东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)1
2022年东南大学工程管理专业《管理学》科目期末试卷A(有答案)
2022年东南大学工程管理专业《管理学》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、决定是否与另一个组织合并，如何重组以提高效率，或是否关闭一个亏损的工厂，这些都是典型的（）。
A．确定型决策 B．非程序化决策C．例常型决策 D．重复性决策2、当一个管理者组织制订公司战略以寻求企业进一步发展时，他扮演的管理角色是明茨伯格所说的（）。
A．领导者 B．发言人C．企业家D．混乱驾驭者3、依据情景领导理论，当下属有能力但无意愿干领导希望他们干的工作时，以下哪种领导风格最为合适？（）A．告知 B．推销 C．参与 D．授权4、管理中与激励问题有关的公平理论是由（）提出的。
A．马斯洛B．麦格雷戈C．赫茨伯格D．亚当斯5、企业选择产业中的一个或者一组细分市场，制定专门的战略向此市场提供产品或者服务，这是典型的（）。
A．增长型战略 B．别具一格战略 C．专一化战略 D．公司层战略6、关于计划的实际效果，许多管理学家都进行过仔细研究，其基本结论是（）。
A．制定正式计划的组织比不制定正式计划的组织绩效要好B．制定正式计划的组织不一定就有好的绩效C．制定正式计划会降低组织的灵活性D．好的计划可以消除变化7、在不确定情况下，除了有限信息的影响之外，另一个影响决策结果的因素是（）。
A．风险性 B．环境的复杂性C．决策者心理定位 D．决策的时间压力8、一家公司董事会通过决议，计划在重庆建立汽车制造厂，建设周期为一年，需完成基础建设、设备安装、生产线调试等系列工作，（）技术最适合来协调各项活动的资源分配。
A．甘特图B．负荷图C．PERT网络分析D．线性规划9、当态度之间以及态度与行为之间存在任何不协调或不一致时，我们称之为（）。
A．态度紊乱 B．认知失调C．知觉混乱D．晕轮效应10、管理者在制定决策时，面临这样一种条件：在这种条件下，决策者能够估计出每一种备择方案的可能性或者结果。
我们称这种决策制定条件为（）决策。
A．确定性 B．不确定性 C．风险性 D．概率性二、名词解释11、组织变革12、程序化决策13、SWOT分析14、利益相关者15、人际关系角色16、组织17、团队结构18、强制权三、简答题19、1．解释为何学习管理史如此重要。
工程矩阵理论试题A
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论学院自动化考试日期2014年 12月 20日专业控制科学与工程班级任课教师姓名考生姓名学号（完整）成绩一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设AÎC m´n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设AÎC n´n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!, （1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体）收敛与否与具体A A有关（4）收敛3. 设AÎC n´n满足A3=E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) Å N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) Å N(A T)= C n, （4）R(A T) Å N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=L，其中L为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设e1, e2, e3为3维线性空间V的一组基，s是V到自身的一个线性变换。
s在基e1, e2, e3下的第1 页共2 页第 2 页 共 2 页 矩阵为úúúûùêêêëé333231232221131211a a a a a a a a a ，则s 在基e 3, 2e 2, 3e 1下的矩阵为。
2. 设方阵A 满足A 2 = 3A, 则sin (3A ) = 。
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
南京工业大学18-19矩阵论试题
南京工业大学 矩阵论 试卷2018 ---2019 学年第 2 学期 使用班级 研18班级 学号 姓名一.填空（03'）.1. 设V 是实数域上主对角线上的元素之和等于0的2阶方阵组成的线性空间，则它的维数是 ，一组基是 ，任一矩阵a c Ab a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在此基下的坐标是 。
2. 在欧氏空间4R 中，内积按通常定义，则向量 )3,2,2,1(=α 的长度为 ，向量)3,2,2,1(=α与)1,5,1,3(=β之间的夹角>=<βα, 。
3. 在20101[]{,}R x a a x a a R =+∈中定义内积：⎰-=11)()(),(dx x g x f g f ，则2[]R x 在区间[1,1]-上关于该内积的一个标准正交基为 1β= ，2β= 。
4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=501210101A ，则矩阵1—范数1A ＝ ，矩阵无穷范数∞A ＝ 。
5. 设矩阵130039A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的加号广义逆矩阵A += 。
二)01('（1）证明：)0,1,3(),2,3,6(),5,3,1(321===ααα是3R 的一组基 ；（2）求向量)1,7,3(=α在基321,,ααα下的坐标。
三)01('.设向量组：),0,3,0,3(),1,1,0,2(),1,2,0,1(321=-==ααα)1,3,1,4(),1,0,1,1(21==ββ 令),(),,,(2123211ββαααL V L V ==，求21V V +和12V V I 的维数及一组基。
四)01('在3R 中对任意123(,,)a a a α=，定义:123122313(,,)(,,23)a a a a a a a a a σ=++-（1）证明：σ是3R 上的线性变换；（2）求σ在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===εεε下的矩阵。
五(15)'.设V 为3维的线性空间，321,,ααα为V 的一组基，σ是V 上的线性变换，且31)(αασ=，22)(αασ=，13)(αασ=，求：（1）σ在基321,,ααα下的矩阵； （2）σ的特征值和特征向量；（3）在V 中能否选择适当的一组基，使得σ在这组基下的矩阵是对角阵？如果能，写出这组基及对角阵。
工程矩阵理论试题A
杭州电子科技大学研究生考试卷（A卷）课程名称：工程矩阵理论一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 设A∈C m⨯n，对A的奇异值分解，下列说法正确的是：（1）存在且唯一（2）存在但不唯一（3）可能不存在（4）可能存在但不唯一2. 设A∈C n⨯n，则A的幂序列E，A，A2/2!, A k/k!,（1）收敛于零（2）发散（3）收敛与否与具体A有关（4）收敛3. 设A∈C n⨯n满足A3= E，则下列说法正确的是：（1）A的最小多项式与特征多项式相同（2）A不可对角化（3）A的约当标准型中约当块的数目为n（4）不能确定A是否可对角化4. 设A为n阶方阵，则有：（1）R(A) ⊕ N(A)= C n , （2）R(A) + N(A)= C n（3）R(A) ⊕ N(A T)= C n, （4）R(A T) ⊕ N(A T)= C n5. 设A为n阶Hermite矩阵，则：（1）A的n个特征值全大于零（2）存在可逆矩阵P使得P H AP=E（3）存在正线上三角矩阵R使得A=R H R（4）存在酉矩阵U使得U H AU=Λ，其中Λ为实对角矩阵二、填空题（每题4分，共20分）1. 设ε1, ε2, ε3为3维线性空间V的一组基，σ是V到自身的一个线性变换。
σ在基ε1, ε2, ε3下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ，则σ在基ε3, 2ε2, 3ε1下的矩阵为。
2. 设方阵A 满足A 2= 3A, 则sin (3A ) = 。
3.矩阵A = diag 21312,,0203⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，则A 的最小多项式为 。
4. 设X = (x 1, x 2, , x n )T 为变向量，α = (a 1, a 2, , a n )T 为常向量，H = (h ij )n ⨯n 为常矩阵，则：，()=HX X XT D D。
5. 设A ∈C n ⨯n 为Hermite 矩阵，X ∈C n ，A 的n 个特征值为λ1，λ2， ，λn ，满足λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ，则： XX AXX H X H 0max ≠ =。
东南大学工程矩阵理论试题及答案
et = f(1) = g(1) = c0(t) + c1(t) + c2(t), (1+t)et = f ¢(1) = g¢(1) = c1(t) + 2c2(t), 由此可得 c0(t) = 0, c1(t) = (1-t)et, c2(t) = tet, 于是有 AeAt = (1-t)etA + tetA2.
0ö æ1 1÷ø çè1
2 2
ö ÷ø
=
æ çè
0 1
0 2
ö ÷ø
=
0E11
+
0E12
+
1E21
+
2E22,
æ1 1 0 0ö
由此可见
f
在
£2´2
的基
E11,
E12,
E21,
E22
下的矩阵
A
=
ç ç ç
2 0
2 0
0 1
0÷
1
÷ ÷
.
è0 0 2 2ø
张小向@seu
2
◆ 工程矩阵理论 ◆ 试题一 ◆ 答案仅供参考 ◆
2 a -1
0
3ö 4 ÷ , r(A-I) = 0 ÷ø
1, 2,
a = 8 / 3; a ¹ 8 / 3,
æ1 0 0 ö
æ1 1 0ö
当 a = 8/3 时, A 的 Jordan 标准形为 ç 0 1 0 ÷ ; 当 a ¹ 8/3 时, A 的 Jordan 标准形为 ç 0 1 0 ÷ .
则 QHQ = I, aHQ = (1, 0, ..., 0), QHa = (1, 0, ..., 0)H,
æ1+ k 0 L 0ö
东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)1
工程矩阵理论试卷样卷10b一、已知22C⨯的子空间1,x x V x y C yy ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，2,x y V x y C x y ⎧⎫-⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，分别求121212,,,V V V V V V +的一组基及它们的维数。
解：1V 的基为：11000011,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2维。
2V 的基为：10011001,-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2维。
设12V V η∈，比较12,V V ，则y x =-，x x x x η⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以基为1111η⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1维。
12V V +为由12,V V 生成的空间，121100100100111001(,,,)V V L -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其极大线性无关组为：110010001110,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即为12V V +的基，3维。
二、设22C⨯上的线性变换f 定义为：()tt f X t t ⎛⎫=⎪⎝⎭，22a b X C c d ⨯⎛⎫∀=∈ ⎪⎝⎭，其中，t 表示矩阵X 的迹()tr X a d =+。
1、求f 在V 的基11E ，12E ，21E ，22E 下的矩阵A ； 2、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数； 3、问：()()R f K f +是否为直和？为什么？解：1、11221()()tr E tr E == 12120()()t r E t r E == 11221111()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 12210000()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭11122122111221221001100110011001()()f E E E E E E E E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1001100110011001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭2、f 的值域()R f ：X 的基为11E ，12E ，21E ，22E ，故11122122()((),(),(),())R f L f E f E f E f E =故()R f 的基即为11122122(),(),(),()f E f E f E f E 的极大线性无关组：1111⎛⎫⎪⎝⎭，()R f 为1维。
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)
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2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠
(建筑工程管理]东南大学工程矩阵理论试卷样卷及答案(修改]
![(建筑工程管理]东南大学工程矩阵理论试卷样卷及答案(修改]](https://img.taocdn.com/s3/m/06ed61b34b73f242326c5f2e.png)
（建筑工程管理）东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)工程矩阵理论试卷样卷10a壹、假如。
1、记。
证明：是的子空间。
2、若A是单位矩阵，求。
3、若，。
求这里V（A）的壹组基及其维数。
4、假如。
问：对上壹题中的和，是否为直和？说明理由。
解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。
即若有，，。
设，，，，是的子空间。
2、若A是单位矩阵，则，因为对单位阵I来说，恒成立，故，。
3、若，，设，有，即，，→有，故=故X的壹组基为，维数为2。
4、，即，其基为。
下面计算，若，则是直和。
=（、基的极大线性无关组），为极大线性无关组（能够不求，从上式即可见出），+不是直和。
二、假如，，于上定义变换如下：。
1、证明：是上的线性变换。
2、求于的基下的矩阵M。
3、试求M的jordan标准形，且写出的最小多项式。
4、问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1、有：，有←加法封闭，有←数乘封闭是上的线性变换。
2、3、M的若当标准形为，的最小多项式为4、，，基础解系为，，，，基础解系为这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到的基，使得的矩阵为对角阵。
三、设的子空间，，求，使得。
解：思路：求V的基→由该基生成；的含义是指于V中找壹向量，使得的距离最短，即寻找于V中的正投影。
作图如右侧。
由，得V的基为，则，，或四、设，求及矩阵函数。
解：（2重根）时，，故A的jordan标准形为，A的最小多项式为。
令，（计算略）令，(太麻烦了，不算啦！)五、已知矩阵A的特征多项式及最小多项式均等于，且且矩阵。
1、分别给出A和B的jordan标准形；2、问：A和B是否相似？为什么？解：A的特征多项式及最小多项式均等于，故A的jordan标准形为：，A和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。
六、已知矩阵，求A的广义逆矩阵。
解：对A进行分块：对进行满秩分解，对进行满秩分解，七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换如下：对任意，（镜像变换）。
东南大学09-10-2工程矩阵理论学位考试(工程硕士)
共 ５ 页 第 页东南大学考试试卷课程名称 工程矩阵理论 考试学期 09-10-2得分适用专业工程硕士考试形式闭卷考试时间长度 120分钟）已知22⨯C的子空间1|,a a V x y C b b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 2|,a b V x y C b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪--⎝⎭⎩⎭1V ，2V ，21V V ⋂，21V V +的一组基及它们的维数．（12%）在3R 的子空间{}(,,)|230W x y z x y z =-+=，(1,1,0)η=．求0W η∈，0min Wξηηηξ∈-=-．共 ５ 页 第 页四. （12%）已知矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1. 求一个多项式()f λ，使得()Atf A Ae =；2. 求A 的广义逆矩阵+A ．五. （12%）已知矩阵,A B 的F-范数和算子2-范数分别是2,F A a A b==，2,FBc B d==，分别求分块矩阵A O M OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭的F-范数和算子2-算子． 六. （12%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭三. （14%）记11122122121101,,001111A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．已知22⨯C 上的线性变换f 满足()ij ij f E A =(,1,2)i j =． 1． 求f 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵；2． 分别求f 的值域()R f 和核子空间()K f 的基和维数； 3． 求f 的特征多项式和最小多项式．共 ５ 页 第 页．根据参数,,,,a b c x y 讨论,A B 可能的Jordan 标准形，并问：参数满足什么条件时，矩阵A 与B 是相似的？ 七. （10%）n 维欧氏空间V 上的线性变换f 定义如下：()(,)f x ax b x ωω=-，V x ∈∀。
2012年前所有的东南大学工程矩阵考博试卷
1. 2.
A
B
3
14%
0 1
8 6 5
A100-2A50
A
3
2 0
10%
n
A
A2=7I-6A
A+7I
r
det
A+2I
14%
f
n
V
,
V
(f ( ), )=( ,f ( ))
1. 2.
V V
f f
Hermite
26% 1. 2. A2 3. 4.
n
A A
A
1 A3=A2
A A2=A BA A Hermite a B A BA=A*A
⎛ −1 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 四 (15 分)已知 A = ⎜ −1 0 3 ⎟ 。 ⎜ −1 −1 4 ⎟ ⎝ ⎠
1.求 sin At ； 2.计算 d sin At 。 dt
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ 五 (10 分)求矩阵 A = ⎜ 0 0 1⎟ 的 QR 分解。 ⎜ 1 2 1⎟ ⎝ ⎠
六 （10 分） 设 T 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， 证明： T (V ) ⊆ T −1 (0) 的充要条件是 T 2 = 0 。 七 (10 分) 设 ⋅ 是 C n×n 上的 F-范数。证明：若 A < 1 , E 为 n 阶单位 阵，则矩阵 E − A 可逆，且
1 1 ≤ ( E − A) −1 ≤ 。 1− A E−A
E21=
0 0 1 0
0 1 0 0
E22=
0 0 0 1
M 3. 4. 2 2
f
R
f f
K
K
f
C2 2= R
f
12%
a
矩阵分析试题A参考答案及评分标准样本
重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷)参考答案及评分细则一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=-求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。
( 10分) 解: 因为12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分)由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。
(2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即121211212111011030117k k l l -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然）因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分)二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于矩阵 0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 这里0ε≠为任意实数。
( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,于是矩阵10()0100a J a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与0000a a a εε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似.三、 求矩阵101120403A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的(1)Jordan 标准型; ( 2) 变换矩阵P ; ( 3) 计算100A 。
矩阵论考试题和答案(详细)
因此 B = Udiag (λ ,L , λ )U = Vdiag (λ ,L , λ )V H = E 。
H
1 3 1
1 3 n
1 3 1
1 3 n
-------------4
（2）因为 A ≥ 0 ，所以 A 的特征值均非负。设 A 的特征值为 λ1 ,L , λn ，且 λ1 ≥ L ≥ λn ≥ 0 ， 则 A2 的特征值为 λ12 ,L , λn2 ，于是
AT Ax = AT b
的解， 所以不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解唯一当且仅当 AT A 非奇异， 即 rank ( AT A) = n 。因为 rank ( AT A) = rank ( A) ，所以不相容线性方程组 Ax = b 的最 小二乘解唯一当且仅当 A 列满秩。 -----------4
记 P = U H V = ( pij ) ，则 diag (λ1 ,L , λn ) P = Pdiag (λ1 ,L , λn ) ，从而
λi pij = λ j pij (i, j = 1,L , n) ，
于是
1 1
λi3 pij = λ j3 pij (i, j = 1,L , n) ，
即
diag (λ13 ,L , λn3 ) P = Pdiag (λ13 ,L , λn3 ) ，
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
)−1 ( B T B )−1 B T
1 − 4 = 0 1 4
0 1 0
---------5
1 （2）因为 AA + b = 2 ≠ b ; 所以不相容的。 -----------3 2 1 4 -----------3 其极小最小二乘通解为 x = A + b = 2 1 − 4 （3）因为 x 是不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解当且仅 x 是如下相容线性方程组
东南大学 数学建模试卷 09-10-2A
共6页第1页东南大学考试卷（A 卷）姓名 学号 班级课程名称 数学建模与实验 考试学期得分适用专业 各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题：（每题2分，共10分）1. 阻滞增长模型0.5(10.001)(0)100dx x x dtx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩的解为。
2. 用Matlab 做常微分方程数学实验，常用的命令有。
3. 整数m 关于模12可逆的充要条件是：。
4. 根据Malthus 模型,如果自然增长率为2%，则人口数量增长为初值3倍所需时间为(假设初值为正)。
5. 请补充判断矩阵缺失的元素13192A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭。
二．选择题：（每题2分，共10分）1. 在下列Leslie 矩阵中，不能保证模最大特征值唯一的是 ()A. 0230.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； B. 1.1 1.230.20000.40⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C. 0030.20000.40⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； D.以上都不对 2. 判断矩阵能通过一致性检验的标准是（)A. 0.1C R <B. 0.1C I <C.0.1C R >D.0.01C R <3. 模28倒数表中可能出现的数是 () A. 12 B.5 C.14 D.74. 线性最小二乘法得到的函数不可能为（）A.线性函数B. 对数函数C. 样条函数D. 指数函数 5. 关于泛函极值问题，下面的描述正确的有（）A.泛函()J x 在x *处取极值的充要条件是泛函变分()0J x δ*=；B.泛函()J x 在x *处取极值的充分条件是泛函变分()0J x δ*=； C. 泛函()J x 在x *处取极值的必要条件是泛函变分()0J x δ*=；D.A,B,C 均正确学号姓名三．判断题（每题2分，共10分）1. Hill密码体系中，任意一个可逆矩阵都可以作为加密矩阵。
（）2. 拟合函数不要求通过样本数据点。
（）3. Matlab软件内置命令程序可以直接求解一般的整数线性规划问题。
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工程矩阵理论试卷样卷10b
一、已知22
C
⨯的子空间
1,x x V x y C y
y ⎧⎫⎛⎫
=∈⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭，2,x y V x y C x y ⎧⎫-⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭
，分别求121212,,,V V V V V V +I 的一组基及它们的维数。
解：1V 的基为：11000011,⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2维。
2V 的基为：10011001,-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，2维。
设12V V η∈I ，比较12,V V ，则y x =-，x x x x η⎛⎫=
⎪--⎝⎭，所以基为1111η⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
，1维。
12V V +为由12,V V 生成的空间，121100100100111001(,,,)V V L -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其极大线性无关组为：110010001110,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即为12V V +的基，3维。
二、设22
C
⨯上的线性变换f 定义为：
()t
t f X t t ⎛⎫=
⎪⎝⎭，22
a b X C c d ⨯⎛⎫∀=∈ ⎪⎝⎭
，其中，t 表示矩阵X 的迹()tr X a d =+。
1、求f 在V 的基11E ，12E ，21E ，22E 下的矩阵A ； 2、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数； 3、问：()()R f K f +是否为直和？为什么？ 解：1、11221()()tr E tr E == 12120()()tr E tr E ==
11221111()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1221
0000()()f E f E ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
111221221112212210011
00110011
001()()f E E E E E E E E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭，1
0011
00110011001A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
2、f 的值域()R f ：
X Q 的基为11E ，12E ，21E ，22E ，故11122122()((),(),(),())R f L f E f E f E f E = 故()R f 的基即为11122122(),(),(),()f E f E f E f E 的极大线性无关组：1111⎛⎫
⎪⎝⎭
，()R f 为1维。
核子空间()K f ：AX O =，X 的基础解系：001100
010001,,-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()K f 为3维。
3、观察得：()R f 的基与()K f 线性无关，维数的和为4，故()()R f K f +是直和。
三、已知矩阵A 的特征多项式()A C λ及最小多项式()A m λ相等，均等于2
1()λλ-，矩阵110001000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
分别求A 和B 的jordan 标准形；问：A 与B 是否相似？为什么？
解：由矩阵A 的特征多项式()A C λ及最小多项式()A m λ相等，均等于2
1()λλ-，得100001000A J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2
11001100()I B λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，100001000B J ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
A 与B 相似，因为它们有相同的jordan
标准形。
四、已知矩阵34500001110101A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的广义逆矩阵A +
解：对A 进行满秩分解：500010000111010101010010A ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3()A r ∴=，A 应该分解为343334
500100001101010100010A B C ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴
111143
1000100010005005005000101010101010110110110010001000100100100100()()()()H H H H
H
H
H
H
A C CC
B B B +----⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
五、已知矩阵A O M O B ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
其中，矩阵A ，B 的F 范数及算子2范数分别是5F A =，4F
B =，23A =，
22B =，试求F
M
和2
M。
解：F
范数定义为F
⋅
=
F
M
==算子2
范数定义为2
⋅
=，23A =表示A 中特征值最大为3，22B =表示B 中特征值
最大为2，M 的特征值即为A 、B 全部特征值，故2
M 为A 、B 中特征值的最大值，2
3M
=。
六、设V 是一n 维欧氏空间，V ω∈是一单位向量，,a b 是一参数，V 上的线性变换f 定义为：
(),,f a b V ηηηωωη=-<>∀∈，问：当,a b 取何值时，f 是正交变换？
解：扩充ω为V 的一组标准正交基1,,,n ωωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则：
(),()f a b a b a b ωωωωωωωω=-<>=-=- 1111(),f a b a ωωωωωω=-<>=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(),n n n n f a b a ωωωωωω=-<>=
22200000
00(,,)(,,)(,,)n n n a b a f A a ωωωωωωωωω-⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅ ⎪
⎝⎭ 若f 是正交变换，则A 必须为正交矩阵，A 的行向量或列向量必须为标准正交基。
∴10,a b =±=
七、证明题：
1、假如A 是H 阵，证明：iA
e 是酉矩阵。
证明：要证iA
e 是酉矩阵，即证()
iA
iA H
e e I ⋅=
根据矩阵多项式的性质，H
H
iA iA
iA iA O e e
e e I --⋅=== （Q iA 与H iA -可交换） ∴iA
e
是酉矩阵
2、设⋅是相容矩阵范数，证明：对任意方阵A ，A 的谱半径()A A ρ≤。
证明：设A 的特征值λ，η为与λ对应的θ≠的特征向量，有A ηλη= 两边取范数，A ηλη=
Q ⋅是相容范数，∴A A ληληηη=⋅=≤⋅ Q ηθ≠，∴0η>，A λ≤，∴()A A ρ≤
（若考虑⋅仅为方阵上的相容矩阵范数，则只需将η扩充为()η
θθ⋅⋅⋅的方阵即可）。