高中数学圆锥曲线详解【免费】 (1)

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典
结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结
解圆锥曲线问题常用以下方法：
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）
)0(12
22
2>>=+
b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有
02
02
0=+
k b y a
x 。

（2）)0,0(12
22
2>>=-b a b
y a
x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有
02
02
0=-
k b
y a
x
（3）y 2
=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2
=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 最小。

解：（1）（2，2）
连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，（注：另一交点为(
2,2
1-)（2）（
1,41）
过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2
=4x 得x=
4
1，∴Q(
1,4
1)
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F 是椭圆
13
4
2
2
=+
y
x
的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '题。

解：（1）4-5
设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-
='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。

（2）3
作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2
1，
∴PH PF PH PF ==
2,2
1即
∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c
a
例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：（如图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）等于半径”（如图中的MD MC =）。

解：如图，MD MC =，
∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）
∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2
=15点评：得到方程（*4)1()1(2
22
2
=+-+++y
x y
x 例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5
3sinA,求点分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=
5
3sinA 2RsinC-2RsinB=
5
3·2RsinA
∴BC AC AB 5
3=-
即6=-AC AB （*）
∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为
116
9
2
2
=-
y
x
（x>3）
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2
上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)
则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+-02
221
212
2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9
即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02
-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9
∴2
02
0041944x x y +=
-，
11
49)14(49442
02
02
2
00-++
+=+
=x x x x y
≥,5192=- 4
50≥
y
当4x 02+1=3 即 2
20±
=x 时，4
5)(min 0=
y 此时)4
5
,22(±
M
法二：如图，32222
=≥+=+=AB BF AF BB AA MM
∴232
≥
MM
， 即∴4
51
≥MM
， 当∴M 到x 点评：用梯形的中位线，转化为F ，而且点M ① ② ③
例6、已知椭圆
)52(11
2
2
≤≤=-+
m m y
m
x
过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、
B 、
C 、
D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 圆上，同样C 在椭圆上，D ()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆
11
2
2
=-+
m y
m
x
中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2
=1，左焦点则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2
-m(m-1)=0 得(m-1)x 2
+m(x+1)2
-m 2
+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)
()(2)(2121-⋅
=
+=
+-+=
---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
（2）)1
211(21
21122
)(-+
=-+-=m m m m f
∴当m=5时，9
2
10)(min =
m f
当m=2时，3
24)(max =
m f
点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得
01
00=⋅-+
k m y m
x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得
01
100=-++
m x m
x ，∴1
20--
=m m x ，可见
1
22--
=+m m x x C B
当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现C
B x x m f +=)(是解此题的要点。

【同步练习】
1、已知：F 1，F 2是双曲线12
22
2=-
b
y a
x 的左、右焦点，过F 1作直线交双曲线左支于点A 、B ，若m AB =，
△ABF 2的周长为（ ）
A 、4a
B 、4a+m
C 、4a+2m
D 、4a-m
2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是 （ ）
A 、y 2=-16x
B 、y 2=-32x
C 、y 2=16x
D 、y 2
=32x
3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列，且AC AB >，点B 、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A 、
1342
2
=+
y
x
B 、
)0(1342
2
>=+
x y
x
C 、
)0(13
4
2
2
<=+
x y
x
D 、
)00(13
4
2
2
≠>=+
y x y
x
且
4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （ ） A 、)1(49)2
1(2
2-≠=
+-
x y
x B 、)1(49)2
1(2
2-≠=
++
x y
x
C 、)1(4
9)
2
1(2
2
-≠=-+x y x D 、)1(4
9)
2
1(2
2
-≠=+
+x y x
5、已知双曲线
116
9
2
2
=-
y
x
上一点M 的横坐标为4，则点M 到左焦点的距离是
6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是
7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是
8、过双曲线x 2
-y 2
=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个，则k= 10、设点P 是椭圆19
25
2
2
=+
y
x
上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求sin ∠F 1PF 2的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。

12、已知直线l 和双曲线)0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D 。

求证：
CD AB =。

【参考答案】
1、C
a BF BF a AF AF 2,21212=-=-，
∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C
点P 到F 与到x+4=0等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y 2
=16x ，选C 3、D
∵22⨯=+AC AB ，且AC AB >
∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线，即y ≠0，故选D 。

4、A
设中心为(x ，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得4)
2()12(12
2
=+-+
y x ，∴
4
9)2
1(2
2=
+-
y
x
①又c<a,∴2)1(22<+-y x
∴(x-1)2+y 2<4 ②，由①，②得x ≠-1，选A 5、
3
29
左准线为x=-5
9，M 到左准线距离为5
29)5
9(4=
--=d 则M 到左焦点的距离为3
29
52935=
⋅=
ed 6、)2
1(2
1>=y x
设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，则y 1=2x 12
，y 2=2x 22
，y 1-y 2=2(x 12
-x 22
) ∴)(2212
121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，2
1=
x
将2
1=
x 代入y=2x 2得2
1=
y ，轨迹方程是2
1=x (y>2
1)
7、y 2
=x+2(x>2)
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x ，y)，则 2
)(),
(2,2,2212
121212
22
122
212
1=+⋅---=-==y y x x y y x x y y x y x y
∵2
0+-=
=x y k k MP AB ，∴
222
=⋅+y x y ，即y 2
=x+2
又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2<2x ，即x+2<2x ，∴x>2 8、4
22,8,42
2
2
====c c
b
a
，令22=x 代入方程得8-y 2
=4
∴y 2
=4，y=±2，弦长为4 9、12±±
或
y=kx+1代入x 2-y 2=1得x 2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k 2)x 2①⎩⎨⎧=∆≠-0
12k ②1-k 2=0得k=10、解：a 2
=25设F 1、F 2设=11,r PF
则⎩⎨
⎧
=-+=+2
2122
21
21
)
2(cos 22c r r r r r r θθ
①2-②得2r 1r 2(1+cos θ)=4b 2 ∴1+cos θ=
2
12
2
12
224r r b
r r b
=
∵r 1+r 2212r r ≥， ∴r 1r 2的最大值为a 2
∴1+cos θ的最小值为
2
2
2a
b ，即1+cos θ25
18≥
cos θ25
7-≥， 25
7arccos 0-≤≤πθ则当2
π
θ=时，sin θ取值得最大值1，
即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。

11、设椭圆方程为
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a x
由题意：C 、2C 、
c c
a
+2
成等差数列，
∴2
2
2
24c a
c c
a
c c =++
=即，
∴a 2=2(a 2-b 2),∴a 2=2b 2 椭圆方程为
122
22
2=+
b
y b
x
，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) 则122
2
12
21=+
b
y b
x ①
122
2
22
22
=+
b
y b
x ②
①-②得
022
2
2
2
12
2
22
1=-+
-b
y y b
x x
∴022
2
=⋅+
k b
y b
x m m
即
02
2=+-k ∴k=1
直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0
∴3x 2+12x+18-2b 2
=0， 342)
218(1212
3
1112
2
2
1=--=
+-=b x x AB
解得b 2
=12， ∴椭圆方程为
112
24
2
2
=+
y
x
，直线l 方程为x-y+3=0
12、证明：设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，AD 中点为M(x 0，y 0)直线l 的斜率为k ，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-11
22222
2
22
1
221b y a
x b
y a x ①-②得0222020=⋅-k b
y a x ③ ①
②
④ ⑤
设),(),,(),,(002211
y x M BC y x C y x B '''''''中点为， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-0
022
1222
12
221122
11
b y a
x b
y a x
④-⑤得
0222
1
02
1=⋅-
'k b
y a
x ⑥
由③、⑥知M 、M '均在直线022:2
2
=⋅-
'k b
y a
x l 上，而M 、M '又在直线l 上 ，
若l 过原点，则B 、C 重合于原点，命题成立 若l 与x 轴垂直，则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直，则M 与M '重合 ∴CD AB =
椭圆与双曲线的对偶性质总结
椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的
两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程
是
002
2
1x x y y a
b
+
=.
7. 椭圆
222
2
1x y a
b
+
= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点
角形的面积为1
2
2
tan
2
F P F S b γ
∆=.
8. 椭圆
222
2
1x
y
a b
+
=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦
点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P
和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆
2222
1x y a
b
+
=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22
O M AB b k k a
⋅=-
，
即0
2
02
y a x b K AB -
=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2
2
00002
2
2
2
x x y y x y a
b a b
+
=
+
.
13. 若000(,)P x y 在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
+
=
+
.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
002
2
1x x y y a
b
-
=.
6. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y
a
b -
=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则
切点弦P 1P 2的直线方程是002
2
1x x
y y a
b
-=.
7. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，
则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2t
2
F P F S b co γ
∆=.
8. 双曲线
222
2
1x y
a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别
交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于
点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
02y a x b K
K AB
OM =
⋅，即0
202
y a x b K AB =。

12. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
2
2
00002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
-
=
-
. 13. 若000(,)P x y 在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002
2
2
2
x x y y x y a
b
a
b
-
=
-
.
椭圆与双曲线的经典结论
椭 圆
1. 椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时
A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是
222
2
1x y a
b
-
=.
2. 过椭圆
222
2
1x y a
b
+
= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，
则直线BC 有定向且2
020
B C b x k a y =（常数）.
3. 若P 为椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则
tan
t
2
2
a c co a c
α
β
-=+.
4. 设椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2
中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin sin sin c e a
αβγ
==+.
5. 若椭圆222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可
在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆
2
2
002
2
()()
1x x y y a
b
--+
=与直线
0A x B y C ++=有公共点的充要条件是
2
2
2
2
2
00()A a B b A x B y C +≥++.
8. 已知椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且O P O Q ⊥.（1）2
2
2
2
1111||
||
OP OQ a
b
+=+
;（2）|OP|2+|OQ|2
的最大值为
222
2
4a b
a b
+;（3）O P Q S ∆的最小值是
222
2
a b
a b
+.
9. 过椭圆
22
2
2
1x
y
a b
+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2
PF e
M N =.
10. 已知椭圆222
21x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
0(,0)P x , 则2
2
22
0a b a b x a a
---
<<
.
11. 设P 点是椭圆222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则
(1)2
122||||1cos b
PF PF θ=
+.(2) 1
2
2
tan
2
P F F S b γ
∆=.
12. 设A 、B 是椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，P A B α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2
2
2
2
2|cos |||s ab PA a c co αγ
=-.(2)
2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b
S b a
γ∆=
-.
13. 已知椭圆
222
2
1x y a
b
+
=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交
于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线
于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是222
2
1x y a
b
+
=.
2. 过双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
B,C 两点，则直线BC 有定向且2
020
BC b x k a y =-（常数）.
3. 若P 为双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则
tan
t
2
2
c a co c a
α
β
-=+（或
tan
t
2
2
c a co c a
β
α
-=+）.
4. 设双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，
在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )
c e a
αγβ==±-.
5. 若双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1
时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线
2222
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）与直线0A x B y C ++=有公共点的充要条件是
2
2
2
2
A a
B b
C -≤. 8. 已知双曲线222
2
1x y a
b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）
2
22
2
1111||
||OP OQ a
b
+
=-
;（2）|OP|2+|OQ|2
的最小值为
222
2
4a b
b a
-;（3）O P Q S ∆的最小值是
222
2
a b
b a
-.
9. 过双曲线222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的
垂直平分线交x 轴于P ，则||||
2
PF e M N =.
10. 已知双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相
交于点0(,0)P x , 则2
2
0a b x a
+≥或22
0a b x a
+≤-
.
11. 设P 点是双曲线
222
21
x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2
122||||1cos b PF PF θ
=
-.(2) 1
2
2
cot
2
P F F S b γ
∆=.
12. 设A 、B 是双曲线222
2
1x y a
b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，P A B α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2
2
2
2
2|cos ||||s |
ab PA a c co αγ=-.
(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b
S b a
γ∆=+.
13. 已知双曲线
222
2
1x y a
b
-
=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与
双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且B C x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。