八年级数学下册第6章平行四边形6.1平行四边形及其性质作业设计(新版)青岛版

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6.1 平行四边形及其性质
一．解答题（共13小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AE=CE时，求四边形AECF的面积．
（第1题图）
2．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=60°，BE=2，DF=3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？
（第2题图）
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=10，BD=16，AB=6，求△OCD 的周长．
（第3题图）
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．
（第4题图）
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DC=BE；
（2）连接BF，若BF⊥AE，求证：△ADF≌△ECF．
（第5题图）
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是点E，F．（1）求证：AE=CF．
（2）连接BF，若∠ACB=45°，AE=1，BE=3，求BF的长．
（第6题图）
7．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，BE=DF．
求证：（1）△ADF≌△CBE；
（2）CE∥AF．
（第7题图）
8．如图，E、F分别平行四边形ABCD对角线BD上的点，且BE=DF．
求证：∠DAF=∠BCE．
（第8题图）
9．如图，点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求证AF=CE．
（第9题图）
10．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且BE=DF，求证：AE=CF．
（第10题图）
11．如图，E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE∥DF，求证：BF=DE．
（第11题图）
12．如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）证明：AE⊥BF；
（2）证明：DF=CE．
（第12题图）
13．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．
（第13题图）
参考答案
一．1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BE=BC，DF=AD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（第1题答图）
（2）解：作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，BC=2AB=4，
∴BE=CE=BC=2，DF=AF=AD=2，
∴AF∥CE，AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形，
∴AE=AF=2，
∵AB=2，
∴AB=AE=BE=2，
即△ABE是等边三角形，
BH=HE=1，
由勾股定理得：AH==，
∴四边形AECF的面积是2×=2．
2．解：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEC=∠AFC=90
∵∠EAF=60°，∴∠C=360﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EA F=120，∴∠B=60°∴∠BAE=30°，
∴AB=2BE=4；cm．
∵∠D=∠B=60°，
∴∠DAF=30°．
∴AD=2DF=6cm．
∴BC=AD=6cm
在Rt△ADF中，AF==3（cm），
∴ABCD的面积=CD•AF=4×3=12（cm2）．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，OA=OC=5，OB=OD=8，
∴△OCD的周长=6+5+8=19．
4．解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，AB=CD=10，OA=OC=AC，
∵AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC==6，
∴▱ABCD的面积是BC×AC=8×6=48．
答：BC=8，CD=10，AC=6，OA=3，▱ABCD的面积是48．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）证明：∵AB=BE，BF⊥AE，
∴AF=EF．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
（第5题答图）
6．（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴∠BAC=∠ACD，AB=CD，
又BE⊥AC，DF⊥AC，
所以∠BEA=∠DFC=90°，
∴△BAE≌△DCF（AAS），
（2）
（第6题答图）如图：连接BF，AE=CF=1，
在直角三角形BCE中，∠ACB=45°，BE=3=EC，
EF=CE﹣CF=3﹣1=2，BF==．
答：BF的长等于．
7．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE；
（2）∵△ADF≌△CBE
∴∠AFD=∠CEB，
∴∠AFB=∠CED，
∴CE∥AF．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵DF=BE，
∴△ADF≌△CBE，
∴∠DAF=∠BCE．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠B CD，
∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，
∴∠EAB=∠FCD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF．
∵AD=BC，
∴AF=EC．
10．已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且BE=DF，求证：AE=CF．
（第10题答图）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE=DF．
11．证明：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵BE∥DF，
∴∠BEO=∠DFO，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴ED=BF．
（第11题答图）12．证明：（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF；
（2）∵在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD，
同理可得，CF=BC，
又∵在▱ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF，
∴DE﹣EF=CF﹣EF，
即DF=CE．
13．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．。