圆锥曲线知识点归纳及配备练习(有答案)

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：

椭圆中，与两个定点21,F F 的距离的和等于常数a 2，且此常数a 2一定要大于||21F F ，当常数等于||21F F 时，轨迹是线段21F F ，当常数小于||21F F 时，无轨迹；

双曲线中，与两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数a 2，且此常数a 2一定要小于||21F F ，定义中的“绝对值”与a 2＜||21F F 不可忽视。若a 2＝||21F F ，则轨迹是以21F F 为端点的两条射线，若a 2﹥||21F F ，则轨迹不存在。若a 2=0，则轨迹是线段21F F 的中垂线；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 比如：①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

（答：C ）；

②方程

表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点及抛物线上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时

的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，

其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表

示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

比如： ①已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：

）；

②若

，且

，则

的最大值是____，

的最小值是___（答：

）

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。

方程

表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。

比如： ①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程

_______（答：）；

②设中心在坐标原点

，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率

的双曲线C 过点

，

则C 的方程为_______（答：）

（3）抛物线：开口向右时

，开口向左时

，开口向上时

，开口向下时

。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由

,

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 _

（答：

（2）双曲线：由

,

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。焦点到原点的距离等

于一次项系数的四分之一；

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点21,F F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数

，

确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，

，在双曲线中，最大，

。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦

点：两个焦点

；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点

，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线； ⑤离心率：

，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

比如：①若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

②以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

）

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②

焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶

点

，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴

双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤离心率：，

双曲线

，等轴双曲线

，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐

近线：。比如：

①双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；

②双曲线的离心率为，则= （答：4或）；

③设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）；

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只

有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。

如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；

5、点和椭圆（）的关系：

（1）点在椭圆外；

（2）点在椭圆上＝1；

（3）点在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）

联立⎩⎨⎧C

l 消元得02

=++c bx ax （或02=++c by ay ）

当0≠a ，⇒>∆o 直线与曲线相交（2个交点）；

⇔=∆o 直线与曲线相切（1个交点）； ⇒<∆o 直线与曲线相离（0个交点）；

当0=a ，①曲线定不是椭圆；

②若曲线是双曲线，则直线l 与渐近线平行（1个交点）或重合（0个交点）； ③若曲线是抛物线。则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合（1个交点）；

比如：① 直线y ―kx ―1=0与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：

[1，5）∪（5，+∞））； ②对于抛物线C ：

，我们称满足

的点在抛物线的内部，若点

在抛物线的内部，则直线：

与抛物线C 的位置关系是_______（答：

相离）；

特别提醒：

直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相

交。

1，双曲线

①过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2条（2与渐近线平行）

②过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3条（1切线+2与渐近线平行）

③过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4条（2切线+2与渐近线平行）

若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

注意：①点在两条渐近线上但非原点，只有两条（1切线+2与另一渐近线平行）；②P 为原点时不存在这样的直线； 2，抛物线

①过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有1条（与对称轴平行）

②过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1条（1切线+1与对称轴平行）

③过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有3条（2切线+1与对称轴平行） 比如： ①过点

作直线与抛物线

只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；