤≤（）.问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？解答：任取[]12,200400x x ∈，，不妨设21x x >，令210x x x ∆=->，于是 2221212113181318()()+0.0006+0.0006a a y f x f x x x x x ⎛⎫∆=-=- ⎪⎝⎭ ()()()211221211213180.0006+=a x x x x x x x x x x --+-()()211212120.00061318=x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦. 因为 1200400x ≤≤，2200400x ≤≤，所以 12400+800x x <<，1240000160000x x <<. 所以 12240.000696x x <<.所以 12120.0006768009600x x x x <+<().又因为34a ≤≤，所以 395413185272a ≤≤.所以 121243280.0006728461318x x x x a <+<()-.所以 ()12120.000613180x x x x a +->.因为 210x x ->，120x x >，所以 ()()211212120.000613180x x x x x x a x x -+-⎡⎤⎣⎦>. 于是当 210x x x ∆=->时， 21()()0y f x f x ∆=->， 所以 函数()f x 在定义域[]200400，上是单调递增函数. 所以 当200x =时，函数()f x 有最小值.故运行的平均速度是200km/h 时，单程运行一次总费用最小. …………4分。